Saltar al contenido
las matematicas

8.3: Elipses

La elipse en forma estándar

 

Una elipse 14 es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, tienen una suma que es igual a constante positiva En otras palabras, si los puntos (F1 ) y (F2 ) son los focos (plural de foco) y (d ) es una constante positiva dada, entonces ((x, y) ) es un punto en la elipse if (d = d_ {1} + d_ {2} ) como se muestra a continuación:

 
imageedit_2_2910588286.png
Figura 8.3.1
 

Además, se puede formar una elipse por la intersección de un cono con un plano oblicuo que no es paralelo al lado del cono y no se cruza con la base del cono. Los puntos en esta forma ovalada donde la distancia entre ellos es máxima se denominan vértices 15 y definen el eje mayor 16 . El centro de una elipse es el punto medio entre los vértices. El eje menor 17 es el segmento de línea a través del centro de una elipse definida por dos puntos en la elipse donde la distancia entre ellos es mínima. Los puntos finales del eje menor se denominan co-vértices 18 .

 
imageedit_42_6771649286.png
Figura 8.3.2
 

Si el eje mayor de una elipse es paralelo al eje (x ) en un plano de coordenadas rectangular, decimos que la elipse es horizontal. Si el eje mayor es paralelo al eje (y ), decimos que la elipse es vertical. En esta sección, solo nos interesa dibujar estos dos tipos de elipses. Sin embargo, la elipse tiene muchas aplicaciones en el mundo real y se recomienda realizar más investigaciones sobre este rico tema. En un plano de coordenadas rectangular, donde el centro de una elipse horizontal es ((h, k) ), tenemos

 
imageedit_9_5816222250.png
Figura 8.3.3
 

Como se muestra en la imagen (a> b ) donde (a ), la mitad de la longitud del eje mayor, se denomina radio mayor 19 [19459008 ] . Y (b ), la mitad de la longitud del eje menor, se llama radio menor 20 . La ecuación de una elipse en forma estándar 21 sigue:

 

( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

 

Los vértices son ((h ± a, k) ) y ((h, k ± b) ) y la orientación depende de (a ) y (b ). Si (a> b ), la elipse es horizontal como se muestra arriba y si (a  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla 8.3.1
Ecuación Centro (a ) (b ) Orientación
( frac {(x-1) ^ {2}} {4} + frac {(y-8) ^ {2}} {9} = 1 ) ((1,8) ) (a = 2 ) (b = 3 ) Vertical
( frac {(x-3) ^ {2}} {2} + frac {(y + 5) ^ {2}} {16} = 1 ) ((3, -5) ) (a = sqrt {2} ) (b = 4 ) Vertical
( frac {(x + 1) ^ {2}} {1} + frac {(y-7) ^ {2}} {8} = 1 ) ((- 1,7) ) (a = 1 ) (b = 2 sqrt {2} ) Vertical
( frac {x ^ {2}} {25} + frac {(y + 6) ^ {2}} {10} = 1 ) ((0, -6) ) (a = 5 ) (b = sqrt {10} ) Horizontal
 

La gráfica de una elipse está completamente determinada por su centro, orientación, radio mayor y radio menor, todo lo cual puede determinarse a partir de su ecuación escrita en estándar a partir de.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Gráfico: ( frac {(x + 3) ^ {2}} {4} + frac {(y-2) ^ {2}} {25} = 1 ).

 

Solución

 

Escrito de esta forma, podemos ver que el centro de la elipse es ((- 3,2) ), (a = sqrt {4} = 2 ) y (b = sqrt { 25} = 5 ). Desde la marca central señala 2 unidades hacia la izquierda y derecha y 5 unidades hacia arriba y hacia abajo.

 
imageedit_46_9665036689.png
Figura 8.3.4
 

Luego dibuja una elipse a través de estos cuatro puntos.

