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las matematicas

8.3: Gráficas de las otras funciones trigonométricas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Analice la gráfica de (y = tan x ).
  •      
  • Variaciones gráficas de (y = tan x ).
  •      
  • Analice las gráficas de (y = sec x ) y (y = csc x ).
  •      
  • Variaciones gráficas de (y = sec x ) y (y = csc x ).
  •      
  • Analice la gráfica de (y = cot x ).
  •      
  • Variaciones gráficas de (y = cot x ).
  •  
 
 

Sabemos que la función tangente se puede usar para encontrar distancias, como la altura de un edificio, montaña o asta de bandera. Pero, ¿qué pasa si queremos medir las repeticiones de distancia? Imagine, por ejemplo, un auto de policía estacionado al lado de un almacén. La luz giratoria del coche de policía viajaría a través de la pared del almacén a intervalos regulares. Si la entrada es el tiempo, la salida sería la distancia que recorre el haz de luz. El haz de luz repetiría la distancia a intervalos regulares. La función tangente se puede usar para aproximar esta distancia. Se necesitarían asíntotas para ilustrar los ciclos repetidos cuando el haz corre paralelo a la pared porque, aparentemente, el haz de luz podría parecer que se extiende para siempre. La gráfica de la función tangente ilustraría claramente los intervalos repetidos. En esta sección, exploraremos los gráficos de la tangente y otras funciones trigonométricas.

 

Análisis de la gráfica de (y = tan x )

 

Comenzaremos con la gráfica de la función tangente, trazando puntos como lo hicimos para las funciones seno y coseno. Recordemos que

 

[ tan , x = dfrac { sin , x} { cos , x} ]

 

El período de la función tangente es ( pi ) porque el gráfico se repite en intervalos de (k pi ) donde (k ) es una constante. Si graficamos la función tangente en (- frac { pi} {2} ) a ( frac { pi} {2} ), podemos ver el comportamiento de la gráfica en un ciclo completo. Si observamos cualquier intervalo mayor, veremos que las características del gráfico se repiten.

 

Podemos determinar si la tangente es una función par o impar utilizando la definición de tangente.

 

[ begin {align *} tan (-x) & = dfrac { sin (-x)} { cos (-x)} qquad text {Definición de tangente} \ [4pt ] & = dfrac {- sin , x} { cos , x} qquad text {El seno es una función impar, el coseno es par} \ [4pt] & = – dfrac { sin , x} { cos , x} qquad text {El cociente de una función impar y par es impar} \ [4pt] & = – tan , x qquad text {Definición de tangente} end {alinear *} ]

 

Por lo tanto, la tangente es una función extraña. Podemos analizar aún más el comportamiento gráfico de la función tangente al observar los valores de algunos de los ángulos especiales, como se enumeran en la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} )
(x ) (- dfrac { pi} {2} ) (- dfrac { pi} {3} ) (- dfrac { pi} {4} ) (- dfrac { pi} {6} ) 0 ( dfrac { pi} {6} ) ( dfrac { pi} {4} ) ( dfrac { pi} {3} ) ( dfrac { pi} {2} )
( tan x ) indefinido (- sqrt {3} ) (- 1 ) (- dfrac { sqrt {3}} {3} ) 0 ( dfrac { sqrt {3}} {3} ) 1 ( sqrt {3} ) indefinido
 

Estos puntos nos ayudarán a dibujar nuestro gráfico, pero necesitamos determinar cómo se comporta el gráfico donde no está definido. Si observamos más de cerca los valores cuando ( frac { pi} {3}  

                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) 1.3 1,5 1.55 1,56
( tan x ) 3.6 14.1 48,1 92,6
 

A medida que (x ) se acerca a ( dfrac { pi} {2} ), las salidas de la función se hacen cada vez más grandes. Como (y = tan , x ) es una función extraña, vemos la tabla correspondiente de valores negativos en la Tabla ( PageIndex {3} ).

                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {3} )
(x ) −1,3 −1,5 −1,55 −1,56
( tan x ) −3,6 −14,1 −48,1 −92,6
 

Podemos ver que, a medida que (x ) se aproxima a (- frac { pi} {2} ), las salidas se hacen cada vez más pequeñas. Recuerde que hay algunos valores de (x ) para los cuales ( cos , x = 0 ). Por ejemplo, ( cos left ( frac { pi} {2} right) = 0 ) y ( cos left ( frac {3 pi} {2} right) = 0 ) En estos valores, la función tangente no está definida, por lo que la gráfica de (y = tan , x ) tiene discontinuidades en (x = frac { pi} {2} ) y ( frac {3 pi} {2} ). A estos valores, la gráfica de la tangente tiene asíntotas verticales. La figura ( PageIndex {1} ) representa el gráfico de (y = tan , x ). La tangente es positiva de (0 ) a ( frac { pi} {2} ) y de ( pi ) a ( frac {3 pi} {2} ), correspondiente a cuadrantes I y III del círculo unitario.

