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las matematicas

8.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Dividir expresiones racionales

 

Para dividir expresiones racionales, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda, tal como lo hicimos para las fracciones numéricas.

 

Recuerde, el recíproco de ( frac {a} {b} ) es ( frac {b} {a} ). Para encontrar el recíproco simplemente colocamos el numerador en el denominador y el denominador en el numerador. “Volteamos” la fracción.

 
 

Definición: DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

 

Si p, q, r, s son polinomios donde (q ne 0 ), (r ne 0 ), (s ne 0 )

 

( frac {p} {q} ÷ frac {r} {s} = frac {p} {q} · frac {s} {r} )

 

Para dividir expresiones racionales, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda.

 
 
 

Cómo dividir expresiones racionales

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Divide: ( frac {x + 9} {6 − x} ÷ frac {x ^ 2−81} {x − 6} ).

 
     
Respuesta
     
     

The above image has three columns. It shows the steps to divide rational expressions. Step one is to rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second for x plus 9 divided by 6 minus x divided by x squared minus 81 divided by x minus 6. “Flip” the second fraction and change the division sign to multiplication to get x plus 9 divided by 6 minus x times x minus 6 divided by x squared minus 81. Step two is to factor the numerators and denominators completely. Factor x squared minus 81 to get x plus 9 divided by 6 minus x times x minus 6 divided by x minus 9 times x plus 9. Step three is to multiply the numerators and denominators to get x plus 9 times x minus 6 divided by 6 minus x times x minus 9 times x plus 9. Step four is to simplify by dividing out common factors. Divide out the common factors x plus 9, x minus 6 from the numerator and 6 minus x and x plus 9 from the denominator. Remember opposites divide to negative 1. This simplifies to negative 1 divided by x minus 9.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Divide: ( frac {c + 3} {5 − c} ÷ frac {c ^ 2−9} {c − 5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {1} {c − 3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Divide: ( frac {2 − d} {d − 4} ÷ frac {4 − d ^ 2} {4 − d} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {1} {2 + d} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Definición: DIVIDE EXPRESIONES RACIONALES.

 
         
  1. Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda.
  2.      
  3. Factoriza los numeradores y denominadores por completo.
  4.      
  5. Multiplica los numeradores y denominadores juntos.
  6.      
  7. Simplifica dividiendo factores comunes.
  8.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Divide: ( frac {3n ^ 2} {n ^ 2−4n} ÷ frac {9n ^ 2−45n} {n ^ 2−7n + 10} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Divide: ( frac {2m ^ 2} {m ^ 2−8m} ÷ frac {8m ^ 2 + 24m} {m ^ 2 + m − 6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {(m − 2)} {4 (m − 8)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Divide: ( frac {15n ^ 2} {3n ^ 2 + 33n} ÷ frac {5n − 5} {n ^ 2 + 9n − 22} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {n (n − 2)} {n − 1} )

     
 
 
 

Recuerda, primero reescribe la división como multiplicación de la primera expresión por el recíproco de la segunda. Luego factoriza todo y busca factores comunes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Divide: ( frac {2x ^ 2 + 5x − 12} {x ^ 2−16} ÷ frac {2x ^ 2−13x + 15} {x ^ 2−8x + 16} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {2x ^ 2 + 5x − 12} {x ^ 2−16} ÷ frac {2x ^ 2−13x + 15} {x ^ 2−8x + 16} )
Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda. ( frac {2x ^ 2 + 5x − 12} {x ^ 2−16} · frac {x ^ 2−8x + 16} {2x ^ 2−13x + 15} )
Factoriza los numeradores y denominadores y luego multiplica. ( frac {(2x − 3) (x + 4) (x − 4) (x − 4)} {(x − 4) (x + 4) (2x − 3) (x − 5) } )
Simplificar. ( frac {(x − 4)} {(x − 5)} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Divide: ( frac {3a ^ 2−8a − 3} {a ^ 2−25} ÷ frac {3a ^ 2−14a − 5} {a ^ 2 + 10a + 25} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {(a − 3) (a + 5)} {(a − 5) (a − 5)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Divide: ( frac {4b ^ 2 + 7b − 2} {1 − b ^ 2} ÷ frac {4b ^ 2 + 15b − 4} {b ^ 2−2b + 1} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {(b + 2) (b − 1)} {(1 + b) (b + 4)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Divide: ( frac {p ^ 3 + q ^ 3} {2p ^ 2 + 2pq + 2q ^ 2} ÷ frac {p ^ 2 − q ^ 2} {6} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {p ^ 3 + q ^ 3} {2p ^ 2 + 2pq + 2q ^ 2} ÷ frac {p ^ 2 − q ^ 2} {6} )
Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda. ( frac {p ^ 3 + q ^ 3} {2p ^ 2 + 2pq + 2q ^ 2} · frac {6} {p ^ 2 − q ^ 2} )
Factoriza los numeradores y denominadores y luego multiplica. ( frac {(p + q) (p ^ 2 − pq + q ^ 2) 6} {2 (p ^ 2 + pq + q ^ 2) (p − q) (p + q)} )
Simplificar. ( frac {3 (p ^ 2 − pq + q ^ 2)} {(p − q) (p ^ 2 + pq + q ^ 2)} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Divide: ( frac {x ^ 3−8} {3x ^ 2−6x + 12} ÷ frac {x ^ 2−4} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2 (x ^ 2 + 2x + 4)} {(x + 2) (x ^ 2−2x + 4)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Divide: ( frac {2z ^ 2} {z ^ 2−1} ÷ frac {z ^ 3 − z ^ 2 + z} {z ^ 3−1} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2z (z ^ 2 + z + 1)} {(z + 1) (z ^ 2 − z + 1)} )