 

Respuesta

 
imageedit_17_5171480346.png
Figura 8.3.5
 
 

Como con cualquier gráfico, estamos interesados ​​en encontrar las intersecciones (x ) – y (y ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentra las intersecciones: ( frac {(x + 3) ^ {2}} {4} + frac {(y-2) ^ {2}} {25} = 1 ).

 

Solución

 

Para encontrar (x ) – intercepta el conjunto (y = 0 ):

 

( begin {alineado} frac {(x + 3) ^ {2}} {4} + frac {(0-2) ^ {2}} {25} & = 1 \ frac {(x + 3) ^ {2}} {4} + frac {4} {25} & = 1 \ frac {(x + 3) ^ {2}} {4} & = 1- frac {4} {25} \ frac {(x + 3) ^ {2}} {4} & = frac {21} {25} end {alineado} )

 

En este punto, extraemos la raíz aplicando la propiedad de la raíz cuadrada.

 

( begin {alineado} frac {x + 3} {2} & = pm sqrt { frac {21} {25}} \ x + 3 & = pm frac {2 sqrt {21}} {5} \ x & = – 3 pm frac {2 sqrt {21}} {5} = frac {-15 pm 2 sqrt {21}} {5} end {alineado} )

 

Establecer (x = 0 ) y resolver para (y ) conduce a soluciones complejas, por lo tanto, no hay (y ) – intercepciones. Esto se deja como un ejercicio.

 

Respuesta :

 

(x ) – intercepta: ( left ( frac {-15 pm 2 sqrt {21}} {5}, 0 right) ); (y ) – intercepta: ninguno.

 
 

A diferencia de un círculo, la forma estándar de una elipse requiere un (1 ) en un lado de su ecuación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Representa gráficamente y rotula las intersecciones: ((x-2) ^ {2} +9 (y-1) ^ {2} = 9 ).

 

Solución

 

Para obtener la forma estándar, con (1 ) en el lado derecho, divida ambos lados entre (9 ).

 

( begin {alineado} frac {(x-2) ^ {2} +9 (y-1) ^ {2}} { color {Cerulean} {9}} & color {black} {=} frac {9} { color {Cerulean} {9}} \ frac {(x-2) ^ {2}} {9} + frac {9 (y-1) ^ {2} } {9} & = frac {9} {9} \ frac {(x-2) ^ {2}} {9} + frac {(y-1) ^ {2}} {1} & = 1 end {alineado} )

 

Por lo tanto, el centro de la elipse es ((2,1) ), (a = sqrt {9} = 3 ) y (b = sqrt {1} = 1 ). El gráfico sigue:

 
imageedit_21_6941829446.png
Figura 8.3.6
 

Para encontrar las intersecciones podemos usar la forma estándar ( frac {(x-2) ^ {2}} {9} + (y-1) ^ {2} = 1 ):

                                                                                                              
(x ) – conjunto de intercepciones (y = 0 ) (y ) – conjunto de intercepciones (x = 0 )
( begin {array} {r} { frac {(x-2) ^ {2}} {9} + ( color {Cerulean} {0} color {black} {-} 1) ^ {2} = 1} \ { frac {(x-2) ^ {2}} {9} + 1 = 1} \ {(x-2) ^ {2} = 0} \ {x -2 = 0} \ {x = 2} end {array} ) ( begin {alineado} frac {( color {Cerulean} {0} color {black} {-} 2) ^ {2}} {9} + (y-1) ^ {2} & = 1 \ frac {4} {9} + (y-1) ^ {2} & = 1 \ (y-1) ^ {2} & = frac {5} {9} \ y -1 & = pm sqrt { frac {5} {9}} \ y & = 1 pm frac { sqrt {5}} {3} = frac {3 pm sqrt {5} } {3} end {alineado} )
 

Tabla 8.3.2

 

Por lo tanto, la intersección (x ) – es ((2,0) ) y las intersecciones (y ) – ( left (0, frac {3+ sqrt {5}} {3} right) ) y ( left (0, frac {3- sqrt {5}} {3} right) ).

