las matematicas

8.2: Círculos

8.2: Círculos

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Grafica un círculo en forma estándar.
    •      
  • Determine la ecuación de un círculo dada su gráfica.
    •      
  • Reescribe la ecuación de un círculo en forma estándar.
    •  
 
 

El círculo en forma estándar

 

Un círculo 8 es el conjunto de puntos en un plano que se encuentran a una distancia fija, llamado radio 9 , desde cualquier punto, llamado centro. El diámetro 10 es la longitud de un segmento de línea que pasa por el centro cuyos puntos finales están en el círculo. Además, se puede formar un círculo por la intersección de un cono y un plano que es perpendicular al eje del cono:

 
6666984a93265d78368a7db32a0e4435.png
Figura 8.2.1
 

En un plano de coordenadas rectangular, donde el centro de un círculo con radio (r ) es ((h, k) ), tenemos

 
042678cf13cc2235520c64347fedd75c.png
Figura 8.2.2
 

Calcule la distancia entre ((h, k) ) y ((x, y) ) usando la fórmula de la distancia,

 

( sqrt {(x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2}} = r )

 

Cuadrar ambos lados nos lleva a la ecuación de un círculo en forma estándar 11 ,

 

((x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2} = r ^ {2} )

 

En esta forma, el centro y el radio son aparentes. Por ejemplo, dada la ecuación ((x-2) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} = 16 ) tenemos,

 

( begin {array} {l} {(xh) ^ {2} : + 🙁 x : – k) ^ {2} = r ^ {2}} \ quad quad color {Cerulean} { downarrow} quad quad quad quad : color {Cerulean} { downarrow} quad quad color {Cerulean} { downarrow} \ {(x- color { Cerulean} {2} color {black} {)} ^ {2} + [y – ( color {Cerulean} {- 5} color {black} {)}] ^ {2} = color {Cerulean} {4} ^ { color {black} {2}}} end {array} )

 

En este caso, el centro es ((2, −5) ) y (r = 4 ). Siguen más ejemplos:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Ecuación Centro Radio
((x-3) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 25 ) ((3,4) ) (r = 5 )
((x-1) ^ {2} + (y + 2) ^ {2} = 7 ) ((1, -2) ) (r = sqrt {7} )
((x + 4) ^ {2} + (y-3) ^ {2} = 1 ) ((- 4,3) ) (r = 1 )
(x ^ {2} + (y + 6) ^ {2} = 8 ) ((0, -6) ) (r = 2 sqrt {2} )
 

Tabla 8.2.1

 

La gráfica de un círculo está completamente determinada por su centro y radio.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Gráfico: ((x-2) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} = 16 ).

 

Solución:

 

Escrito en esta forma podemos ver que el centro es ((2, −5) ) y que el radio (r = 4 ) unidades. Desde la marca central, apunta (4 ) unidades hacia arriba y hacia abajo, así como (4 ) unidades hacia la izquierda y hacia la derecha.

 
4a6d4985550856b71cda468ba5771f41.png
Figura 8.2.3
 

Luego dibuja el círculo a través de estos cuatro puntos.

 

Respuesta :

 
298ead43e24c401b0472c9671b64ea57.png
Figura 8.2.4
 
 
 

Como con cualquier gráfico, estamos interesados ​​en encontrar las intersecciones (x ) – y (y ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Encuentra las intersecciones: ((x-2) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} = 16 ).

 

Solución:

 

Para encontrar (y ) – intercepta el conjunto (x = 0 ):

 

( begin {alineado} (x-2) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} & = 16 \ ( color {Cerulean} {0} color {black} {- } 2) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} & = 16 \ 4+ (y + 5) ^ {2} & = 16 end {alineado} )

 

Para esta ecuación, podemos resolver extrayendo raíces cuadradas.

 

( begin {alineado} (y + 5) ^ {2} & = 12 \ y + 5 & = pm sqrt {12} \ y + 5 & = pm 2 sqrt {3 } \ y & = – 5 pm 2 sqrt {3} end {alineado} )

 

Por lo tanto, las intersecciones (y ) – son ((0, -5-2 sqrt {3}) ) y ((0, -5 + 2 sqrt {3}) ). Para encontrar el conjunto (x ) – intercepta (y = 0 ):

 

( begin {alineado} (x-2) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} & = 16 \ (x-2) ^ {2} + ( color {Cerulean} {0} color {negro} {+} 5) ^ {2} & = 16 \ (x-2) ^ {2} +25 & = 16 \ (x-2) ^ {2} & = – 9 \ x-2 & = pm sqrt {-9} \ x & = 2 pm 3 i end {alineado} )

