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las matematicas

8.2: La elipse

¿Te imaginas estar parado en un extremo de una habitación grande y aún poder escuchar un susurro de una persona parada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), es esa sala . Es una sala de forma ovalada llamada cámara de susurro porque la forma hace posible que el sonido viaje a lo largo de las paredes. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia que dos personas en Statuary Hall pueden pararse y aún escucharse mutuamente susurrar.

Escribir ecuaciones de elipses en forma estándar

 

Una sección cónica, o cónica, es una forma resultante de la intersección de un cono circular derecho con un plano. El ángulo en el que el plano se cruza con el cono determina la forma, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
CNX_Precalc_Figure_10_01_002.jpg
Figura ( PageIndex {2} )
 

Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación para la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) en un plano de tal manera que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).

 

Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y una cuerda. Coloque las chinchetas en el cartón para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante en la definición). Pegue cada extremo de la cuerda al cartón y trace una curva con un lápiz tenso contra la cuerda. El resultado es una elipse. Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 
This figure shows two thumbtacks stuck in a piece of paper with a slack piece of string between them. A pencil pulls the string taught and by moving around, draws an ellipse.
Figura ( PageIndex {3} )
 

Cada elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor, y el eje más corto se llama eje menor. Cada punto final del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada punto final del eje menor es un co-vértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias desde los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos (Figura ( PageIndex {4} )).

 
A horizontal ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system, with Major and Minor Axes, Vertices and Co-Vertices, Foci, and Center labeled.
Figura ( PageIndex {4} )
 

En esta sección, restringimos las elipses a las que se colocan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes se ubicarán o serán paralelos a los ejes (x ) – e (y ). Más adelante en el capítulo, veremos elipses que se rotan en el plano de coordenadas.

 

Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen. Primero aprenderemos a derivar las ecuaciones de elipses, y luego aprenderemos cómo escribir las ecuaciones de elipses en forma estándar. Más adelante usaremos lo que aprendemos para dibujar los gráficos.

 

Derivando la ecuación de una elipse centrada en el origen

 

Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos ((- c, 0) ) y ((c, 0) ). La elipse es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) de modo que la suma de las distancias desde ((x, y) ) a los focos es constante, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5 } ).

 
A horizontal ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system, with Vertices at (negative a, 0) and (a, 0) and Foci at (negative c, 0) and (c, 0). Lines of length d1 and d2 connect a point (x, y) on the ellipse to the two Foci.
Figura ( PageIndex {5} )
 

Si ((a, 0) ) es un vértice de la elipse, la distancia desde ((- c, 0) ) a ((a, 0) ) es (a – (- c) = a + c ). La distancia de ((c, 0) ) a ((a, 0) ) es (a − c ). La suma de las distancias desde los focos hasta el vértice es

 

((a + c) + (a − c) = 2a )

 

Si ((x, y) ) es un punto en la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:

 
         
  • (d_1 = ) la distancia desde ((- c, 0) ) hasta ((x, y) )
  •      
  • (d_2 = ) la distancia desde ((c, 0) ) hasta ((x, y) )
  •  
 

Según la definición de una elipse, (d_1 + d_2 ) es constante para cualquier punto ((x, y) ) en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es (2a ) para el vértice ((a, 0) ). De ello se deduce que (d_1 + d_2 = 2a ) para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de la distancia. El resto de la derivación es algebraica.