 

Respuesta :

 
imageedit_25_3510451197.png
Figura 8.3.7
 
 

Considere la elipse centrada en el origen,

 

(x ^ {2} + frac {y ^ {2}} {4} = 1 )

 

Dada esta ecuación podemos escribir,

 

( frac {(x-0) ^ {2}} {1 ^ {2}} + frac {(y-0) ^ {2}} {2 ^ {2}} = 1 )

 

En esta forma, está claro que el centro es ((0,0) ), (a = 1 ) y (b = 2 ). Además, si resolvemos para (y ) obtenemos dos funciones:

 

( begin {alineado} x ^ {2} + frac {y ^ {2}} {4} & = 1 \ frac {y ^ {2}} {4} & = 1-x ^ {2} \ y ^ {2} & = 4 left (1-x ^ {2} right) \ y & = pm sqrt {4 left (1-x ^ {2} right )} \ y & = pm 2 sqrt {1-x ^ {2}} end {alineado} )

 

La función definida por (y = 2 sqrt {1-x ^ {2}} ) es la mitad superior de la elipse y la función definida por (y = -2 sqrt {1-x ^ {2}} ) es la mitad inferior.

 
imageedit_29_7484993562.png
Figura 8.3.8
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Gráfico: (9 (x-3) ^ {2} +4 (y + 2) ^ {2} = 36 ).

 
     
Respuesta
     
     
imageedit_54_3427818305.png
Figura 8.3.9
               
 
 
 

La elipse en forma general

 

Hemos visto que la gráfica de una elipse está completamente determinada por su centro, orientación, radio mayor y radio menor; que se puede leer de su ecuación en forma estándar. Sin embargo, la ecuación no siempre se da en forma estándar. La ecuación de una elipse en forma general 22 sigue,

 

(p x ^ {2} + q y ^ {2} + c x + d y + e = 0 )

 

donde (p, q> 0 ). Los pasos para graficar una elipse dada su ecuación en forma general se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Gráfico (2 x ^ {2} +9 y ^ {2} +16 x-90 y + 239 = 0 ).

 

Solución

 

Comienza reescribiendo la ecuación en forma estándar.

 

Paso 1 : Agrupe los términos con las mismas variables y mueva la constante hacia el lado derecho. Factorice de modo que el coeficiente principal de cada grupo sea (1 ).

 

( begin {alineado} 2 x ^ {2} +9 y ^ {2} +16 x-90 y + 239 & = 0 \ left (2 x ^ {2} +16 x + _ _ _ right.) + left (9 y ^ {2} -90 y + _ _ _ right) & = – 239 \ 2 left (x ^ {2} + 8x + _ _ _ right) +9 left (y ^ {2} -10y + _ _ _ right) & = – 239 end {alineado} )

 

Paso 2 : Completa el cuadrado para cada grupo. En este caso, para los términos que involucran (x ) use ( left ( frac {8} {2} right) ^ {2} = 4 ^ {2} = 16 ) y para los términos que involucran (y ) use ( left ( frac {-10} {2} right) ^ {2} = (- 5) ^ {2} = 25 ). El factor delante de la agrupación afecta el valor utilizado para equilibrar la ecuación en el lado derecho:

 

(2 color {negro} { left (x ^ {2} +8 x color {Cerulean} {+ 16} right) +} 9 color {black} { left (y ^ { 2} -10 y color {OliveGreen} {+ 25} right) =} – 239 color {Cerulean} {+ 32} color {OliveGreen} {+ 225} )

 

Debido a la propiedad distributiva, agregar (16 ) dentro de la primera agrupación es equivalente a agregar (2⋅16 = 32 ). Del mismo modo, agregar (25 ) dentro de la segunda agrupación es equivalente a agregar (9⋅25 = 225 ). Ahora factoriza y luego divide para obtener (1 ) en el lado derecho.

