las matematicas

8.2: Gráficas de las funciones seno y coseno

8.2: Gráficas de las funciones seno y coseno

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Variaciones gráficas de (y = sin (x) ) y (y = cos (x) ).
    •      
  • Utilice cambios de fase de las curvas seno y coseno.
    •  
 
 

La luz blanca, como la luz del sol, no es blanca en absoluto. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Los colores individuales solo se pueden ver cuando la luz blanca pasa a través de un prisma óptico que separa las ondas de acuerdo con sus longitudes de onda para formar un arco iris.

 
A photo of a rainbow colored beam of light stretching across the floor.  
Figura ( PageIndex {1} ): La luz se puede separar en colores debido a sus propiedades onduladas. (crédito: “wonderferret” / Flickr)
 
 

Las ondas de luz se pueden representar gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas , examinamos funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de funciones seno y coseno.

 

Representación gráfica de las funciones seno y coseno

 

Recuerde que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas (x ) – e (y ) – de un punto en el círculo unitario. Entonces, ¿cómo se ven en un gráfico en un plano de coordenadas? Comencemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y usarlos para dibujar un gráfico. La tabla ( PageIndex {1} ) enumera algunos de los valores para la función seno en un círculo unitario.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} )
(x ) (0 ) ( frac { pi} {6} ) ( frac { pi} {4} ) ( frac { pi} {3} ) ( frac { pi} {2} ) ( dfrac {2 pi} {3} ) ( dfrac {3 pi} {4} ) ( dfrac {5 pi} {6} ) ( pi )
( sin (x) )              

(0 )

             		              

( frac {1} {2} )

             		              

( frac { sqrt {2}} {2} )

             		              

( frac { sqrt {3}} {2} )

             		              

(1 )

             		              

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

             		              

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

             		              

( dfrac {1} {2} )

             		              

(0 )

             
 

Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 
A graph of sin(x). Local maximum at (pi/2, 1). Local minimum at (3pi/2, -1). Period of 2pi.  
Figura ( PageIndex {2} ): La función seno
 
 

Observe cómo los valores seno son positivos entre (0 ) y ( pi ), que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II en el círculo unitario, y los valores seno son negativos entre ( pi ) y (2 pi ), que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV en el círculo unitario. Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 
A side-by-side graph of a unit circle and a graph of sin(x). The two graphs show the equivalence of the coordinates.  
Figura ( PageIndex {3} ): Trazado de valores de la función seno
 
 

Ahora echemos un vistazo similar a la función coseno . Nuevamente, podemos crear una tabla de valores y usarlos para dibujar un gráfico. La tabla ( PageIndex {2} ) enumera algunos de los valores para la función coseno en un círculo unitario.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) (0 ) ( frac { pi} {6} ) ( frac { pi} {4} ) ( frac { pi} {3} ) ( frac { pi} {2} ) ( frac {2 pi} {3} ) ( dfrac {3 pi} {4} ) ( dfrac {5 pi} {6} ) ( pi )
             

( cos (x) )

             		              

(1 )

             		              

( frac { sqrt {3}} {2} )

             		              

( frac { sqrt {2}} {2} )

             		              

( dfrac {1} {2} )

             		              

(0 )

             		              

(- dfrac {1} {2} )

             		              

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

             		              

(- dfrac { sqrt {3}} {2} )

             		              

(- 1 )

             
 

Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
A graph of cos(x). Local maxima at (0,1) and (2pi, 1). Local minimum at (pi, -1). Period of 2pi.  
Figura ( PageIndex {4} ): La función coseno
 
 

Debido a que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores seno y coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, queda claro que el rango de ambas funciones debe ser el intervalo ([−1,1] ).

 

En ambos gráficos, la forma del gráfico se repite después de (2 pi ), lo que significa que las funciones son periódicas con un período de (2 pi ). Una función periódica es una función para la cual un desplazamiento horizontal , (P ), resulta en una función igual a la función original: (f (x + P) = f (x) ) para todos los valores de (x ) en el dominio de (f ). Cuando esto ocurre, llamamos al desplazamiento horizontal más pequeño con (P> 0 ) el período de la función. La figura ( PageIndex {5} ) muestra varios períodos de las funciones seno y coseno.

 
Side-by-side graphs of sin(x) and cos(x). Graphs show period lengths for both functions, which is 2pi.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Mirar nuevamente las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje (y ) ayuda a revelar las simetrías. Como podemos ver en la Figura ( PageIndex {6} ), la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos de Las otras funciones trigonométricas que determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función extraña porque ( sin (−x) = – sin space x ). Ahora podemos ver claramente esta propiedad desde el gráfico.