 

Y debido a que las soluciones son complejas, concluimos que no hay intercepciones reales (x ). Tenga en cuenta que esto tiene sentido dado el gráfico.

 
ea7307d4ab2655bac106c9d9cb2cce01.png
Figura 8.2.5
 

Respuesta :

 

(x ) – intercepta: ninguno; (y ) – intercepta: ((0, -5-2 sqrt {3}) ) y ((0, -5 + 2 sqrt {3}) )

 
 
 

Dado el centro y el radio de un círculo, podemos encontrar su ecuación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Representa gráficamente el círculo con unidades de radio (r = 3 ) centradas en ((- 1,0) ). Dé su ecuación en forma estándar y determine las intersecciones.

 

Solución :

 

Dado que el centro es ((- 1,0) ) y el radio es (r = 3 ), dibujamos el gráfico de la siguiente manera:

 
d3971576f235c8ddb75b91876576735d.png
Figura 8.2.6
 

Sustituye (h, k ) y (r ) para encontrar la ecuación en forma estándar. Como ((h, k) = (- 1,0) ) y (r = 3 ) tenemos,

 

( begin {alineado} (xh) ^ {2} + (yk) ^ {2} & = r ^ {2} \ [x – ( color {Cerulean} {- 1} color { negro} {)}] ^ {2} + (y- color {Cerulean} {0} color {black} {)} ^ {2} & = color {Cerulean} {3} color {black} { ^ {2}} \ (x + 1) ^ {2} + y ^ {2} & = 9 end {alineado} )

 

La ecuación del círculo es ((x + 1) ^ {2} + y ^ {2} = 9 ), use esto para determinar las intersecciones (y ).

 

( begin {alineado} (x + 1) ^ {2} + y ^ {2} & = 9 quad color {Cerulean} {Set : x = 0 : to : y : resolver : for : y.} \ ( color {Cerulean} {0} color {black} {+} 1) ^ {2} + y ^ {2} & = 9 \ 1 + y ^ { 2} & = 9 \ y ^ {2} & = 8 \ y & = pm sqrt {8} \ y & = pm 2 sqrt {2} end {alineado} )

 

Por lo tanto, las intersecciones en y son ((0, -2 sqrt {2}) ) y ((0,2 sqrt {2}) ). Para encontrar (x ) – intercepta algebraicamente, establezca (y = 0 ) y resuelva (x ); esto queda para el lector como ejercicio.

 
7bc3fe416f7aa6a938a7f5425d8ea80a.png
Figura 8.2.7
 

Respuesta :

 

Ecuación: ((x + 1) ^ {2} + y ^ {2} = 9 ); (y ) – intercepta: ((0, -2 sqrt {2}) ) y ((0,2 sqrt {2}) ); (x ) – intercepta: ((- 4,0) ) y ((2,0) )

 
 

De particular importancia es el círculo de unidad 12 ,

 

(x ^ {2} + y ^ {2} = 1 )

 

O,

 

((x-0) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 1 ^ {2} )

 

En esta forma, debe quedar claro que el centro es ((0,0) ) y que el radio es (1 ) unidad. Además, si resolvemos para (y ) obtenemos dos funciones:

 

( begin {alineado} x ^ {2} + y ^ {2} & = 1 \ y ^ {2} & = 1-x ^ {2} \ y & = pm sqrt { 1-x ^ {2}} end {alineado} )

 

La función definida por (y = sqrt {1-x ^ {2}} ) es la mitad superior del círculo y la función definida por (y = – sqrt {1-x ^ {2 }} ) es la mitad inferior del círculo de la unidad:

 
3942b6a7877027b67716e7d43e36aa00.png
Figura 8.2.8
 
 

El círculo en forma general

 

Hemos visto que la gráfica de un círculo está completamente determinada por el centro y el radio que se pueden leer desde su ecuación en forma estándar. Sin embargo, la ecuación no siempre se da en forma estándar. La ecuación de un círculo en forma general 13 sigue:

 

(x ^ {2} + y ^ {2} + c x + d y + e = 0 )

 

Aquí (c, d ) y (e ) son números reales. Siguen los pasos para graficar un círculo dada su ecuación en forma general.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Gráfico: (x ^ {2} + y ^ {2} +6 x-8 y + 13 = 0 ).

 

Solución:

 

Comience reescribiendo la ecuación en forma estándar.

