Simplificar expresiones racionales
Al igual que una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, aparte de (1 ), en su numerador y denominador, una expresión racional es simplificada si no tiene factores comunes, otros que (1 ), en su numerador y denominador.
Definición: EXPRESIÓN RACIONAL SIMPLIFICADA
Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.
Por ejemplo:
- ( dfrac {2} {3} ) se simplifica porque no hay factores comunes de (2 ) y (3 ).
- ( dfrac {2x} {3x} ) no se simplifica porque (x ) es un factor común de (2x ) y (3x ).
Utilizamos la propiedad de fracciones equivalentes para simplificar fracciones numéricas. Lo reformulamos aquí, ya que también lo usaremos para simplificar expresión racional s.
Definición: PROPIEDAD DE FRACCIONES EQUIVALENTES
Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (b ne 0 ), (c ne 0 ), entonces [ dfrac {a } {b} = dfrac {a · c} {b · c} quad text {y} quad dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a} {b} ] [ 19459007]
Observe que en la Propiedad de fracciones equivalentes, los valores que harían que los denominadores fueran cero están específicamente prohibidos. Vemos (b ne 0 ), (c ne 0 ) claramente establecido. Cada vez que escribimos una expresión racional, deberíamos hacer una declaración similar que no permita valores que harían un denominador cero. Sin embargo, para centrarnos en el trabajo en cuestión, omitiremos escribirlo en los ejemplos.
Comencemos por revisar cómo simplificamos las fracciones numéricas.
Ejemplo ( PageIndex {13} )
Simplifique: (- dfrac {36} {63} ).
- Respuesta
-
Reescribe el numerador y el denominador mostrando los factores comunes. Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes. Observe que la fracción (- dfrac {4} {7} ) se simplifica porque no hay más factores comunes.
EJEMPLO ( PageIndex {14} )
Simplifique: (- dfrac {45} {81} ).
- Respuesta
-
(- dfrac {5} {9} )
Ejemplo ( PageIndex {15} )
Simplifique: (- dfrac {42} {54} ).
- Respuesta
-
(- dfrac {7} {9} )
A lo largo de este capítulo, asumiremos que todos los valores numéricos que harían que el denominador sea cero están excluidos. No escribiremos las restricciones para cada expresión racional, pero tenga en cuenta que el denominador nunca puede ser cero. Entonces, en el siguiente ejemplo, (x ne 0 ) y (y ne 0 ).
Ejemplo ( PageIndex {16} )
Simplifique: ( dfrac {3xy} {18x ^ {2} y ^ {2}} ).
- Respuesta
-
Reescribe el numerador y el denominador mostrando los factores comunes. Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes. ¿Notó que estos son los mismos pasos que tomamos cuando dividimos monomios en Polinomios ?
Ejemplo ( PageIndex {17} )
Simplifique: ( dfrac {4x ^ {2} y} {12xy ^ 2} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x} {3y} )
Ejemplo ( PageIndex {18} )
Simplifique: ( dfrac {16x ^ {2} y} {2xy ^ 2} ).
- Respuesta
-
( dfrac {8x} {y} )
Ten mucho cuidado al eliminar factores comunes. Los factores se multiplican para hacer un producto. Puede eliminar un factor de un producto. No puede eliminar un término de una suma.
Tenga en cuenta que eliminar los x de ( dfrac {x + 5} {x} ) sería como cancelar los 2 en la fracción ( dfrac {2 + 5} { 2} )!
Cómo simplificar binomios racionales
Ejemplo ( PageIndex {19} )
Simplifica: ( dfrac {2x + 8} {5x + 20} ).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {20} )
Simplifica: ( dfrac {3x − 6} {2x − 4} ).
- Respuesta
-
( dfrac {3} {2} )
Ejemplo ( PageIndex {21} )
Simplifique: ( dfrac {7y + 35} {5y + 25} ).
- Respuesta
-
( dfrac {7} {5} )
Ahora resumimos los pasos que debe seguir para simplificar expresiones racionales.
Definición: SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN RACIONAL.
- Factoriza el numerador y el denominador por completo.
- Simplifica dividiendo factores comunes.
Usaremos los métodos que cubrimos en Factoring para factorizar los polinomios en los numeradores y denominadores en los siguientes ejemplos.
Ejemplo ( PageIndex {22} )
Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} ) Factoriza el numerador y el denominador. ( dfrac {(x + 2) (x + 3)} {(x + 2) (x + 6)} ) Elimina el factor común (x + 2 ) del numerador y el denominador. ( dfrac {x + 3} {x + 6} ) ¿Puedes decir qué valores de (x ) deben excluirse en este ejemplo?
