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las matematicas

8.2: Simplificar expresiones con raíces

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Simplificar expresiones con raíces
  •      
  • Estimar y aproximar raíces
  •      
  • Simplificar expresiones variables con raíces
  •  
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplificar: a. ((- 9) ^ {2} ) b. (- 9 ^ {2} ) c. ((- 9) ^ {3} )
    Si perdió este problema, revise el Ejemplo 2.21.
  2.      
  3. Redondea (3,846 ) a la centésima más cercana.
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 1.34.
  4.      
  5. Simplificar: a. (x ^ {3} cdot x ^ {3} ) b. (y ^ {2} cdot y ^ {2} cdot y ^ {2} ) c. (z ^ {3} cdot z ^ {3} cdot z ^ {3} cdot z ^ {3} )
    Si perdió este problema, revise el Ejemplo 5.12.
  6.  
 

Simplificar expresiones con raíces

 

En Fundaciones, observamos brevemente las raíces cuadradas. Recuerde que cuando un número real (n ) se multiplica por sí mismo, escribimos (n ^ {2} ) y lo leemos ‘ (n ^ {2} ) al cuadrado ’. Este número se llama cuadrado de (n ), y (n ) se llama raíz cuadrada . Por ejemplo,

 

(13 ^ {2} ) se lee ” (13 ) al cuadrado”

 

(169 ) se llama el cuadrado de (13 ), ya que (13 ^ {2} = 169 )

 

(13 ) es una raíz cuadrada de (169 )

 
 

Definición ( PageIndex {1} ): Cuadrado y raíz cuadrada de un número

 

Cuadrado

 

Si (n ^ {2} = m ), entonces (m ) es el cuadrado de (n ).

 

Raíz cuadrada

 

Si (n ^ {2} = m ), entonces (n ) es una raíz cuadrada de (m ).

 
 

Observe ((- 13) ^ {2} = 169 ) también, entonces (- 13 ) también es una raíz cuadrada de (169 ). Por lo tanto, tanto (13 ) como (- 13 ) son raíces cuadradas de (169 ).

 

Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa. ¿Qué pasa si solo quisiéramos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? Usamos un signo radical , y escribimos, ( sqrt {m} ), que denota la raíz cuadrada positiva de (m ). La raíz cuadrada positiva también se denomina raíz cuadrada principal .

 

También usamos el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque (0 ^ {2} = 0, sqrt {0} = 0 ). Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada.

 
 

Definición ( PageIndex {2} ): notación de raíz cuadrada

 

( sqrt {m} ) se lee “la raíz cuadrada de (m )”.

 

Si (n ^ {2} = m ), entonces (n = sqrt {m} ), para (n geq 0 ).

 
 

[ color {cyan} text {signo radical} longrightarrow color {black} sqrt {m} color {cyan} longleftarrow text {radicand} nonumber ]

 
Figura 8.1.1
 
 
 

Sabemos que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {169} = 13 ). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo radical. Por ejemplo, (- sqrt {169} = – 13 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {144} )
  2.      
  3. (- sqrt {289} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {144} )

 

Desde (12 ^ {2} = 144 ).

 

(12 )

 

b.

 

(- sqrt {289} )

 

Desde (17 ^ {2} = 289 ) y lo negativo está delante del signo radical.

 

(- 17 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- sqrt {64} )
  2.      
  3. ( sqrt {225} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 8 )
  2.          
  3. (15 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {100} )
  2.      
  3. (- sqrt {121} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (10 ​​)
  2.          
  3. (- 11 )
  4.      
     
 
 
 

¿Podemos simplificar (- sqrt {49} )? ¿Hay un número cuyo cuadrado es (- 49 )?

 

(() ___ () ^ {2} = – 49 )

 

Cualquier número positivo al cuadrado es positivo. Cualquier número negativo al cuadrado es positivo. No hay un número real igual a ( sqrt {-49} ). La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {-196} )
  2.      
  3. (- sqrt {64} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {-196} )

 

No hay un número real cuyo cuadrado sea (- 196 ).

 

( sqrt {-196} ) no es un número real.

 

b.

 

(- sqrt {64} )

 

Lo negativo está frente al radical.

