Interés compuesto discreto

 

Si deposita dinero en una cuenta de ahorros, el banco le pagará intereses (un porcentaje del saldo de su cuenta) al final de cada período de tiempo, generalmente un mes o un día. Por ejemplo, si el período de tiempo es de un mes, este proceso se llama capitalización mensual. El término capitalización se refiere al hecho de que los intereses se agregan a su cuenta cada mes y luego, en los meses siguientes, gana intereses sobre los intereses. Si el período de tiempo es de un día, se llama capitalización diaria.

 

Veamos la composición mensual con más detalle. Supongamos que deposita $ 100 en su cuenta y el banco paga intereses a una tasa anual del 5%. Deje que la función P (t) represente la cantidad de dinero que tiene en su cuenta en el momento t, donde medimos t en años. Comenzaremos el tiempo en t = 0 cuando la cantidad inicial, llamada principal, es $ 100. En otras palabras, P (0) = 100.

 

En la discusión que sigue, calcularemos el saldo de la cuenta al final de cada mes. Como un mes es ( frac {1} {12} ) de un año, (P ( frac {1} {12}) ) representa el saldo al final del primer mes, (P ( frac {2} {12}) ) representa el saldo al final del segundo mes, etc.

 

Al final del primer mes, se agregan intereses al saldo de la cuenta. Dado que la tasa de interés anual es del 5%, la tasa de interés mensual es ( frac {5%} {12} ), o ( frac {.05} {12} ) en forma decimal. Aunque podríamos aproximar ( frac {.05} {12} ) por un decimal, será más útil, así como más preciso, dejarlo en esta forma. Por lo tanto, al final del primer mes, el interés devengado será (100 ( frac {.05} {12}) ), por lo que el monto total será

 

(P ( frac {1} {12}) = 100 + 100 ( frac {.05} {12}) = 100 (1+ frac {.05} {12}) ). (1)

 

Ahora, al final del segundo mes, tendrá la cantidad con la que comenzó ese mes, a saber, (P ( frac {1} {12}) ), más el interés de otro mes sobre esa cantidad . Por lo tanto, la cantidad total será

 

(P ( frac {2} {12}) = P ( frac {1} {12}) + P ( frac {1} {12}) ( frac {.05} {12} ) = P ( frac {1} {12}) (1+ frac {.05} {12}) ). (2)

 

Si reemplazamos (P ( frac {1} {12}) ) en ecuación (2) con el resultado encontrado en ecuación (1) , entonces [ 19459001]  

(P ( frac {2} {12}) = 100 (1+ frac {.05} {12}) (1+ frac {.05} {12}) = 100 (1+ frac {.05} {12}) ^ 2 ). (3)

 

Vamos a repetir un mes más. Al final del tercer mes, tendrá la cantidad con la que comenzó ese mes, a saber, (P ( frac {2} {12}) ), más el interés de otro mes sobre esa cantidad. Por lo tanto, la cantidad total será

 

(P ( frac {3} {12}) = P ( frac {2} {12}) + P ( frac {2} {12}) ( frac {.05} {12} ) = P ( frac {2} {12}) (1+ frac {.05} {12}) ). (4)

 

Sin embargo, si reemplazamos (P ( frac {2} {12}) ) en ecuación (4) con el resultado encontrado en ecuación (3) , entonces

 

(P ( frac {3} {12}) = 100 (1+ frac {.05} {12}) ^ 2 (1+ frac {.05} {12}) = 100 (1 + frac {.05} {12}) ^ 3 ). (5)

 

El patrón ahora debería estar claro. La cantidad de dinero que tendrá en la cuenta al final de m meses viene dada por la función

 

(P ( frac {m} {12}) = 100 (1+ frac {.05} {12}) ^ m ).

 

Podemos reescribir esta fórmula en términos de años t reemplazando ( frac {m} {12} ) por t. Entonces m = 12t, entonces la fórmula se convierte en

 

(P (t) = 100 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12t} ). (6)

 

¿Qué sería diferente si hubiera comenzado con un director de 200? Al rastrear nuestros pasos anteriores, debería ser fácil ver que la nueva fórmula sería

 

(P (t) = 200 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12t} ).

 

Del mismo modo, si la tasa de interés hubiera sido del 4% anual en lugar del 5%, entonces habríamos terminado con la fórmula

 

(P (t) = 100 (1+ frac {.04} {12}) ^ {12t} ).

 

Por lo tanto, si dejamos que (P_ {0} ) represente el principal y r represente la tasa de interés anual (en forma decimal), entonces podemos generalizar la fórmula a

 

(P (t) = P_ {0} (1+ frac {r} {12}) ^ {12t} ). (7)

   

En la fórmula ( 7 ), dejemos (P_ {0} = 100 ), r = .05 yt = 10:

 

(P (10) = 100 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12 cdot 10} )

 

Podemos usar nuestra calculadora gráfica para aproximar esta solución, como se muestra en Figura 1 .