Ejemplo ( PageIndex {23} )
Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 − x − 2} {x ^ 2−3x + 2} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x + 1} {x − 1} )
Ejemplo ( PageIndex {24} )
Simplifica: ( dfrac {x ^ 2−3x − 10} {x ^ 2 + x − 2} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x − 5} {x − 1} )
Ejemplo ( PageIndex {25} )
Simplifique: ( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).
- Respuesta
-
( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ). Factoriza el numerador y el denominador. ( dfrac {(y + 7) (y − 6)} {(y + 6) (y − 6)} ) Elimina el factor común (y − 6 ) del numerador y el denominador. ( dfrac {y + 7} {y + 6} )
Ejemplo ( PageIndex {26} )
Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + x − 6} {x ^ 2−4} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x + 3} {x + 2} )
Ejemplo ( PageIndex {27} )
Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + 8x + 7} {x ^ 2−49} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x + 1} {x − 7} )
Ejemplo ( PageIndex {28} )
Simplifique: ( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} ).
- Respuesta
-
( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} ) Factoriza el numerador y el denominador, usando la agrupación para factorizar el numerador. ( dfrac {p ^ 2 (p − 2) +2 (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} ) ( dfrac {(p ^ 2 + 2) (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} ) Elimina el factor común (p − 2 ) del numerador y el denominador. ( dfrac {p ^ 2 + 2} {p − 5} )
Ejemplo ( PageIndex {29} )
Simplifique: ( dfrac {y ^ 3−3y ^ 2 + y − 3} {y ^ 2 − y − 6} ).
- Respuesta
-
( dfrac {y ^ 2 + 1} {y + 2} )
Ejemplo ( PageIndex {30} )
Simplifica: ( dfrac {p ^ 3 − p ^ 2 + 2p − 2} {p ^ 2 + 4p − 5} ).
- Respuesta
-
( dfrac {p ^ 2 + 2} {p + 5} )
Ejemplo ( PageIndex {31} )
Simplifique: ( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} ).
- Respuesta
-
( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} ) Factoriza el numerador y el denominador, primero factorizando el MCD. ( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n ^ 2−4n − 12)} ) ( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n − 6) (n + 2)} ) Elimine el factor común, (2 ). ( dfrac {n (n − 7)} {2 (n − 6) (n + 2)} )
Ejemplo ( PageIndex {32} )
Simplifica: ( dfrac {2n ^ 2−10n} {4n ^ 2−16n − 20} ).
- Respuesta
-
( dfrac {n} {2 (n + 1)} )
Ejemplo ( PageIndex {33} )
Simplifique: ( dfrac {4x ^ 2−16x} {8x ^ 2−16x − 64} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x} {2 (x + 2)} )
Ejemplo ( PageIndex {34} )
Simplifica: ( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} ).
- Respuesta
-
( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} ) Factoriza el numerador y el denominador, primero factorizando el MCD. ( dfrac {3 (b ^ 2−4b + 4)} {6 (b ^ 2−4)} ) ( dfrac {3 (b − 2) (b − 2)} {6 (b − 2) (b + 2)} ) Elimine los factores comunes de (b − 2 ) y (3 ). ( dfrac {3 (b − 2)} {2 (b + 2)} )
Ejemplo ( PageIndex {35} )
Simplifica: ( dfrac {2x ^ 2−12x + 18} {3x ^ 2−27} ).
- Respuesta
-
( dfrac {2 (x − 3)} {3 (x + 3)} )
Ejemplo ( PageIndex {36} )
Simplifica: ( dfrac {5y ^ 2−30y + 25} {2y ^ 2−50} ).
- Respuesta
-
( dfrac {5 (x − 1)} {2 (x + 5)} )
Ejemplo ( PageIndex {37} )
Simplifica: ( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} ).
- Respuesta
-
( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} ) Factoriza el numerador y el denominador, usando las fórmulas para la suma de cubos y la diferencia de cuadrados. ( dfrac {(m + 2) (m ^ 2−2m + 4)} {(m + 2) (m − 2)} ) Elimine los factores comunes de (m + 2 ). ( dfrac {m ^ 2−2m + 4} {m − 2} )
Ejemplo ( PageIndex {38} )
Simplifica: ( dfrac {p ^ 3−64} {p ^ 2−16} ).
- Respuesta
-
( dfrac {p ^ 2 + 4p + 16} {p + 4} )
Ejemplo ( PageIndex {39} )
Simplifica: ( dfrac {x ^ 3 + 8} {x ^ 2−4} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x ^ 2−2x + 4} {x − 2} )
Simplificar expresiones racionales con factores opuestos
Ahora veremos cómo simplificar una expresión racional cuyo numerador y denominador tienen factores opuestos. Comencemos con una fracción numérica, digamos ( dfrac {7} {- 7} ).