 

(- 8 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {-169} )
  2.      
  3. (- sqrt {81} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. no es un número real
  2.          
  3. (- 9 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- sqrt {49} )
  2.      
  3. ( sqrt {-121} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 7 )
  2.          
  3. no es un número real
  4.      
     
 
 
 

Hasta ahora solo hemos hablado de cuadrados y raíces cuadradas. Extendamos ahora nuestro trabajo para incluir poderes superiores y raíces superiores.

 

Revisemos primero un poco de vocabulario.

 

( begin {array} {ll} { text {Escribimos:}} y { text {Decimos:}} \ {n ^ {2}} & {n text {cuadrado}} \ {n ^ {3}} & {n text {cubed}} \ {n ^ {4}} & {n text {al cuarto poder}} \ {n ^ {5}} & { n text {a la quinta potencia}} end {array} )

 

Los términos “cuadrado” y “cubicado” provienen de las fórmulas para el área de un cuadrado y el volumen de un cubo.

 

Será útil tener una tabla de los poderes de los enteros desde (- 5 ) hasta (5 ). Ver Figura 8.1.2

 
The figure contains two tables. The first table has 9 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers “Numberâ€, “Squareâ€, “Cubeâ€, “Fourth powerâ€, and “Fifth powerâ€. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the number 1 in each column. The fourth row contains the numbers 2, 4, 8, 16, 32. The fifth row contains the numbers 3, 9, 27, 81, 243. The sixth row contains the numbers 4, 16, 64, 256, 1024. The seventh row contains the numbers 5, 25, 125 625, 3125. The eighth row contains the expressions x, x squared, x cubed, x to the fourth power, and x to the fifth power. The last row contains the expressions x squared, x to the fourth power, x to the sixth power, x to the eighth power, and x to the tenth power. The second table has 7 rows and 5 columns. The first row is a header row with the headers “Numberâ€, “Squareâ€, “Cubeâ€, “Fourth powerâ€, and “Fifth powerâ€. The second row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The third row contains the numbers negative 1, 1 negative 1, 1, negative 1. The fourth row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. The fifth row contains the numbers negative 3, 9, negative 27, 81, negative 243. The sixth row contains the numbers negative 4, 16, negative 64, 256, negative 1024. The last row contains the numbers negative 5, 25, negative 125, 625, negative 3125.  
Figura 8.1.2
 
 

Observe los signos en la tabla. Todos los poderes de los números positivos son positivos, por supuesto. Pero cuando tenemos un número negativo, los poderes pares son ​​positivos y los poderes impares son ​​negativos. Copiaremos la fila con los poderes de (- 2 ) para ayudarlo a ver esto.

 
The image contains a table with 2 rows and 5 columns. The first row contains the expressions n, n squared, n cubed, n to the fourth power, and n to the fifth power. The second row contains the numbers negative 2, 4, negative 8, 16, negative 32. Arrows point to the second and fourth columns with the label “Even power Positive resultâ€. Arrows point to the first third and fifth columns with the label “Odd power Negative resultâ€.  
Figura 8.1.3
 
 

Ahora extenderemos la definición de raíz cuadrada a raíces más altas.

 
 

Definición ( PageIndex {3} ): N th Raíz de un número

 

Si (b ^ {n} = a ), entonces (b ) es una raíz (n ^ {th} ) de (a ).

 

La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) se escribe ( sqrt [n] {a} ).

 

El (n ) se llama el índice del radical.

 
 

Al igual que usamos la palabra ‘cubos’ para (b ^ {3} ), usamos el término root raíz cúbica ’para ( sqrt [3] {a} ).

 

Podemos referirnos a Figura 8.1.2 para ayudar a encontrar raíces más altas.

 

( begin {alineado} 4 ^ {3} & = 64 & sqrt [3] {64} & = 4 \ 3 ^ {4} & = 81 & sqrt [4] {81} & = 3 \ (- 2) ^ {5} & = – 32 & sqrt [5] {- 32} & = – 2 end {alineado} )

 

¿Podríamos tener una raíz par de un número negativo? Sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Lo mismo es cierto para cualquier raíz par. Incluso las raíces de los números negativos no son números reales. Las raíces impares de los números negativos son números reales.

