Saltar al contenido
las matematicas

8.1: Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad (Parte 1)

Ahora estamos listos para “llegar a lo bueno”. Usted tiene lo básico y está listo para comenzar uno de los temas más importantes en álgebra: resolver ecuaciones. Las aplicaciones son ilimitadas y se extienden a todas las carreras y campos. Además, las habilidades y técnicas que aprende aquí lo ayudarán a mejorar su pensamiento crítico y sus habilidades para resolver problemas. Este es un gran beneficio de estudiar matemáticas y será útil en tu vida de formas que quizás no veas en este momento.

Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad

 

Comenzamos nuestro trabajo resolviendo ecuaciones en capítulos anteriores. Ha pasado un tiempo desde que vimos una ecuación, por lo que revisaremos algunos de los conceptos clave antes de continuar.

 

Dijimos que resolver una ecuación es como descubrir la respuesta a un rompecabezas. El propósito de resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de la variable que hacen que cada lado de la ecuación sea el mismo. Cualquier valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera se llama solución a la ecuación. Es la respuesta al rompecabezas.

 
 

Definición: Solución de una ecuación

 

Una solución de una ecuación es el valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.

 
 

En las secciones anteriores, enumeramos los pasos para determinar si un valor es una solución. Los reformulamos aquí.

 
 

CÓMO: DETERMINAR SI UN NÚMERO ES UNA SOLUCIÓN A UNA ECUACIÓN

 

Paso 1. Sustituye el número por la variable en la ecuación.

 

Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.

 

Paso 3. Determine si la ecuación resultante es verdadera.

 
         
  • Si es cierto, el número es una solución.
  •      
  • Si no es cierto, el número no es una solución.
  •  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Determine si y = ( dfrac {3} {4} ) es una solución para 4y + 3 = 8y.

 

Solución

                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} { dfrac {3} {4}} ) por y. $$ 4 left ( textcolor {red} { dfrac {3} {4}} right) + 3 stackrel {?} {=} 8 left ( textcolor {red} { dfrac {3 } {4}} right) $$
Multiplica. $$ 3 + 3 stackrel {?} {=} 6 $$
Agregar. $$ 6 = 6 ; marca de verificación $$
 

Dado que y = ( dfrac {3} {4} ) da como resultado una ecuación verdadera, ( dfrac {3} {4} ) es una solución a la ecuación 4y + 3 = 8y.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

¿Es y = ( dfrac {2} {3} ) una solución para 9y + 2 = 6y?

 
     
Respuesta
     
     

no

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

¿Es y = ( dfrac {2} {5} ) una solución para 5y – 3 = 10y?

 
     
Respuesta
     
     

no

     
 
 
 

Introdujimos las propiedades de igualdad de resta y suma en Resolviendo ecuaciones usando las propiedades de igualdad de resta y suma . En esa sección, modelamos cómo funcionan estas propiedades y luego las aplicamos para resolver ecuaciones con números enteros. Usamos estas propiedades nuevamente cada vez que introdujimos un nuevo sistema de números. Revisemos esas propiedades aquí.

 
 
 

Definición: Propiedades de igualdad y resta de igualdad

 

Propiedad de igualdad de la resta

 

Para todos los números reales a, byc, si a = b, entonces a – c = b – c.

 

Propiedad adicional de igualdad

 

Para todos los números reales a, byc, si a = b, entonces a + c = b + c.

 
 

Cuando sumas o restas la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, aún tienes igualdad.

 

Introdujimos la propiedad de igualdad de la resta anteriormente modelando ecuaciones con sobres y contadores. La figura ( PageIndex {1} ) modela la ecuación x + 3 = 8.

 

An envelope and three yellow counters are shown on the left side. On the right side are eight yellow counters.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

El objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación. Así que “quitamos” 3 de ambos lados de la ecuación y encontramos la solución x = 5.

 

Algunas personas se imaginan una escala de equilibrio, como en la Figura ( PageIndex {2} ), cuando resuelven ecuaciones.

 

Three balance scales are shown. The top scale has one red weight on each side and is balanced. Beside it is “1 mass on each side equals balanced.” The next scale has two weights on each side and is balanced. Beside it is “2 masses on each side equals balanced.” The bottom scale has one weight on the left and two on the right. The right side is lower than the left. Beside the image is “1 mass on one side and 2 masses on the other equals unbalanced.”