 
A graph of sin(x) that shows that sin(x) is an odd function due to the odd symmetry of the graph.  
Figura ( PageIndex {6} ): Simetría impar de la función seno
 
 

La figura ( PageIndex {7} ) muestra que la función coseno es simétrica con respecto al eje (y ). Nuevamente, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que ( cos (−x) = cos space x ).

 
A graph of cos(x) that shows that cos(x) is an even function due to the even symmetry of the graph.  
Figura ( PageIndex {7} ): Incluso simetría de la función coseno
 
 
 
 

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES DE SENO Y COSINO

 
 

Las funciones seno y coseno tienen varias características distintas:

 
 
         
  • Son funciones periódicas con un período de (2 pi ).
    •      
  • El dominio de cada función es ((- infty, infty) ) y el rango es ([−1,1] ).
    •      
  • La gráfica de (y = sin space x ) es simétrica respecto al origen, porque es una función extraña.
    •      
  • La gráfica de (y = cos space x ) es simétrica con respecto a ellos- (y ) – eje, porque es una función par.
    •  
 
 
 

Investigación de funciones sinusoidales

 

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y rango regulares. Si observamos las olas oceánicas o las ondas en un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticos. Algunos son más altos o más largos que otros. Una función que tiene la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal . Las formas generales de las funciones sinusoidales son

 

[y = A sin (Bx − C) + D ]

 

y

 

[y = A cos (Bx − C) + D ]

 

Determinación del período de funciones sinusoidales

 

Al observar las formas de las funciones sinusoidales, podemos ver que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos usar lo que sabemos sobre transformaciones para determinar el período.

 

En la fórmula general, (B ) está relacionado con el período por (P = dfrac {2 pi} {| B |} ). Si (| B |> 1 ), el período es menor que (2 pi ) y la función sufre una compresión horizontal, mientras que si (| B | <1 ), el período es mayor que (2 pi ) y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo, (f (x) = sin (x) ), (B = 1 ), entonces el período es (2 pi ), que sabíamos. Si (f (x) = sin (2x) ), entonces (B = 2 ), entonces el período es ( pi ) y el gráfico está comprimido. Si (f (x) = sin left ( dfrac {x} {2} right) ), entonces (B = dfrac {1} {2} ), entonces el período es (4 pi ) y el gráfico se estira. Observe en la Figura ( PageIndex {8} ) cómo el período está indirectamente relacionado con (| B | ).

 
A graph with three items. The x-axis ranges from 0 to 2pi. The y-axis ranges from -1 to 1. The first item is the graph of sin(x) for one full period. The second is the graph of sin(2x) over two periods. The third is the graph of sin(x/2) for one half of a period.  
Figura ( PageIndex {8} )
 
 
 
 

PERÍODO DE FUNCIONES SINUSOIDALES

 

Si dejamos (C = 0 ) y (D = 0 ) en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas

 
         
  • (y = A sin (Bx) )
    •      
  • (y = A cos (Bx) )
    •  
 

El período es ( dfrac {2 pi} {| B |} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Identificación del período de una función seno o coseno

 

Determine el período de la función (f (x) = sin left ( dfrac { pi} {6} x right) ).

 

Solución

 

Comencemos comparando la ecuación con la forma general (y = A sin (Bx) ).

 

En la ecuación dada, (B = dfrac { pi} {6} ), entonces el período será

 

[ begin {align *} P & = dfrac {2 pi} {| B |} \ [4pt] & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {6}} \ & = 2 pi ⋅ dfrac {6} { pi} \ [4pt] & = 12 end {align *} ]

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Determine el período de la función (g (x) = cos ( frac {x} {3}) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6 pi )

     
 
 
 

Determinación de la amplitud

 

Volviendo a la fórmula general para una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable (B ) se relaciona con el período. Ahora pasemos a la variable (A ) para que podamos analizar cómo se relaciona con la amplitud , o la mayor distancia desde el reposo. (A ) representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto (| A | ) es la amplitud. Los máximos locales serán una distancia (| A | ) por encima de la línea media vertical del gráfico, que es la línea (x = D ); porque (D = 0 ) en este caso, la línea media es el eje x . Los mínimos locales estarán a la misma distancia debajo de la línea media. Si (| A |> 1 ), la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de (f (x) = 4 sen x ) es dos veces la amplitud de

 

(f (x) = 2 sin x )

 

Si (| A | <1 ), la función está comprimida. La figura ( PageIndex {9} ) compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes.