 

 

Por lo tanto, tendría $ 164.70 después de diez años.

   

En la fórmula ( 7 ), deje (P_ {0} = 10000 ) , r = = . 05 y t = 40:

 

(P (40) = 10000 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12 cdot 40} aprox 73584.17 )

 

Por lo tanto, tendría $ 73,584.17 después de cuarenta años.

 

Estos ejemplos ilustran el “milagro del interés compuesto”. En el último ejemplo, su cuenta es más de siete veces mayor que la original, y su “beneficio” total (la cantidad de interés que ha recibido) es de $ 63584.17. Compare esto con la cantidad que hubiera recibido si hubiera retirado el interés cada mes (es decir, sin capitalización). En ese caso, su “beneficio” solo sería de $ 20000:

 

(años cdot frac {meses} {año} cdot frac {interés} {mes} = 40 cdot 12 cdot [(10000) ( frac {.05} {12})] = 20000 )

 

La gran diferencia se puede atribuir a la forma de la gráfica de la función P (t). Recuerde de la sección anterior que esta es una función de crecimiento exponencial, por lo que a medida que t aumenta, el gráfico eventualmente aumentará abruptamente. Por lo tanto, si puede dejar su dinero en el banco el tiempo suficiente, eventualmente crecerá dramáticamente.

 

¿Qué pasa con la composición diaria? Analicemos nuevamente la situación en la que el capital es de $ 100 y la tasa de interés anual es del 5%. En este caso, el período de tiempo durante el cual se pagan los intereses es de un día, o ( frac {1} {365} ) de un año, y la tasa de interés diaria es ( frac {5%} {365} ), o ( frac {.05} {365} ) en forma decimal. Como estamos midiendo el tiempo en años, (P ( frac {1} {365}) ) representa el saldo al final del primer día, (P ( frac {2} {365}) ) representa el saldo al final del segundo día, etc. Seguiremos los mismos pasos que en el análisis anterior para la capitalización mensual.

 

Al final del primer día, tendrá

 

(P ( frac {1} {365}) = 100 + 100 ( frac {.05} {365}) = 100 (1+ frac {.05} {365}) ). (10)

 

Al final del segundo día, tendrá la cantidad con la que comenzó ese día, a saber, (P ( frac {1} {365}) ), más el interés de otro día sobre esa cantidad. Por lo tanto, la cantidad total será

 

(P ( frac {2} {365}) = P ( frac {1} {365}) + P ( frac {1} {365}) ( frac {.05} {365} ) = P ( frac {1} {365}) (1+ frac {.05} {365}) ). (11)

 

Si reemplazamos (P ( frac {1} {365}) ) en ecuación (11) con el resultado encontrado en ecuación (10) , entonces [ 19459001]  

(P ( frac {2} {365}) = 100 (1+ frac {.05} {365}) (1+ frac {.05} {365}) = 100 (1+ frac {.05} {365} ^ 2 ). (12)

 

Al final del tercer día, tendrá la cantidad con la que comenzó ese día, a saber, (P ( frac {2} {365}) ), más el interés de otro día sobre esa cantidad. Por lo tanto, la cantidad total será

 

(P ( frac {3} {365}) = P ( frac {2} {365}) + P ( frac {2} {365}) ( frac {.05} {365} ) = P ( frac {2} {365}) (1+ frac {.05} {365}) ). (13)

 

Nuevamente, reemplazando (P ( frac {2} {365}) ) en ecuación (13) con el resultado encontrado en ecuación (12) produce [19459001 ]  

(P ( frac {3} {365}) = 100 (1+ frac {.05} {365}) ^ {2} (1+ frac {.05} {365}) = 100 (1+ frac {.05} {365}) ^ 3 ). (14)

 

Continuar con este patrón muestra que la cantidad de dinero que tendrá en la cuenta al final de los días d viene dada por la función

 

(P ( frac {d} {365}) = 100 (1+ frac {.05} {365}) ^ d ).

 

Podemos reescribir esta fórmula en términos de años t reemplazando ( frac {d} {365} ) por t. Entonces d = 365t, entonces la fórmula se convierte en

 

(P (t) = 100 (1+ frac {.05} {365}) ^ {365t} ). (15)

 

Más generalmente, si hubiera comenzado con un capital de (P_ {0} ) y una tasa de interés anual de r (en forma decimal), entonces la fórmula sería

 

(P (t) = P_ {0} (1+ frac {r} {365}) ^ {365t} ). (16)

 

Comparando fórmulas ( 7 ) y ( 16 ) para la capitalización mensual y diaria, debería ser evidente que la única diferencia es que el número 12 se usa en la fórmula de capitalización mensual y el número 365 se usa en la fórmula de composición diaria. El análisis respectivo muestra que este número surge de la parte del año en que se pagan intereses ( ( frac {1} {12} ) en el caso de capitalización mensual, y ( frac {1} {365 } ) en el caso de la capitalización diaria). Por lo tanto, en cada caso, este número (12 o 365) también es igual al número de veces que los intereses se capitalizan por año. Se deduce que si los intereses se capitalizan trimestralmente (cada tres meses, o 4 veces al año), la fórmula sería

 

(P (t) = P_ {0} (1+ frac {r} {4}) ^ {4t} ).

