8.1: Simplificar expresiones racionales

8.1: Simplificar expresiones racionales

Simplificar expresiones racionales

 

Al igual que una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, aparte de (1 ), en su numerador y denominador, una expresión racional es simplificada si no tiene factores comunes, otros que (1 ), en su numerador y denominador.

 
 

Definición: EXPRESIÓN RACIONAL SIMPLIFICADA

 

Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.

 
 

Por ejemplo:

 
         
  • ( dfrac {2} {3} ) se simplifica porque no hay factores comunes de (2 ) y (3 ).
  •      
  • ( dfrac {2x} {3x} ) no se simplifica porque (x ) es un factor común de (2x ) y (3x ).
  •  
 

Utilizamos la propiedad de fracciones equivalentes para simplificar fracciones numéricas. Lo reformulamos aquí, ya que también lo usaremos para simplificar expresión racional s.

 
 

Definición: PROPIEDAD DE FRACCIONES EQUIVALENTES

 

Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (b ne 0 ), (c ne 0 ), entonces [ dfrac {a } {b} = dfrac {a · c} {b · c} quad text {y} quad dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a} {b} ] [ 19459007]  

 

Observe que en la Propiedad de fracciones equivalentes, los valores que harían que los denominadores fueran cero están específicamente prohibidos. Vemos (b ne 0 ), (c ne 0 ) claramente establecido. Cada vez que escribimos una expresión racional, deberíamos hacer una declaración similar que no permita valores que harían un denominador cero. Sin embargo, para centrarnos en el trabajo en cuestión, omitiremos escribirlo en los ejemplos.

 

Comencemos por revisar cómo simplificamos las fracciones numéricas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Simplifique: (- dfrac {36} {63} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
.
Reescribe el numerador y el denominador mostrando los factores comunes. .
Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes. .
     

Observe que la fracción (- dfrac {4} {7} ) se simplifica porque no hay más factores comunes.

     
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {14} )

 

Simplifique: (- dfrac {45} {81} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {5} {9} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Simplifique: (- dfrac {42} {54} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {7} {9} )

     
 
 
 
 
 

A lo largo de este capítulo, asumiremos que todos los valores numéricos que harían que el denominador sea cero están excluidos. No escribiremos las restricciones para cada expresión racional, pero tenga en cuenta que el denominador nunca puede ser cero. Entonces, en el siguiente ejemplo, (x ne 0 ) y (y ne 0 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Simplifique: ( dfrac {3xy} {18x ^ {2} y ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
.
Reescribe el numerador y el denominador mostrando los factores comunes. .
Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes. .
     

¿Notó que estos son los mismos pasos que tomamos cuando dividimos monomios en Polinomios ?

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Simplifique: ( dfrac {4x ^ {2} y} {12xy ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x} {3y} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Simplifique: ( dfrac {16x ^ {2} y} {2xy ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {8x} {y} )

     
 
 
  Para simplificar expresiones racionales, primero escribimos el numerador y el denominador en forma factorizada. Luego eliminamos los factores comunes usando la Propiedad de fracciones equivalentes.
 
 

Ten mucho cuidado al eliminar factores comunes. Los factores se multiplican para hacer un producto. Puede eliminar un factor de un producto. No puede eliminar un término de una suma.

 

This figure contains three columns. The first column, shows the numerator and denominator in factored form. The numerator has 2 times 3 times 7. The denominator has 3 times 5 times 7. The common factors, 3 and 7 are crossed out. The second row, first column shows what remains after the threes and sevens are crossed out, which is 2 over 5 in fraction form. The last row in the first column reads “We removed the common factors of 3 and 7. They are the factors of the product.” The first row of the middle column shows 3 x and then x minus 9 in parentheses in the numerator. The denominator shows 5 and then x-9 in parentheses. The common factors x minus 9 are crossed out. The second row of the middle column shows what remains after removing the common factors, which is 3 x over 5 in fraction form. The last row in the middle column reads, “We removed the common factor x minus 9. It is a factor of the product.” The first row of the third column shows x plus 5 in the numerator and x in the denominator. The second row says “No common factors” and the third row reads, “While there is an x in both the numerator and the denominator, the x in the numerator is a term of a sum”.

 

Tenga en cuenta que eliminar los x de ( dfrac {x + 5} {x} ) sería como cancelar los 2 en la fracción ( dfrac {2 + 5} { 2} )!

 
 

Cómo simplificar binomios racionales

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Simplifica: ( dfrac {2x + 8} {5x + 20} ).

