Ejemplo ( PageIndex {4} )

Factoriza cada uno de los siguientes trinomios:

     
1. (x ^ {2} -12 x + 36 )
     
2. (x ^ {2} +10 x + 25 )
     
3. (x ^ {2} -34 x + 289 )
 

Solución

Siempre que los primeros y últimos términos de un trinomio sean cuadrados perfectos, debemos sospechar que tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

     
1. Los términos primero y tercero de (x ^ {2} -12 x + 36 ) son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tomamos sus raíces cuadradas e intentamos: [x ^ {2} -12 x + 36 = (x-6) ^ {2} nonumber ] Tenga en cuenta que (2 (x) (6) = 12 x ), que es el término medio a la izquierda. La solución verifica.
     
2. Los términos primero y tercero de (x ^ {2} +10 x + 25 ) son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tomamos sus raíces cuadradas e intentamos: [x ^ {2} +10 x + 25 = (x + 5) ^ {2} nonumber ] Tenga en cuenta que (2 (x) (5) = 10 x ), que es el término medio a la izquierda. La solución verifica.
     
3. Los términos primero y tercero de (x ^ {2} -34 x + 289 ) son cuadrados perfectos. Por lo tanto, tomamos sus raíces cuadradas e intentamos: [x ^ {2} -34 x + 289 = (x-17) ^ {2} nonumber ] Tenga en cuenta que (2 (x) (17) = 34 x ), que es el término medio a la izquierda. La solución verifica.
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Dado (x ^ 2 + 12 x ), completa el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

Solución

Compare (x ^ 2 + 12x ) con (x ^ 2 + bx ) y observe que (b = 12 ).

     
1. Tome la mitad de (12: 6 )
     
2. Cuadra el resultado del paso uno: (6 ^ 2 = 36 )
     
3. Agregue el resultado del paso dos a (x ^ 2 + 12x: x ^ 2 + 12x + 36 )
 

Verifique: Tenga en cuenta que los términos primero y último de (x ^ 2 + 12x + 36 ) son cuadrados perfectos. Tome las raíces cuadradas del primer y último término y factorice de la siguiente manera:

[x ^ {2} +12 x + 36 = (x + 6) ^ {2} nonumber ]

Tenga en cuenta que (2 (x) (6) = 12x ), por lo que se verifica el término medio.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Dado (x ^ 2−3x ), completa el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

Solución

Compare (x ^ 2 −3x ) con (x ^ 2 + bx ) y observe que (b = −3 ).

     
1. Tome la mitad de (- 3: – dfrac {3} {2} )
     
2. Cuadra el resultado del paso uno: ( left (- dfrac {3} {2} right) ^ {2} = dfrac {9} {4} )
     
3. Agregue el resultado del paso dos a (x ^ {2} -3 x: x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} )
 

Verifique: Tenga en cuenta que los primeros y últimos términos de (x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} ) son cuadrados perfectos. Tome las raíces cuadradas del primer y último término y factorice de la siguiente manera:

[x ^ {2} -3 x + dfrac {9} {4} = left (x- dfrac {3} {2} right) ^ {2} nonumber ]

Tenga en cuenta que (2 (x) left ( dfrac {3} {2} right) = 3 x ), por lo que se verifica el término medio.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Usa completar el cuadrado para ayudar a resolver (x ^ 2 = 2x + 2 ).

Solución

Primero, mueva (2x ) al lado izquierdo de la ecuación, manteniendo la constante (2 ) en el lado derecho de la ecuación. [X ^ 2 −2x = 2 nonumber ] A la izquierda, tome la mitad del coeficiente de (x: left ( dfrac {1} {2} right) (- 2) = – 1 ). Cuadra el resultado: ((- 1) ^ {2} = 1 ). Agregue este resultado a ambos lados de la ecuación.

[ begin {array} {l} {x ^ {2} -2 x + 1 = 2 + 1} \ {x ^ {2} -2 x + 1 = 3} end {array} nonumber ]

Ahora podemos factorizar el lado izquierdo como un trinomio cuadrado perfecto.

[(x-1) ^ {2} = 3 nonumber ]

Ahora, como en los Ejemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ), y ( PageIndex {3} ), podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados del ecuación. Recuerde, hay dos raíces cuadradas.

[x-1 = pm sqrt {3} nonumber ]

Finalmente, agregue (1 ) a ambos lados de la ecuación.