 

[ begin {align *} d_1 + d_2 & = 2a \ sqrt {{(x – (- c))} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} + sqrt {{( xc)} ^ 2 + {(y-0)} ^ 2} & = 2a qquad text {Distancia fórmula} \ sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} + sqrt { {(xc)} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a qquad text {Simplificar expresiones.} \ sqrt {{(x + c)} ^ 2 + y ^ 2} & = 2a- sqrt { {(xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Mover radical al lado opuesto.} \ {(x + c)} ^ 2 + y ^ 2 & = { left [2a- sqrt {{ (xc)} ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {Cuadra ambos lados.} \ x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2-4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} + {(xc)} ^ 2 + y ^ 2 qquad text {Expandir los cuadrados.} \ x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 & = 4a ^ 2-4a sqrt {{((xc)} ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 qquad text {Expandir los cuadrados restantes.} \ 2cx & = 4a ^ 2-4a sqrt {{(xc)} ^ 2 + y ^ 2} -2cx qquad text {Combinar términos similares.} \ 4cx-4a ^ 2 & = – 4a sqrt {{((xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Aislar el radical.} \ cx-a ^ 2 & = – a sqrt {{((xc)} ^ 2 + y ^ 2} qquad text {Dividir por 4. } \ { left [cx-a ^ 2 right]} ^ 2 & = a ^ 2 { left [ sqrt {{((xc)} ^ 2 + y ^ 2} right]} ^ 2 qquad text {Cuadra ambos lados.} \ c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2 (x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2) qquad text {Expande los cuadrados. } \ c ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 4 & = a ^ 2x ^ 2-2a ^ 2cx + a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 qquad text {Distribuir} a ^ 2 \ a ^ 2x ^ 2-c ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 4 -a ^ 2c ^ 2 qquad text {Rewrite.} \ x ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2) + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2) qquad text {Factorizar términos comunes.} \ x ^ 2b ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 & = a ^ 2b ^ 2 qquad text {Set} b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2 \ dfrac {x ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} + dfrac {a ^ 2y ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} & = dfrac {a ^ 2b ^ 2} {a ^ 2b ^ 2} qquad texto {Divide ambos lados entre} a ^ 2b ^ 2 \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} & = 1 qquad text {Simplify} end {align *} ]

 

Por lo tanto, la ecuación estándar de una elipse es ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ). Esta ecuación define un elipse centrado Al origen. Si (a> b ), la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si (b> a ), la elipse se estira más en la dirección vertical.

 

Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar

 

Las formas estándar de ecuaciones nos informan sobre las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrático, cúbico, exponencial, logarítmico, etc. Al aprender a interpretar formas estándar de ecuaciones, estamos uniendo la relación entre representaciones algebraicas y geométricas de fenómenos matemáticos.

 

Las características clave de la [elipse son ​​su centro, vértices , co-vértices , focos , y longitudes y posiciones de los ejes mayores y menores . Al igual que con otras ecuaciones, podemos identificar todas estas características simplemente observando la forma estándar de la ecuación. Hay cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada uno se presenta junto con una descripción de cómo las partes de la ecuación se relacionan con el gráfico. Interpretar estas partes nos permite formar una imagen mental de la elipse.

 
 

FORMAS ESTÁNDAR DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CON CENTRO ((0,0) )

 

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((0,0) ) y eje mayor en el eje (x ) es

 

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

 

donde

 
         
  • (a> b )
  •      
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) )
  •      
  • la longitud del eje menor es (2b )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Ver Figura ( PageIndex {6a} ).
  •  
 

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((0,0) ) y eje mayor en el eje (y ) es

 

[ dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

 

donde

 
         
  • (a> b )
  •      
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) )
  •      
  • la longitud del eje menor es (2b )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Ver Figura ( PageIndex {6b} ).
  •  
 

Tenga en cuenta que los vértices, co-vértices y focos están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Cuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos usar esta relación para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar.

 
150621824376404.png
Figura ( PageIndex {6} ): (a) Elipse horizontal con centro ((0,0) ) (b) Elipse vertical con centro ((0,0) )
 
 
 
 

Cómo: dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar

 
         
  1. Determine si el eje mayor se encuentra en el eje x o y .      
               
    • Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma (( pm a, 0) ) y (( pm c, 0) ) respectivamente, entonces el eje mayor es el x eje. Utilice la forma estándar ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
    •          
    • Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ((0, pm a) ) y (( pm c, 0) ), respectivamente, entonces el eje mayor es el y -eje. Utilice la forma estándar ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 )
    •      
         
  2.      
  3. Usa la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ), junto con las coordenadas dadas de los vértices y focos, para resolver (b ^ 2 ).
  4.      
  5. Sustituya los valores de (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación determinada en el Paso 1.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en forma estándar

 

¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices (( pm 8,0) ) y foci (( pm 5,0) )?