 

Paso 1 : Agrupe los términos con las mismas variables y mueva la constante hacia el lado derecho. En este caso, reste (13 ) en ambos lados y agrupe los términos que involucran (x ) y los términos que involucran (y ) de la siguiente manera.

 

( begin {alineado} x ^ {2} + y ^ {2} +6 x-8 y + 13 & = 0 \ left (x ^ {2} +6 x + _ _ _ right) + left (y ^ {2} -8 y + _ _ _ right) & = – 13 end {alineado} )

 

Paso 2 : Completa el cuadrado para cada grupo. La idea es agregar el valor que completa el cuadrado, ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ), a ambos lados para ambas agrupaciones, y luego factorizar. Para los términos que involucran (x ) use ( left ( frac {6} {2} right) ^ {2} = 3 ^ {2} = 9 ) y para los términos que involucran (y ) use ( left ( frac {-8} {2} right) ^ {2} = (- 4) ^ {2} = 16 ).

 

( begin {array} {c} { color {black} { left (x ^ {2} +6 x color {Cerulean} {+ 9} right) +} color {black} { left (y ^ {2} -8 y color {OliveGreen} {+ 16} right) =} – 13 color {Cerulean} {+ 9} color {OliveGreen} {+ 16}} \ { (x + 3) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 12} end {array} )

 

Paso 3 : Determine el centro y el radio de la ecuación en forma estándar. En este caso, el centro es ((- 3,4) ) y el radio (r = sqrt {12} = 2 sqrt {3} ).

 

Paso 4 : Desde el centro, marca el radio vertical y horizontalmente y luego dibuja el círculo a través de estos puntos.

 
1158d0423f6d2e2295ff4b155fbc9f06.png
Figura 8.2.10
 

Respuesta :

 
95fa940266f1558fbd6b86ae2aaa58fe.png
Figura 8.2.11
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Determine el centro y el radio: (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -8 x + 12 y-3 = 0 ).

 

Solución:

 

Podemos obtener la forma general dividiendo primero ambos lados entre (4 ).

 

( frac {4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -8 x + 12 y-3} {4} = frac {0} {4} )
(x ^ {2} + y ^ {2} -2 x + 3 y- frac {3} {4} = 0 )

 

Ahora que tenemos la forma general de un círculo, donde ambos términos de grado dos tienen un coeficiente principal de (1 ), podemos usar los pasos para reescribirlo en forma estándar. Comience agregando ( frac {3} {4} ) a ambos lados y agrupe las variables que son iguales.

 

( left (x ^ {2} -2 x + _ _ _ right) + left (y ^ {2} +3 y + _ _ _ right) = frac { 3} {4} )

 

Luego, completa el cuadrado para ambas agrupaciones. Use ( left ( frac {-2} {2} right) ^ {2} = (- 1) ^ {2} = 1 ) para la primera agrupación y ( left ( frac {3} {2} right) ^ {2} = frac {9} {4} ) para la segunda agrupación.

 

( begin {alineado} color {negro} { left (x ^ {2} -2 x color {Cerulean} {+ 1} right) +} color {black} { left ( y ^ {2} +3 y color {OliveGreen} {+ frac {9} {4}} right)} & = frac {3} {4} color {Cerulean} {+ 1} color { Verde oliva} {+ frac {9} {4}} \ (x-1) ^ {2} + left (y + frac {3} {2} right) ^ {2} & = frac {16 } {4} \ (x-1) ^ {2} + left (y + frac {3} {2} right) ^ {2} & = 4 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Centro: ( left (1, – frac {3} {2} right) ); radio: (r = 2 )

 
 
 
 

En resumen, para convertir de forma estándar a forma general, multiplicamos, y para convertir de forma general a forma estándar, completamos el cuadrado.

 
be7fda011544ac78a5e893656a9eef8d.png
Figura 8.2.12
 
 

Puntos clave

 
         
  • La gráfica de un círculo está completamente determinada por su centro y radio.
    •      
  • La forma estándar para la ecuación de un círculo es ((x-h) ^ {2} + (y-k) ^ {2} = r ^ {2} ). El centro es ((h, k) ) y el radio mide unidades (r ).
    •      
  • Para graficar un círculo marca puntos (r ) unidades arriba, abajo, izquierda y derecha desde el centro. Dibuja un círculo a través de estos cuatro puntos.
    •      
  • Si la ecuación de un círculo se da en forma general (x ^ {2} + y ^ {2} + c x + d y + e = 0 ), agrupe los términos con las mismas variables y complete La plaza para ambas agrupaciones. Esto dará como resultado una forma estándar, desde la cual podemos leer el centro y el radio del círculo.
    •      
  • Reconocemos la ecuación de un círculo si es cuadrático tanto en (x ) como en (y ) donde el coeficiente de los términos al cuadrado es el mismo.
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Determine el centro y el radio dada la ecuación de un círculo en forma estándar.