 

Propiedades de ( sqrt [n] {a} )

 

Cuando (n ) es un número par y

 
         
  • (a geq 0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) es un número real.
  •      
  • (a <0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) no es un número real.
  •  
 

Cuando (n ) es un número impar, ( sqrt [n] {a} ) es un número real para todos los valores de (a ).

 

Aplicaremos estas propiedades en los siguientes dos ejemplos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {64} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {81} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {32} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt [3] {64} )

 

Desde (4 ^ {3} = 64 ).

 

(4 )

 

b.

 

( sqrt [4] {81} )

 

Desde ((3) ^ {4} = 81 ).

 

(3 )

 

c.

 

( sqrt [5] {32} )

 

Desde ((2) ^ {5} = 32 ).

 

(2 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {27} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {256} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {243} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (3 )
  2.          
  3. (4 )
  4.          
  5. (3 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {1000} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {16} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {243} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (10 ​​)
  2.          
  3. (2 )
  4.          
  5. (3 )
  6.      
     
 
 
 

En este ejemplo, esté atento a los signos negativos así como a los poderes pares e impares.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 125} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {16} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {- 243} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt [3] {- 125} )

 

Desde ((- 5) ^ {3} = – 125 ).

 

(- 5 )

 

b.

 

( sqrt [4] {16} )

 

Piensa, ((?) ^ {4} = – 16 ). Ningún número real elevado a la cuarta potencia es negativo.

 

No es un número real.

 

c.

 

( sqrt [5] {- 243} )

 

Desde ((- 3) ^ {5} = – 243 ).

 

(- 3 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {- 256} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {- 32} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 3 )
  2.          
  3. no real
  4.          
  5. (- 2 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 216} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {- 81} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] {- 1024} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 6 )
  2.          
  3. no real
  4.          
  5. (- 4 )
  6.      
     
 
 
 

Estimación y raíces aproximadas

 

Cuando vemos un número con un signo radical, a menudo no pensamos en su valor numérico. Si bien probablemente sabemos que ( sqrt {4} = 2 ), ¿cuál es el valor de ( sqrt {21} ) o ( sqrt [3] {50} )? En algunas situaciones, una estimación rápida es significativa y en otras es conveniente tener una aproximación decimal.

 

Para obtener una estimación numérica de una raíz cuadrada, buscamos los números cuadrados perfectos más cercanos al radicando. Para encontrar una estimación de ( sqrt {11} ), vemos que (11 ) está entre los números cuadrados perfectos (9 ) y (16 ), más cerca a (9 ). Su raíz cuadrada estará entre (3 ) y (4 ), pero más cerca de (3 ).

 
The figure contains two tables. The first table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers “Number†and “Square Rootâ€. The second row has the numbers 4 and 2. The third row is 9 and 3. The fourth row is 16 and 4. The last row is 25 and 5. A callout containing the number 11 is directed between the 9 and 16 in the first column. Another callout containing the number square root of 11 is directed between the 3 and 4 of the second column. Below the table are the inequalities 9 is less than 11 is less than 16 and 3 is less than square root of 11 is less than 4. The second table has 5 rows and 2 columns. The first row is a header row with the headers “Number†and “Cube Rootâ€. The second row has the numbers 8 and 2. The third row is 27 and 3. The fourth row is 64 and 4. The last row is 125 and 5. A callout containing the number 91 is directed between the 64 and 125 in the first column. Another callout containing the number cube root of 91 is directed between the 4 and 5 of the second column. Below the table are the inequalities 64 is less than 91 is less than 125 and 4 is less than cube root of 91 is less than 5.  
Figura 8.1.4
 
 

Del mismo modo, para estimar ( sqrt [3] {91} ), vemos que (91 ) está entre los números de cubo perfectos (64 ) y (125 ). La raíz cúbica estará entre (4 ) y (5 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Estima cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

 
         
  1. ( sqrt {105} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {43} )
  4.  
 

Solución :

 

a. Piense en los números cuadrados perfectos más cercanos a (105 ). Haz una pequeña tabla de estos cuadrados perfectos y sus raíces cuadradas.