 

Solución

 

Los focos están en el eje (x ), por lo que el eje principal es el eje (x ). Por lo tanto, la ecuación tendrá la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 )

 

Los vértices son (( pm 8,0) ), entonces (a = 8 ) y (a ^ 2 = 64 ).

 

Los focos son (( pm 5,0) ), entonces (c = 5 ) y (c ^ 2 = 25 ).

 

Sabemos que los vértices y los focos están relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (b ^ 2 ), tenemos:

 

[ begin {align *} c ^ 2 & = a ^ 2-b ^ 2 \ 25 & = 64-b ^ 2 qquad text {Sustituya por} c ^ 2 text {y} a ^ 2 \ b ^ 2 & = 39 qquad text {Resolver para} b ^ 2 end {align *} ]

 

Ahora solo necesitamos sustituir (a ^ 2 = 64 ) y (b ^ 2 = 39 ) en la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es ( dfrac {x ^ 2} {64} + dfrac {y ^ 2} {39} = 1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices ((0, pm 4) ) y foci ((0, pm sqrt {15}) )?

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {16} = 1 )

     
 
 
 
 

Preguntas y respuestas

 

¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en las coordenadas de origen dadas de un solo foco y vértice?

 

Sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centrada alrededor del origen siempre tendrán la forma (( pm a, 0) ) o ((0, pm a) ). Del mismo modo, las coordenadas de los focos siempre tendrán la forma (( pm c, 0) ) o ((0, pm c) ). Sabiendo esto, podemos usar (a ) y (c ) desde los puntos dados, junto con la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ), para encontrar (b ^ 2 )

 
 

Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen

 

Al igual que las gráficas de otras ecuaciones, la gráfica de una elipse puede traducirse. Si una elipse se traduce (h ) unidades horizontalmente y (k ) unidades verticalmente, el centro de la elipse será ((h, k) ). Esta traducción da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con (x ) reemplazado por ((x − h) ) y y reemplazado por (( y − k) ).

 
 

FORMAS ESTÁNDAR DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CON CENTRO ((H, K) )

 

La forma estándar de la ecuación de una elipse con el centro ((h, k) ) y el eje mayor paralelo al eje (x ) – es

 

[ dfrac {{((x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

 

donde

 
         
  • (a> b )
  •      
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) )
  •      
  • la longitud del eje menor es (2b )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Ver Figura ( PageIndex {7a} ).
  •  
 

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ((h, k) ) y eje mayor paralelo al eje (y ) – es

 

[ dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

 

donde

 
         
  • (a> b )
  •      
  • la longitud del eje mayor es (2a )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) )
  •      
  • la longitud del eje menor es (2b )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Ver Figura ( PageIndex {7b} ).
  •  
 

Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses que se centran en un punto ((h, k) ) tienen vértices, co-vértices y focos relacionados por la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Podemos usar esta relación junto con las fórmulas de punto medio y distancia para encontrar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y focos.

 
12.2.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): (a) Elipse horizontal con centro ((h, k) ) (b) Elipse vertical con centro ((h, k) )
 
 
 
 

Cómo: dados los vértices y focos de una elipse no centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar

 
         
  1. Determine si el eje mayor es paralelo al eje (x ) – o (y ).      
               
    • Si las coordenadas y de los vértices y focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje (x ). Utilice la forma estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 )
    •          
    • Si las coordenadas x de los vértices y focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje y . Use la forma estándar ( dfrac {{((x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 )
    •      
         