 
A graph with four items. The x-axis ranges from -6pi to 6pi. The y-axis ranges from -4 to 4. The first item is the graph of sin(x), which has an amplitude of 1. The second is a graph of 2sin(x), which has amplitude of 2. The third is a graph of 3sin(x), which has an amplitude of 3. The fourth is a graph of 4 sin(x) with an amplitude of 4.  
Figura ( PageIndex {9} )
 
 
 
 

AMPLITUD DE FUNCIONES SINUSOIDALES

 
 

Si dejamos (C = 0 ) y (D = 0 ) en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas

 
 

[ begin {align} y = A sin (Bx) text {and} y = A cos (Bx) end {align} ]

 

La amplitud es (A ), y la altura vertical desde la línea media es (| A | ). Además, observe en el ejemplo que

 

[| A | = amplitud = dfrac {1} {2} ∣máximo – mínimo | ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Identificación de la amplitud de una función seno o coseno

 

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal (f (x) = – 4 sin (x) )? ¿La función está estirada o comprimida verticalmente?

 

Solución

 

Comencemos comparando la función con la forma simplificada (y = A sin (Bx) ).

 

En la función dada, (A = −4 ), entonces la amplitud es (| A | = | −4 | = 4 ). La función se estira.

 

Análisis

 

El valor negativo de (A ) da como resultado una reflexión a través del eje (x ) de la función seno, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
A graph of -4sin(x). The function has an amplitude of 4. Local minima at (-3pi/2, -4) and (pi/2, -4). Local maxima at (-pi/2, 4) and (3pi/2, 4). Period of 2pi.  
Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal (f (x) = frac {1} {2} sin (x) )? ¿La función está estirada o comprimida verticalmente?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {2} ) comprimido

     
 
 
 

Análisis de gráficos de variaciones de (y = sin space x ) y (y = cos space x )

 

Ahora que entendemos cómo (A ) y (B ) se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables (C ) y (D ). Recordemos la forma general:

 

[y = A sin (Bx-C) + D qquad text {y} qquad y = A cos (Bx-C) + D ]

 

o

 

[y = A sin left (B left (x- dfrac {C} {B} right) right) + D qquad text {y} qquad y = A cos left (B left (x- dfrac {C} {B} right) right) + D ]

 

El valor ( frac {C} {B} ) para una función sinusoidal se denomina cambio de fase , o el desplazamiento horizontal de la función seno o coseno básica. Si (C> 0 ), el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si (C <0 ), el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de (| C | ), más se desplazará el gráfico. La figura ( PageIndex {11} ) muestra que la gráfica de (f (x) = sin (x− pi) ) se desplaza hacia la derecha en unidades ( pi ), que es más de lo que nosotros ver en el gráfico de (f (x) = sin left (x− frac { pi} {4} right) ), que se desplaza hacia la derecha por ( frac { pi} {4 }) unidades.

 
A graph with three items. The first item is a graph of sin(x). The second item is a graph of sin(x-pi/4), which is the same as sin(x) except shifted to the right by pi/4. The third item is a graph of sin(x-pi), which is the same as sin(x) except shifted to the right by pi.  
Figura ( PageIndex {11} )
 
 

Mientras (C ) se relaciona con el desplazamiento horizontal, (D ) indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general para una función sinusoidal. Ver Figura ( PageIndex {12} ). La función (y = cos (x) + D ) tiene su línea media en (y = D ).

 
A graph of y=Asin(x)+D. Graph shows the midline of the function at y=D.  
Figura ( PageIndex {12} )
 
 

Cualquier valor de (D ) que no sea cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La figura ( PageIndex {13} ) compara (f (x) = sin x ) con (f (x) = sin x + 2 ), que se desplaza ( 2 ) unidades arriba en un gráfico.

 
A graph with two items. The first item is a graph of sin(x). The second item is a graph of sin(x)+2, which is the same as sin(x) except shifted up by 2.  
Figura ( PageIndex {13} )
 
 
 
 

VARIACIONES DE LAS FUNCIONES DEL SINO Y EL COSINO

 

Dada una ecuación en la forma (f (x) = A sin (Bx − C) + D ) o (f (x) = A cos (Bx − C) + D ), ( frac {C} {D} ) es el desplazamiento de fase y (D ) es el desplazamiento vertical .

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Identificación del cambio de fase de una función

 

Determine la dirección y la magnitud del cambio de fase para (f (x) = sin left (x + frac { pi} {6} right) −2 ).

 

Solución

 

Comencemos comparando la ecuación con la forma general (y = A sin (Bx − C) + D ).