                                                                                                                                                                                                                     
Tabla 8.1.1
( sqrt {105} )
.
Localiza (105 ) entre dos cuadrados perfectos consecutivos. (100 < color {rojo} 105 color {negro} <121 )
( sqrt {105} ) está entre sus raíces cuadradas. (10 ​​< color {rojo} sqrt {105} < color {negro} 11 )
 

b. Del mismo modo, ubicamos (43 ) entre dos números de cubo perfectos.

                                                                                                                                                                                                                     
Tabla 8.1.2
( sqrt [3] {43} )
.
Localiza (43 ) entre dos cubos perfectos consecutivos. .
( sqrt [3] {43} ) está entre sus raíces cúbicas. .
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Estima cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

 
         
  1. ( sqrt {38} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {93} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6 < sqrt {38} <7 )
  2.          
  3. (4 < sqrt [3] {93} <5 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Estima cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

 
         
  1. ( sqrt {84} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {152} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (9 < sqrt {84} <10 )
  2.          
  3. (5 < sqrt [3] {152} <6 )
  4.      
     
 
 
 

Existen métodos matemáticos para aproximar raíces cuadradas, pero hoy en día la mayoría de las personas usan una calculadora para encontrar raíces cuadradas. Para encontrar una raíz cuadrada, usará la tecla ( sqrt {x} ) en su calculadora. Para encontrar una raíz cúbica, o cualquier raíz con un índice más alto, usará la tecla ( sqrt [y] {x} ).

 

Cuando usa estas teclas, obtiene un valor aproximado. Es una aproximación, precisa para el número de dígitos que se muestran en la pantalla de su calculadora. El símbolo para una aproximación es (≈ ) y se lee ‘aproximadamente’.

 

Suponga que su calculadora tiene una pantalla de (10 ​​) dígitos. Verías que

 

( sqrt {5} aprox 2.236067978 ) redondeado a dos decimales es ( sqrt {5} aprox 2.24 )

 

( sqrt [4] {93} aprox 3.105422799 ) redondeado a dos decimales es ( sqrt [4] {93} aprox 3.11 )

 

¿Cómo sabemos que estos valores son aproximaciones y no los valores exactos? Mira lo que sucede cuando los cuadramos:

 

( begin {alineado} (2.236067978) ^ {2} & = 5.000000002 & (3.105422799) ^ {4} & = 92.999999991 \ (2.24) ^ {2} & = 5.0176 & (3.11) ^ {4 } & = 93.54951841 end {alineado} )

 

Sus cuadrados están cerca de (5 ), pero no son exactamente iguales a (5 ). Los cuartos poderes están cerca de (93 ), pero no son iguales a (93 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Redondear a dos decimales:

 
         
  1. ( sqrt {17} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {49} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {51} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {17} )

 

Usa la calculadora de raíz cuadrada.

 

(4.123105626 puntos )

 

Redondea a dos decimales.

 

(4.12 )

 

( sqrt {17} aprox 4.12 )

 

b.

 

( sqrt [3] {49} )

 

Use la tecla calculadora ( sqrt [y] {x} ).

 

(3.659305710 ldots ) ​​

 

Redondea a dos decimales.

 

(3,66 )

 

( sqrt [3] {49} aprox 3.66 )

 

c.

 

( sqrt [4] {51} )

 

Use la tecla calculadora ( sqrt [y] {x} ).

 

(2.6723451177 ldots ) ​​

 

Redondea a dos decimales.

 

(2,67 )

 

( sqrt [4] {51} aprox 2.67 )

 

 

 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Redondear a dos decimales:

 
         
  1. ( sqrt {11} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {71} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {127} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( aprox 3.32 )
  2.          
  3. ( aprox 4.14 )
  4.          
  5. ( aprox 3.36 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Redondear a dos decimales:

 
         
  1. ( sqrt {13} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {84} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {98} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( aprox 3.61 )
  2.          
  3. ( aprox 4.38 )
  4.          
  5. ( aprox 3.15 )
  6.      
     