  2.      
  3. Identifica el centro de la elipse ((h, k) ) usando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices.
  4.      
  5. Encuentre (a ^ 2 ) resolviendo la longitud del eje mayor, (2a ), que es la distancia entre los vértices dados.
  6.      
  7. Encuentra (c ^ 2 ) usando (h ) y (k ), que se encuentra en el Paso 2, junto con las coordenadas dadas para los focos.
  8.      
  9. Resuelve (b ^ 2 ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  10.      
  11. Sustituya los valores de (h ), (k ), (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la forma estándar de la ecuación determinada en el Paso 1.
  12.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto que no sea el origen

 

¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices ((- 2, −8) ) y ((- 2,2) ) y foci ((- 2, −7) ) y ((- 2,1) )?

 

Solución

 

Las coordenadas (x ) de los vértices y focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al eje (y ). Por lo tanto, la ecuación de la elipse tendrá la forma

 

( dfrac {{((x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 nonumber ) [19459005 ]  

Primero, identificamos el centro, ((h, k) ). El centro está a medio camino entre los vértices, ((- 2, −8) ) y ((- 2,2) ). Aplicando la fórmula del punto medio, tenemos:

 

[ begin {align} (h, k) & = left ( dfrac {−2 + (- 2)} {2}, dfrac {−8 + 2} {2} right) nonumber \ & = (- 2, −3) nonumber end {align} nonumber ]

 

A continuación, encontramos (a ^ 2 ). La longitud del eje mayor, (2a ), está limitada por los vértices. Resolvemos (a ) encontrando la distancia entre las coordenadas y de los vértices.

 

[ begin {align} 2a & = 2 – (- 8) nonumber \ 2a & = 10 nonumber \ a & = 5 nonumber end {align} nonumber ]

 

Entonces (a ^ 2 = 25 ).

 

Ahora encontramos (c ^ 2 ). Los focos están dados por ((h, k pm c) ). Entonces, ((h, k − c) = (- 2, −7) ) y ((h, k + c) = (- 2,1) ). Sustituimos (k = −3 ) usando cualquiera de estos puntos para resolver (c ).

 

[ begin {align} k + c & = 1 nonumber \ −3 + c & = 1 nonumber \ c & = 4 nonumber end {align} nonumber ]

 

Entonces (c ^ 2 = 16 ).

 

Luego, resolvemos (b ^ 2 ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).

 

[ begin {align} c ^ 2 & = a ^ 2 − b ^ 2 nonumber \ 16 & = 25 − b ^ 2 nonumber \ b ^ 2 & = 9 nonumber end {align} nonumber ]

 

Finalmente, sustituimos los valores encontrados por (h ), (k ), (a ^ 2 ) y (b ^ 2 ) en la ecuación de forma estándar para una elipse: [19459005 ]  

[ dfrac {{((+ + 2)} ^ 2} {9} + dfrac {{((+ + 3)} ^ 2} {25} = 1 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la elipse que tiene vértices ((- 3,3) ) y ((5,3) ) y foci ((1−2 sqrt {3}, 3 ) ) Y ((1 + 2 sqrt {3}, 3) )?

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {{((x − 1)} ^ 2} {16} + dfrac {{(y − 3)} ^ 2} {4} = 1 nonumber )

     
 
 
 

Representación gráfica de elipses centradas en el origen

 

Así como podemos escribir la ecuación para una elipse dada su gráfica, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar

 

( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1, a> b ) para elipses horizontales

 

y

 

( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1, a> b ) para elipses verticales

 
 

Cómo: Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ((0, 0) ), dibuja el gráfico.