 

( begin {alineado} 2 (x + 4) ^ {2} +9 (y-5) ^ {2} & = 18 \ frac {2 (x + 4) ^ {2} + 9 (y-5) ^ {2}} { color {Cerulean} {18}} & color {black} {=} frac {18} { color {Cerulean} {18}} \ frac { 2 (x + 4) ^ {2}} {18} + frac {9 (y-5) ^ {2}} {18} & = frac {18} {18} \ frac {(x + 4) ^ {2}} {9} + frac {(y-5) ^ {2}} {2} & = 1 end {alineado} )

 

Paso 3 : Determine el centro, (a ) y (b ). En este caso, el centro es ((- 4,5) ), (a = sqrt {9} = 3 ) y (b = sqrt {2} ).

 

Paso 4 : Usa a para marcar los vértices a la izquierda y a la derecha del centro, usa b para marcar los vértices hacia arriba y hacia abajo desde el centro, y luego dibuja el gráfico. En este caso, los vértices a lo largo de los ejes menores ((- 4,5 pm sqrt {2}) ) no son aparentes y deben etiquetarse.

 
imageedit_33_4965084120.png
Figura 8.3.10
 

Respuesta :

 
imageedit_37_9255639646.png
Figura 8.3.11
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Determine el centro de la elipse, así como las longitudes de los ejes mayor y menor: (5 x ^ {2} + y ^ {2} -3 x + 40 = 0 ).

 

Solución

 

En este ejemplo, solo necesitamos completar el cuadrado de los términos que involucran (x ).

 

( begin {alineado} 5 x ^ {2} + y ^ {2} -30 x + 40 & = 0 \ left (5 x ^ {2} -30 x + _ _ _ right) + y ^ {2} & = – 40 \ 5 left (x ^ {2} -6x + _ _ _ right) + y ^ {2} & = – 40 end {alineado} )

 

Use ( left ( frac {-6} {2} right) ^ {2} = (- 3) ^ {2} = 9 ) para que la primera agrupación se equilibre con (5⋅ 9 = 45 ) en el lado derecho.

 

( begin {alineado} 5 color {negro} { left (x ^ {2} -6 x color {Cerulean} {+ 9} right) +} y ^ {2} & = – 40 color {Cerulean} {+ 45} \ 5 (x-3) ^ {2} + y ^ {2} & = 5 \ frac {5 (x-3) ^ {2} + y ^ { 2}} { color {Cerulean} {5}} & color {black} {=} frac {5} { color {Cerulean} {5}} \ frac {(x-3) ^ {2 }} {1} + frac {y ^ {2}} {5} & = 1 end {alineado} )

 

Aquí, el centro es ((3,0) ), (a = sqrt {1} = 1 ) y (b = sqrt {5} ). Como (b ) es mayor que (a ), la longitud del eje mayor es (2b ) y la longitud del eje menor es (2a ).

 

Respuesta

 

Centro: ((3,0) ); eje principal: 2 ( sqrt {5} ) unidades; eje menor: (2 ) unidades.

 
 

Puntos clave

 
         
  • La gráfica de una elipse está completamente determinada por su centro, orientación, radio mayor y radio menor.
  •      
  • El centro, la orientación, el radio mayor y el radio menor son evidentes si la ecuación de una elipse se da en forma estándar: ( frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ).
  •      
  • Para representar gráficamente una elipse, marque los puntos (a ) unidades hacia la izquierda y derecha desde el centro y los puntos (b ) hacia arriba y hacia abajo desde el centro. Dibuja una elipse a través de estos puntos.
  •      
  • La orientación de una elipse está determinada por (a ) y (b ). Si (a> b ), la elipse es más ancha que alta y se considera una elipse horizontal. Si a      
  • Si la ecuación de una elipse se da en forma general (px ^ {2} + qy ^ {2} + c x + d y + e = 0 ) donde (p, q> 0 ), agrupe los términos con las mismas variables y complete el cuadrado para ambas agrupaciones.
  •      
  • Reconocemos la ecuación de una elipse si es cuadrática tanto en (x ) como en (y ) y los coeficientes de cada término cuadrado tienen el mismo signo.
  •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Dada la ecuación de una elipse en forma estándar, determine su centro, orientación, radio mayor y radio menor.