Sabemos que esta fracción se simplifica a (- 1 ). También reconocemos que el numerador y el denominador son opuestos.
En Fundamentos , introdujimos la notación opuesta: el opuesto de a es (- a ). También recordamos que (- a = −1 · a )
Simplificamos la fracción ( dfrac {a} {- a} )
[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {a} {- a}} \ { text {Podríamos reescribir esto.}} & { Dfrac {1 · a} { −1 · a}} \ { text {Eliminar los factores comunes.}} & { Dfrac {1} {- 1}} \ { text {Simplify.}} & {- 1} \ nonumber end {array} ]
Entonces, de la misma manera, podemos simplificar la fracción ( dfrac {x − 3} {- (x − 3)} )
[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {x − 3} {- (x − 3)}} \ { text {Podríamos reescribir esto.}} & { Dfrac {1 · (x − 3)} {- 1 · (x − 3)}} \ { text {Eliminar los factores comunes.}} & { Dfrac {1} {- 1}} \ { text {Simplify.}} & {- 1} \ nonumber end {array} ]
Pero lo contrario de (x − 3 ) podría escribirse de manera diferente:
[ begin {array} {ll} {} & {- (x − 3)} \ { text {Distribute.}} & {- x + 3} \ { text {Rewrite.} } & {3 − x} \ nonumber end {array} ]
Esto significa que la fracción ( dfrac {x − 3} {3 − x} ) se simplifica a (- 1 ).
En general, podríamos escribir lo contrario de (a − b ) como (b − a ). Entonces la expresión racional ( dfrac {a − b} {b − a} ) se simplifica a (- 1 ).
Definición: OPUESTOS EN UNA EXPRESIÓN RACIONAL
El opuesto (a − b ) es (b − a )
( dfrac {a − b} {b − a} = – 1 ), (a ne b )
Una expresión y su división opuesta a (- 1 )
Utilizaremos esta propiedad para simplificar expresiones racionales que contienen opuestos en sus numeradores y denominadores.
Ejemplo ( PageIndex {40} )
Simplifica: ( dfrac {x − 8} {8 − x} ).
- Respuesta
-
( dfrac {x − 8} {8 − x} ). Reconoce que (x − 8 ) y (8 − x ) son opuestos −1
Ejemplo ( PageIndex {41} )
Simplifica: ( dfrac {y − 2} {2 − y} ).
- Respuesta
-
(- 1 )
Ejemplo ( PageIndex {42} )
Simplifique: ( dfrac {n − 9} {9 − n} ).
- Respuesta
-
(- 1 )
Recuerde, el primer paso para simplificar una expresión racional es factorizar completamente el numerador y el denominador.
Ejemplo ( PageIndex {43} )
Simplifica: ( dfrac {14−2x} {x ^ 2−49} ).
- Respuesta
-
Factoriza el numerador y el denominador. Reconocer (7 − x ) y (x − 7 ) son opuestos. Simplificar.
Ejemplo ( PageIndex {44} )
Simplifica: ( dfrac {10−2y} {y ^ 2−25} ).
- Respuesta
-
(- dfrac {2} {y + 5} )
Ejemplo ( PageIndex {45} )
Simplifica: ( dfrac {3y − 27} {81 − y ^ 2} ).
- Respuesta
-
(- dfrac {3} {9 + y} )
Ejemplo ( PageIndex {46} )
Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 32} {64 − x ^ 2} ).
- Respuesta
-
Factoriza el numerador y el denominador. Reconoce los factores que son opuestos. Simplificar.
Ejemplo ( PageIndex {47} )
Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 5} {25 − x ^ 2} ).
- Respuesta
-
(- dfrac {x + 1} {x + 5} )
Ejemplo ( PageIndex {48} )
Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + x − 2} {1 − x ^ 2} ).
- Respuesta
-
(- dfrac {x + 2} {x + 1} )
Conceptos clave
- Determine los valores para los que una expresión racional no está definida
- Establezca el denominador igual a cero.
- Resuelve la ecuación, si es posible.
- Expresión racional simplificada
- Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.
- Simplifica una expresión racional
- Factoriza el numerador y el denominador por completo.
- Simplifica dividiendo factores comunes.
- Opuestos en una expresión racional
- Lo contrario de (a − b ) es (b − a ).
( dfrac {a − b} {b − a} = – 1 ) (a ne b ), (b ne 0 ), (a ne b ) [19459015 ]
- Lo contrario de (a − b ) es (b − a ).
Glosario
- expresión racional
- Una expresión racional es una expresión de la forma ( dfrac {p} {q} ), donde (p ) y (q ) son polinomios y (q ne 0 ).