Supongamos que la población actual de la ciudad de Pleasantville es de 10000 y que la población está creciendo a una tasa del 2% por año. Para analizar el crecimiento de la población durante un período de años, trataremos de desarrollar una fórmula para la población en función del tiempo y luego graficaremos el resultado.
Primero, tenga en cuenta que al final de un año, el aumento de la población es del 2% de 10000, o 200 personas. Ahora tendríamos 10200 personas en Pleasantville. Al final del segundo año, tome otro 2% de 10200, que es un aumento de 204 personas, para un total de 10404. Debido a que el aumento de cada año no es constante, el gráfico de población versus tiempo no puede ser una línea. Por lo tanto, nuestra función de población eventual no será lineal.
Para desarrollar nuestra fórmula de población, comenzamos dejando que la función P (t) represente a la población de Pleasantville en el tiempo t, donde medimos t en años. Comenzaremos el tiempo en t = 0 cuando la población inicial de Pleasantville sea 10000. En otras palabras, P (0) = 10000. La clave para entender este ejemplo es el hecho de que la población aumenta en un 2% cada año. Estamos asumiendo aquí que este crecimiento general explica los nacimientos, muertes y personas que entran y salen de Pleasantville. Es decir, al final del primer año, la población de Pleasantville será el 102% de la población inicial. Por lo tanto,
P (1) = 1.02P (0) = 1.02 (10000). (1)
Podríamos multiplicar el lado derecho de esta ecuación, pero en realidad será más útil dejarlo en su forma actual.
Ahora cada año la población aumenta en un 2%. Por lo tanto, al final del segundo año, la población será el 102% de la población al final del primer año. En otras palabras,
P (2) = 1,02 P (1). (2)
Si reemplazamos P (1) en ecuación (2) con el resultado encontrado en ecuación (1) , entonces
(P (2) = (1.02) (1.02) (10000) = (1.02) ^ {2} (10000) ). (3)
Vamos a repetir un año más. Al final del tercer año, la población será el 102% de la población al final del segundo año, entonces
(P (3) = 1.02P (2) ). (4)
Sin embargo, si reemplazamos P (2) en ecuación (4) con el resultado encontrado en ecuación (3) , obtenemos
(P (3) = (1.02) (1.02) ^ {2} (10000) = (1.02) ^ {3} (10000) ). (5)
El patrón ahora debería estar claro. La población al final de t años viene dada por la función.
(P (t) = (1.02) ^ {t} (10000) ).
Es tradicional en matemáticas y ciencias colocar a la población inicial al frente en esta fórmula, escribiendo en su lugar
(P (t) = 10000 (1.02) ^ {t} ). (6)
Nuestra función P (t) está definida por la ecuación (6) para todos los enteros positivos {1, 2, 3,. . .}, y P (0) = 10000, la población inicial. La figura 1 muestra una gráfica de nuestra función. Aunque los puntos se trazan solo en valores enteros de t de 0 a 40, eso es suficiente para mostrar la tendencia de la población a lo largo del tiempo. La población comienza en 10000, aumenta con el tiempo y el aumento anual (la diferencia en la población de un año a otro) también aumenta a medida que pasa el tiempo.
EJERCICIO ( PageIndex {7} )
Ahora podemos usar la función P (t) para predecir la población en años posteriores. Suponiendo que la tasa de crecimiento del 2% continúa, ¿cuál será la población de Pleasantville después de 40 años? ¿Qué será después de 100 años?
Sustituye t = 40 y t = 100 en la ecuación (6) . La población en 40 años será
(P (40) = 10000 (1.02) ^ {40} aproximadamente 22080 ),
y la población en 100 años será
(P (100) = 10000 (1.02) ^ {100} aprox 72446 ).
¿Qué sería diferente si hubiéramos comenzado con una población de 12000? Al rastrear nuestros pasos anteriores, debería ser fácil ver que la nueva fórmula sería
(P (t) = 12000 (1.02) ^ {t} ).
Del mismo modo, si la tasa de crecimiento hubiera sido del 3% anual en lugar del 2%, habríamos terminado con la fórmula
(P (t) = 10000 (1.03) ^ t ).
