Simplificar expresiones con raíces

En Fundaciones, observamos brevemente las raíces cuadradas. Recuerde que cuando un número real (n ) se multiplica por sí mismo, escribimos (n ^ {2} ) y lo leemos ‘ (n ^ {2} ) al cuadrado ’. Este número se llama cuadrado de (n ), y (n ) se llama raíz cuadrada . Por ejemplo,

(13 ^ {2} ) se lee ” (13 ) al cuadrado”

(169 ) se llama el cuadrado de (13 ), ya que (13 ^ {2} = 169 )

(13 ) es una raíz cuadrada de (169 )

Observe ((- 13) ^ {2} = 169 ) también, entonces (- 13 ) también es una raíz cuadrada de (169 ). Por lo tanto, tanto (13 ) como (- 13 ) son raíces cuadradas de (169 ).

Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa. ¿Qué pasa si solo quisiéramos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? Usamos un signo radical , y escribimos, ( sqrt {m} ), que denota la raíz cuadrada positiva de (m ). La raíz cuadrada positiva también se denomina raíz cuadrada principal .

También usamos el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque (0 ^ {2} = 0, sqrt {0} = 0 ). Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada.

Sabemos que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {169} = 13 ). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo radical. Por ejemplo, (- sqrt {169} = – 13 ).

¿Podemos simplificar (- sqrt {49} )? ¿Hay un número cuyo cuadrado es (- 49 )?

(() ___ () ^ {2} = – 49 )

Cualquier número positivo al cuadrado es positivo. Cualquier número negativo al cuadrado es positivo. No hay un número real igual a ( sqrt {-49} ). La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

Hasta ahora solo hemos hablado de cuadrados y raíces cuadradas. Extendamos ahora nuestro trabajo para incluir poderes superiores y raíces superiores.

Revisemos primero un poco de vocabulario.

( begin {array} {ll} { text {Escribimos:}} y { text {Decimos:}} \ {n ^ {2}} & {n text {cuadrado}} \ {n ^ {3}} & {n text {cubed}} \ {n ^ {4}} & {n text {al cuarto poder}} \ {n ^ {5}} & { n text {a la quinta potencia}} end {array} )

Los términos “cuadrado” y “cubicado” provienen de las fórmulas para el área de un cuadrado y el volumen de un cubo.

Será útil tener una tabla de los poderes de los enteros desde (- 5 ) hasta (5 ). Ver Figura 8.1.2

   

Observe los signos en la tabla. Todos los poderes de los números positivos son positivos, por supuesto. Pero cuando tenemos un número negativo, los poderes pares son ​​positivos y los poderes impares son ​​negativos. Copiaremos la fila con los poderes de (- 2 ) para ayudarlo a ver esto.

   

Ahora extenderemos la definición de raíz cuadrada a raíces más altas.

Al igual que usamos la palabra ‘cubos’ para (b ^ {3} ), usamos el término root raíz cúbica ’para ( sqrt [3] {a} ).

Podemos referirnos a Figura 8.1.2 para ayudar a encontrar raíces más altas.

( begin {alineado} 4 ^ {3} & = 64 & sqrt [3] {64} & = 4 \ 3 ^ {4} & = 81 & sqrt [4] {81} & = 3 \ (- 2) ^ {5} & = – 32 & sqrt [5] {- 32} & = – 2 end {alineado} )

¿Podríamos tener una raíz par de un número negativo? Sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Lo mismo es cierto para cualquier raíz par. Incluso las raíces de los números negativos no son números reales. Las raíces impares de los números negativos son números reales.

Propiedades de ( sqrt [n] {a} )

Cuando (n ) es un número par y

     
• (a geq 0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) es un número real.
     
• (a <0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) no es un número real.
 

Cuando (n ) es un número impar, ( sqrt [n] {a} ) es un número real para todos los valores de (a ).

Aplicaremos estas propiedades en los siguientes dos ejemplos.

En este ejemplo, esté atento a los signos negativos así como a los poderes pares e impares.

Estimación y raíces aproximadas

Cuando vemos un número con un signo radical, a menudo no pensamos en su valor numérico. Si bien probablemente sabemos que ( sqrt {4} = 2 ), ¿cuál es el valor de ( sqrt {21} ) o ( sqrt [3] {50} )? En algunas situaciones, una estimación rápida es significativa y en otras es conveniente tener una aproximación decimal.

Para obtener una estimación numérica de una raíz cuadrada, buscamos los números cuadrados perfectos más cercanos al radicando. Para encontrar una estimación de ( sqrt {11} ), vemos que (11 ) está entre los números cuadrados perfectos (9 ) y (16 ), más cerca a (9 ). Su raíz cuadrada estará entre (3 ) y (4 ), pero más cerca de (3 ).

   

Del mismo modo, para estimar ( sqrt [3] {91} ), vemos que (91 ) está entre los números de cubo perfectos (64 ) y (125 ). La raíz cúbica estará entre (4 ) y (5 ).

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Estima cada raíz entre dos números enteros consecutivos:

 

     
1. ( sqrt {105} )
     
2. ( sqrt [3] {43} )
 

 

Solución :

 

a. Piense en los números cuadrados perfectos más cercanos a (105 ). Haz una pequeña tabla de estos cuadrados perfectos y sus raíces cuadradas.

                                                                                                                                                                                                                     

Tabla 8.1.1

	( sqrt {105} )
Localiza (105 ) entre dos cuadrados perfectos consecutivos.	(100 < color {rojo} 105 color {negro} <121 )
( sqrt {105} ) está entre sus raíces cuadradas.	(10 ​​< color {rojo} sqrt {105} < color {negro} 11 )

 

b. Del mismo modo, ubicamos (43 ) entre dos números de cubo perfectos.