     
 
 
 
 
 

Antes de hacer el siguiente ejemplo, veamos cómo dividimos una fracción por un número entero. Cuando dividimos ( frac {3} {5} ÷ 4 )

 

[ begin {array} {c} { frac {3} {5} ÷ 4} \ { frac {3} {5} ÷ frac {4} {1}} \ { frac {3} {5} · frac {1} {4}} \ nonumber end {array} ]

 

Hacemos lo mismo cuando dividimos expresiones racionales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

( frac {a ^ 2 − b ^ 2} {3ab} ÷ (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {a ^ 2 − b ^ 2} {3ab} ÷ (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) )
Escribe la segunda expresión como una fracción. ( frac {a ^ 2 − b ^ 2} {3ab} ÷ frac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {1} )
Reescribe la división como la primera expresión multiplicada por el recíproco de la segunda expresión. ( frac {a ^ 2 − b ^ 2} {3ab} · frac {1} {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} )
Factoriza los numeradores y los denominadores, y luego multiplica. ( frac {(a − b) (a + b) 1} {3ab · (a + b) (a + b)} )
Simplificar. ( frac {a − b} {3ab (a + b)} )
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

( frac {2x ^ 2−14x − 16} {4} ÷ (x2 + 2x + 1) ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x − 8} {2 (x + 1)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

( frac {y ^ 2−6y + 8} {y ^ 2−4y} ÷ (3y2−12y) ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {y − 2} {3y (y − 4)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

( frac { frac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8}} { frac {2x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−5x + 6}} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
( frac { frac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8}} { frac {2x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−5x + 6}} ) [ 19459048]              
Reescribe con un signo de división. ( frac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8} ÷ frac {2x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−5x + 6} )
Reescribe como producto de los primeros tiempos recíprocos de los segundos. ( frac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8} · frac {x ^ 2−5x + 6} {2x ^ 2−7x + 3} )
Factoriza los numeradores y los denominadores, y luego multiplica ( frac {(2x − 1) (3x − 2) (x − 2) (x − 3)} {4 (x − 2) (2x − 1) (x − 3)} ) [ 19459048]              
Simplificar. ( frac {3x − 2} {4} )
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

( frac { frac {3x ^ 2 + 7x + 2} {4x + 24}} { frac {3x ^ 2−14x − 5} {x ^ 2 + x − 30}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x + 2} {4} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

( frac { frac {y ^ 2−36} {2y ^ 2 + 11y − 6}} { frac {2y ^ 2−2y − 60} {8y − 4}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2} {y + 5} )

     
 
 
 

Si tenemos más de dos expresiones racionales para trabajar, seguimos el mismo procedimiento. El primer paso será reescribir cualquier división como multiplicación por el recíproco. Luego factorizamos y multiplicamos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 

( frac {3x − 6} {4x − 4} · frac {x ^ 2 + 2x − 3} {x ^ 2−3x − 10} ÷ frac {2x + 12} {8x + 16 } ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {38} )

 

( frac {4m + 4} {3m − 15} · frac {m ^ 2−3m − 10} {m ^ 2−4m − 32} ÷ frac {12m − 36} {6m − 48 } ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2 (m + 1) (m + 2)} {3 (m + 4) (m − 3)} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {39} )

 

( frac {2n ^ 2 + 10n} {n − 1} ÷ frac {n ^ 2 + 10n + 24} {n ^ 2 + 8n − 9} · frac {n + 4} {8n ^ 2 + 12n} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {(n + 5) (n + 9)} {2 (n + 6) (2n + 3)} )

     
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Multiplicación de expresiones racionales      
               
    •          
               

      Si p, q, r, s son polinomios donde (q ne 0 ) y (s ne 0 ), entonces ( frac {p} {q} · frac {r} { s} = frac {pr} {qs} )

               
               
    •          
    • Para multiplicar expresiones racionales, multiplica los numeradores y los denominadores
    •      
         
  •      
  • Multiplicar una expresión racional      
               
    1. Factoriza cada numerador y denominador por completo.
    2.          
    3. Multiplica los numeradores y denominadores.
    4.          
    5. Simplifica dividiendo factores comunes.
    6.      
         
  •      
  • División de expresiones racionales      
               
    •          

      Si p, q, r, s son polinomios donde (q ne 0 ), (r ne 0 ), (s ne 0 ), entonces ( frac {p} { q} ÷ frac {r} {s} = frac {p} {q} · frac {s} {r} )

               
    •          
    • Para dividir expresiones racionales, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda.
    •      
         
  •      
  • Dividir expresiones racionales      
               
    1. Reescribe la división como el producto de la primera expresión racional y el recíproco de la segunda.
    2.          
    3. Factoriza los numeradores y denominadores por completo.
    4.          
    5. Multiplica los numeradores y denominadores juntos.
    6.          
    7. Simplifica dividiendo factores comunes.
    8.      
         
  •  
 

 
 
 
 
 
 
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