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table with three columns and two rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions. The third column contains math. On the top row of the table, the first cell says “Step 1. Factor the numerator and denominator completely.” The second cell says “Factor 2x plus 8 and 5x minus 20.” The third cell contains 2x plus 8, divided by 5x plus 20. Below this is 2 times x plus 4 divided by 5 times x plus 4. In the second row, the first cell says “Step 2. Simplify by dividing out common factors.” The second cell says “Divide out the common factors.” The third cell contains 2 times x plus 4 divided by 5 times x plus 4, where x plus 4 cancels out in the numerator and the denominator. It simplifies to 2 fifths.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Simplifica: ( dfrac {3x − 6} {2x − 4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Simplifique: ( dfrac {7y + 35} {5y + 25} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {7} {5} )

     
 
 
 

Ahora resumimos los pasos que debe seguir para simplificar expresiones racionales.

 
 

Definición: SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN RACIONAL.

 
         
  1. Factoriza el numerador y el denominador por completo.
  2.      
  3. Simplifica dividiendo factores comunes.
  4.  
 
  Por lo general, dejamos la expresión racional simplificada en forma factorizada. ¡De esta manera es fácil comprobar que hemos eliminado todos los factores comunes!
 
 

Usaremos los métodos que cubrimos en Factoring para factorizar los polinomios en los numeradores y denominadores en los siguientes ejemplos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} )
Factoriza el numerador y el denominador. ( dfrac {(x + 2) (x + 3)} {(x + 2) (x + 6)} )
Elimina el factor común (x + 2 ) del numerador y el denominador. ( dfrac {x + 3} {x + 6} )
     

¿Puedes decir qué valores de (x ) deben excluirse en este ejemplo?

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 − x − 2} {x ^ 2−3x + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x + 1} {x − 1} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2−3x − 10} {x ^ 2 + x − 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x − 5} {x − 1} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).
Factoriza el numerador y el denominador. ( dfrac {(y + 7) (y − 6)} {(y + 6) (y − 6)} )
Elimina el factor común (y − 6 ) del numerador y el denominador. ( dfrac {y + 7} {y + 6} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + x − 6} {x ^ 2−4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x + 3} {x + 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + 8x + 7} {x ^ 2−49} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x + 1} {x − 7} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} )
Factoriza el numerador y el denominador, usando la agrupación para factorizar el numerador. ( dfrac {p ^ 2 (p − 2) +2 (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} )
( dfrac {(p ^ 2 + 2) (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} )
Elimina el factor común (p − 2 ) del numerador y el denominador. ( dfrac {p ^ 2 + 2} {p − 5} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( dfrac {y ^ 3−3y ^ 2 + y − 3} {y ^ 2 − y − 6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {y ^ 2 + 1} {y + 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Simplifica: ( dfrac {p ^ 3 − p ^ 2 + 2p − 2} {p ^ 2 + 4p − 5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {p ^ 2 + 2} {p + 5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Simplifique: ( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} )
Factoriza el numerador y el denominador, primero factorizando el MCD. ( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n ^ 2−4n − 12)} )
( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n − 6) (n + 2)} )
Elimine el factor común, (2 ). ( dfrac {n (n − 7)} {2 (n − 6) (n + 2)} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Simplifica: ( dfrac {2n ^ 2−10n} {4n ^ 2−16n − 20} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {n} {2 (n + 1)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Simplifique: ( dfrac {4x ^ 2−16x} {8x ^ 2−16x − 64} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x} {2 (x + 2)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Simplifica: ( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} )
Factoriza el numerador y el denominador, primero factorizando el MCD. ( dfrac {3 (b ^ 2−4b + 4)} {6 (b ^ 2−4)} )
( dfrac {3 (b − 2) (b − 2)} {6 (b − 2) (b + 2)} )
Elimine los factores comunes de (b − 2 ) y (3 ). ( dfrac {3 (b − 2)} {2 (b + 2)} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Simplifica: ( dfrac {2x ^ 2−12x + 18} {3x ^ 2−27} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2 (x − 3)} {3 (x + 3)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Simplifica: ( dfrac {5y ^ 2−30y + 25} {2y ^ 2−50} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5 (x − 1)} {2 (x + 5)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 

Simplifica: ( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} )
Factoriza el numerador y el denominador, usando las fórmulas para la suma de cubos y la diferencia de cuadrados. ( dfrac {(m + 2) (m ^ 2−2m + 4)} {(m + 2) (m − 2)} )
Elimine los factores comunes de (m + 2 ). ( dfrac {m ^ 2−2m + 4} {m − 2} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {38} )

 

Simplifica: ( dfrac {p ^ 3−64} {p ^ 2−16} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {p ^ 2 + 4p + 16} {p + 4} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {39} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 3 + 8} {x ^ 2−4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x ^ 2−2x + 4} {x − 2} )

     
 
 
 

Simplificar expresiones racionales con factores opuestos

 

Ahora veremos cómo simplificar una expresión racional cuyo numerador y denominador tienen factores opuestos. Comencemos con una fracción numérica, digamos ( dfrac {7} {- 7} ).

