Comencemos comparando dos expresiones matemáticas.
[ begin {align *} sqrt {9} sqrt {16} & = 3 cdot 4 \ & = 12 end {align *} nonumber ]
y
[ begin {align *} sqrt {9 cdot 16} & = sqrt {144} \ & = 12 end {align *} nonumber ]
Tenga en cuenta que tanto ( sqrt {9} sqrt {16} ) como ( sqrt {9 cdot 16} ) son iguales a (12 ). Por lo tanto, ( sqrt {9} sqrt {16} = sqrt {9 cdot 16} ). Veamos otro ejemplo.
[ begin {align *} sqrt {4} sqrt {9} & = 2 cdot 3 \ & = 6 end {align *} nonumber ]
y
[ begin {align *} sqrt {4 cdot 9} & = sqrt {36} \ & = 6 end {align *} nonumber ]
Tenga en cuenta que tanto ( sqrt {4} sqrt {9} ) como ( sqrt {4 cdot 9} ) son iguales a (6 ). Por lo tanto, ( sqrt {4} sqrt {9} = sqrt {4 cdot 9} ). Parece que se está formando un patrón, a saber:
[ sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {ab} nonumber ]
Probemos un ejemplo en nuestra calculadora. Primero ingrese ( sqrt {2} sqrt {3} ), luego ingrese ( sqrt {2 cdot 3} ) (vea la Figura ( PageIndex {1} )). Tenga en cuenta que producen el mismo resultado. Por lo tanto, ( sqrt {2} sqrt {3} = sqrt {2 cdot 3} )
La discusión anterior nos lleva al siguiente resultado.
Propiedad de multiplicación de radicales
Si (a ≥ 0 ) y (b ≥ 0 ), entonces: [ sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {a cdot b} nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Simplifique cada una de las siguientes expresiones tanto como sea posible:
- ( sqrt {3} sqrt {11} )
- ( sqrt {12} sqrt {3} )
- ( sqrt {2} sqrt {13} )
Solución
En cada caso, use la propiedad ( sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {a b} ). Es decir, multiplique los dos números debajo del signo de la raíz cuadrada, colocando el producto debajo de una sola raíz cuadrada.
- ( begin {alineado} sqrt {3} sqrt {11} & = sqrt {3 cdot 11} \ & = sqrt {33} end {alineado} )
- ( begin {alineado} sqrt {12} sqrt {3} & = sqrt {12 cdot 3} \ & = sqrt {36} \ & = 6 end {alineado} )
- ( begin {alineado} sqrt {2} sqrt {13} & = sqrt {2 cdot 13} \ & = sqrt {26} end {alineado} )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Simplifique: ( sqrt {2} sqrt {8} )
- Respuesta
-
(4 )
Forma radical simple
También podemos usar la propiedad ( sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {a b} ) a la inversa para factorizar un cuadrado perfecto. Por ejemplo:
[ begin {array} {rlrl} { sqrt {50}} & {= sqrt {25} sqrt {2}} & {} & color {Red} { text {Factorizar un cuadrado perfecto. }} \ {} & {= 5 sqrt {2}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {25} = 5} end {array} nonumber ] [ 19459002]
Se dice que la expresión (5 sqrt {2} ) está en forma radical simple . Como reducir una acción fr a los términos más bajos, siempre debe buscar factorizar un cuadrado perfecto cuando sea posible.
Forma radical simple
Si es posible, siempre factoriza un cuadrado perfecto.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Coloque ( sqrt {8} ) en forma radical simple.
Solución
Desde ( sqrt {8} ), podemos factorizar un cuadrado perfecto, en este caso ( sqrt {4} ).
[ begin {array} {rlrl} { sqrt {8}} & {= sqrt {4} sqrt {2}} & {} & color {Red} { text {Factorizar un cuadrado perfecto. }} \ {} & {= 2 sqrt {2}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} end {array} nonumber ] [ 19459002]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Coloque ( sqrt {12} ) en forma radical simple.
- Respuesta
-
(2 sqrt {3} )
A veces, después de factorizar un cuadrado perfecto, aún puedes factorizar otro cuadrado perfecto.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Coloque ( sqrt {72} ) en forma radical simple.
Solución
Desde ( sqrt {72} ), podemos factorizar un cuadrado perfecto, en este caso ( sqrt {9} ).
[ begin {array} {rlrl} { sqrt {72}} & {= sqrt {9} sqrt {8}} & {} & color {Red} { text {Factorizar un cuadrado perfecto. }} \ {} & {= 3 sqrt {8}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {9} = 3} end {array} nonumber ] [ 19459002]
Sin embargo, desde ( sqrt {8} ) podemos factorizar otro cuadrado perfecto, en este caso ( sqrt {4} ).