 
         
  1. Usa las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, vértices, co-vértices y focos.      
               
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a> b ) , entonces          
                     
      • el eje principal es el eje (x ) –
      •              
      • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) )
      •              
      • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) )
      •              
      • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) )
      •          
               
    •          
    • Si la ecuación tiene la forma (x ^ 2b ^ 2 + y ^ 2a ^ 2 = 1 ), donde (a> b ), entonces          
                     
      • el eje principal es el eje (y ) –
      •              
      • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) )
      •              
      • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) )
      •              
      • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) )
      •          
               
    •      
         
  2.      
  3. Resuelve (c ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  4.      
  5. Grafica el centro, los vértices, los co-vértices y los focos en el plano de coordenadas, y dibuja una curva suave para formar la elipse.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Graficando una elipse centrada en el origen

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación, ( dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {25} = 1 ). Identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 

Solución

 

Primero, determinamos la posición del eje mayor. Como (25> 9 ), el eje mayor está en el eje (y ). Por lo tanto, la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), donde (b ^ 2 = 9 ) y (a ^ 2 = 25 ). Se sigue que:

 
         
  • el centro de la elipse es ((0,0) )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son ((0, pm a) = (0, pm sqrt {25}) = (0, pm 5) )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son (( pm b, 0) = ( pm 9,0) = ( pm 3,0) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son ((0, pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ) Resolviendo para (c ), tenemos: [19459026 ]  
 

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber \ & = pm sqrt {25−9} nonumber \ & = pm sqrt {16} nonumber \ & = pm 4 nonumber end {align} nonumber ]

 

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((0, pm 4) ).

 

Luego, trazamos y rotulamos el centro, vértices, co-vértices y focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ver Figura ( PageIndex {8} ).

 
A vertical ellipse centered at (0, 0) in the x y coordinate system, with vertices at (0,5) and (0,negative 5), co-vertices at (3, 0) and (negative 3, 0), and foci at (0, 4) and (0, negative 4).
Figura ( PageIndex {8} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación ( dfrac {x ^ 2} {36} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 ). Identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 
     
Respuesta
     
     

centro: ((0,0) ); vértices: (( pm 6,0) ); co-vértices: ((0, pm 2) ); focos: (( pm 4 sqrt {2}, 0) )

     
Ex4fig1.png
Figura ( PageIndex {9} )
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficando una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación (4x ^ 2 + 25y ^ 2 = 100 ). Reescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 

Solución

 

Primero, usa el álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar.

 

[ begin {align} 4x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 100 nonumber \ dfrac {4x ^ 2} {100} + dfrac {25y ^ 2} {100} & = dfrac {100 } {100} nonumber \ dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {4} & = 1 nonumber end {align} nonumber ]

 

A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Como (25> 4 ), el eje principal está en el eje (x ). Por lo tanto, la ecuación tiene la forma ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a ^ 2 = 25 ) y (b ^ 2 = 4 ). Se sigue que:

 
         
  • el centro de la elipse es ((0,0) )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son (( pm a, 0) = ( pm sqrt {25}, 0) = ( pm 5,0) )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son ((0, pm b) = (0, pm sqrt {4}) = (0, pm 2) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son (( pm c, 0) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (c ), tenemos:
  •  
 

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber \ & = pm sqrt {25−4} nonumber \ & = pm sqrt {21} nonumber end {align} nonumber ]

 

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son (( pm sqrt {21}, 0) ).

 

Luego, trazamos y rotulamos el centro, vértices, co-vértices y focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

   
A horizontal ellipse centered at (0, 0) with vertices at (5, 0) and (negative 5, 0), co-vertices at (0, 2) and (0, negative 2), and foci at (square root of 21, 0) and (negative square root of 21, 0).
Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación (49x ^ 2 + 16y ^ 2 = 784 ). Reescribe la ecuación en forma estándar. Luego identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 
     
Respuesta
     
     

Forma estándar: ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {49} = 1 ); centro: ((0,0) ); vértices: ((0, pm 7) ); co-vértices: (( pm 4,0) ); focos: ((0, pm sqrt {33}) )

     
12.2.9B.png
Figura ( PageIndex {11} )
     
 
 
 

Representación gráfica de elipses no centradas en el origen

 

Cuando una elipse no está centrada en el origen, aún podemos usar los formularios estándar para encontrar las características clave del gráfico. Cuando la elipse se centra en algún punto, ((h, k) ), usamos las formas estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{( y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), (a> b ) para elipses horizontales y ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), (a> b ) para elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los co-vértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.