 
A graph of y=tangent of x. Asymptotes at -pi over 2 and pi over 2.  
Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de la función tangente
 
 

Representación gráfica de variaciones de (y = tan , x )

 

Al igual que con las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general.

 

[y = A tan (Bx) nonumber ]

 

Podemos identificar estiramientos horizontales y verticales y compresiones usando valores de (A ) y (B ). El estiramiento horizontal generalmente se puede determinar a partir del período del gráfico. Con gráficos tangentes, a menudo es necesario determinar un estiramiento vertical utilizando un punto en el gráfico.

 

Debido a que no hay valores máximos o mínimos de una función tangente, el término amplitud no puede interpretarse como lo es para las funciones seno y coseno. En su lugar, usaremos la frase factor de estiramiento / compresión al referirnos a la constante (A ).

 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE (Y = A tan (Bx) )

 
         
  • El factor de estiramiento es (| A | ).
  •      
  • El período es (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  •      
  • El dominio es todos los números reales (x ), donde (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} + dfrac {π} {| B |} k ) tal que ( k ) es un entero.
  •      
  • El rango es ((- infty, infty) ).
  •      
  • Las asíntotas ocurren en (x = dfrac { pi} {2 | B |} + dfrac {π} {| B |} k ) donde (k ) es un número entero.
  •      
  • (y = A tan (Bx) ) es una función extraña.
  •  
 
 

Graficando un período de una función tangente estirada o comprimida

 

Podemos usar lo que sabemos sobre las propiedades de la función tangente para dibujar rápidamente un gráfico de cualquier función tangente estirada y / o comprimida de la forma (f (x) = A tan ( Bx) ). Nos centramos en un solo período de la función, incluido el origen, porque la propiedad periódica nos permite extender el gráfico al resto del dominio de la función si lo deseamos. Nuestro dominio limitado es el intervalo ( left (- dfrac {P} {2}, dfrac {P} {2} right) ) y el gráfico tiene asíntotas verticales en ( pm dfrac {P } {2} ) donde (P = dfrac { pi} {B} ). En ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ), el gráfico aparecerá desde la asíntota izquierda en (x = – dfrac { pi} {2} ), cruce el origen y continúe aumentando a medida que se acerca a la asíntota derecha en (x = dfrac { pi} {2} ). Para hacer que la función se acerque a las asíntotas a la velocidad correcta, también necesitamos establecer la escala vertical evaluando realmente la función para al menos un punto por el que pasará el gráfico. Por ejemplo, podemos usar

 

[f left ( dfrac {P} {4} right) = A tan left (B dfrac {P} {4} right) = A tan left (B dfrac { pi} {4B} right) = A nonumber ]

 

porque ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ).

 
 

Cómo: Dada la función (f (x) = A tan (Bx) ), grafica un período.

 
         
  1. Identifique el factor de estiramiento, (| A | ).
  2.      
  3. Identifique B y determine el período, (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  4.      
  5. Dibuje asíntotas verticales en (x = – dfrac {P} {2} ) y (x = dfrac {P} {2} ).
  6.      
  7. Para (A> 0 ), el gráfico se acerca a la asíntota izquierda con valores de salida negativos y la asíntota derecha con valores de salida positivos (inversa para (A <0 )).
  8.      
  9. Trace los puntos de referencia en ( left ( dfrac {P} {4}, A right) ), ((0,0) ) y ( left (- dfrac {P} {4}, – A right) ), y dibuje el gráfico a través de estos puntos.
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Dibujar una tangente comprimida

 

Dibuje un gráfico de un período de la función (y = 0.5 tan left ( dfrac { pi} {2} x right) ).

 

Solución

 

Primero, identificamos (A ) y (B ).

 
An illustration of equations showing that A is the coefficient of tangent and B is the coefficient of x, which is within the tangent function.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

Debido a que (A = 0.5 ) y (B = dfrac { pi} {2} ), podemos encontrar el factor de estiramiento / compresión y el período. El período es ( dfrac { pi} { dfrac { pi} {2}} = 2 ), por lo que las asíntotas están en (x = ± 1 ). En un cuarto de período desde el origen, tenemos

 

[ begin {align *} f (0.5) & = 0.5 tan left ( dfrac {0.5 pi} {2} right) \ [4pt] & = 0.5 tan left ( dfrac { pi} {4} right) \ [4pt] & = 0.5 end {align *} ]

 

Esto significa que la curva debe pasar por los puntos ((0.5,0.5) ), ((0,0) ) y ((- 0.5, −0.5) ). El único punto de inflexión está en el origen. La figura ( PageIndex {3} ) muestra el gráfico de un período de la función.