 

En la ecuación dada, observe que (B = 1 ) y (C = – frac { pi} {6} ). Entonces el cambio de fase es

 

[ begin {align *} dfrac {C} {B} & = – frac { frac { pi} {6}} {1} \ & = – frac { pi} { 6} end {align *} ]

 

o ( frac { pi} {6} ) unidades a la izquierda.

 

Análisis

 

Debemos prestar atención al signo en la ecuación para la forma general de una función sinusoidal. La ecuación muestra un signo menos antes de (C ). Por lo tanto, (f (x) = sin (x + frac { pi} {6}) – 2 ) puede reescribirse como (f (x) = sin left (x− left (- frac { pi} {6} right) right) −2 ). Si el valor de (C ) es negativo, el desplazamiento es a la izquierda.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Determine la dirección y la magnitud del cambio de fase para (f (x) = 3 cos left (x− frac { pi} {2} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac { pi} {2} ); derecha

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Identificación del desplazamiento vertical de una función

 

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para (f (x) = cos (x) −3 ).

 

Solución

 

Comencemos comparando la ecuación con la forma general (y = A cos (Bx − C) + D ).

 

En la ecuación dada, (D = −3 ) por lo que el desplazamiento es (3 ) unidades hacia abajo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para (f (x) = 3 sin (x) +2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 ) unidades arriba

     
 
 
 
 

Cómo: Dada una función sinusoidal en la forma (f (x) = A sin (Bx − C) + D ), identificar la línea media, la amplitud, el período y el desplazamiento de fase

 
         
  1. Determine la amplitud como (| A | ).
    2.      
  2. Determine el período como (P = frac {2 pi} {| B |} ).
    3.      
  3. Determine el cambio de fase como ( frac {C} {B} ).
    4.      
  4. Determine la línea media como (y = D ).
    5.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Identificación de las variaciones de una función sinusoidal a partir de una ecuación

 

Determine la línea media, la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de la función (y = 3 sin (2x) +1 ).

 

Solución

 

Comencemos comparando la ecuación con la forma general (y = A sin (Bx − C) + D ).

 

(A = 3 ), entonces la amplitud es (| A | = 3 ).

 

Luego, (B = 2 ), entonces el período es (P = dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} {2} = pi ).

 

No hay una constante agregada dentro de los paréntesis, entonces (C = 0 ) y el cambio de fase es ( dfrac {C} {B} = dfrac {0} {2} = 0 ).

 

Finalmente, (D = 1 ), entonces la línea media es (y = 1 ).

 

Análisis

 

Al inspeccionar el gráfico, podemos determinar que el período es ( pi ), la línea media es (y = 1 ) y la amplitud es (3 ). Ver Figura ( PageIndex {14} ).

 
A graph of y=3sin(2x)+1. The graph has an amplitude of 3. There is a midline at y=1. There is a period of pi. Local maximum at (pi/4, 4) and local minimum at (3pi/4, -2).  
Figura ( PageIndex {14} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Determine la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase de la función (y = frac {1} {2} cos left ( frac {x} {3} – frac { pi} { 3} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

línea media: (y = 0 ); amplitud: (| A | = frac {1} {2} ); período: (P = frac {2 pi} {| B |} = 6π ); cambio de fase: ( frac {C} {B} = pi )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): identificación de la ecuación para una función sinusoidal de un gráfico

 

Determine la fórmula para la función coseno en la Figura ( PageIndex {15} ).

 
A graph of -0.5cos(x)+0.5. The graph has an amplitude of 0.5. The graph has a period of 2pi. The graph has a range of [0, 1]. The graph is also reflected about the x-axis from the parent function cos(x).  
Figura ( PageIndex {15} )
 
 

Solución

 

Para determinar la ecuación, necesitamos identificar cada valor en la forma general de una función sinusoidal.

 

(y = A sin (Bx − C) + D )

 

(y = A cos (Bx − C) + D )

 

El gráfico podría representar una función seno o coseno que se desplaza y / o refleja. Cuando (x = 0 ), el gráfico tiene un punto extremo, ((0,0) ). Como la función coseno tiene un punto extremo para (x = 0 ), escribamos nuestra ecuación en términos de una función coseno.

 

Comencemos con la línea media. Podemos ver que el gráfico sube y baja una distancia igual arriba y abajo (y = 0.5 ). Este valor, que es la línea media, es (D ) en la ecuación, entonces (D = 0.5 ).