[x = 1 pm sqrt {3} nonumber ]

Por lo tanto, la ecuación (x ^ 2 = 2x + 2 ) tiene dos respuestas, (x = 1- sqrt {3} ) y (x = 1 + sqrt {3} ).

Verificar: Usemos la calculadora para verificar las soluciones. Primero, almacene (1- sqrt {3} ) en ( mathbf {X} ) (vea la imagen a la izquierda en la Figura ( PageIndex {4} )). Luego ingrese los lados izquierdo y derecho de la ecuación (x ^ 2 = 2 x + 2 ) y compare los resultados (vea la imagen a la izquierda en la Figura ( PageIndex {4} )). De manera similar, verifique la segunda respuesta (1+ sqrt {3} ) (vea la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {4} )).

En ambos casos, tenga en cuenta que los lados izquierdo y derecho de (x ^ 2 = 2x + 2 ) producen el mismo resultado. Por lo tanto, tanto (1- sqrt {3} ) como (1+ sqrt {3} ) son soluciones válidas de (x ^ 2 = 2x + 2 ).

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Resuelve la ecuación (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ), tanto algebraica como gráficamente. Compara tu respuesta de cada método.

Solución

Primero, mueve la constante (12 ) al lado derecho de la ecuación.

[ begin {alineado} x ^ {2} -8 x-12 = 0 & quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ x ^ {2} -8 x = 12 & quad color {Rojo} text {Agregar} 12 text {a ambos lados. } end {alineado} nonumber ]

Tome la mitad del coeficiente de (x: (1/2) (- 8) = – 4 ). Cuadrado: ((- 4) ^ {2} = 16 ). Ahora agregue (16 ) a ambos lados de la ecuación.

[ begin {alineado} x ^ {2} -8 x + 16 & = 12 + 16 quad color {Rojo} text {Agregar} 16 text {a ambos lados. } \ (x-4) ^ {2} & = 28 quad color {Red} text {Factorizar lado izquierdo. } \ x-4 & = pm sqrt {28} quad color {Red} text {Hay dos raíces cuadradas. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que la respuesta no está en forma radical simple.

[ begin {array} {rlrl} {x-4} & {= pm sqrt {4} sqrt {7}} & {} & color {Red} { text { Factoriza un cuadrado perfecto. }} \ {x-4} & {= pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {4} = 2} \ {x} & {= 4 pm 2 sqrt {7}} & {} & color {Red} { text {Add} 4 text {a ambos lados. }} end {array} nonumber ]

Solución gráfica: Ingrese la ecuación (y = x ^ 2 – 8x – 12 ) en ( mathbf {Y1} ) del menú Y = ( vea la primera imagen en la Figura ( PageIndex {5} )). Después de experimentar un poco, nos decidimos por los parámetros WINDOW que se muestran en la imagen central de la Figura ( PageIndex {5} ). Una vez que haya ingresado estos parámetros WINDOW , presione el botón GRAPH para producir la imagen más a la derecha en la Figura ( PageIndex {5} ).

Estamos buscando soluciones de (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ), por lo que debemos ubicar dónde la gráfica de (y = x ^ 2 −8x − 12 ) intercepta el ( x ) – eje. Es decir, necesitamos encontrar los ceros de (y = x ^ 2 −8x − 12 ). Seleccione 2: cero en el menú CALC , mueva el cursor ligeramente a la izquierda de la primera (x ) – intercepción y presione ENTER en respuesta a “Atado a la izquierda”. Mueva el cursor ligeramente a la derecha de la primera intersección (x ) y presione ENTRAR en respuesta a “Límite derecho”. Deje el cursor donde se sienta y presione ENTER en respuesta a “Adivina”. La calculadora responde encontrando la coordenada (x ) de la intersección (x ), como se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {6} ).

Repita el proceso para encontrar la segunda (x ) – intersección de (y = x ^ 2−8x − 12 ) que se muestra en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {6} ).

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

     
• Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {7} )).
     
• Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {7} )).
     
• Etiquete el gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {7} )).
     
• Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2−8x − 12 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {7} )).
 

Por lo tanto, la calculadora gráfica informa que las soluciones de (x ^ 2 −8x − 12 = 0 ) son (x approx-1.291503 ) y (x approx 9.2915026 ).

Comparación de aproximaciones exactas y calculadoras: ¿Qué tan bien se comparan las soluciones de la calculadora gráfica con las soluciones exactas, (x = 4-2 sqrt {7} ) y (x = 4 + 2 sqrt {7} )? Después de ingresar cada uno en la calculadora (ver Figura ( PageIndex {8} )), ¡la comparación es excelente!