Por lo tanto, al dejar que (P_ {0} ) represente la población inicial yr represente la tasa de crecimiento (en forma decimal), podemos generalizar la fórmula a
(P (t) = P_ {0} (1 + r) ^ {t} ). (8)
Tenga en cuenta que nuestra fórmula para la función P (t) es diferente de las funciones anteriores que hemos estudiado hasta ahora, en que la variable de entrada t es parte del exponente en la fórmula. Por lo tanto, este es un nuevo tipo de función.
Ahora comparemos la situación en Pleasantville con la dinámica de la población de Ghosttown. Ghosttown también comienza con una población de 10000, pero varias fábricas han cerrado, por lo que algunas personas se están yendo por mejores oportunidades. En este caso, la población de Ghosttown está disminuyendo a una tasa del 2% por año. Nuevamente desarrollaremos una fórmula para la población en función del tiempo y luego graficaremos el resultado.
Primero, tenga en cuenta que al final de un año, la disminución de la población es del 2% de 10000, o 200 personas. Ahora nos quedarían 9800 personas en Ghosttown. Al final del segundo año, tome otro 2% de 9800, que es una disminución de 196 personas, para un total de 9604. Como antes, debido a que la disminución de cada año no es constante, el gráfico de población versus tiempo no puede ser un línea, por lo que nuestra función de población eventual no será lineal.
Ahora dejemos que la función P (t) represente la población de Ghosttown en el tiempo t, donde medimos t en años. La población inicial de Ghosttown en t = 0 es 10000, entonces P (0) = 10 000. Dado que la población disminuye en un 2% cada año, al final del primer año, la población de Ghosttown será el 98% de la población inicial . Por lo tanto,
P (1) = 0,98 P (0) = 0,98 (10000). (9)
Cada año, la población disminuye en un 2%. Por lo tanto, al final del segundo año, la población será el 98% de la población al final del primer año. En otras palabras,
P (2) = 0,98 P (1). (10)
Si reemplazamos P (1) en ecuación (10) con el resultado encontrado en ecuación (9) , entonces
P (2) = (0,98) (0,98) (10 000) = (0,98) ^ {2} (10000). (11)
Vamos a repetir un año más. Al final del tercer año, la población será el 98% de la población al final del segundo año, entonces
P (3) = 0,98 P (2). (12)
Sin embargo, si reemplazamos P (2) en ecuación (12) con el resultado encontrado en ecuación (11) , obtenemos
(P (3) = (0.98) (0.98) ^ {2} (10000) = (0.98) ^ {3} (10000) ). (13)
El patrón ahora debería estar claro. La población al final de t años viene dada por la función
(P (t) = (0.98) ^ {t} (10000) ),
O equivalente,
(P (t) = 10000 (0,98) ^ t ). (14)
Nuestra función P (t) está definida por ecuación (14) para todos los enteros positivos {1, 2, 3,. . .}, y P (0) = 10000, la población inicial. La figura 2 muestra una gráfica de nuestra función. Aunque los puntos se trazan solo en valores enteros de t de 0 a 40, eso es suficiente para mostrar la tendencia de la población a lo largo del tiempo. La población comienza en 10 000, disminuye con el tiempo y la disminución anual (la diferencia en la población de un año a otro) también se reduce a medida que pasa el tiempo.
EJERCICIO ( PageIndex {15} )
Suponiendo que la tasa de disminución continúa en 2%, pronostique la población de Ghosttown después de 40 años y después de 100 años.
Sustituye t = 40 yt = 100 en la ecuación (14) . La población en 40 años será
(P (40) = 10000 (0,98) ^ {40} aproximadamente 4457 ),
y la población en 100 años será
(P (100) = 10000 (0,98) ^ {100} aprox 1326 ).
Tenga en cuenta que si hubiéramos comenzado con una población de 9000, por ejemplo, entonces la nueva fórmula sería
(P (t) = 9000 (0,98) ^ t ).
Del mismo modo, si la tasa de disminución hubiera sido del 5% anual en lugar del 2%, habríamos terminado con la fórmula
(P (t) = 10000 (0,95) ^ t ).