 

Del mismo modo, si el interés se capitaliza por hora (8760 veces por año), la fórmula sería

 

(P (t) = P_ {0} (1+ frac {r} {8760}) ^ {8760t} ).

 

Resumiendo, tenemos una generalización final:

     

En la fórmula ( 17 ), dejemos (P_ {0} = 100 ), r = .05, n = 365 yt = 10:

 

(P (10) = 100 (1+ frac {.05} {365}) ^ {365 cdot 10} aprox 164.87 )

 

Por lo tanto, tendría $ 164.87 después de diez años.

   

En la fórmula ( 17 ), let (P_ {0} = 10000 ), r = .05, n = 365 yt = 40:

 

(P (40) = 10000 (1+ frac {.05} {365}) ^ {365 cdot 40} aprox 73880.44 )

 

Por lo tanto, tendría $ 73880.44 después de cuarenta años.

 

Como puede ver al comparar los Ejemplos 8 y 18 , y los Ejemplos 9 y 19 , la diferencia entre mensual y diario la capitalización es generalmente pequeña. Sin embargo, la diferencia puede ser sustancial para grandes directores y / o grandes períodos de tiempo.

   

42 meses son 3,5 años, así que dejemos (P_ {0} = 500 ) , r = . 08, n = 4, yt = 3 . 5 en la fórmula ( 17 ):

 

(P (3.5) = 500 (1+ frac {.08} {4}) ^ {4 cdot 3.5} aprox 659.74 )

 

Por lo tanto, tendría $ 659.74 después de 42 meses.

   

Interés compuesto continuo y el número e

 

Usando la fórmula ( 17 ), es simple calcular la cantidad total para cualquier tipo de capitalización. Si bien la mayoría de los bancos acumulan intereses, ya sea diariamente o mensualmente, se puede hacer cada hora, o cada minuto, o cada segundo, etc. ¿Qué sucede con el monto total a medida que se acorta el período? De manera equivalente, ¿qué sucede cuando n aumenta en la fórmula ( 17 )? La ​​Tabla 1 muestra la cantidad después de un año con un principal de (P_ {0} = 100 ), r = .05, y varios valores de n:

 

 

Tabla 1. Comparación de la composición discreta con (P_ {0} = 100 ), r = .05 yt = 1 año.

 

Incluso si llevamos a cabo nuestros cálculos a ocho dígitos, parece que las cantidades en la columna de la derecha de Tabla 1 se están estabilizando. De hecho, usando el cálculo, se puede demostrar que estas cantidades se acercan cada vez más a un número en particular, y podemos calcular ese número.

 

Comenzando con la fórmula ( 17 ), dejaremos que n se acerque a ( infty ). En otras palabras, dejaremos que n crezca más y más sin límite, como comenzamos a hacer en Tabla 1 . El primer paso es usar las Leyes de los exponentes para escribir

 

(P_ {0} (1+ frac {r} {n}) ^ {nt} = P_ {0} [(1+ frac {r} {n}) ^ { frac {n} {r}}] ^ {rt} )

 

En el siguiente paso, reemplace (frac {n} {r} ) por m. Como ( frac {n} {r} = m ), se deduce que ( frac {r} {n} = frac {1} {m} ), y tenemos

 

(P_ {0} [(1+ frac {r} {n}) ^ { frac {n} {r}}] ^ {rt} = P_ {0} [(1+ frac { 1} {m}) ^ {m}] ^ {rt} )

 

Ahora deje que n se acerque a ( infty ). Dado que (m = frac {n} {r} ) y r es fijo, se deduce que m también se acerca a ( infty ). Podemos usar la función TABLA de la calculadora gráfica para investigar la convergencia de la expresión entre paréntesis a medida que m se acerca al infinito.

 

     
•      

  Cargue ((1+ frac {1} {m}) ^ m ) en el menú Y = de la calculadora gráfica, como se muestra en Figura 2 (a). Por supuesto, debe usar x en lugar de m e ingresar (1 + 1 / X) ^ X.

       
     
•      

  Use TBLSET y establezca Indepnt en Ask, seleccione TABLE, luego ingrese los números 10, 100,1000, 10000, 100000 y 1000000 para producir el resultado que se muestra en Figura 2 (b). Tenga en cuenta que (1 + 1 / X) ^ X parece converger al número 2.7183. Si mueve el cursor sobre el último resultado en la columna Y1, puede ver más precisión, 2.71828046932.