 
 
 

Simplificar expresiones variables con raíces

 

La raíz impar de un número puede ser positiva o negativa. Por ejemplo,

 
Three equivalent expressions are written: the cube root of 4 cubed, the cube root of 64, and 4. There are arrows pointing to the 4 that is cubed in the first expression and the 4 in the last expression labeling them as “sameâ€. Three more equivalent expressions are also written: the cube root of the quantity negative 4 in parentheses cubed, the cube root of negative 64, and negative 4. The negative 4 in the first expression and the negative 4 in the last expression are labeled as being the “sameâ€.  
Figura 8.1.13
 
 

Pero ¿qué pasa con una raíz par? Queremos la raíz principal, entonces ( sqrt [4] {625} = 5 ).

 

Pero aviso,

 
Three equivalent expressions are written: the fourth root of the quantity 5 to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. There are arrows pointing to the 5 in the first expression and the 5 in the last expression labeling them as “sameâ€. Three more equivalent expressions are also written: the fourth root of the quantity negative 5 in parentheses to the fourth power in parentheses, the fourth root of 625, and 5. The negative 5 in the first expression and the 5 in the last expression are labeled as being the “differentâ€.  
Figura 8.1.14
 
 

¿Cómo podemos asegurarnos de que la cuarta raíz de (- 5 ) elevada a la cuarta potencia sea (5 )? Podemos usar el valor absoluto. (| −5 | = 5 ). Entonces decimos que cuando (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ). Esto garantiza que la raíz principal es positiva.

 
 

Definición ( PageIndex {4} ): Simplificación de raíces pares e impares

 

Para cualquier número entero (n geq 2 ),

 

cuando el índice (n ) es impar ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a )

 

cuando el índice (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | )

 

Debemos usar los signos de valor absoluto cuando tomamos una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {x ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {n ^ {3}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {p ^ {4}} )
  6.      
  7. ( sqrt [5] {y ^ {5}} )
  8.  
 

Solución :

 

a. Usamos el valor absoluto para asegurarnos de obtener la raíz positiva.

 

( sqrt {x ^ {2}} )

 

Dado que el índice (n ) es par, ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

 

b. Esta es una raíz indexada impar, por lo que no es necesario un signo de valor absoluto.

 

( sqrt [3] {m ^ {3}} )

 

Dado que el índice es (n ) es impar, ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a ).

 

(m )

 

c.

 

( sqrt [4] {p ^ {4}} )

 

Dado que el índice (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

 

(| p | )

 

d.

 

( sqrt [5] {y ^ {5}} )

 

Dado que el índice (n ) es impar, ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a ).

 

(y )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {b ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {w ^ {3}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {m ^ {4}} )
  6.      
  7. ( sqrt [5] {q ^ {5}} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (| b | )
  2.          
  3. (w )
  4.          
  5. (| m | )
  6.          
  7. (q )
  8.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {y ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {p ^ {3}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {z ^ {4}} )
  6.      
  7. ( sqrt [5] {q ^ {5}} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (| y | )
  2.          
  3. (p )
  4.          
  5. (| z | )
  6.          
  7. (q )
  8.      
     
 
 
 

¿Qué pasa con las raíces cuadradas de los poderes superiores de las variables? La propiedad de potencia de los exponentes dice ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ). Entonces, si cuadramos (a ^ {m} ), el exponente se convertirá en (2m ).

 

( left (a ^ {m} right) ^ {2} = a ^ {2 m} )

 

Mirando ahora la raíz cuadrada.

 

( sqrt {a ^ {2 m}} )

 

Desde ( left (a ^ {m} right) ^ {2} = a ^ {2 m} ).

 

( sqrt { left (a ^ {m} right) ^ {2}} )

 

Dado que (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

 

( left | a ^ {m} right | )

 

Entonces ( sqrt {a ^ {2 m}} = left | a ^ {m} right | ).

 

Aplicamos este concepto en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {x ^ {6}} )
  2.      
  3. ( sqrt {y ^ {16}} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {x ^ {6}} )

 

Desde ( left (x ^ {3} right) ^ {2} = x ^ {6} ).

 

( sqrt { left (x ^ {3} right) ^ {2}} )

 

Dado que el índice (n ) es par ( sqrt {a ^ {n}} = | a | ).

 

( left | x ^ {3} right | )

 

b.

 

( sqrt {y ^ {16}} )

 

Desde ( left (y ^ {8} right) ^ {2} = y ^ {16} ).