Por lo tanto, al dejar que (P_ {0} ) represente la población inicial yr represente la tasa de crecimiento (en forma decimal), podemos generalizar la fórmula a
(P (t) = P_ {0} (1 − r) ^ t ). (16)
Definición
Como se señaló anteriormente, nuestras funciones P (t) en nuestros ejemplos de Pleasantville y Ghosttown son un nuevo tipo de función, porque la variable de entrada t es parte del exponente en la fórmula.
DEFINICIÓN ( PageIndex {17} )
La ley de los gases ideales es fácil de recordar y aplicar para resolver problemas, siempre que obtenga los valores adecuados a
Una función exponencial es una función de la forma
(f (t) = b ^ t )
donde b> 0 y (b ne 1 ). b se llama la base de la función exponencial. Más generalmente, una función de la forma
(f (t) = Ab ^ t ),
donde b> 0, (b ne 1 ) y (A ne 0 ), también se conoce como una función exponencial. En este caso, el valor de la función cuando t = 0 es f (0) = A, entonces A es la cantidad inicial .
En las aplicaciones, casi siempre encontrarás funciones exponenciales en la forma más general (Ab ^ t ). De hecho, tenga en cuenta que en los ejemplos de población anteriores, la función P (t) tiene esta forma (P (t) = Ab ^ t ), con (A = P_ {0} ), b = 1 + r en Pleasantville, y b = 1 − r en Ghosttown. En particular, (A = P_ {0} ) es la población inicial.
Dado que las funciones exponenciales a menudo se usan para modelar procesos que varían con el tiempo, usualmente usamos la variable de entrada t (aunque, por supuesto, se puede usar cualquier variable). Además, puede ser curioso por qué la definición dice (b ne 1 ), ya que (1 ^ t ) es igual a 1. Explicaremos esta curiosidad al final de esta sección.
Gráficas de funciones exponenciales
Primero desarrollaremos las propiedades para la función exponencial básica (b ^ t ), y luego notaremos los cambios menores para la forma más general (Ab ^ t ). Para un ejemplo de trabajo, usemos la base b = 2, y calculemos algunos valores de (f (t) = 2 ^ t ) y grafiquemos el resultado (ver Figura 3 ).
Recuerde de la sección anterior que 2t también se define para los exponentes negativos t y el exponente 0. Por lo tanto, la función exponencial (f (t) = 2 ^ t ) se define para todos los enteros. La figura 4 muestra una nueva tabla y gráfico con puntos agregados en 0 y valores enteros negativos.
Sin embargo, la sección anterior mostró que (2 ^ t ) también se define para exponentes racionales e irracionales. Por lo tanto, el dominio de la función exponencial (f (t) = 2 ^ t ) es el conjunto de todos los números reales. Cuando sumamos los valores de la función en todos los valores racionales e irracionales de t, obtenemos una curva continua final como se muestra en Figura 5 .
Observe varias propiedades del gráfico en Figura 5 :
-
Moviéndose de izquierda a derecha, la curva aumenta, lo que significa que la función aumenta a medida que t aumenta. De hecho, la función aumenta rápidamente para t positivo.
-
El gráfico se encuentra sobre el eje t, por lo que los valores de la función siempre son positivos. Por lo tanto, el rango de la función es ((0, infty) ).
-
El gráfico tiene una asíntota horizontal y = 0 (el eje t) en el lado izquierdo. Esto significa que la función casi “desaparece” (los valores se acercan cada vez más a 0) a medida que t se acerca a (- infty ).
¿Qué pasa con las gráficas de otras funciones exponenciales con diferentes bases? Usaremos la calculadora para explorar varios de estos.