 
         
  1. ((x-5) ^ {2} + (y + 4) ^ {2} = 64 )
    2.      
  2. ((x + 9) ^ {2} + (y-7) ^ {2} = 121 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + (y + 6) ^ {2} = 4 )
    4.      
  4. ((x-1) ^ {2} + y ^ {2} = 1 )
    5.      
  5. ((x + 1) ^ {2} + (y + 1) ^ {2} = 7 )
    6.      
  6. ((x + 2) ^ {2} + (y-7) ^ {2} = 8 )
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Centro: ((5, −4) ); radio: (r = 8 )

     

3. Centro: ((0, −6) ); radio: (r = 2 )

     

5. Centro: ((- 1, −1) ); radio: (r = sqrt {7} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine la forma estándar de la ecuación del círculo dado su centro y radio.

 
         
  1. Centro ((5, 7) ) con radio (r = 7 ).
    2.      
  2. Centro ((- 2, 8) ) con radio (r = 5 ).
    3.      
  3. Centro ((6, −11) ) con radio (r = sqrt {2} ).
    4.      
  4. Centro ((- 4, −5) ) con radio (r = sqrt {6} ).
    5.      
  5. Centro ((0, −1) ) con radio (r = 2 sqrt {5} ).
    6.      
  6. Centro ((0, 0) ) con radio (r = 3 sqrt {10} ).
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ((x-5) ^ {2} + (y-7) ^ {2} = 49 )

     

3. ((x-6) ^ {2} + (y + 11) ^ {2} = 2 )

     

5. (x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} = 20 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Gráfico.

 
         
  1. ((x-1) ^ {2} + (y-2) ^ {2} = 9 )
    2.      
  2. ((x + 3) ^ {2} + (y-3) ^ {2} = 25 )
    3.      
  3. ((x-2) ^ {2} + (y + 6) ^ {2} = 4 )
    4.      
  4. ((x + 6) ^ {2} + (y + 4) ^ {2} = 36 )
    5.      
  5. (x ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 1 )
    6.      
  6. ((x-3) ^ {2} + y ^ {2} = 4 )
    7.      
  7. (x ^ {2} + y ^ {2} = 12 )
    8.      
  8. (x ^ {2} + y ^ {2} = 8 )
    9.      
  9. ((x-7) ^ {2} + (y-6) ^ {2} = 2 )
    10.      
  10. ((x + 2) ^ {2} + (y-5) ^ {2} = 5 )
    11.      
  11. ((x + 3) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 18 )
    12.      
  12. ((x-3) ^ {2} + (y-2) ^ {2} = 15 )
    13.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
53c5e29f570a7738c758a58ac5834001.png
Figura 8.2.14
     

3.

     
d8ca57b8d216c1ccebcd3aed24774265.png
Figura 8.2.15
     

5.

     
414b9385a66e95450f153f8f70fd8347.png
Figura 8.2.16
     

7.

     
72bbc5fe85bf46b74b342e23182d5b05.png
Figura 8.2.17
     

9.

     
c576480019b7b5be2772d1baf42b8b47.png
Figura 8.2.18
     

11.

     
fdbbf0a08c75ade1e4836f8a61e247a1.png
Figura 8.2.19
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra las intersecciones (x ) – y (y ).

 
         
  1. ((x-1) ^ {2} + (y-2) ^ {2} = 9 )
    2.      
  2. ((x + 5) ^ {2} + (y-3) ^ {2} = 25 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 1 )
    4.      
  4. ((x-3) ^ {2} + y ^ {2} = 18 )
    5.      
  5. (x ^ {2} + y ^ {2} = 50 )
    6.      
  6. (x ^ {2} + (y + 9) ^ {2} = 20 )
    7.      
  7. ((x-4) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} = 10 )
    8.      
  8. ((x + 10) ^ {2} + (y-20) ^ {2} = 400 )
    9.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ) – intercepta: ((1 pm sqrt {5}, 0) ); (y ) – intercepta: ((0,2 pm 2 sqrt {2}) )

     

3. (x ) – intercepta: ninguno; (y ) – intercepta: ((0, 3), (0, 5) )

     

5. (x ) – intercepta: (( pm 5 sqrt {2}, 0) ); (y ) – intercepta: ((0, pm 5 sqrt {2}) )

     

7. (x ) – intercepta: ninguno; (y ) – intercepta: ninguno

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra la ecuación del círculo.