 

( sqrt { left (y ^ {8} right) ^ {2}} )

 

Dado que el índice (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

 

(y ^ {8} )

 

En este caso, el signo de valor absoluto no es necesario ya que (y ^ {8} ) es positivo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {y ^ {18}} )
  2.      
  3. ( sqrt {z ^ {12}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (| y ^ {9} | )
  2.          
  3. (z ^ {6} )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {m ^ {4}} )
  2.      
  3. ( sqrt {b ^ {10}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (m ^ {2} )
  2.          
  3. (| b ^ {5} | )
  4.      
     
 
 
 

El siguiente ejemplo usa la misma idea para raíces más altas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {y ^ {18}} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {z ^ {8}} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt [3] {y ^ {18}} )

 

Desde ( left (y ^ {6} right) ^ {3} = y ^ {18} ).

 

( sqrt [3] { left (y ^ {6} right) ^ {3}} )

 

Dado que (n ) es impar, ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a ).

 

(y ^ {6} )

 

b.

 

( sqrt [4] {z ^ {8}} )

 

Desde ( left (z ^ {2} right) ^ {4} = z ^ {8} ).

 

( sqrt [4] { left (z ^ {2} right) ^ {4}} )

 

Dado que (z ^ {2} ) es positivo, no necesitamos un signo de valor absoluto.

 

(z ^ {2} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [4] {u ^ {12}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {v ^ {15}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (| u ^ {3} | )
  2.          
  3. (v ^ {5} )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [5] {c ^ {20}} )
  2.      
  3. ( sqrt [6] {d ^ {24}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (c ^ {4} )
  2.          
  3. (d ^ {4} )
  4.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, ahora tenemos un coeficiente frente a la variable. El concepto ( sqrt {a ^ {2 m}} = left | a ^ {m} right | ) funciona de la misma manera.

 

( sqrt {16 r ^ {22}} = 4 left | r ^ {11} right | ) porque ( left (4 r ^ {11} right) ^ {2} = 16 r ^ {22} ).

 

Pero observe ( sqrt {25 u ^ {8}} = 5 u ^ {4} ) y no se necesita ningún signo de valor absoluto ya que (u ^ {4} ) siempre es positivo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {16 n ^ {2}} )
  2.      
  3. (- sqrt {81 c ^ {2}} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {16 n ^ {2}} )

 

Desde ((4 n) ^ {2} = 16 n ^ {2} ).

 

( sqrt {(4 n) ^ {2}} )

 

Dado que el índice (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

 

(4 | n | )

 

b.

 

(- sqrt {81 c ^ {2}} )

 

Desde ((9 c) ^ {2} = 81 c ^ {2} ).

 

(- sqrt {(9 c) ^ {2}} )

 

Dado que el índice (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

 

(- 9 | c | )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {64 x ^ {2}} )
  2.      
  3. (- sqrt {100 p ^ {2}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (8 | x | )
  2.          
  3. (- 10 | p | )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {169 y ^ {2}} )
  2.      
  3. (- sqrt {121 y ^ {2}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (13 | y | )
  2.          
  3. (- 11 | y | )
  4.      
     
 
 
 

Este ejemplo solo lleva la idea más allá ya que tiene raíces de mayor índice.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {64 p ^ {6}} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {16 q ^ {12}} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt [3] {64 p ^ {6}} )

 

Reescribe (64p ^ {6} ) como ( left (4 p ^ {2} right) ^ {3} ).

 

( sqrt [3] { left (4 p ^ {2} right) ^ {3}} )

 

Toma la raíz cúbica.

 

(4p ^ {2} )

 

b.

 

( sqrt [4] {16 q ^ {12}} )

 

Reescribe el radicando como una cuarta potencia.

 

( sqrt [4] { left (2 q ^ {3} right) ^ {4}} )

 

Toma la cuarta raíz.

 

(2 | q ^ {3} | )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {27 x ^ {27}} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {81 q ^ {28}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (3x ^ {9} )
  2.          
  3. (3 | q ^ {7} | )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {125 q ^ {9}} )
  2.      
  3. ( sqrt [5] {243 q ^ {25}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (5p ^ {3} )
  2.          
  3. (3q ^ {5} )
  4.      
     