Primero, usa tu calculadora para comparar (y_ {1} (x) = 2 ^ x ) y (y_ {2} (x) = 3 ^ x ). Como se puede ver en Figura 6 (a), la gráfica de (3 ^ x ) aumenta más rápido que (2 ^ x ) para x> 0, y se extingue más rápido para x <0
A continuación, agregue (y_ {3} (x) = 4 ^ x ). El resultado se muestra en Figura 6 (b). Nuevamente, aumentar el tamaño de la base a b = 4 da como resultado una función que aumenta aún más rápido a la derecha e igualmente se extingue más rápido a la izquierda. Si continúa aumentando el tamaño de la base b, verá que esta tendencia continúa. Eso no es terriblemente sorprendente porque, si calculamos el valor de estas funciones en una x positiva fija, por ejemplo en x = 2, entonces los valores aumentan: (2 ^ 2 <3 ^ 2 <4 ^ 2 <... ) De manera similar, en x = −2, los valores disminuyen: (2 ^ {- 2}> 3 ^ {- 2}> 4 ^ {- 2}> …. )
Todas las funciones en nuestros experimentos hasta ahora comparten las propiedades enumeradas en (a) – (c) arriba: la función aumenta, el rango es ((0, infty) ), y el gráfico tiene una horizontal asíntota y = 0 en el lado izquierdo. Ahora intentemos valores más pequeños de la base b. Primero use la calculadora para trazar la gráfica de (y_ {1} (x) = ( frac {1} {2}) ^ x ) (vea Figura 7 (a)).
Este gráfico es muy diferente. Se eleva rápidamente hacia la izquierda y casi se extingue a la derecha. Compare esto con (y_ {2} (x) = ( frac {1} {3}) ^ x ) y (y_ {3} (x) = ( frac {1} {4}) ^ x ) (Ver Figura 7 (b)). A medida que la base se hace más pequeña, el gráfico aumenta más rápido a la izquierda y se apaga más rápido a la derecha.
Utilizando las propiedades de reflexión, es fácil entender la apariencia de estos últimos tres gráficos. Tenga en cuenta que
(( frac {1} {2}) ^ x = (2 ^ {- 1}) ^ x = 2 ^ {- x} )
por lo que se deduce que la gráfica de (( frac {1} {2}) ^ x ) es solo un reflejo en el eje y de la gráfica de (2 ^ x ) (Ver Figura 8 ).
Por lo tanto, parece que tenemos dos tipos diferentes de gráficos y, por lo tanto, dos tipos de funciones exponenciales: un tipo aumenta y el otro disminuye. Nuestros experimentos anteriores, junto con un poco más de experimentación, deberían convencerlo de que (b ^ x ) aumenta para b> 1 y disminuye para 0
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE CRECIMIENTO EXPONENCIAL: (F (X) = B ^ X ) CON B> 1 El dominio es el conjunto de todos los números reales. Moviéndose de izquierda a derecha, el gráfico aumenta, lo que significa que la función aumenta a medida que x aumenta. La función aumenta rápidamente para x positivo. El gráfico se encuentra sobre el eje x, por lo que los valores de la función siempre son positivos. Por lo tanto, el rango es ((0, infty) ). El gráfico tiene una asíntota horizontal y = 0 (el eje x) en el lado izquierdo. Esto significa que la función casi “se extingue” (los valores se acercan cada vez más a 0) a medida que x se acerca a (- infty ).
La segunda propiedad anterior merece alguna explicación adicional. Al observar Figura 6 (b), parece que (y_ {2} ) y (y_ {3} ) aumentan rápidamente a medida que x aumenta, pero (y_ {1} ) parece aumentar lentamente. Sin embargo, esto se debe al hecho de que la gráfica de (y_ {1} (x) = 2 ^ x ) solo se muestra en el intervalo [ – 2 , 2 ] En Figura 5 , la misma función se representa gráficamente en el intervalo [ – 4 , 4], y ciertamente parece aumentar rápidamente en ese gráfico. El punto aquí es que las funciones de crecimiento exponencial eventualmente aumentan rápidamente a medida que aumenta x . Si grafica la función en un intervalo lo suficientemente grande, la función eventualmente se volverá muy empinada en el lado derecho del gráfico. Esta es una propiedad importante de las funciones de crecimiento exponencial, y se explorará más a fondo en los ejercicios.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE DECAY EXPONENCIALES: (F (X) = B ^ X ) CON 0
El dominio es el conjunto de todos los números reales. Moviéndose de izquierda a derecha, el gráfico cae, lo que significa que la función disminuye a medida que x aumenta. La función disminuye rápidamente para x negativo. El gráfico se encuentra sobre el eje x, por lo que los valores de la función siempre son positivos. Por lo tanto, el rango es ((0, infty) ). El gráfico tiene una asíntota horizontal y = 0 (el eje x) en el lado derecho. Esto significa que la función casi “se extingue” (los valores se acercan cada vez más a 0) a medida que x se acerca a ( infty ).
