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las matematicas

8.3: Completando el cuadrado

                 

En Introducción a la notación radical , mostramos cómo resolver ecuaciones como (x ^ 2 = 9 ) tanto algebraicamente como gráficamente.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 9 \ x & = pm 3 end {alineado} nonumber ]

 
fig 8.3.1.png  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

Tenga en cuenta que cuando sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, hay dos respuestas, una negativa y otra positiva.

 

Un cuadrado perfecto está bien, pero no es obligatorio. De hecho, puede que incluso tengamos que factorizar un cuadrado perfecto para poner nuestra respuesta final en forma simple.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} & = 8 \ x & = pm sqrt {8} \ x & = pm sqrt {4} sqrt {2} \ x & = pm 2 sqrt {2} end {alineado} nonumber ]

 
fig 8.3.2.png  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

Los lectores deben usar sus calculadoras para verificar que (- 2 sqrt {2} aprox -2.8284 ) y (2 sqrt {2} aprox 2.8284 ).

 

Ahora, ampliemos esta técnica de solución a una clase más amplia de ecuaciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resolver para (x: (x-4) ^ {2} = 9 )

 

Solución

 

Al igual que las soluciones de (x ^ 2 = 9 ) son (x = ± 3 ), utilizamos un enfoque similar en ((x − 4) ^ 2 = 9 ) para obtener: [ 19459006]  

[ begin {array} {rlrl} {(x-4) ^ {2}} & {= 9} & {} & color {Red} { text {Ecuación original. }} \ {x-4} & {= pm 3} & {} & color {Red} { text {Hay dos raíces cuadradas. }} end {array} nonumber ]

 

Para completar la solución, agregue (4 ) a ambos lados de la ecuación.

 

[x = 4 pm 3 quad color {Rojo} text {Agregar} 3 text {a ambos lados. } nonumber ]

 

Tenga en cuenta que esto significa que hay dos respuestas, a saber:

 

[ begin {array} {l} {x = 4-3} \ {x = 1} end {array} nonumber ]

 

o

 

[ begin {array} {l} {x = 4 + 3} \ {x = 7} end {array} nonumber ]

 

Verificar: Verificar cada solución sustituyéndola en la ecuación original.

 

Sustituye (1 ) por (x ):

 

[ begin {alineado} (x-4) ^ {2} & = 9 \ (1-4) ^ {2} & = 9 \ (- 3) ^ {2} & = 9 end {alineado} nonumber ]

 

Sustituye (7 ) por (x ):

 

[ begin {alineado} (x-4) ^ {2} & = 9 \ (7-4) ^ {2} & = 9 \ (3) ^ {2} & = 9 end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que la última declaración en cada verificación es una declaración verdadera, tanto (x = 1 ) como (x = 7 ) son soluciones válidas de ((x − 4) ^ 2 = 9 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resolver para (x: (x + 6) ^ {2} = 10 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 2 ), (- 10 )

     
 
 
 

En el ejemplo ( PageIndex {1} ) , el lado derecho de la ecuación ((x − 4) ^ 2 = 9 ) era un cuadrado perfecto. Sin embargo, esto no es obligatorio, como se mostrará en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x: (x + 5) ^ {2} = 7 )

 

Solución

 

Utilizando la misma técnica que en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), obtenemos:

 

[ begin {array} {rlrl} {(x + 5) ^ {2}} & {= 7} & {} & color {Red} { text {Ecuación original. }} \ {x + 5} & {= pm sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Hay dos raíces cuadradas. }} end {array} nonumber ]

 

Para completar la solución, reste 5 de ambos lados de la ecuación.

 

[x = -5 pm sqrt {7} quad color {Rojo} text {Restar} 5 text {de ambos lados.} Nonumber ]

 

Tenga en cuenta que esto significa que hay dos respuestas, a saber:

 

[x = -5- sqrt {7} quad text {o} quad x = -5 + sqrt {7} nonumber ]

 

Verificar: Verificar cada solución sustituyéndola en la ecuación original.