 
         
  1. ( frac {(x-1) ^ {2}} {4} + frac {(y + 2) ^ {2}} {49} = 1 )
  2.      
  3. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {64} + frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 )
  4.      
  5. ( frac {x ^ {2}} {3} + (y + 9) ^ {2} = 1 )
  6.      
  7. ( frac {(x-1) ^ {2}} {8} + y ^ {2} = 1 )
  8.      
  9. (4 (x + 5) ^ {2} +9 (y + 5) ^ {2} = 36 )
  10.      
  11. (16 (x-1) ^ {2} +3 (y + 10) ^ {2} = 48 )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Centro: ((1, −2) ); orientación: vertical; radio principal: (7 ) unidades; radio menor: (2 ) unidades; (a = 2; b = 7 )

     

3. Centro: ((0, −9) ); orientación: horizontal; radio mayor: ( sqrt {3} ) unidades; radio menor: (1 ) unidad; (a = sqrt {3}; b = 1 )

     

5. Centro: ((- 5, −5) ); orientación: horizontal; radio mayor: (3 ) unidades; radio menor: (2 ) unidades; (a = 3; b = 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine la forma estándar para la ecuación de una elipse dada la siguiente información.

 
         
  1. Centro ((3,4) ) con (a = 5 ) y (b = 2 ).
  2.      
  3. Centro ((- 1,9) ) con (a = 7 ) y (b = 3 ).
  4.      
  5. Centro ((5, -1) ) con (a = sqrt {6} ) y (b = 2 sqrt {3} ).
  6.      
  7. Centro ((- 7, -2) ) con (a = 5 sqrt {2} ) y (b = sqrt {7} ).
  8.      
  9. Centro ((0, -3) ) con (a = 1 ) y (b = sqrt {5} ).
  10.      
  11. Centro ((0,0) ) con (a = sqrt {2} ) y (b = 4 ).
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {(x-3) ^ {2}} {25} + frac {(y-4) ^ {2}} {4} = 1 )

     

3. ( frac {(x-5) ^ {2}} {6} + frac {(y + 1) ^ {2}} {12} = 1 )

     

5. (x ^ {2} + frac {(y + 3) ^ {2}} {5} = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Gráfico.

 
         
  1. ( frac {(x-4) ^ {2}} {4} + frac {(y + 2) ^ {2}} {9} = 1 )
  2.      
  3. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {25} + frac {(y-2) ^ {2}} {4} = 1 )
  4.      
  5. ( frac {(x-5) ^ {2}} {16} + frac {(y + 6) ^ {2}} {1} = 1 )
  6.      
  7. ( frac {(x + 4) ^ {2}} {4} + frac {(y + 3) ^ {2}} {36} = 1 )
  8.      
  9. ( frac {(x-2) ^ {2}} {9} + frac {(y-1) ^ {2}} {64} = 1 )
  10.      
  11. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {49} + (y + 3) ^ {2} = 1 )
  12.      
  13. (4 (x + 3) ^ {2} +9 (y-3) ^ {2} = 36 )
  14.      
  15. (16 x ^ {2} + (y-1) ^ {2} = 16 )
  16.      
  17. (4 (x-2) ^ {2} +25 y ^ {2} = 100 )
  18.      
  19. (81 x ^ {2} + y ^ {2} = 81 )
  20.      
  21. ( frac {(x-2) ^ {2}} {8} + frac {(y-4) ^ {2}} {9} = 1 )
  22.      
  23. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {4} + frac {(y-1) ^ {2}} {12} = 1 )
  24.      
  25. ( frac {(x-6) ^ {2}} {2} + frac {(y + 2) ^ {2}} {5} = 1 )
  26.      
  27. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {18} + frac {(y-5) ^ {2}} {3} = 1 )
  28.      
  29. (3 x ^ {2} +2 (y-3) ^ {2} = 6 )
  30.      
  31. (5 (x + 1) ^ {2} +3 y ^ {2} = 15 )
  32.      
  33. (4 x ^ {2} +6 y ^ {2} = 24 )
  34.      
  35. (5 x ^ {2} +10 y ^ {2} = 50 )
  36.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
b53958ca303afa5b0c216db50472aebb.png
Figura 8.3.13
     