 
A graph of one period of a modified tangent function, with asymptotes at x=-1 and x=1.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dibuja un gráfico de (f (x) = 3 tan left ( dfrac { pi} {6} x right) ).

 
     
Respuesta
     
     
A graph of two periods of a modified tangent function, with asymptotes at x=-3 and x=3.      
Figura ( PageIndex {4} )
     
     
 
 
 

Graficando un período de una función tangente desplazada

 

Ahora que podemos graficar una función tangente estirada o comprimida, agregaremos un desplazamiento vertical y / u horizontal (o de fase). En este caso, agregamos (C ) y (D ) a la forma general de la función tangente.

 

[f (x) = A tan (Bx − C) + D nonumber ]

 

La gráfica de una función tangente transformada es diferente de la función tangente básica ( tan x ) de varias maneras:

 
 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE (Y = A tan (Bx − C) + D )

 
         
  • El factor de estiramiento es (| A | ).
  •      
  • El período es ( dfrac { pi} {| B |} ).
  •      
  • El dominio es (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), donde (k ) es un número entero.
  •      
  • El rango es ((- ∞, – | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  •      
  • Las asíntotas verticales ocurren en (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), donde (k ) es un entero impar.
  •      
  • No hay amplitud.
  •      
  • (y = A tan (Bx) ) es una función impar porque es el qientiente de las funciones pares e impares (sin y coseno en perspectiva).
  •  
 
 
 
 

Cómo: Dada la función (y = A tan (Bx − C) + D ), dibuja la gráfica de un período.

 
         
  1. Exprese la función dada en la forma (y = A tan (Bx − C) + D ).
  2.      
  3. Identifique el factor estiramiento / compresión , (| A | ).
  4.      
  5. Identifique (B ) y determine el período, (P = dfrac { pi} {| B |} ).
  6.      
  7. Identifique (C ) y determine el cambio de fase, ( dfrac {C} {B} ).
  8.      
  9. Dibuje la gráfica de (y = A tan (Bx) ) desplazada a la derecha por ( dfrac {C} {B} ) y arriba por (D ).
  10.      
  11. Dibuje las asíntotas verticales, que ocurren en (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), donde (k ) es un entero impar .
  12.      
  13. Trace tres puntos de referencia y dibuje el gráfico a través de estos puntos.
  14.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Graficando un período de una función tangente desplazada

 

Grafica un período de la función (y = −2 tan ( pi x + pi) −1 ).

 

Solución

 
         
  • Paso 1. La función ya está escrita en la forma (y = A tan (Bx − C) + D ).
  •      
  • Paso 2. ( A = −2 ), entonces el factor de estiramiento es (| A | = 2 ).
  •      
  • Paso 3. ( B = pi ), entonces el período es (P = dfrac { pi} {| B |} = dfrac { pi} {pi} = 1 ).
  •      
  • Paso 4. ( C = – pi ), por lo que el cambio de fase es (CB = dfrac {- pi} { pi} = – 1 ).
  •      
  • Paso 5-7. Las asíntotas están en (x = – dfrac {3} {2} ) y (x = – dfrac {1} {2} ) y los tres puntos de referencia recomendados son ((- 1.25 , 1) ), ((- 1, −1) ) y ((- 0.75, −3) ). El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).
  •  
 
A graph of one period of a shifted tangent function, with vertical asymptotes at x=-1.5 and x=-0.5.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Análisis

 

Tenga en cuenta que esta es una función decreciente porque (A <0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

¿Cómo se vería diferente el gráfico en el Ejemplo ( PageIndex {2} ) si hiciéramos (A = 2 ) en lugar de (- 2 )?

 
     
Respuesta
     
     

Se reflejaría a través de la línea (y = −1 ), convirtiéndose en una función creciente.

     
 
 
 
 

Cómo: dada la gráfica de una función tangente, identifica estiramientos horizontales y verticales.

 
         
  1. Encuentre el punto (P ) a partir del espacio entre sucesivas asíntotas verticales o x -interceptos.
  2.      
  3. Escribe (f (x) = A tan left ( dfrac { pi} {P} x right) ).
  4.      
  5. Determine un punto conveniente ((x, f (x)) ) en el gráfico dado y úselo para determinar (A ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Identificación de la gráfica de una tangente estirada

 

Encuentre una fórmula para la función graficada en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
A graph of two periods of a modified tangent function, with asymptotes at x=-4 and x=4.  
Figura ( PageIndex {6} ): Una función tangente estirada
 
 

Solución

 

El gráfico tiene la forma de una función tangente.