 

Sustituye (- 5- sqrt {7} ) por (x ):

 

[ begin {alineado} (x + 5) ^ {2} & = 7 \ ((- 5- sqrt {7}) + 5) ^ {2} & = 7 \ (- sqrt {7}) ^ {2} & = 7 end {alineado} nonumber ]

 

Sustituye (- 5+ sqrt {7} ) por (x ):

 

[ begin {alineado} (x + 5) ^ {2} & = 7 \ ((- 5+ sqrt {7}) + 5) ^ {2} & = 7 \ ( sqrt {7}) ^ {2} & = 7 end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que la última declaración en cada verificación es una declaración verdadera, tanto (x = -5- sqrt {7} ) como (x = -5 + sqrt {7} ) son soluciones válidas de ((x + 5) ^ {2} = 7 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x: (x-4) ^ {2} = 5 )

 
     
Respuesta
     
     

(4+ sqrt {5}, 4- sqrt {5} )

     
 
 
 

A veces tendrás que factorizar un cuadrado perfecto para poner tu respuesta en forma simple.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resolver para (x: (x + 4) ^ {2} = 20 )

 

Solución

 

Utilizando la misma técnica que en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), obtenemos:

 

[ begin {array} {rlrl} {(x + 4) ^ {2}} & {= 20} & {} & color {Red} { text {Ecuación original. }} \ {x + 4} & {= pm sqrt {20}} & {} & color {Red} { text {Hay dos raíces cuadradas. }} \ {x + 4} & {= pm sqrt {4} sqrt {5}} & {} & color {Red} { text {Factoriza un cuadrado perfecto. }} \ {x + 4} & {= pm 2 sqrt {5}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} end {array} nonumber ]

 

Para completar la solución, reste (4 ) de ambos lados de la ecuación.

 

[x = -4 pm 2 sqrt {5} quad color {Rojo} text {Restar} 4 text {de ambos lados. } nonumber ]

 

Tenga en cuenta que esto significa que hay dos respuestas, a saber:

 

[x = -4-2 sqrt {5} quad text {o} quad x = -4 + 2 sqrt {5} nonumber ]

 

Verificar: Aunque es posible verificar las respuestas exactas, usemos nuestra calculadora en su lugar. Primero, almacene (- 4-2 sqrt {5} ) en ( mathbf {X} ). Luego, ingrese el lado izquierdo de la ecuación ((x + 4) ^ 2 = 20 ) (vea la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} )). Tenga en cuenta que (x + 4) 2 se simplifica a 20, mostrando que (- 4-2 sqrt {5} ) es una solución de ((x + 4) ^ 2 = 20 ).

 

De manera similar, la solución (- 4 + 2 sqrt {5} ) también registra ((x + 4) ^ 2 = 20 ) (ver imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {3} )).

 
fig 8.3.3.png  
Figura ( PageIndex {3} ): Comprobando (- 4-2 sqrt {5} ) y (- 4 + 2 sqrt {5} ) en la ecuación ((x + 4) ^ 2 = 20 ).
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resolver para (x: (x + 7) ^ {2} = 18 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 7 + 3 sqrt {2}, – 7-3 sqrt {2} )

     
 
 
 

Trinomios cuadrados perfectos revisitados

 

Recuerde el cuadrando un atajo binomial .

 
 

Cuadrando un binomio

 

Si (a ) y (b ) son números reales, entonces: [(a ± b) ^ 2 = a ^ 2 ± 2ab + b ^ 2 nonumber ] Es decir, tu cuadrado el primer término, tome el producto del primer y segundo término y duplique el resultado, luego cuadre el tercer término.

 
 

Ejemplos de recordatorio:

 

[ begin {alineado} (x + 3) ^ {2} & = x ^ {2} +2 (x) (3) + 3 ^ {2} \ & = x ^ {2} + 6 x + 9 end {alineado} nonumber ]

 

[ begin {alineado} (x-8) ^ {2} & = x ^ {2} -2 (x) (8) + 8 ^ {2} \ & = x ^ {2} – 16 x + 64 end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que factorizar es “inmultiplicar”, es una cuestión simple revertir el proceso de multiplicación y factorizar estos trinomios cuadrados perfectos .