3.

     
9e9f5466ae3f031b917897e4315b4816.png
Figura 8.3.14
     

5.

     
9550eaa6151dedb4804fa71c8162d62b.png
Figura 8.3.15
     

7.

     
a8dfca7c363ba28d06abed6999e569ec.png
Figura 8.3.16
     

9.

     
4c700e9ed1a845edbac9eb60275b3202.png
Figura 8.3.17
     

11.

     
ed88c51ce575a7dc93ed701c40cfd9ea.png
Figura 8.3.18
     

13.

     
332680ad079811d8813e1bb55d43f296.png
Figura 8.3.19
     

15.

     
bd9b328604d51df0b1c3e2f694d572b5.png
Figura 8.3.20
     

17.

     
bed8a3eb995e00138c387e98b8da9cc8.png
Figura 8.3.21
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra las intersecciones (x ) – y (y ).

 
         
  1. ( frac {(x-3) ^ {2}} {4} + frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 )
  2.      
  3. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {16} + frac {(y-7) ^ {2}} {9} = 1 )
  4.      
  5. ( frac {(x-2) ^ {2}} {4} + frac {(y + 6) ^ {2}} {36} = 1 )
  6.      
  7. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {25} + frac {(y-1) ^ {2}} {9} = 1 )
  8.      
  9. (5 x ^ {2} +2 (y-4) ^ {2} = 20 )
  10.      
  11. (4 (x-3) ^ {2} +9 y ^ {2} = 72 )
  12.      
  13. (5 x ^ {2} +2 y ^ {2} = 10 )
  14.      
  15. (3 x ^ {2} +4 y ^ {2} = 24 )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ) – intercepta: ( left ( frac {9 pm 2 sqrt {5}} {3}, 0 right) ); (y ) – intercepta: ninguno

     

3. (x ) – intercepta: ((2,0) ); (y ) – intercepta: ((0, -6 )

     

5. (x ) – intercepta: ninguno; (y ) – intercepta: ((0,4 pm sqrt {10}) )

     

7. (x ) – intercepta: (( pm sqrt {2}, 0) ); (y ) – intercepta: ((0, pm sqrt {5}) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra la ecuación de la elipse.

 
         
  1. Elipse con vértices ((± 5, 0) ) y ((0, ± 6) ).
  2.      
  3. Elipse cuyo eje mayor tiene vértices ((2, 9) ) y ((2, −1) ) y el eje menor tiene vértices ((- 2, 4) ) y ((6, 4) ).
  4.      
  5. Elipse cuyo eje mayor tiene vértices ((- 8, −2) ) y ((0, −2) ) y el eje menor tiene una longitud de (4 ) unidades.
  6.      
  7. Elipse cuyo eje mayor tiene vértices ((- 2, 2) ) y ((- 2, 8) ) y el eje menor tiene una longitud de (2 ) unidades.
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {x ^ {2}} {25} + frac {y ^ {2}} {36} = 1 )

     

3. ( frac {(x + 4) ^ {2}} {16} + frac {(y + 2) ^ {2}} {4} = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Reescribe en forma y gráfico estándar.