 
 

Cómo: Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ((h, k) ), dibuja el gráfico.

 
         
  1. Usa las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los co-vértices y los focos.      
               
    • Si la ecuación tiene la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {{((− k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a> b ), entonces          
                     
      • el centro es ((h, k) )
      •              
      • el eje mayor es paralelo al eje (x ) –
      •              
      • las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) )
      •              
      • las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) )
      •              
      • las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) )
      •          
               
    •          
    • Si la ecuación está en la forma ( dfrac {{((x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), donde (a> b ), entonces          
                     
      • el centro es ((h, k) )
      •              
      • el eje mayor es paralelo al eje (y ) –
      •              
      • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) )
      •              
      • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) )
      •              
      • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) )
      •          
               
    •      
         
  2.      
  3. Resuelve (c ) usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  4.      
  5. Grafica el centro, los vértices, los co-vértices y los focos en el plano de coordenadas, y dibuja una curva suave para formar la elipse.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficando una elipse centrada en ((h, k) )

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación, ( dfrac {{(x + 2)} ^ 2} {4} + dfrac {{((− 5)} ^ 2} {9} = 1 ) . Identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 

Solución

 

Primero, determinamos la posición del eje mayor. Como (9> 4 ), el eje mayor es paralelo al eje (y ). Por lo tanto, la ecuación está en la forma ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} = 1 ), Donde (b ^ 2 = 4 ) y (a ^ 2 = 9 ). Se sigue que:

 
         
  • el centro de la elipse es ((h, k) = (- 2,5) )
  •      
  • las coordenadas de los vértices son ((h, k pm a) = (- 2,5 pm sqrt {9}) = (- 2,5 pm 3) ), o (( −2,2) ) y ((- 2,8) )
  •      
  • las coordenadas de los co-vértices son ((h pm b, k) = (- 2 pm sqrt {4}, 5) = (- 2 pm 2,5) ), o ((−4,5) ) y ((0,5) )
  •      
  • las coordenadas de los focos son ((h, k pm c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Resolviendo para (c ), tenemos:
  •  
 

[ begin {align} c & = pm sqrt {a ^ 2 − b ^ 2} nonumber \ [4pt] & = pm sqrt {9−4} nonumber \ [4pt] & = pm sqrt {5} nonumber end {align} nonumber ]

 

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((- 2,5− sqrt {5}) ) y ((- 2,5+ sqrt {5}) ).

 

Luego, trazamos y rotulamos el centro, vértices, co-vértices y focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse.

 
A vertical ellipse centered at (negative 2, 5) with vertices at (negative 2, 2) and (negative 2, 8), co-vertices at (0, 5) and (negative 4, 5), and foci at (negative 2, 5 + square root of 5) and (negative 2, 5 minus square root of 5). The Major and Minor Axes, connecting the Vertices and Co-Vertices respectively, are shown.
Figura ( PageIndex {12} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación ( dfrac {{(x − 4)} ^ 2} {36} + dfrac {{(y − 2)} ^ 2} {20} = 1 ). Identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 
     
Respuesta
     
     

Centro: ((4,2) ); vértices: ((- 2,2) ) y ((10,2) ); co-vértices: ((4,2−2 sqrt {5}) ) y ((4,2 + 2 sqrt {5}) ); focos: ((0,2) ) y ((8,2) )

     
12.2.11.png
Figura ( PageIndex {13} )
     
 
 
 
 

Cómo: Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en ((h, k) ), exprese la ecuación en forma estándar.