       
 

 

 

Tenga en cuenta que los números en la segunda columna en Figura 2 (b) parecen estabilizarse. De hecho, se puede demostrar mediante el cálculo que la expresión entre paréntesis se acerca cada vez más a un solo número, que se llama e . Para representar esta convergencia, escribimos

 

(1+ frac {1} {m}) ^ m rightarrow e )

 

e es un número irracional, aproximadamente 2.7183, como se muestra en los cálculos en Figura 2 (b). Se deduce que

 

(P_ {0} [(1+ frac {1} {m}) ^ {m}] ^ {rt} rightarrow P_ {0} e ^ {rt} )

   

Antes de trabajar en los siguientes ejemplos, encuentre los botones en su calculadora para el número e y para la función exponencial (e ^ x ). Si escribe e o e ^ (1) (con el botón (e ^ x )) obtendrá una aproximación al número e, como se muestra en Figura 2 (c). Compare esta aproximación con la que obtuvo anteriormente en Figura 2 (b).

   

En la fórmula ( 22 ), dejemos (P_ {0} = 100 ), r = 0.05 yt = 10:

 

(P (10) = 100e ^ {(0.05) (10)} )

 

Use su calculadora para aproximar este resultado, como se muestra en Figura 3 .

 

 

Por lo tanto, tendría $ 164.87 después de diez años.

   

En la fórmula ( 22 ), dejemos (P_ {0} = 10000 ), r = 0.05 yt = 40:

 

(P (10) = 10000e ^ {(0.05) (40)} aproximadamente 73 890.56 )

 

Por lo tanto, tendría $ 73 890.56 después de cuarenta años.

 

Observe que la fórmula de composición continua ( 22 ) es mucho más simple que la fórmula de composición discreta ( 17 ). A menos que el principal sea muy grande o el período de tiempo sea muy largo, los ejemplos anteriores muestran que la capitalización continua también es una aproximación cercana a la capitalización diaria. En Ejemplo 23 , la cantidad $ 164.87 es la misma (redondeada al centavo más cercano) que la cantidad de capitalización diaria encontrada en Ejemplo 18 . Con un capital mayor y un período de tiempo más largo, la cantidad de $ 73 890.56 en Ejemplo 24 que usa capitalización continua todavía es solo alrededor de $ 10 más que la cantidad de $ 73 880.44 para capitalización diaria encontrada en Ejemplo 19 .

     

Valor futuro y valor presente

 

En esta sección hemos derivado dos fórmulas, una para el interés compuesto discreto y la otra para el interés compuesto continuo. Sin embargo, en los ejemplos presentados hasta ahora, solo hemos usado estas fórmulas para calcular el valor futuro: dado un P0 principal y una tasa de interés r, ¿cuánto tendrá en su cuenta en t años?

 

Otro tipo de pregunta que podemos resolver se conoce como un problema de valor presente: ¿cuánto dinero tendrías que invertir a interés r para tener Q dólares en t años? Aquí hay un par de ejemplos:

   

En este caso, el principal (P_ {0} ) es desconocido, y sustituimos r = 0 . 04, n = 365 y t = 6, en la fórmula de composición discreta ( 17 ). Como P (6) = 8000, tenemos la ecuación

 

(8000 = P (6) = P_ {0} (1+ frac {0.04} {365}) ^ {(365) (5)} )

 

Esta ecuación se puede resolver por división:

 

( frac {8000} {1+ frac {0.04} {365}} = P_ {0} )

 

La ​​figura 4 muestra una aproximación de la calculadora para este resultado.

 

 

Por lo tanto, el valor actual es aproximadamente (P_ {0} aprox $ 6293.11 ). Si esta cantidad se invierte ahora al 4% compuesto diariamente, entonces su valor futuro en 6 años será de $ 8000.

   

Como en el último ejemplo, el principal (P_ {0} ) es desconocido, y esta vez r = 0.07 yt = 4 en la fórmula de capitalización continua ( 22 ). Entonces P (4) = 5000 produce la ecuación

 

(5000 = P (4) = P_ {0} e ^ {(0.07) (4)} ).

 

Como en el último ejemplo, esta ecuación también se puede resolver por división:

 

( frac {5000} {e ^ {(0.07) (4)}} = P_ {0} )

 

Una aproximación de la calculadora para este resultado se muestra en Figura 5 .

 

 

Por lo tanto, el valor actual es aproximadamente (P_ {0} aprox $ 3778.92 ). Si esta cantidad se invierte ahora al 7% compuesto continuamente, su valor futuro en 4 años será de $ 5000.

   

EJERCICIO

                                 

En Ejercicios 17 – 24 , evalúa la función en el valor dado p . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.