 

Sabemos que esta fracción se simplifica a (- 1 ). También reconocemos que el numerador y el denominador son opuestos.

 

En Fundamentos , introdujimos la notación opuesta: el opuesto de a es (- a ). También recordamos que (- a = −1 · a )

 

Simplificamos la fracción ( dfrac {a} {- a} )

 

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {a} {- a}} \ { text {Podríamos reescribir esto.}} & { Dfrac {1 · a} { −1 · a}} \ { text {Eliminar los factores comunes.}} & { Dfrac {1} {- 1}} \ { text {Simplify.}} & {- 1} \ nonumber end {array} ]

 

Entonces, de la misma manera, podemos simplificar la fracción ( dfrac {x − 3} {- (x − 3)} )

 

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {x − 3} {- (x − 3)}} \ { text {Podríamos reescribir esto.}} & { Dfrac {1 · (x − 3)} {- 1 · (x − 3)}} \ { text {Eliminar los factores comunes.}} & { Dfrac {1} {- 1}} \ { text {Simplify.}} & {- 1} \ nonumber end {array} ]

 

Pero lo contrario de (x − 3 ) podría escribirse de manera diferente:

 

[ begin {array} {ll} {} & {- (x − 3)} \ { text {Distribute.}} & {- x + 3} \ { text {Rewrite.} } & {3 − x} \ nonumber end {array} ]

 

Esto significa que la fracción ( dfrac {x − 3} {3 − x} ) se simplifica a (- 1 ).

 

En general, podríamos escribir lo contrario de (a − b ) como (b − a ). Entonces la expresión racional ( dfrac {a − b} {b − a} ) se simplifica a (- 1 ).

 
 

Definición: OPUESTOS EN UNA EXPRESIÓN RACIONAL

 

El opuesto (a − b ) es (b − a )

 

( dfrac {a − b} {b − a} = – 1 ), (a ne b )

 

Una expresión y su división opuesta a (- 1 )

 
 

Utilizaremos esta propiedad para simplificar expresiones racionales que contienen opuestos en sus numeradores y denominadores.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {40} )

 

Simplifica: ( dfrac {x − 8} {8 − x} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                              
( dfrac {x − 8} {8 − x} ).
Reconoce que (x − 8 ) y (8 − x ) son opuestos −1
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {41} )

 

Simplifica: ( dfrac {y − 2} {2 − y} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {42} )

 

Simplifique: ( dfrac {n − 9} {9 − n} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 
 

Recuerde, el primer paso para simplificar una expresión racional es factorizar completamente el numerador y el denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {43} )

 

Simplifica: ( dfrac {14−2x} {x ^ 2−49} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Factoriza el numerador y el denominador. .
Reconocer (7 − x ) y (x − 7 ) son opuestos. .
Simplificar. .
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {44} )

 

Simplifica: ( dfrac {10−2y} {y ^ 2−25} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {2} {y + 5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {45} )

 

Simplifica: ( dfrac {3y − 27} {81 − y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {3} {9 + y} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {46} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 32} {64 − x ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Factoriza el numerador y el denominador. .
Reconoce los factores que son opuestos. .
Simplificar. .
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {47} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 5} {25 − x ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {x + 1} {x + 5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {48} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + x − 2} {1 − x ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {x + 2} {x + 1} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Determine los valores para los que una expresión racional no está definida      
               
    1. Establezca el denominador igual a cero.
    2.          
    3. Resuelve la ecuación, si es posible.
    4.      
         
  •      
  • Expresión racional simplificada      
               
    • Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.
    •      
         
  •      
  • Simplifica una expresión racional      
               
    1. Factoriza el numerador y el denominador por completo.
    2.          
    3. Simplifica dividiendo factores comunes.
    4.      
         
  •      
  • Opuestos en una expresión racional      
               
    • Lo contrario de (a − b ) es (b − a ).
      ( dfrac {a − b} {b − a} = – 1 ) (a ne b ), (b ne 0 ), (a ne b ) [19459015 ]      
         
  •  
 

 
 
 

Glosario

 
     
expresión racional
     
Una expresión racional es una expresión de la forma ( dfrac {p} {q} ), donde (p ) y (q ) son polinomios y (q ne 0 ).
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
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