 
         
  1. Reconozca que una elipse descrita por una ecuación en la forma (ax ^ 2 + por ^ 2 + cx + dy + e = 0 ) está en forma general.
  2.      
  3. Reorganice la ecuación agrupando términos que contengan la misma variable. Mueve el término constante al lado opuesto de la ecuación.
  4.      
  5. Factoriza los coeficientes de los términos (x ^ 2 ) e (y ^ 2 ) en preparación para completar el cuadrado.
  6.      
  7. Completa el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en la forma de la suma de múltiplos de dos conjuntos cuadrados binomiales iguales a una constante, (m_1 {(x − h)} ^ 2 + m_2 {(y − k )} ^ 2 = m_3 ), donde (m_1 ), (m_2 ) y (m_3 ) son constantes.
  8.      
  9. Divide ambos lados de la ecuación por el término constante para expresar la ecuación en forma estándar.
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Graficando una elipse centrada en ((h, k) ) escribiéndola primero en forma estándar

 

Representa gráficamente la elipse dada por la ecuación (4x ^ 2 + 9y ^ 2−40x + 36y + 100 = 0 ). Identifique y etiquete el centro, los vértices, los co-vértices y los focos.

 

Solución

 

Debemos comenzar reescribiendo la ecuación en forma estándar.

 

(4x ^ 2 + 9y ^ 2−40x + 36y + 100 = 0 )

 

Agrupe los términos que contienen la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

 

((4x ^ 2−40x) + (9y ^ 2 + 36y) = – 100 )

 

Factoriza los coeficientes de los términos al cuadrado.

 

(4 (x ^ 2−10x) +9 (y ^ 2 + 4y) = – 100 )

 

Completa el cuadrado dos veces. Remember to balance the equation by adding the same constants to each side.

 

(4(x^2−10x+25)+9(y^2+4y+4)=−100+100+36)

 

Rewrite as perfect squares.

 

(4{(x−5)}^2+9{(y+2)}^2=36)

 

Divide both sides by the constant term to place the equation in standard form.

 

(dfrac{{(x−5)}^2}{9}+dfrac{{(y+2)}^2}{4}=1)

 

Now that the equation is in standard form, we can determine the position of the major axis. Because (9>4),  the major axis is parallel to the (x)-axis. Therefore, the equation is in the form (dfrac{{(x−h)}^2}{a^2}+dfrac{{(y−k)}^2}{b^2}=1), where (a^2=9) and (b^2=4). It follows that:

 
         
  • the center of the ellipse is ((h,k)=(5,−2))
  •      
  • the coordinates of the vertices are ((hpm a,k)=(5pm sqrt{9},−2)=(5pm 3,−2)), or ((2,−2)) and ((8,−2))
  •      
  • the coordinates of the co-vertices are ((h,kpm b)=(5,−2pm sqrt{4})=(5,−2pm 2)), or ((5,−4)) and ((5,0))
  •      
  • the coordinates of the foci are ((hpm c,k)), where (c^2=a^2−b^2). Solving for (c), we have:
  •  
 

[begin{align*} c&=pm sqrt{a^2-b^2}\ &=pm sqrt{9-4}\ &=pm sqrt{5} end{align*}]

 

Therefore, the coordinates of the foci are ((5−sqrt{5},−2)) and ((5+sqrt{5},−2)).

 

Next we plot and label the center, vertices, co-vertices, and foci, and draw a smooth curve to form the ellipse as shown in Figure (PageIndex{14}).

 
A horizontal ellipse centered at (5, negative 2) with vertices at (2, negative 2) and (8, negative 2), co-vertices at (5, 0) and (5, negative 4), and foci at (5 + square root of 5, negative 2) and (5 minus square root of 5, negative 2). The Major and Minor Axes, connecting the Vertices and Co-Vertices respectively, are shown.
Figure (PageIndex{14})
 
 
 

Exercise (PageIndex{6})

 

Express the equation of the ellipse given in standard form. Identify the center, vertices, co-vertices, and foci of the ellipse.