 

La mayor distancia por encima y por debajo de la línea media es la amplitud. Los máximos son (0.5 ) unidades por encima de la línea media y los mínimos son (0.5 ) unidades por debajo de la línea media. Entonces (| A | = 0.5 ). Otra forma en que podríamos haber determinado la amplitud es reconociendo que la diferencia entre la altura de los máximos y mínimos locales es (1 ), entonces (| A | = frac {1} {2} = 0.5 ). Además, el gráfico se refleja sobre el eje (x ) – de modo que (A = −0.5 ).

 

El gráfico no se estira o comprime horizontalmente, por lo que (B = 1 ); y el gráfico no se desplaza horizontalmente, entonces (C = 0 ).

 

Poniendo todo esto junto,

 

(g (x) = – 0.5 cos (x) +0.5 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Determine la fórmula para la función seno en la Figura ( PageIndex {16} ).

 
A graph of sin(x)+2. Period of 2pi, amplitude of 1, and range of [1, 3].  
Figura ( PageIndex {16} )
 
 
     
Respuesta
     
     

(f (x) = sin (x) +2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Identificación de la ecuación para una función sinusoidal de un gráfico

 

Determine la ecuación para la función sinusoidal en la Figura ( PageIndex {17} ).

 
A graph of 3cos(pi/3x-pi/3)-2. Graph has amplitude of 3, period of 6, range of [-5,1].  
Figura ( PageIndex {17} )
 
 

Solución

 

Con el valor más alto en (1 ) y el valor más bajo en (- 5 ), la línea media estará a medio camino entre (- 2 ). Entonces (D = −2 ).

 

La distancia desde la línea media hasta el valor más alto o más bajo da una amplitud de (| A | = 3 ).

 

El período del gráfico es (6 ), que se puede medir desde el pico en (x = 1 ) hasta el siguiente pico en (x = 7 ), o desde la distancia entre el punto más bajo puntos. Por lo tanto, (P = dfrac {2 pi} {| B |} = 6 ). Usando el valor positivo para (B ), encontramos que

 

[ begin {align *} B & = dfrac {2 pi} {P} \ & = dfrac {2 pi} {6} \ & = dfrac { pi} {3} end {align *} ]

 

Hasta ahora, nuestra ecuación es (y = 3 sin left ( dfrac { pi} {3} x − C right) −2 ) o (y = 3 cos left ( dfrac { pi} {3} x − C right) −2 ). Para la forma y el desplazamiento, tenemos más de una opción. Podríamos escribir esto como cualquiera de los siguientes:

 
         
  • un coseno desplazado a la derecha
    •      
  • un coseno negativo desplazado hacia la izquierda
    •      
  • un seno desplazado a la izquierda
    •      
  • un seno negativo desplazado a la derecha
    •  
 

Si bien cualquiera de estos sería correcto, los cambios de coseno son más fáciles de trabajar que los cambios de seno en este caso porque involucran valores enteros. Entonces nuestra función se convierte en

 

[ begin {align *} y & = 3 cos left ( frac { pi} {3} x- dfrac { pi} {3} right) -2 qquad text {o } \ y & = – 3 cos left ( dfrac { pi} {3} x + dfrac {2 pi} {3} right) -2 end {align *} ]

 

Una vez más, estas funciones son equivalentes, por lo que ambas producen el mismo gráfico.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Escriba una fórmula para la función graficada en la Figura ( PageIndex {18} ).

 
A graph of 4sin((pi/5)x-pi/5)+4. Graph has period of 10, amplitude of 4, range of [0,8].  
Figura ( PageIndex {18} )
 
 
     
Respuesta
     
     

dos posibilidades: (y = 4 sin left ( dfrac { pi} {5} x− dfrac { pi} {5} right) +4 ) o (y = −4 sin left ( dfrac { pi} {5} x + dfrac {4 pi} {5} right) +4 )

     
 
 
 

Representación gráfica de variaciones de (y = sin space x ) y (y = cos space x )

 

A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos usar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.

 

En lugar de centrarse en las ecuaciones de forma general

 

(y = A sin (Bx-C) + D text {y} y = A cos (Bx-C) + D )

 

dejaremos (C = 0 ) y (D = 0 ) y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos.

 
 

Cómo: Dada la función (y = A sin (Bx) ), dibuje su gráfica.