¿Por qué nos abstenemos de usar la base b = 1? Después de todo, (1 ^ x ) ciertamente está definido: tiene el valor 1 para todos x . Pero eso significa que (f (x) = 1 ^ x ) es solo una función lineal constante: su gráfico es una línea horizontal. Por lo tanto, esta función no comparte las mismas propiedades que las otras funciones exponenciales, y ya la hemos clasificado como una función lineal. Por lo tanto, (1 ^ x ) no se considera una función exponencial.
EJEMPLO ( PageIndex {19} )
Trace la gráfica de la función (f (x) = (1.5) ^ x ). Identifique el rango de la función y la asíntota horizontal.
Dado que la base 1.5 es mayor que 1, esta es una función de crecimiento exponencial. Por lo tanto, su gráfica tendrá una forma similar a las gráficas en Figura 6 . El gráfico aumenta, habrá una asíntota horizontal y = 0 en el lado izquierdo, y el rango de la función es ((0, infty) ). El gráfico se puede trazar a mano utilizando este conocimiento junto con valores aproximados en x = – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2. Ver Figura 9 .
EJEMPLO ( PageIndex {20} )
Trace la gráfica de la función (g (x) = (0.2) ^ x ). Identifique el rango de la función y la asíntota horizontal.
Dado que la base 0.2 es menor que 1, esta es una función de disminución exponencial. Por lo tanto, su gráfico tendrá una forma similar a los gráficos en Figura 7 . El gráfico cae, habrá una asíntota horizontal y = 0 en el lado derecho, y el rango de la función es ((0, infty ) ). El gráfico se puede trazar a mano utilizando este conocimiento junto con valores aproximados en x = – 2 [19459037 ], – 1 , 0 , 1 , 2. Ver Figura 10 .
EJEMPLO ( PageIndex {21} )
Trace la gráfica de la función (f (x) = 2 ^ x − 1 ). Identifique el rango de la función y la asíntota horizontal.
La gráfica de h se puede obtener de la gráfica de (f (x) = 2 ^ x ) (ver [ 19459015] Figura 5 ) por un desplazamiento vertical hacia abajo 1 unidad. Por lo tanto, la asíntota horizontal y = 0 de la gráfica de f también se desplazará hacia abajo 1 unidad, por lo que la gráfica de h tiene una asíntota horizontal [19459015 ] y = – 1. Del mismo modo, el rango de f se reducirá a (( −1, infty) ) = Rango (h ). El gráfico se puede trazar a mano utilizando este conocimiento junto con valores aproximados en x = – 2 [19459037 ], – 1 , 0 , 1 , 2. Ver Figura 11 .
En secciones posteriores de este capítulo, también veremos funciones exponenciales más generales de la forma (f (x) = Ab ^ x ) (de hecho, las funciones de Pleasantville y Ghosttown al comienzo de esta sección son de esta forma). Si A es positivo, entonces las gráficas de estas funciones pueden obtenerse de las gráficas exponenciales básicas mediante escala vertical, por lo que las gráficas tendrán la misma forma general que las curvas de crecimiento exponencial (si b> 1) o las curvas de decaimiento exponencial ( si 0
EJERCICIO
EJERCICIO ( PageIndex {1} )
La población actual de Fortuna es de 10.000 almas abundantes. Se sabe que la población está creciendo a una tasa del 4% anual. Suponiendo que esta tasa se mantenga constante, realice cada una de las siguientes tareas.
-
Establezca una ecuación que modele la población P (t) en función del tiempo t.
-
Use el modelo en la parte anterior para predecir la población dentro de 40 años.
-
Usa tu calculadora para dibujar la gráfica de la población en los próximos 40 años.
- Respuesta
-
- (P (t) = 10000 (1.04) ^ t )
- (P (40) aprox 48101 )
EJERCICIO ( PageIndex {2} )
La población de la ciudad de Imagination actualmente asciende a 12,000 personas. Se sabe que la población está creciendo a una tasa del 6% anual. Suponiendo que esta tasa se mantenga constante, realice cada una de las siguientes tareas.