 
 
 

Los siguientes ejemplos tienen dos variables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {36 x ^ {2} y ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt {121 a ^ {6} b ^ {8}} )
  4.      
  5. ( sqrt [3] {64 p ^ {63} q ^ {9}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {36 x ^ {2} y ^ {2}} )

 

Dado que ((6 x y) ^ {2} = 36 x ^ {2} y ^ {2} )

 

( sqrt {(6 x y) ^ {2}} )

 

Saca la raíz cuadrada.

 

(6 | xy | )

 

b.

 

( sqrt {121 a ^ {6} b ^ {8}} )

 

Dado que ( left (11 a ^ {3} b ^ {4} right) ^ {2} = 121 a ^ {6} b ^ {8} )

 

( sqrt { left (11 a ^ {3} b ^ {4} right) ^ {2}} )

 

Saca la raíz cuadrada.

 

(11 izquierda | a ^ {3} derecha | b ^ {4} )

 

c.

 

( sqrt [3] {64 p ^ {63} q ^ {9}} )

 

Dado que ( left (4 p ^ {21} q ^ {3} right) ^ {3} = 64 p ^ {63} q ^ {9} )

 

( sqrt [3] { left (4 p ^ {21} q ^ {3} right) ^ {3}} )

 

Toma la raíz cúbica.

 

(4p ^ {21} q ^ {3} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {100 a ^ {2} b ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt {144 p ^ {12} q ^ {20}} )
  4.      
  5. ( sqrt [3] {8 x ^ {30} y ^ {12}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (10 ​​| ab | )
  2.          
  3. (12p ^ {6} q ^ {10} )
  4.          
  5. (2x ^ {10} y ^ {4} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {225 m ^ {2} n ^ {2}} )
  2.      
  3. ( sqrt {169 x ^ {10} y ^ {14}} )
  4.      
  5. ( sqrt [3] {27 w ^ {36} z ^ {15}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (15 | mn | )
  2.          
  3. (13 izquierda | x ^ {5} y ^ {7} derecha | )
  4.          
  5. (3w ^ {12} z ^ {5} )
  6.      
     
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con expresiones simplificadas con raíces.

 

Conceptos clave

 
         
  • Notación de raíz cuadrada      
               
    • ( sqrt {m} ) se lee “la raíz cuadrada de (m )”
    •          
    • Si (n ^ {2} = m ), entonces (n = sqrt {m} ), para (n≥0 ).
      The image shows the variable m inside a square root symbol. The symbol is a line that goes up along the left side and then flat above the variable. The symbol is labeled “radical sign”. The variable m is labeled “radicand”.
      Figura 8.1.1
    •          
    • La raíz cuadrada de (m ), ( sqrt {m} ), es un número positivo cuyo cuadrado es (m ).
    •      
         
  •      
  • n th Raíz de un número      
               
    • Si (b ^ {n} = a ), entonces (b ) es una raíz (n ^ {th} ) de (a ).
    •          
    • La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) se escribe ( sqrt [n] {a} ).
    •          
    • (n ) se llama el índice del radical.
    •      
         
  •      
  • Propiedades de ( sqrt [n] {a} )      
               
    • Cuando (n ) es un número par y          
                     
      • (a≥0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) es un número real
      •              
      • (a <0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) no es un número real
      •          
               
    •          
    • Cuando (n ) es un número impar, ( sqrt [n] {a} ) es un número real para todos los valores de (a ).
    •      
         
  •      
  • Simplificando las raíces pares e impares      
               
    • Para cualquier número entero (n≥2 ),          
                     
      • cuando (n ) es impar ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a )
      •              
      • cuando (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | )
      •          
               
    •          
    • Debemos usar los signos de valor absoluto cuando tomamos una raíz par de una expresión con una variable en el radical.
    •      
         
  •  
 

 

Glosario

 
     
cuadrado de un número
     
Si (n ^ {2} = m ), entonces (m ) es el cuadrado de (n ).
 
 
     
raíz cuadrada de un número
     
Si (n ^ {2} = m ) , entonces (n ) es una raíz cuadrada de (m ).
 
 
                                  
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