 
         
  1. Identifica la amplitud, (| A | ).
    2.      
  2. Identifique el período, (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
    3.      
  3. Comience en el origen, con la función aumentando a la derecha si (A ) es positiva o disminuyendo si (A ) es negativa.
    4.      
  4. En (x = dfrac { pi} {2 | B |} ) hay un máximo local para (A> 0 ) o un mínimo para (A <0 ), con ( y = A ).
    5.      
  5. La curva vuelve al eje x en (x = dfrac { pi} {| B |} ).
    6.      
  6. Hay un mínimo local para (A> 0 ) (máximo para (A <0 )) en (x = dfrac {3 pi} {2 | B |} ) con ( y = –A ).
    7.      
  7. La curva vuelve nuevamente al eje x en (x = dfrac { pi} {2 | B |} ).
    8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Graficando una función e identificando la amplitud y el período

 

Dibuja un gráfico de (f (x) = – 2 sin left ( dfrac { pi x} {2} right) ).

 

Solución

 

Comencemos comparando la ecuación con la forma (y = A sin (Bx) ).

 

Los puntos de cuarto incluyen el mínimo en (x = 1 ) y el máximo en (x = 3 ). Ocurrirá un mínimo local (2 ) unidades debajo de la línea media, en (x = 1 ), y un máximo local ocurrirá en (2 ) unidades por encima de la línea media, en (x = 3 ). La figura ( PageIndex {19} ) muestra el gráfico de la función.

 
A graph of -2sin((pi/2)x). Graph has range of [-2,2], period of 4, and amplitude of 2.  
Figura ( PageIndex {19} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dibuja una gráfica de (g (x) = – 0.8 cos (2x) ). Determine la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase.

 
     
Respuesta
     
     
A graph of -0.8cos(2x). Graph has range of [-0.8, 0.8], period of pi, amplitude of 0.8, and is reflected about the x-axis compared to it's parent function cos(x).      
Figura ( PageIndex {20} )
     
     

línea media: (y = 0 ); amplitud: (| A | = 0.8 ); período: (P = dfrac {2 pi} {| B |} = pi ); cambio de fase: ( dfrac {C} {B} = 0 ) o ninguno

     
 
 
 
 

Cómo: dada una función sinusoidal con un desplazamiento de fase y un desplazamiento vertical, dibuje su gráfico

 
         
  1. Exprese la función en la forma general (y = A sin (Bx − C) + D ) o (y = A cos (Bx − C) + D ).
    2.      
  2. Identifica la amplitud, (| A | ).
    3.      
  3. Identifique el período, (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
    4.      
  4. Identifique el cambio de fase, ( dfrac {C} {B} ).
    5.      
  5. Dibuje la gráfica de (f (x) = A sin (Bx) ) desplazada a la derecha o izquierda por ( dfrac {C} {B} ) y arriba o abajo por (D )
    6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Graficando una sinusoide transformada

 

Dibuja un gráfico de (f (x) = 3 sin left ( dfrac { pi} {4x} – dfrac { pi} {4} right) ).

 

Solución

 
A graph of 3sin(*(pi/4)x-pi/4). Graph has amplitude of 3, period of 8, and a phase shift of 1 to the right.  
Figura ( PageIndex {21} ): una sinusoide comprimida horizontalmente, estirada verticalmente y desplazada horizontalmente
 
 
         
  • Paso 1. La función ya está escrita en forma general: (f (x) = 3 sin left ( dfrac { pi} {4x} – dfrac { pi} {4} right) ). Este gráfico tendrá la forma de una función seno, comenzando en la línea media y aumentando a la derecha.
    •      
  • Paso 2. (| A | = | 3 | = 3 ). La amplitud es (3 ).
    •      
  • Paso 3. Dado que (| B | = | dfrac { pi} {4} | = dfrac { pi} {4} ), determinamos el período de la siguiente manera.      

    [ begin {align *} P & = dfrac {2 pi} {| B |} \ & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {4}} \ & = 2 pi cdot dfrac {4} { pi} \ & = 8 end {align *} ]

         

    El período es (8 ).

         
    •      
  • Paso 4. Dado que (C = dfrac { pi} {4} ), el cambio de fase es      

    [ dfrac {C} {B} = dfrac { dfrac { pi} {4}} { dfrac { pi} {4}} = 1 ].

         

    El cambio de fase es (1 ) unidad.

         
    •      
  • Paso 5. La figura ( PageIndex {21} ) muestra el gráfico de la función.
    •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Dibuja una gráfica de (g (x) = – 2 cos left ( dfrac { pi} {3} x + dfrac { pi} {6} right) ). Determine la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase.