 
         
  1. Círculo con centro ((1, −2) ) pasando por ((3, −4) ).
    2.      
  2. Círculo con centro ((- 4, −1) ) pasando por ((0, −3) ).
    3.      
  3. Círculo cuyo diámetro está definido por ((5, 1) ) y ((- 1, 7) ).
    4.      
  4. Círculo cuyo diámetro está definido por ((- 5, 7) ) y ((- 1, −5) ).
    5.      
  5. Círculo con unidades cuadradas de centro ((5, −2) ) y área (9π ).
    6.      
  6. Círculo con centro ((- 8, −3) ) y circunferencia (12π ) unidades cuadradas.
    7.      
  7. Encuentra el área del círculo con la ecuación ((x + 12) ^ {2} pm (x-5) ^ {2} = 7 ).
    8.      
  8. Encuentre la circunferencia del círculo con la ecuación ((x + 1) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} = 8 ).
    9.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ((x-1) ^ {2} + (y + 2) ^ {2} = 8 )

     

3. ((x-2) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 18 )

     

5. ((x-5) ^ {2} + (y + 2) ^ {2} = 9 )

     

7. (7π ) unidades cuadradas

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Reescribe en forma estándar y gráfico.

 
         
  1. (x ^ {2} + y ^ {2} +4 x-2 y-4 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} + y ^ {2} -10 x + 2 y + 10 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + y ^ {2} +2 x + 12 y + 36 = 0 )
    4.      
  4. (x ^ {2} + y ^ {2} -14 x-8 y + 40 = 0 )
    5.      
  5. (x ^ {2} + y ^ {2} +6 y + 5 = 0 )
    6.      
  6. (x ^ {2} + y ^ {2} -12 x + 20 = 0 )
    7.      
  7. (x ^ {2} + y ^ {2} +8 x + 12 y + 16 = 0 )
    8.      
  8. (x ^ {2} + y ^ {2} -20 x-18 y + 172 = 0 )
    9.      
  9. (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -4 x + 8 y + 1 = 0 )
    10.      
  10. (9 x ^ {2} +9 y ^ {2} +18 x + 6 y + 1 = 0 )
    11.      
  11. (x ^ {2} + y ^ {2} +4 x + 8 y + 14 = 0 )
    12.      
  12. (x ^ {2} + y ^ {2} -2 x-4 y-15 = 0 )
    13.      
  13. (x ^ {2} + y ^ {2} -x-2 y + 1 = 0 )
    14.      
  14. (x ^ {2} + y ^ {2} -x + y- frac {1} {2} = 0 )
    15.      
  15. (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} +8 x-12 y + 5 = 0 )
    16.      
  16. (9 x ^ {2} +9 y ^ {2} +12 x-36 y + 4 = 0 )
    17.      
  17. (2 x ^ {2} +2 y ^ {2} +6 x + 10 y + 9 = 0 )
    18.      
  18. (9 x ^ {2} +9 y ^ {2} -6 x + 12 y + 4 = 0 )
    19.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ((x + 2) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 9 );

     
5e1fbb14ecec7b5ca105b58313828599.png
Figura 8.2.20
     

3. ((x + 1) ^ {2} + (y + 6) ^ {2} = 1 );

     
6f5d4f2cbaf1945b4a4423b2ec64d872.png
Figura 8.2.21
     

5. (x ^ {2} + (y + 3) ^ {2} = 4 );

     
05c8f7e1253d32566a6a99ba463beeb7.png
Figura 8.2.22
     

7. ((x + 4) ^ {2} + (y + 6) ^ {2} = 36 );

     
3302249100ed24dfc381fedd2e430e62.png
Figura 8.2.23
     

9. ( left (x- frac {1} {2} right) ^ {2} + (y + 1) ^ {2} = 1 );

     
601a144c1f408d12a7b9d1dbd5bd5049.png
Figura 8.2.24
     

11. ((x + 2) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 6 );

     
f638d834f87348732227d10536c79d5a.png
Figura 8.2.25
     

13. ( left (x- frac {1} {2} right) ^ {2} + (y-1) ^ {2} = frac {1} {4} );

     
ff4198ff8cd104ae290e7b5c43cec796.png
Figura 8.2.26
     

15. ((X + 1) ^ {2} + left (y- frac {3} {2} right) ^ {2} = 2 );

     
88223a572c933205ba5142e293736b76.png
Figura 8.2.27
     

17. ( left (x + frac {3} {2} right) ^ {2} + left (y + frac {5} {2} right) ^ {2} = 4 ) ;

     
c4b71967d14c60edfc378926c318db75.png
Figura 8.2.28
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Dado un círculo en forma general, determinar las intersecciones.