 

(4x^2+y^2−24x+2y+21=0)

 
     
Answer
     
     

(dfrac{{(x−3)}^2}{4}+dfrac{{(y+1)}^2}{16}=1); center: ((3,−1)); vertices: ((3,−5)) and ((3,3)); co-vertices: ((1,−1)) and ((5,−1)); foci: ((3,−1−2sqrt{3})) and ((3,−1+2sqrt{3}))

     
 
 
 

Solving Applied Problems Involving Ellipses

 

Many real-world situations can be represented by ellipses, including orbits of planets, satellites, moons and comets, and shapes of boat keels, rudders, and some airplane wings. A medical device called a lithotripter uses elliptical reflectors to break up kidney stones by generating sound waves. Some buildings, called whispering chambers, are designed with elliptical domes so that a person whispering at one focus can easily be heard by someone standing at the other focus. This occurs because of the acoustic properties of an ellipse. When a sound wave originates at one focus of a whispering chamber, the sound wave will be reflected off the elliptical dome and back to the other focus (Figure (PageIndex{15})). In the whisper chamber at the Museum of Science and Industry in Chicago, two people standing at the foci—about (43) feet apart—can hear each other whisper.

 
CNX_Precalc_Figure_10_01_013.jpg
Figure (PageIndex{15}): Sound waves are reflected between foci in an elliptical room, called a whispering chamber.
 
 

Example (PageIndex{7}): Locating the Foci of a Whispering Chamber

 

The Statuary Hall in the Capitol Building in Washington, D.C. is a whispering chamber. Its dimensions are (46) feet wide by (96) feet long as shown in Figure (PageIndex{16}).

 
         
  1. What is the standard form of the equation of the ellipse representing the outline of the room? Hint: assume a horizontal ellipse, and let the center of the room be the point ((0,0)).
  2.      
  3. If two senators standing at the foci of this room can hear each other whisper, how far apart are the senators? Round to the nearest foot.
  4.  
 
A horizontal ellipse with rays originating at each focus and going through the other focus.
Figure (PageIndex{16})
 

Solution

 
         
  1. We are assuming a horizontal ellipse with center ((0,0)), so we need to find an equation of the form (dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1), where (a>b). We know that the length of the major axis, (2a), is longer than the length of the minor axis, (2b). So the length of the room, 96, is represented by the major axis, and the width of the room, 46, is represented by the minor axis.      

    Therefore, the equation of the ellipse is [(dfrac{x^2}{2304}+dfrac{y^2}{529}=1)

         
               
    • Solving for (a), we have (2a=96), so (a=48), and (a^2=2304).
    •          
    • Solving for (b), we have (2b=46), so (b=23), and (b^2=529).
    •      
         
  2.      
  3. To find the distance between the senators, we must find the distance between the foci, ((pm c,0)), where (c^2=a^2−b^2). Solving for (c),we have:
  4.  
 

[begin{align*} c^2&=a^2-b^2\ c^2&=2304-529qquad text{Substitute using the values found in part } (a)\ c&=pm sqrt{2304-529}qquad text{Take the square root of both sides.}\ c&=pm sqrt{1775}qquad text{Subtract.}\ c&approx pm 42qquad text{Round to the nearest foot.} end{align*}]

 

The points ((pm 42,0)) represent the foci. Thus, the distance between the senators is (2(42)=84) feet.

 
 
 

Exercise (PageIndex{7})

 

Suppose a whispering chamber is (480) feet long and (320) feet wide.

 
         
  1. What is the standard form of the equation of the ellipse representing the room? Hint: assume a horizontal ellipse, and let the center of the room be the point ((0,0)).
  2.      
  3. If two people are standing at the foci of this room and can hear each other whisper, how far apart are the people? Round to the nearest foot.
  4.  
 
     
Answer a
     
     

(dfrac{x^2}{57,600}+dfrac{y^2}{25,600}=1)

     
 
 
     
Answer b
     
     

The people are standing (358) feet apart.

     
 
 
 
 

Media

 

Access these online resources for additional instruction and practice with ellipses.

 
 
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