 
         
  1. (4 x ^ {2} +9 y ^ {2} +8 x-36 y + 4 = 0 )
  2.      
  3. (9 x ^ {2} +25 y ^ {2} -18 x + 100 y-116 = 0 )
  4.      
  5. (4 x ^ {2} +49 y ^ {2} +24 x + 98 y-111 = 0 )
  6.      
  7. (9 x ^ {2} +4 y ^ {2} -72 x + 24 y + 144 = 0 )
  8.      
  9. (x ^ {2} +64 y ^ {2} -12 x + 128 y + 36 = 0 )
  10.      
  11. (16 x ^ {2} + y ^ {2} -96 x-4 y + 132 = 0 )
  12.      
  13. (36 x ^ {2} +4 y ^ {2} -40 y-44 = 0 )
  14.      
  15. (x ^ {2} +9 y ^ {2} -2 x-8 = 0 )
  16.      
  17. (x ^ {2} +9 y ^ {2} -4 x-36 y-41 = 0 )
  18.      
  19. (16 x ^ {2} + y ^ {2} +160 x-10 y + 361 = 0 )
  20.      
  21. (4 x ^ {2} +5 y ^ {2} +32 x-20 y + 64 = 0 )
  22.      
  23. (2 x ^ {2} +3 y ^ {2} -8 x-30 y + 65 = 0 )
  24.      
  25. (8 x ^ {2} +5 y ^ {2} -16 x + 10 y-27 = 0 )
  26.      
  27. (7 x ^ {2} +2 y ^ {2} +28 x-16 y + 46 = 0 )
  28.      
  29. (36 x ^ {2} +16 y ^ {2} -36 x-32 y-119 = 0 )
  30.      
  31. (16 x ^ {2} +100 y ^ {2} +64 x-300 y-111 = 0 )
  32.      
  33. (x ^ {2} +4 y ^ {2} -20 y + 21 = 0 )
  34.      
  35. (9 x ^ {2} + y ^ {2} +12 x-2 y-4 = 0 )
  36.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {9} + frac {(y-2) ^ {2}} {4} = 1 );

     
5bd9952171df55c084e928d02b08eb44.png
Figura 8.3.22
     

3. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {49} + frac {(y + 1) ^ {2}} {4} = 1 );

     
a9cb7f3ac696205a2b2bcb127773e732.png
Figura 8.3.23
     

5. ( frac {(x-6) ^ {2}} {64} + (y + 1) ^ {2} = 1 );

     
bddde005efa3182e493c27ff31bf1287.png
Figura 8.3.24
     

7. ( frac {x ^ {2}} {4} + frac {(y-5) ^ {2}} {36} = 1 );

     
167ea4159775aea700b99fc79ec30dce.png
Figura 8.3.25
     

9. ( frac {(x-2) ^ {2}} {81} + frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 );

     
d6bcee76aa5ce3f1a490200e1b772b3b.png
Figura 8.3.26
     

11. ( frac {(x + 4) ^ {2}} {5} + frac {(y-2) ^ {2}} {4} = 1 );

     
77a4c994e2d4b186bdc90501bb222350.png
Figura 8.3.27
     

13. ( frac {(x-1) ^ {2}} {5} + frac {(y + 1) ^ {2}} {8} = 1 );

     
e68d7473c5e235db17f8697762822b6a.png
Figura 8.3.28
     

15. ( frac { left (x- frac {1} {2} right) ^ {2}} {4} + frac {(y-1) ^ {2}} {9 } = 1 );

     
f782675735c2a1f76923e6003805f093.png
Figura 8.3.29
     

17. ( frac {x ^ {2}} {4} + left (y- frac {5} {2} right) ^ {2} = 1 );

     
24b81e7d0d85d4cc0f50ed345e158e3b.png
Figura 8.3.30
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Dada la forma general, determine las intersecciones.