 

[x ^ {2} +6 x + 9 = (x + 3) ^ {2} nonumber ]

 

[x ^ {2} -16 x + 64 = (x-8) ^ {2} nonumber ]

 

Observe cómo en cada caso simplemente tomamos la raíz cuadrada de los términos primero y último.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:

 
         
  1. (x ^ {2} -12 x + 36 )
  2.      
  3. (x ^ {2} +10 x + 25 )
  4.      
  5. (x ^ {2} -34 x + 289 )
  6.  
 

Solución

 

Siempre que los primeros y últimos términos de un trinomio sean cuadrados perfectos, debemos sospechar que tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

 
         
  1. Los términos primero y tercero de (x ^ {2} -12 x + 36 ) son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tomamos sus raíces cuadradas e intentamos: [x ^ {2} -12 x + 36 = (x-6) ^ {2} nonumber ] Tenga en cuenta que (2 (x) (6) = 12 x ), que es el término medio a la izquierda. La solución verifica.
  2.      
  3. Los términos primero y tercero de (x ^ {2} +10 x + 25 ) son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tomamos sus raíces cuadradas e intentamos: [x ^ {2} +10 x + 25 = (x + 5) ^ {2} nonumber ] Tenga en cuenta que (2 (x) (5) = 10 x ), que es el término medio a la izquierda. La solución verifica.
  4.      
  5. Los términos primero y tercero de (x ^ {2} -34 x + 289 ) son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tomamos sus raíces cuadradas e intentamos: [x ^ {2} -34 x + 289 = (x-17) ^ {2} nonumber ] Tenga en cuenta que (2 (x) (17) = 34 x ), que es el término medio a la izquierda. La solución verifica.
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factor: (x ^ 2 + 30x + 225 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 15) ^ {2} )

     
 
 
 

Completando la plaza

 

En esta sección comenzamos con el binomio (x ^ 2 + bx ) y hacemos la pregunta “¿Qué valor constante deberíamos agregar a (x ^ 2 + bx ) para que el trinomio resultante sea un cuadrado perfecto? trinomial? La respuesta está en este procedimiento.

 
 

Completando el cuadrado

 

Para calcular la constante requerida para hacer (x ^ 2 + bx ) un trinomio cuadrado perfecto:

 
         
  1. Tome la mitad del coeficiente de (x: dfrac {b} {2} )
  2.      
  3. Cuadra el resultado del paso uno: ( left ( dfrac {b} {2} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4} )
  4.      
  5. Agregue el resultado del paso dos a (x ^ {2} + b x: x ^ {2} + b x + dfrac {b ^ {2}} {4} )
  6.  
 

Si sigue este proceso, el resultado será un trinomio cuadrado perfecto que factorizará de la siguiente manera:

 

[x ^ {2} + b x + dfrac {b ^ {2}} {4} = left (x + dfrac {b} {2} right) ^ {2} nonumber ] [ 19459006]  

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Dado (x ^ 2 + 12 x ), completa el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 + 12x ) con (x ^ 2 + bx ) y observe que (b = 12 ).

 
         
  1. Tome la mitad de (12: 6 )
  2.      
  3. Cuadra el resultado del paso uno: (6 ^ 2 = 36 )
  4.      
  5. Agregue el resultado del paso dos a (x ^ 2 + 12x: x ^ 2 + 12x + 36 )
  6.  
 

Verifique: Tenga en cuenta que los términos primero y último de (x ^ 2 + 12x + 36 ) son cuadrados perfectos. Tome las raíces cuadradas del primer y último término y factorice de la siguiente manera:

 

[x ^ {2} +12 x + 36 = (x + 6) ^ {2} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que (2 (x) (6) = 12x ), por lo que se verifica el término medio.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Dado (x ^ 2 + 16x ), completa el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} +16 x + 64 = (x + 8) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dado (x ^ 2−3x ), completa el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

 

Solución

 

Compare (x ^ 2 −3x ) con (x ^ 2 + bx ) y observe que (b = −3 ).