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

Las cantidades en ambos lados del signo igual en una ecuación son iguales o equilibradas. Al igual que con la escala de equilibrio, lo que haga a un lado de la ecuación también debe hacerlo al otro para mantener el equilibrio.

 

Repasemos cómo usar las propiedades de igualdad de resta y suma para resolver ecuaciones. Necesitamos aislar la variable en un lado de la ecuación. Y verificamos nuestras soluciones sustituyendo el valor en la ecuación para asegurarnos de que tengamos una declaración verdadera.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resolver: x + 11 = −3.

 

Solución

 

Para aislar x, deshacemos la suma de 11 usando la Propiedad de igualdad de resta.

                                                                                                              
Reste 11 de cada lado para “deshacer” la adición. $$ x + 11 textcolor {rojo} {- 11} = -3 textcolor {rojo} {- 11} $$
Simplificar. $$ x = -14 $$
 

Verificación:

                                                                                                              
Sustituye x = −14. $$ textcolor {rojo} {- 14} + 11 stackrel {?} {=} -3 $$
$$ – 3 = -3 ; marca de verificación $$
 

Dado que x = −14 hace que x + 11 = −3 sea una afirmación verdadera, sabemos que es una solución a la ecuación.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Resolver: x + 9 = −7.

 
     
Respuesta
     
     

x = -16

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Resolver: x + 16 = −4.

 
     
Respuesta
     
     

x = -20

     
 
 
 

En la ecuación original del ejemplo anterior, 11 se agregó a la x, por lo que restamos 11 para “deshacer” la suma. En el siguiente ejemplo, necesitaremos “deshacer” la resta mediante el uso de la propiedad de igualdad de la suma.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resolver: m + 4 = −5.

 

Solución

                                                                                                              
Agregue 4 a cada lado para “deshacer” la resta. $$ m + 4 textcolor {rojo} {- 4} = -5 textcolor {rojo} {- 4} $$
Simplificar. $$ m = -9 $$
 

Verificación:

                                                                                                              
Sustituye m = −9. $$ textcolor {rojo} {- 9} + 4 stackrel {?} {=} -5 $$
$$ – 5 = -5 ; marca de verificación $$
 

La solución para m + 4 = −5 es m = −9.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: n – 6 = −7.

 
     
Respuesta
     
     

n = -1

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Resolver: x – 5 = −9.

 
     
Respuesta
     
     

x = -4

     
 
 
 

Ahora repasemos la resolución de ecuaciones con fracciones.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelva: n – ( dfrac {3} {8} ) = ( dfrac {1} {2} ).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Utilice la propiedad de adición de la igualdad. $$ n – dfrac {3} {8} textcolor {red} {+ dfrac {3} {8}} = dfrac {1} {2} textcolor {red} {+ dfrac { 3} {8}} $$
Busque la pantalla LCD para agregar las fracciones a la derecha. $$ n – dfrac {3} {8} + dfrac {3} {8} = dfrac {4} {8} + dfrac {3} {8} $$
Simplificar. $$ n = dfrac {7} {8} $$
 

Verificación:

                                                                                                                                                              
Sustituye n = ( textcolor {red} { dfrac {7} {8}} ). $$ textcolor {rojo} { dfrac {7} {8}} – dfrac {3} {8} stackrel {?} {=} Dfrac {1} {2} $$
Restar. $$ dfrac {4} {8} stackrel {?} {=} Dfrac {1} {2} $$
Simplificar. $$ dfrac {1} {2} = dfrac {1} {2} ; marca de verificación $$
 

La solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: p – ( dfrac {1} {3} ) = ( dfrac {5} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

(p = frac {7} {6} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Resuelva: q – ( dfrac {1} {2} ) = ( dfrac {1} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

(q = frac {2} {3} )

     
 
 
 
 

En Resolver ecuaciones con decimales , resolvimos ecuaciones que contenían decimales. Revisaremos esto a continuación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve a – 3.7 = 4.3.

 

Solución

                                                                                                              
Utilice la propiedad de adición de la igualdad. $$ a – 3.7 textcolor {red} {+ 3.7} = 4.3 textcolor {red} {+ 3.7} $$
Agregar. $$ a = 8 $$
 

Verificación:

                                                                                                              
Sustituye a = 8. $$ textcolor {rojo} {8} – 3.7 stackrel {?} {=} 4.3 $$
Simplificar. $$ 4,3 = 4,3 ; marca de verificación $$
 

La solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Resolver: b – 2.8 = 3.6.