 
         
  1. (x ^ {2} + y ^ {2} -5 x + 3 y + 6 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} + y ^ {2} + x-2 y-7 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} + y ^ {2} -6 y + 2 = 2 )
    4.      
  4. (x ^ {2} + y ^ {2} -6 x-8 y + 5 = 0 )
    5.      
  5. (2 x ^ {2} +2 y ^ {2} -3 x-9 = 0 )
    6.      
  6. (3 x ^ {2} +3 y ^ {2} +8 y-16 = 0 )
    7.      
  7. Determine el área del círculo cuya ecuación es (x ^ {2} + y ^ {2} -2 x-6 y-35 = 0 ).
    8.      
  8. Determine el área del círculo cuya ecuación es (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -12 x-8 y-59 = 0 ).
    9.      
  9. Determine la circunferencia de un círculo cuya ecuación es (x ^ {2} + y ^ {2} -5 x + 1 = 0 ).
    10.      
  10. Determine la circunferencia de un círculo cuya ecuación es (x ^ {2} + y ^ {2} +5 x-2 y + 3 = 0 ).
    11.      
  11. Encuentra la forma general de la ecuación de un círculo centrado en ((- 3, 5) ) que pasa por ((1, −2) ).
    12.      
  12. Encuentra la forma general de la ecuación de un círculo centrado en ((- 2, −3) ) que pasa por ((- 1, 3) ).
    13.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ) – intercepta: ((2, 0), (3, 0) ); (y ) – intercepta: ninguno

     

3. (x ) – intercepta: ((0, 0) ); (y ) – intercepta: ((0, 0), (0, 6) )

     

5. (x ) – intercepta: ((- frac {3} {2}, 0), (3, 0) ); (y ) – intercepta: ( left (0, pm frac {3 sqrt {2}} {2} right) )

     

7. (45π ) unidades cuadradas

     

9. (π sqrt {21} ) unidades

     

11. (x ^ {2} + y ^ {2} +6 x-10 y-31 = 0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dada la gráfica de un círculo, determine su ecuación en forma general.

 

1.

 
d58989bbceae635feae884fc627e2d6f.png
Figura 8.2.29
 

2.

 
ac4670e7693347253f95f2b55c7d4495.png
Figura 8.2.30
 

3.

 
56b4affdb27a77635196de9d70d36de9.png
Figura 8.2.31
 

4.

 
d7d04f2978735b432827ec1e0cf4c784.png
Figura 8.2.32
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ^ {2} + y ^ {2} -6 x + 10 y + 18 = 0 )

     

3. (x ^ {2} + y ^ {2} +2 y = 0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 
         
  1. ¿Es el centro de un círculo parte del gráfico? Explique.
    2.      
  2. Haz tu propio círculo, escríbelo en forma general y grafícalo.
    3.      
  3. Explica cómo podemos distinguir la diferencia entre la ecuación de una parábola en forma general y la ecuación de un círculo en forma general. Dar un ejemplo.
    4.      
  4. ¿Todos los círculos tienen intersecciones? ¿Cuáles son los posibles números de intercepciones? Ilustra tu explicación con gráficos.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 

Notas a pie de página

 

8 Un círculo es el conjunto de puntos en un plano que se encuentran a una distancia fija de un punto dado, llamado centro.

 

9 La distancia fija desde el centro de un círculo a cualquier punto del círculo.

 

10 La longitud de un segmento de línea que pasa por el centro de un círculo cuyos puntos finales están en el círculo.

 

11 La ecuación de un círculo escrito en la forma ((xh) ^ {2} + (yk) ^ {2} = r ^ {2} ) donde ((h, k) ) es el centro y (r ) es el radio.

 

12 El círculo centrado en el origen con radio (1 ); su ecuación es (x ^ {2} + y ^ {2} = 1 ).

 

13 La ecuación de un círculo escrito en la forma (x ^ {2} + y ^ {2} + cx + dy + e = 0 ).

 
                                  
]]>

antonio1095

, ,

Deja una respuesta