 
     
Respuesta
     
     
A graph of -2cos((pi/3)x+(pi/6)). Graph has amplitude of 2, period of 6, and has a phase shift of 0.5 to the left.      
Figura ( PageIndex {22} )
     
     

línea media: (y = 0 ); amplitud: (| A | = 2 ); período: (P = dfrac {2 pi} {| B |} = 6 ); cambio de fase: ( dfrac {C} {B} = – dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Identificación de las propiedades de una función sinusoidal

 

Dado (y = −2cos left ( dfrac { pi} {2} x + pi right) +3 ), determine la amplitud, el período, el desplazamiento de fase y el desplazamiento horizontal. Luego grafica la función.

 

Solución

 

Comienza comparando la ecuación con la forma general.

 

(y = A cos (Bx − C) + D )

 
         
  • Paso 1. La función ya está escrita en forma general.
    •      
  • Paso 2. Dado que (A = −2 ), la amplitud es (| A | = 2 ).
    •      
  • Paso 3. (| B | = dfrac { pi} {2} ), por lo que el período es (P = dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} { dfrac {pi} {2}} = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ). El período es 4.
    •      
  • Paso 4. (C = – pi ), entonces calculamos el cambio de fase como ( dfrac {C} {B} = – dfrac { pi} { dfrac { pi} {2}} = – pi⋅ dfrac {2} { pi} = – 2 ). El cambio de fase es (- 2 ).
    •      
  • Paso 5. (D = 3 ), entonces la línea media es (y = 3 ), y el desplazamiento vertical está arriba (3 ).
    •  
 

Dado que (A ) es negativo, la gráfica de la función coseno se ha reflejado sobre el eje (x ).

 

La figura ( PageIndex {23} ) muestra un ciclo de la gráfica de la función.

 
A graph of -2cos((pi/2)x+pi)+3. Graph shows an amplitude of 2, midline at y=3, and a period of 4.  
Figura ( PageIndex {23} )
 
 
 

Uso de transformaciones de funciones seno y coseno

 

Podemos usar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse utilizando la función seno o coseno .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Encontrar el componente vertical del movimiento circular

 

Un punto gira alrededor de un círculo de radio (3 ) centrado en el origen. Dibuje un gráfico de la coordenada (y ) del punto en función del ángulo de rotación.

 

Solución

 

Recuerde que, para un punto en un círculo de radio (r ), la coordenada (y ) del punto es (y = r sin (x) ), entonces en este caso, obtenemos la ecuación (y (x) = 3 sin (x) ). La constante (3 ) provoca un estiramiento vertical de los valores (y ) de la función por un factor de (3 ), que podemos ver en el gráfico de la Figura ( PageIndex {24} )

 
A graph of 3sin(x). Graph has period of 2pi, amplitude of 3, and range of [-3,3].  
Figura ( PageIndex {24} )
 
 

Análisis

 

Observe que el período de la función aún es (2 pi ); A medida que viajamos alrededor del círculo, volvemos al punto ((3,0) ) para (x = 2 pi, 4 pi, 6 pi, ) …. Porque las salidas del gráfico ahora oscilará entre (- 3 ) y (3 ), la amplitud de la onda sinusoidal es (3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

¿Cuál es la amplitud de la función (f (x) = 7 cos (x) )? Dibuja un gráfico de esta función.

 
     
Respuesta
     
     
A graph of 7cos(x). Graph has amplitude of 7, period of 2pi, and range of [-7,7].      
Figura ( PageIndex {25} )
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Encontrar el componente vertical del movimiento circular

 

Un círculo con radio (3 ) pies está montado con su centro (4 ) pies fuera del suelo. El punto más cercano al suelo está etiquetado (P ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {26} ). Dibuje un gráfico de la altura sobre el suelo del punto (P ) a medida que gira el círculo; luego encuentra una función que dé la altura en términos del ángulo de rotación.

 
An illustration of a circle lifted 4 feet off the ground. Circle has radius of 3 ft. There is a point P labeled on the circle's circumference.  
Figura ( PageIndex {26} )
 
 

Solución

 

Al dibujar la altura, observamos que comenzará (1 ) pies sobre el suelo, luego aumentará hasta (7 ) pies sobre el suelo y continuará oscilando (3 ) pies sobre y debajo el valor central de (4 ) pies, como se muestra en la Figura ( PageIndex {27} ).

 
A graph of -3cox(x)+4. Graph has midline at y=4, amplitude of 3, and period of 2pi.  
Figura ( PageIndex {27} )
 
 

Aunque podríamos usar una transformación de la función seno o coseno, comenzamos buscando características que hagan que una función sea más fácil de usar que la otra. Usemos una función coseno porque comienza en el valor más alto o más bajo, mientras que una función senoidal comienza en el valor medio. Un coseno estándar comienza en el valor más alto, y este gráfico comienza en el valor más bajo, por lo que debemos incorporar una reflexión vertical.