                                                                                                                                                                                                                     

Tabla 8.1.2

	( sqrt [3] {43} )
Localiza (43 ) entre dos cubos perfectos consecutivos.
( sqrt [3] {43} ) está entre sus raíces cúbicas.

 

Existen métodos matemáticos para aproximar raíces cuadradas, pero hoy en día la mayoría de las personas usan una calculadora para encontrar raíces cuadradas. Para encontrar una raíz cuadrada, usará la tecla ( sqrt {x} ) en su calculadora. Para encontrar una raíz cúbica, o cualquier raíz con un índice más alto, usará la tecla ( sqrt [y] {x} ).

Cuando usa estas teclas, obtiene un valor aproximado. Es una aproximación, precisa para el número de dígitos que se muestran en la pantalla de su calculadora. El símbolo para una aproximación es (≈ ) y se lee ‘aproximadamente’.

Suponga que su calculadora tiene una pantalla de (10 ​​) dígitos. Verías que

( sqrt {5} aprox 2.236067978 ) redondeado a dos decimales es ( sqrt {5} aprox 2.24 )

( sqrt [4] {93} aprox 3.105422799 ) redondeado a dos decimales es ( sqrt [4] {93} aprox 3.11 )

¿Cómo sabemos que estos valores son aproximaciones y no los valores exactos? Mira lo que sucede cuando los cuadramos:

( begin {alineado} (2.236067978) ^ {2} & = 5.000000002 & (3.105422799) ^ {4} & = 92.999999991 \ (2.24) ^ {2} & = 5.0176 & (3.11) ^ {4 } & = 93.54951841 end {alineado} )

Sus cuadrados están cerca de (5 ), pero no son exactamente iguales a (5 ). Los cuartos poderes están cerca de (93 ), pero no son iguales a (93 ).

Simplificar expresiones variables con raíces

La raíz impar de un número puede ser positiva o negativa. Por ejemplo,

   

Pero ¿qué pasa con una raíz par? Queremos la raíz principal, entonces ( sqrt [4] {625} = 5 ).

Pero aviso,

   

¿Cómo podemos asegurarnos de que la cuarta raíz de (- 5 ) elevada a la cuarta potencia sea (5 )? Podemos usar el valor absoluto. (| −5 | = 5 ). Entonces decimos que cuando (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ). Esto garantiza que la raíz principal es positiva.

¿Qué pasa con las raíces cuadradas de los poderes superiores de las variables? La propiedad de potencia de los exponentes dice ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ). Entonces, si cuadramos (a ^ {m} ), el exponente se convertirá en (2m ).

( left (a ^ {m} right) ^ {2} = a ^ {2 m} )

Mirando ahora la raíz cuadrada.

( sqrt {a ^ {2 m}} )

Desde ( left (a ^ {m} right) ^ {2} = a ^ {2 m} ).

( sqrt { left (a ^ {m} right) ^ {2}} )

Dado que (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ).

( left | a ^ {m} right | )

Entonces ( sqrt {a ^ {2 m}} = left | a ^ {m} right | ).

Aplicamos este concepto en el siguiente ejemplo.

El siguiente ejemplo usa la misma idea para raíces más altas.

En el siguiente ejemplo, ahora tenemos un coeficiente frente a la variable. El concepto ( sqrt {a ^ {2 m}} = left | a ^ {m} right | ) funciona de la misma manera.

( sqrt {16 r ^ {22}} = 4 left | r ^ {11} right | ) porque ( left (4 r ^ {11} right) ^ {2} = 16 r ^ {22} ).

Pero observe ( sqrt {25 u ^ {8}} = 5 u ^ {4} ) y no se necesita ningún signo de valor absoluto ya que (u ^ {4} ) siempre es positivo.

Este ejemplo solo lleva la idea más allá ya que tiene raíces de mayor índice.

Los siguientes ejemplos tienen dos variables.

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con expresiones simplificadas con raíces.

Conceptos clave

     
• Notación de raíz cuadrada      
           
  • ( sqrt {m} ) se lee “la raíz cuadrada de (m )”
           
  • Si (n ^ {2} = m ), entonces (n = sqrt {m} ), para (n≥0 ).
    
    Figura 8.1.1
           
  • La raíz cuadrada de (m ), ( sqrt {m} ), es un número positivo cuyo cuadrado es (m ).
       
       
     
• n ^th Raíz de un número      
           
  • Si (b ^ {n} = a ), entonces (b ) es una raíz (n ^ {th} ) de (a ).
           
  • La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) se escribe ( sqrt [n] {a} ).
           
  • (n ) se llama el índice del radical.
       
       
     
• Propiedades de ( sqrt [n] {a} )      
           
  • Cuando (n ) es un número par y          
                 
    • (a≥0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) es un número real
                 
    • (a <0 ), entonces ( sqrt [n] {a} ) no es un número real
             
             
           
  • Cuando (n ) es un número impar, ( sqrt [n] {a} ) es un número real para todos los valores de (a ).
       
       
     
• Simplificando las raíces pares e impares      
           
  • Para cualquier número entero (n≥2 ),          
                 
    • cuando (n ) es impar ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a )
                 
    • cuando (n ) es par ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | )
             
             
           
  • Debemos usar los signos de valor absoluto cuando tomamos una raíz par de una expresión con una variable en el radical.