 
         
  1. (5 x ^ {2} +4 y ^ {2} -20 x + 24 y + 36 = 0 )
  2.      
  3. (4 x ^ {2} +3 y ^ {2} -8 x + 6 y-5 = 0 )
  4.      
  5. (6 x ^ {2} + y ^ {2} -12 x + 4 y + 4 = 0 )
  6.      
  7. (8 x ^ {2} + y ^ {2} -6 y-7 = 0 )
  8.      
  9. (5 x ^ {2} +2 y ^ {2} -20 x-8 y + 18 = 0 )
  10.      
  11. (2 x ^ {2} +3 y ^ {2} -4 x-5 y + 1 = 0 )
  12.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ) – intercepta: ninguno; (y ) – intercepta: ((0, -3) )

     

3. (x ) – intercepta: ( left ( frac {3 pm sqrt {3}} {3}, 0 right) ); (y ) – intercepta: ((0, -2) )

     

5. (x ) – intercepta: ( left ( frac {10 pm sqrt {10}} {5}, 0 right) ); (y ) – intercepta: ninguno

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Determine el área de la elipse. (El área de una elipse viene dada por la fórmula (A = πab ), donde (a ) y (b ) son las longitudes del radio mayor y el radio menor).

 
         
  1. ( frac {(x-10) ^ {2}} {25} + frac {(y + 3) ^ {2}} {5} = 1 )
  2.      
  3. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {18} + frac {y ^ {2}} {36} = 1 )
  4.      
  5. (7 x ^ {2} +3 y ^ {2} -14 x + 36 y + 94 = 0 )
  6.      
  7. (4 x ^ {2} +8 y ^ {2} +20 x-8 y + 11 = 0 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5 pi sqrt {5} ) unidades cuadradas

     

3. ( pi sqrt {21} ) unidades cuadradas

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Dada la gráfica de una elipse, determine su ecuación en forma general.

 

1.

 
77d9ec6f401101fb60445904c2b9e5cf.png
Figura 8.3.31
 

2.

 
ceaac1c27ebfdacf70c398411757869c.png
Figura 8.3.32
 

3.

 
cf3ead1d53975e6c36e7b4995c1f92f3.png
Figura 8.3.33
 

4.

 
c0a66b6a01cd2a053bab9800d805b634.png
Figura 8.3.34
 
     
Respuesta
     
     

1. (9 x ^ {2} +4 y ^ {2} +72 x-32 y + 172 = 0 )

     

3. (x ^ {2} +3 y ^ {2} -18 y-9 = 0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 
         
  1. Explica por qué un círculo puede considerarse como una elipse muy especial.
  2.      
  3. Haz tu propia ecuación de una elipse, escríbela en forma general y grafica.
  4.      
  5. ¿Todas las elipses tienen intersecciones? ¿Cuáles son los posibles números de intersecciones para una elipse? Explique.
  6.      
  7. Investiga y discute ejemplos de elipses del mundo real.
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 

Notas a pie de página

 

14 El conjunto de puntos en un plano cuyas distancias desde dos puntos fijos tienen una suma que es igual a una constante positiva.

 

15 Puntos en la elipse que marcan los puntos finales del eje mayor.

 

16 El segmento de línea a través del centro de una elipse definido por dos puntos en la elipse donde la distancia entre ellos es máxima.

 

17 El segmento de línea a través del centro de una elipse definido por dos puntos en la elipse donde la distancia entre ellos es mínima.

 

18 Puntos en la elipse que marcan los puntos finales del eje menor.

 

19 La mitad de la longitud del eje mayor.

 

20 La mitad de la longitud del eje menor.

 

21 La ecuación de una elipse escrita en la forma ( frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {( yk) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ). El centro es ((h, k) ) y el mayor de (a ) y (b ) es el radio mayor y el más pequeño es el radio menor.

 

22 La ecuación de una elipse escrita en la forma (px ^ {2} + qy ^ {2} + c x + d y + e = 0 ) donde (p, q> 0 ).

 
]]>