 
         
  1. Tome la mitad de (- 3: – dfrac {3} {2} )
  2.      
  3. Cuadra el resultado del paso uno: ( left (- dfrac {3} {2} right) ^ {2} = dfrac {9} {4} )
  4.      
  5. Agregue el resultado del paso dos a (x ^ {2} -3 x: x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} )
  6.  
 

Verifique: Tenga en cuenta que los primeros y últimos términos de (x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} ) son cuadrados perfectos. Tome las raíces cuadradas del primer y último término y factorice de la siguiente manera:

 

[x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} = left (x- dfrac {3} {2} right) ^ {2} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que (2 (x) left ( dfrac {3} {2} right) = 3 x ), por lo que se verifica el término medio.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Dado (x ^ 2 −5x ), completa el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {2} -5 x + dfrac {10} {4} = left (x- dfrac {5} {2} right) ^ {2} )

     
 
 
 

Resolviendo ecuaciones completando el cuadrado

 

Considere la siguiente ecuación no lineal.

 

[x ^ 2 = 2x +2 nonumber ]

 

El enfoque estándar es hacer un lado cero y factorizar. [X ^ 2 −2x − 2 = 0 nonumber ] Sin embargo, uno se da cuenta rápidamente de que no hay un par entero cuyo producto sea (ac = −2 ) y cuya suma es (b = −2 ). Entonces, ¿qué hace uno en esta situación? La respuesta es “Completa el cuadrado”.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Usa completar el cuadrado para ayudar a resolver (x ^ 2 = 2x + 2 ).

 

Solución

 

Primero, mueva (2x ) al lado izquierdo de la ecuación, manteniendo la constante (2 ) en el lado derecho de la ecuación. [X ^ 2 −2x = 2 nonumber ] A la izquierda, tome la mitad del coeficiente de (x: left ( dfrac {1} {2} right) (- 2) = – 1 ). Cuadra el resultado: ((- 1) ^ {2} = 1 ). Agregue este resultado a ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {array} {l} {x ^ {2} -2 x + 1 = 2 + 1} \ {x ^ {2} -2 x + 1 = 3} end {array} nonumber ]

 

Ahora podemos factorizar el lado izquierdo como un trinomio cuadrado perfecto.

 

[(x-1) ^ {2} = 3 nonumber ]

 

Ahora, como en los Ejemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ), y ( PageIndex {3} ), podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados del ecuación. Recuerde, hay dos raíces cuadradas.

 

[x-1 = pm sqrt {3} nonumber ]

 

Finalmente, agregue (1 ) a ambos lados de la ecuación.

 

[x = 1 pm sqrt {3} nonumber ]

 

Por lo tanto, la ecuación (x ^ 2 = 2x + 2 ) tiene dos respuestas, (x = 1- sqrt {3} ) y (x = 1 + sqrt {3} ).

 

Verificar: Usemos la calculadora para verificar las soluciones. Primero, almacene (1- sqrt {3} ) en ( mathbf {X} ) (vea la imagen a la izquierda en la Figura ( PageIndex {4} )). Luego ingrese los lados izquierdo y derecho de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 2 ) y compare los resultados (vea la imagen a la izquierda en la Figura ( PageIndex {4} )). De manera similar, verifique la segunda respuesta (1+ sqrt {3} ) (vea la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {4} )).

 
fig 8.3.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Verificando (1- sqrt {3} ) y (1+ sqrt {3} ) en la ecuación (x ^ 2 = 2x + 2 ).
 