 

En segundo lugar, vemos que el gráfico oscila (3 ) por encima y por debajo del centro, mientras que un coseno básico tiene una amplitud de (1 ), por lo que este gráfico se ha estirado verticalmente por (3 ), como en el último ejemplo.

 

Finalmente, para mover el centro del círculo a una altura de (4 ), el gráfico se ha desplazado verticalmente por (4 ). Al poner estas transformaciones juntas, encontramos que

 

(y = −3 cos (x) +4 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Se adjunta un peso a un resorte que luego se cuelga de un tablero, como se muestra en la Figura ( PageIndex {28} ). A medida que el resorte oscila hacia arriba y hacia abajo, la posición (y ) del peso con respecto al tablero varía de (- 1 ) pulg. (En el momento (x = 0 )) a (- 7 ) pulg. (en el momento (x = π )) debajo del tablero. Suponga que la posición de (y ) se da como una función sinusoidal de (x ). Dibuje un gráfico de la función y luego encuentre una función coseno que proporcione la posición (y ) en términos de (x ).

 
An illustration of a spring with length y.  
Figura ( PageIndex {28} )
 
 
     
Respuesta
     
     

(y = 3 cos (x) −4 )

     
A cosine graph with range [-1,-7]. Period is 2 pi. Local maximums at (0,-1), (2pi,-1), and (4pi, -1). Local minimums at (pi,-7) and (3pi, -7).      
Figura ( PageIndex {29} )
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Determinar la altura de un jinete en una noria

 

The London Eye is a huge Ferris wheel with a diameter of (135) meters ((443) feet). It completes one rotation every (30) minutes. Riders board from a platform (2) meters above the ground. Express a rider’s height above ground as a function of time in minutes.

 

Solución

 

With a diameter of (135) m, the wheel has a radius of (67.5) m. The height will oscillate with amplitude (67.5) m above and below the center.

 

Passengers board (2) m above ground level, so the center of the wheel must be located (67.5+2=69.5) m above ground level. The midline of the oscillation will be at (69.5) m.

 

The wheel takes (30) minutes to complete (1) revolution, so the height will oscillate with a period of (30) minutes.

 

Lastly, because the rider boards at the lowest point, the height will start at the smallest value and increase, following the shape of a vertically reflected cosine curve.

 
         
  • Amplitude: (67.5), so (A=67.5)
    •      
  • Midline: (69.5), so (D=69.5)
    •      
  • Period:(30), so (B=dfrac{2pi}{30}=dfrac{pi}{15})
    •      
  • Shape: (−cos(t))
    •  
 

An equation for the rider’s height would be

 

(y=−67.5cosleft(dfrac{pi}{15}tright)+69.5)

 

where (t) is in minutes and (y) is measured in meters.

 
 
 

Medios

 

Access these online resources for additional instruction and practice with graphs of sine and cosine functions.

 
 

Key Equations

                                                                     
 
Sinusoidal functions              

(f(x)=Asin(Bx−C)+D)

             

(f(x)=Acos(Bx−C)+D)

             
 

Key Concepts

 
         
  • Periodic functions repeat after a given value. The smallest such value is the period. The basic sine and cosine functions have a period of (2pi).
    •      
  • The function (sin x) is odd, so its graph is symmetric about the origin. The function (cos x) is even, so its graph is symmetric about the y -axis.
    •      
  • The graph of a sinusoidal function has the same general shape as a sine or cosine function.
    •      
  • In the general formula for a sinusoidal function, the period is (P=dfrac{2pi}{| B |}). Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
    •      
  • In the general formula for a sinusoidal function, ( | A |) represents amplitude. If (| A |>1), the function is stretched, whereas if (| A |<1), the function is compressed. Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
    •      
  • The value (dfrac{C}{B}) in the general formula for a sinusoidal function indicates the phase shift. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
    •      
  • The value (D) in the general formula for a sinusoidal function indicates the vertical shift from the midline. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
    •      
  • Combinations of variations of sinusoidal functions can be detected from an equation. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
    •      
  • The equation for a sinusoidal function can be determined from a graph. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
    •      
  • A function can be graphed by identifying its amplitude and period. See Example (PageIndex{8}) and Example (PageIndex{9}).
    •      
  • A function can also be graphed by identifying its amplitude, period, phase shift, and horizontal shift. See Example (PageIndex{10}).
    •      
  • Sinusoidal functions can be used to solve real-world problems. See Example (PageIndex{11}), Example (PageIndex{12}), and Example (PageIndex{13}).
    •  
 
                                  
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antonio1095

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