 
     
Respuesta
     
     

b = 6,4

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Resolver: c – 6.9 = 7.1.

 
     
Respuesta
     
     

c = 14

     
 
 
 

Resolver ecuaciones que deben simplificarse

 

En los ejemplos hasta este punto, hemos podido aislar la variable con solo una operación. Muchas de las ecuaciones que encontramos en álgebra tomarán más pasos para resolver. Por lo general, tendremos que simplificar uno o ambos lados de una ecuación antes de usar las propiedades de igualdad de resta o suma. Siempre debe simplificar tanto como sea posible antes de intentar aislar la variable.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resolver: 3x – 7 – 2x – 4 = 1.

 

Solución

 

El lado izquierdo de la ecuación tiene una expresión que deberíamos simplificar antes de intentar aislar la variable.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Reorganizar los términos, utilizando la propiedad conmutativa de la suma. $$ 3x – 2x – 7 – 4 = 1 $$
Combina términos similares. $$ x – 11 = 1 $$
Agregue 11 a ambos lados para aislar x. $$ x – 11 textcolor {rojo} {+ 11} = 1 textcolor {rojo} {+ 11} $$
Simplificar. $$ x = 12 $$
Verificación. Sustituye x = 12 en la ecuación original. $$ begin {split} 3x – 2x – 7 – 4 & = 1 \ 3 ( textcolor {red} {12}) – 7 – 2 ( textcolor {red} {12}) – 4 & = 1 \ 36 – 7 – 24 – 4 & = 1 \ 29 – 24 – 4 & = 1 \ 5 – 4 & = 1 \ 1 & = 1 ; marca de verificación end {split} $$
 

La solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Resuelva: 8y – 4 – 7y – 7 = 4.

 
     
Respuesta
     
     

y = 15

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Resolver: 6z + 5 – 5z – 4 = 3.

 
     
Respuesta
     
     

z = 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: 3 (n – 4) – 2n = −3.

 

Solución

 

El lado izquierdo de la ecuación tiene una expresión que deberíamos simplificar.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Distribuir a la izquierda. $$ 3n – 12 – 2n = -3 $$
Use la propiedad conmutativa para reorganizar los términos. $$ 3n – 2n – 12 = -3 $$
Combina términos similares. $$ n – 12 = -3 $$
Aislar n usando la propiedad de adición de igualdad. $$ n – 12 textcolor {rojo} {+ 12} = -3 textcolor {rojo} {+ 12} $$
Simplificar. $$ n = 9 $$
Verificación. Sustituye n = 9 en la ecuación original. $$ begin {split} 3 (n-4) – 2n & = -3 \ 3 ( textcolor {red} {9} – 4) – 2 cdot textcolor {red} {9} & = -3 \ 3 (5) – 18 & = -3 \ 15 – 18 & = -3 \ -3 & = -3 ; marca de verificación end {split} $$
 

La solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Resolver: 5 (p – 3) – 4p = −10.

 
     
Respuesta
     
     

p = 5

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Resolver: 4 (q + 2) – 3q = −8.

 
     
Respuesta
     
     

q = -16

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelva: 2 (3k – 1) – 5k = −2 – 7.

 

Solución

 

Ambos lados de la ecuación tienen expresiones que deberíamos simplificar antes de aislar la variable.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Distribuir a la izquierda, restar a la derecha. $$ 6k – 2 – 5k = -9 $$
Use la propiedad conmutativa de la suma. $$ 6k – 5k – 2 = -9 $$
Combina términos similares. $$ k – 2 = -9 $$
Deshacer la resta utilizando la propiedad de adición de igualdad. $$ k – 2 textcolor {rojo} {+ 2} = -9 textcolor {rojo} {+ 2} $$
Simplificar. $$ k = -7 $$
Verificación. Deje k = −7. $$ begin {split} 2 (3k – 1) – 5k & = -2 – 7 \ 2 [3 ( textcolor {red} {- 7}) -1] – 5 ( textcolor {red } {- 7}) & = -2 – 7 \ 2 (-21 – 1) – 5 (-7) & = -9 \ 2 (-22) + 35 & = -9 \ -9 & = -9 ; marca de verificación end {split} $$
 

La solución verifica.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Resolver: 4 (2h – 3) – 7h = −6 – 7.

 
     
Respuesta
     
     

h = -1

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Resolver: 2 (5x + 2) – 9x = −2 + 7.

 
     
Respuesta
     
     

x = 1

     
 
 
 
 
]]>