En ambos casos, tenga en cuenta que los lados izquierdo y derecho de (x ^ 2 = 2x + 2 ) producen el mismo resultado. Por lo tanto, tanto (1- sqrt {3} ) como (1+ sqrt {3} ) son soluciones válidas de (x ^ 2 = 2x + 2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Usa completar el cuadrado para ayudar a resolver (x ^ 2 = 3−6x ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 3 + 2 sqrt {3}, – 3-2 sqrt {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ), tanto algebraica como gráficamente. Compara tu respuesta de cada método.

 

Solución

 

Primero, mueve la constante (12 ) al lado derecho de la ecuación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} -8 x-12 = 0 & quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ x ^ {2} -8 x = 12 & quad color {Rojo} text {Agregar} 12 text {a ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

 

Tome la mitad del coeficiente de (x: (1/2) (- 8) = – 4 ). Cuadrado: ((- 4) ^ {2} = 16 ). Ahora agregue (16 ) a ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} -8 x + 16 & = 12 + 16 quad color {Rojo} text {Agregar} 16 text {a ambos lados. } \ (x-4) ^ {2} & = 28 quad color {Red} text {Factorizar lado izquierdo. } \ x-4 & = pm sqrt {28} quad color {Red} text {Hay dos raíces cuadradas. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que la respuesta no está en forma radical simple.

 

[ begin {array} {rlrl} {x-4} & {= pm sqrt {4} sqrt {7}} & {} & color {Red} { text { Factoriza un cuadrado perfecto. }} \ {x-4} & {= pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} \ {x} & {= 4 pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Add} 4 text {a ambos lados. }} end {array} nonumber ]

 

Solución gráfica: Ingrese la ecuación (y = x ^ 2 – 8x – 12 ) en ( mathbf {Y1} ) del menú Y = ( vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {5} )). Después de experimentar un poco, nos decidimos por los parámetros WINDOW que se muestran en la imagen central de la Figura ( PageIndex {5} ). Una vez que haya ingresado estos parámetros WINDOW , presione el botón GRAPH para producir la imagen más a la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
fig 8.3.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Dibujando la gráfica de (y = x ^ 2 −8x − 12 ).
 

Estamos buscando soluciones de (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ), por lo que debemos ubicar dónde la gráfica de (y = x ^ 2 −8x − 12 ) intercepta el ( x ) – eje. Es decir, necesitamos encontrar los ceros de (y = x ^ 2 −8x − 12 ). Seleccione 2: cero en el menú CALC , mueva el cursor ligeramente a la izquierda de la primera (x ) – intercepción y presione ENTER en respuesta a “Atado a la izquierda”. Mueva el cursor ligeramente a la derecha de la primera intersección (x ) y presione ENTRAR en respuesta a “Límite derecho”. Deje el cursor donde se sienta y presione ENTER en respuesta a “Adivina”. La calculadora responde encontrando la coordenada (x ) de la intersección (x ), como se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {6} ).

 

Repita el proceso para encontrar la segunda (x ) – intersección de (y = x ^ 2−8x − 12 ) que se muestra en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
fig 8.3.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Cálculo de los ceros de (y = x ^ 2 −8x − 12 ).
 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {7} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {7} )).
  •      
  • Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {7} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2−8x − 12 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {7} )).
  •  
 
fig 8.3.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Por lo tanto, la calculadora gráfica informa que las soluciones de (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ) son (x approx-1.291503 ) y (x approx 9.2915026 ).

 

Comparación de aproximaciones exactas y calculadoras: ¿Qué tan bien se comparan las soluciones de la calculadora gráfica con las soluciones exactas, (x = 4-2 sqrt {7} ) y (x = 4 + 2 sqrt {7} )? Después de ingresar cada uno en la calculadora (ver Figura ( PageIndex {8} )), ¡la comparación es excelente!

 
fig 8.3.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Aproximación de soluciones exactas (x = 4-2 sqrt {7} ) y (x = 4 + 2 sqrt {7} ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 + 6x + 3 = 0 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(- 3- sqrt {6}, – 3+ sqrt {6} )

     

Exercise 8.3.8.png

     
 
 
 
                                  
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