[ begin {array} {ll} {= 3 sqrt {4} sqrt {2}} & color {Red} { text {Factoriza otro cuadrado perfecto. }} \ {= 3 cdot 2 cdot sqrt {2}} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} \ {= 6 sqrt {2}} & color {Rojo} { text {Multiplicar:} 3 cdot 2 = 6} end {array} nonumber ]
Solución alternativa
Podemos simplificar el proceso observando que podemos factorizar ( sqrt {36} ) desde ( sqrt {72} ) para iniciar el proceso.
[ begin {array} {rlrl} { sqrt {72}} & {= sqrt {36} sqrt {2}} & {} & color {Red} { text {Factorizar un cuadrado perfecto. }} \ {} & {= 6 sqrt {2}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {36} = 6} end {array} nonumber ] [ 19459002]
Aunque la segunda solución es más eficiente, la primera solución todavía es matemáticamente correcta. El punto a destacar aquí es que debemos continuar factorizando un cuadrado perfecto siempre que sea posible. Nuestra respuesta no está en forma radical simple hasta que ya no podamos factorizar un cuadrado perfecto.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Coloque ( sqrt {200} ) en forma radical simple.
- Respuesta
-
(10 sqrt {2} )
El teorema de Pitágoras
Un ángulo que mide (90 ) grados se llama ángulo recto . Si uno de los ángulos de un triángulo es un ángulo recto, entonces el triángulo se llama triángulo rectángulo. Es tradicional marcar el ángulo recto con un pequeño cuadrado (ver Figura ( PageIndex {2} )).
Terminología del triángulo rectángulo
- El lado más largo del triángulo rectángulo, el lado directamente opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa del triángulo rectángulo.
- Los dos lados restantes del triángulo rectángulo se llaman las patas del triángulo rectángulo.
Prueba del teorema de Pitágoras
Cada lado del cuadrado en la Figura ( PageIndex {3} ) tiene b een dividido en dos segmentos, uno de longitud (a ), el otro de longitud (si).
Podemos encontrar el área total del cuadrado al cuadrar cualquiera de los lados del cuadrado.
[ begin {array} {ll} {A = (a + b) ^ {2}} & color {Red} { text {Cuadra un lado para encontrar el área. }} \ {A = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2}} & color {Red} { text {Cuadrando un patrón binomial. }} end {array} nonumber ]
Por lo tanto, el área total del cuadrado es (A = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ).
Un segundo enfoque para encontrar el área del cuadrado es sumar las áreas de las partes geométricas que componen el cuadrado. Tenemos cuatro triángulos rectángulos congruentes, sombreados en rojo claro, con base (a ) y altura (b ). El área de cada uno de estos triángulos se encuentra tomando la mitad de la base por la altura; es decir, el área de cada triángulo es ((1/2) a b ). En el interior, tenemos un cuadrado más pequeño con el lado (c ). Su área se encuentra al cuadrar su costado; es decir, el área del cuadrado más pequeño es (c ^ 2 ).
El área total del cuadrado es la suma de sus partes, un cuadrado más pequeño y cuatro triángulos congruentes. Es decir:
[ begin {array} {ll} {A = c ^ {2} +4 left ( frac {1} {2} ab right)} & color {Red} { text {Adding el área del cuadrado interior y el área de cuatro triángulos rectángulos. }} \ {A = c ^ {2} +2 ab} & color {Red} { text {Simplify:} 4 ((1/2) ab) = 2 ab} end {array} nonumber ]
Las dos expresiones, (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ) y (c ^ 2 + 2ab ), ambas representan el área total del cuadrado grande. Por lo tanto, deben ser iguales entre sí.
[ begin {alineado} a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = c ^ {2} +2 ab & quad color {Rojo} text {Cada lado de esta ecuación representa el área del gran cuadrado. } \ a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} & quad color {Rojo} text {Restar} 2 a b text {de ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
La última ecuación, (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ), se llama Teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
Si (a ) y (b ) son las patas de un triángulo rectángulo y (c ) es su hipotenusa, entonces:
[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 nonumber ]
Decimos “La suma de los cuadrados de las patas de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de su hipotenusa”.
Buena sugerencia: Tenga en cuenta que la hipotenusa se encuentra sola en un lado de la ecuación (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ). Las piernas de la hipotenusa están del otro lado.
Pongamos a trabajar el teorema de Pitágoras.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Halla la longitud del lado faltante del triángulo rectángulo que se muestra a continuación.
Solución
Primero, escribe el Teorema de Pitágoras, luego sustituye los valores dados en los lugares apropiados.
[ begin {alineado} a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} & color {Red} text {Teorema de Pitágoras. } \ (4) ^ {2} + (3) ^ {2} = c ^ {2} & color {Red} text {Sustituir:} 4 text {para} a, 3 text {para} b \ 16 + 9 = c ^ {2} & color {Rojo} text {Cuadrado:} (4) ^ {2} = 16, (3) ^ {2} = 9 \ 25 = c ^ { 2} & color {Rojo} text {Agregar:} 16 + 9 = 25 end {alineado} nonumber ]
La ecuación (c ^ 2 = 25 ) tiene dos soluciones reales, (c = −5 ) y (c = 5 ). Sin embargo, en esta situación, (c ) representa la longitud de la hipotenusa y debe ser un número positivo. Por lo tanto:
[c = 5 quad color {Rojo} text {Raíz cuadrada no negativa. } nonumber ]
Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es (5 ).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentra el lado faltante del triángulo rectángulo que se muestra a continuación.