-
Establezca una ecuación que modele la población P (t) en función del tiempo t.
-
Use el modelo en la parte anterior para predecir la población dentro de 30 años.
-
Usa tu calculadora para dibujar la gráfica de la población en los próximos 30 años.
EJERCICIO ( PageIndex {3} )
La población de la ciudad de Despairia actualmente asciende a 15,000 individuos. Se sabe que la población está decayendo a una tasa del 5% anual. Suponiendo que esta tasa se mantenga constante, realice cada una de las siguientes tareas.
-
Establezca una ecuación que modele la población P (t) en función del tiempo t.
-
Utilice el modelo en la parte anterior para predecir la población dentro de 50 años.
-
Usa tu calculadora para dibujar la gráfica de la población en los próximos 50 años.
- Respuesta
-
- (p (t) = 15 000 (0,95) ^ t )
- (P (50) aprox 1154 )
EJERCICIO ( PageIndex {4} )
La población de la ciudad de Hopeless actualmente es de 25,000 individuos. Se sabe que la población está decayendo a una tasa del 6% anual. Suponiendo que esta tasa se mantenga constante, realice cada una de las siguientes tareas.
-
Establezca una ecuación que modele la población P (t) en función del tiempo t.
-
Use el modelo en la parte anterior para predecir la población dentro de 40 años.
-
Usa tu calculadora para dibujar la gráfica de la población en los próximos 40 años.
En Ejercicios 5 – 12 , realiza cada una de las siguientes tareas para la función dada.
- Encuentre la intersección con el eje y de la gráfica de la función. Además, use su calculadora para encontrar dos puntos en el gráfico a la derecha del eje y, y dos puntos a la izquierda.
- Usando tus cinco puntos de (a) como guía, configura un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Elija y etiquete las escalas apropiadas para cada eje. Trace los cinco puntos y cualquier punto adicional que considere necesario para discernir la forma del gráfico.
- Dibuje la asíntota horizontal con una línea discontinua y etiquétela con su ecuación.
- Dibuja el gráfico de la función.
- Use la notación de intervalo para describir tanto el dominio como el rango de la función.
EJERCICIO ( PageIndex {5} )
(f (x) = (2.5) ^ x )
- Respuesta
-
- La intersección en y es (0, 1). Evaluar la función en x = 1, 2, −1, −2 para obtener los puntos (1, 2.5), (2, 6.25), (−1, 0.4), (−2, 0.16) (otras respuestas son posibles) .
- Ver el gráfico en la parte (4).
- La asíntota horizontal es y = 0. Vea el gráfico en la parte (4).
-
-
Dominio = ((- infty, infty) ), Rango = ((0, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {6} )
(f (x) = (0.1) ^ x )
EJERCICIO ( PageIndex {7} )
(f (x) = (0.75) ^ x )
- Respuesta
-
- La intersección en y es (0, 1). Evalúe la función en x = 1, 2, −1, −2 para obtener los puntos (1, 0.75), (2, 0.56), (−1, 1.34), (−2, 1.78) (otras respuestas son posibles) .
- Ver el gráfico en la parte (4).
- La asíntota horizontal es y = 0. Vea el gráfico en la parte (4).
-
-
Dominio = ((- infty, infty) ), Rango = ((0, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {8} )
(f (x) = (1.1) ^ x )
EJERCICIO ( PageIndex {9} )
(f (x) = 3 ^ x + 1 )
- Respuesta
-
- La intersección en y es (0, 2). Evalúe la función en x = 1, 2, −1, −2 para obtener los puntos (1, 4), (2, 10), (−1, 1.34), (−2, 1.11) (son posibles otras respuestas) .
- Ver el gráfico en la parte (4).
- La asíntota horizontal es y = 1. Vea el gráfico en la parte (4).
-
-
Dominio = ((- infty, infty) ), Rango = ((1, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {10} )
(f (x) = 4 ^ x − 5 )
EJERCICIO ( PageIndex {11} )
(f (x) = 2 ^ x − 3 )
- Respuesta
-
- La intersección en y es (0, −2). Evalúe la función en x = 1, 2, −1, −2 para obtener los puntos (1, −1), (2, 1), (−1, −2.5), (−2, −2.75) (otras respuestas es posible).