- Respuesta
-
(13 )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Un triángulo rectángulo isósceles tiene una hipotenusa de longitud (8 ). Encuentra las longitudes de las piernas.
Solución
En general, un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados iguales. En este caso, un triángulo rectángulo isósceles tiene dos patas iguales. Dejaremos que (x ) represente la longitud de cada pata.
Usa el teorema de Pitágoras, sustituyendo (x ) por cada pata y (8 ) por la hipotenusa.
[ begin {array} {rlrl} {a ^ {2} + b ^ {2}} & {= c ^ {2}} & {} & color {Red} { text {Teorema de Pitágoras . }} \ {x ^ {2} + x ^ {2}} & {= 8 ^ {2}} & {} & color {Red} { text {Sustituir:} x text {para} a, x text {for} b, 8 text {for} c.} \ {2 x ^ {2}} & {= 64} & {} & color {Red} { text {Combinar términos similares:} x + x = 2 x} \ {x ^ {2}} & {= 32} & {} & color {Red} { text {Divide ambos lados entre} 2} end {array} nonumber ]
La ecuación (x ^ 2 = 32 ) tiene dos soluciones reales, (x = – sqrt {32} ) y (x = sqrt {32} ). Sin embargo, en esta situación, (x ) representa la longitud de cada tramo y debe ser un número positivo. Por lo tanto:
[x = sqrt {32} quad color {Red} text {Raíz cuadrada no negativa. } nonumber ]
Recuerde, su respuesta final debe estar en forma radical simple. Debemos factorizar un cuadrado perfecto cuando sea posible.
[ begin {array} {ll} {x = sqrt {16} sqrt {2}} & color {Red} { text {Factoriza un cuadrado perfecto. }} \ {x = 4 sqrt {2}} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {16} = 4} end {array} nonumber ]
Por lo tanto, la longitud de cada pata es (4 sqrt {2} ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Un triángulo rectángulo isósceles tiene una hipotenusa de longitud (10 ). Encuentra las longitudes de las piernas.
- Respuesta
-
Cada pata tiene una longitud (5 sqrt {2} )
Aplicaciones
Probemos con un problema verbal.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Una escalera (20 ) pies de largo se apoya contra la pared del garaje. Si la base de la escalera está a (8 ) pies de la pared del garaje, ¿a qué altura de la pared del garaje llega la escalera? Encuentre una respuesta exacta, luego use su calculadora para redondear su respuesta a la décima de pie más cercana.
Solución
Como siempre, obedecemos los Requisitos para soluciones de problemas de Word .
- Configure un diccionario variable. Crearemos un diagrama bien marcado para este propósito, dejando que (h ) represente la distancia entre la base de la pared del garaje y la punta superior de la escalera.
- Establece una ecuación. Usando el teorema de Pitágoras, podemos escribir: [ begin {array} {ll} {8 ^ {2} + h ^ {2} = 20 ^ {2}} & color {Red} { text { Teorema de pitágoras. }} \ {64 + h ^ {2} = 400} & color {Rojo} { text {Cuadrado:} 8 ^ {2} = 64 text {y} 20 ^ {2} = 400} end {array} nonumber ]
- Resuelve la ecuación. [ begin {array} {ll} {h ^ {2} = 336} & color {Red} { text {Subtract} 64 text {de ambos lados. }} \ {h = sqrt {336}} & color {Red} {h text {será la raíz cuadrada no negativa. }} \ {h = sqrt {16} sqrt {21}} & color {Red} { text {Factoriza un cuadrado perfecto. }} \ {h = 4 sqrt {21}} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {16} = 4} end {array} nonumber ]
- Responde la pregunta. La escalera alcanza (4 sqrt {21} ) pies arriba de la pared. Usando una calculadora, esto es aproximadamente (18.3 ) pies, redondeado a la décima de pie más cercana.
- Mira hacia atrás. Comprenda que cuando usamos (18.3 ) ft, una aproximación, nuestra solución solo verificará aproximadamente.
Usando el teorema de Pitágoras: [ begin {array} {r} {8 ^ {2} + 18.3 ^ {2} stackrel {?} {=} 20 ^ {2}} \ {64 + 334.89 stackrel {?} {=} 400} \ {398.89 stackrel {?} {=} 400} end {array} nonumber ] La aproximación no es perfecta, pero parece lo suficientemente cerca como para aceptar esta solución.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Una escalera (15 ) pies de largo se apoya contra una pared. Si la base de la escalera está a (6 ) pies de la pared, ¿a qué altura de la pared llega la escalera? Usa tu calculadora para redondear tu respuesta a la décima de pie más cercana.
- Respuesta
-
(13.7 ) pies.