- Ver el gráfico en la parte (4).
- La asíntota horizontal es y = −3. Ver el gráfico en la parte (4).
-
-
Dominio = ((- infty, infty) ), Rango = ((- 3, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {12} )
(f (x) = 5 ^ x + 2 )
En Ejercicios 13 – 20 , la gráfica de una función ex ponential de se muestra la forma (f (x) = b ^ x + c ) . La línea roja discontinua es una asíntota horizontal. Determinar el rango de la función. Exprese su swer en notación de intervalo.
EJERCICIO ( PageIndex {13} )
- Respuesta
-
((- 1, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {14} )
EJERCICIO ( PageIndex {15} )
- Respuesta
-
((2, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {16} )
EJERCICIO ( PageIndex {17} )
- Respuesta
-
((2, infty) )
EJERCICIO ( PageIndex {18} )
EXERCISE (PageIndex{19})
- Answer
-
((−2, infty))
EXERCISE (PageIndex{20})
In Exercises 21 – 32 , compute f(p) at the given value p.
EXERCISE (PageIndex{21})
(f(x) = (frac{1}{3})^x); p = −4
- Answer
-
81
EXERCISE (PageIndex{22})
(f(x) = (frac{3}{4})^x); p = 1
EXERCISE (PageIndex{23})
(f(x) = 5^x); p = 5
- Answer
-
3125
EXERCISE (PageIndex{24})
(f(x) = (frac{1}{3})^x); p = 4
EXERCISE (PageIndex{25})
(f(x) = 4^x); p = −4
- Answer
-
(frac{1}{256})
EXERCISE (PageIndex{26})
(f(x) = 5^x); p = −3
EXERCISE (PageIndex{27})
(f(x) = (frac{5}{2})^x); p = −3
- Answer
-
(frac{8}{125})
EXERCISE (PageIndex{28})
(f(x) = 9^x); p = 3
EXERCISE (PageIndex{29})
(f(x) = 5^x); p = −4
- Answer
-
(frac{1}{625})
EXERCISE (PageIndex{30})
(f(x) = 9^x); p = 0
EXERCISE (PageIndex{31})
(f(x) = (frac{6}{5})^x); p = −4
- Answer
-
(frac{625}{1296})
EXERCISE (PageIndex{32})
(f(x) = (frac{3}{5})^x); p = 0
In Exercises 33 – 40 , use your calculator to evaluate the function at the given value p. Round your answer to the nearest hundredth.
EXERCISE (PageIndex{33})
(f(x) = 10^x); p = −0.7.
- Answer
-
0.20
EXERCISE (PageIndex{34})
(f(x) = 10^x); p = −1.6.
EXERCISE (PageIndex{35})
(f(x) = (frac{2}{5})^x); p = 3.67.
- Answer
-
0.03
EXERCISE (PageIndex{36})
(f(x) = 2^x); (p = −frac{3}{4}).
EXERCISE (PageIndex{37})
(f(x) = 10^x); p = 2.07.
- Answer
-
117.49
EXERCISE (PageIndex{38})
(f(x) = 7^x); (p = frac{4}{3}).
EXERCISE (PageIndex{39})
(f(x) = 10^x); (p = −frac{1}{5}).
- Answer
-
0.63
EXERCISE (PageIndex{40})
(f(x) = (frac{4}{3})^x); p = 1.15
EXERCISE (PageIndex{41})
This exercise explores the property that exponential growth functions eventually increase rapidly as x increases. Let (f(x) = 1.05^x). Use your graphing calculator to graph f on the intervals
(a) [0, 10] and (b) [0, 100].
For (a), use Ymin = 0 and Ymax = 10.
For (b), use Ymin = 0 and Ymax = 100.
Make accurate copies of the images in your viewing window on your homework paper. What do you observe when you compare the two graphs?
- Answer
-
(a) The graph on the interval [0 , 10] increases very slowly. In fact, the graph looks almost linear.
(b) The graph on the interval [0 , 100] increases slowly at first, but then increases very rapidly on the second half of the interval.