 
         
  • Paso 1. Un ciclo se extiende desde (- 4 ) hasta (4 ), por lo que el período es (P = 8 ). Como (P = dfrac { pi} {| B |} ), tenemos (B = dfrac {π} {P} = dfrac { pi} {8} ).
  •      
  • Paso 2. La ecuación debe tener la forma (f (x) = A tan left ( dfrac { pi} {8} x right) ).
  •      
  • Paso 3. Para encontrar el estiramiento vertical (A ), podemos usar el punto ((2,2) ). [ begin {align *} 2 & = A tan left ( dfrac { pi} {8} cdot 2 right) \ [4pt] & = A tan left ( dfrac { pi} {4} right) end {align *} ]
  •  
 

Porque ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ), (A = 2 ).

 

Esta función tendría una fórmula (f (x) = 2 tan left ( dfrac { pi} {8} x right) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre una fórmula para la función en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
A graph of four periods of a modified tangent function, Vertical asymptotes at -3pi/4, -pi/4, pi/4, and 3pi/4.  
Figura ( PageIndex {7} )
 
 
     
Respuesta
     
     

(g (x) = 4 tan (2x) )

     
 
 
 

Análisis de los gráficos de (y = sec x ) y (y = csc x )

 

La secante fue definida por la identidad recíproca (sec , x = dfrac {1} { cos x} ). Observe que la función no está definida cuando el coseno es (0 ), lo que lleva a las asíntotas verticales en ( dfrac { pi} {2} ), ( dfrac {3 pi} {2} ) etc. Debido a que el coseno nunca es mayor que (1 ) en valor absoluto, la secante, siendo el recíproco, nunca será menor que (1 ) en valor absoluto.

 

Podemos graficar (y = sec x ) observando la gráfica de la función coseno porque estas dos funciones son recíprocas entre sí. Ver Figura ( PageIndex {8} ). El gráfico del coseno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Cuando la gráfica de la función coseno disminuye, la gráfica de la función secante aumenta. Cuando la gráfica de la función coseno aumenta, la gráfica de la función secante disminuye. Cuando la función coseno es cero, la secante no está definida.

 

El gráfico secante tiene asíntotas verticales en cada valor de (x ) donde el gráfico coseno cruza el eje (x ); los mostramos en el gráfico a continuación con líneas verticales discontinuas, pero no mostraremos todas las asíntotas explícitamente en todos los gráficos posteriores que involucran la secante y cosecante.

 

Tenga en cuenta que, dado que el coseno es una función par, secante también es una función par. Es decir, ( sec (−x) = sec x ).

 
A graph of cosine of x and secant of x. Asymptotes for secant of x shown at -3pi/2, -pi/2, pi/2, and 3pi/2.  
Figura ( PageIndex {8} ): Gráfico de la función secante, (f (x) = sec x = dfrac {1} { cos x} ) [ 19459036]  
 

Como lo hicimos para la función tangente, nuevamente nos referiremos a la constante (| A | ) como el factor de estiramiento, no la amplitud.

 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE (Y = A sec (Bx) )

 
         
  • El factor de estiramiento es (| A | ).
  •      
  • El período es ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  •      
  • El dominio es (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} k ), donde (k ) es un entero impar.
  •      
  • El rango es ((- ∞, – | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  •      
  • Las asíntotas verticales ocurren en (x = dfrac { pi} {2 | B |} k ), donde (k ) es un entero impar.
  •      
  • No hay amplitud.
  •      
  • (y = A sec (Bx) ) es una función par porque el coseno es una función par.
  •  
 
 

Similar a la secante, la cosecante se define por la identidad recíproca ( csc x = dfrac {1} { sin x} ). Observe que la función no está definida cuando el seno es (0 ), lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en (0 ), ( pi ), etc. Dado que el seno nunca es más que (1 ) en valor absoluto, la cosecante, siendo la recíproca, nunca será menor que (1 ) en valor absoluto.

 

Podemos graficar (y = csc x ) observando la gráfica de la función seno porque estas dos funciones son recíprocas entre sí. Ver Figura ( PageIndex {7} ). El gráfico de seno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Cuando la gráfica de la función seno disminuye, la gráfica de la función cosecante aumenta. Cuando la gráfica de la función seno aumenta, la gráfica de la función cosecante disminuye.

 

El gráfico cosecante tiene asíntotas verticales en cada valor de (x ) donde el gráfico seno cruza el eje (x ); los mostramos en el gráfico a continuación con líneas verticales discontinuas.

 

Tenga en cuenta que, dado que el seno es una función impar, la función cosecante también es una función impar. Es decir, ( csc (−x) = – csc x ).

 

La gráfica de cosecante, que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ), es similar a la gráfica de secante.

 
A graph of cosecant of x and sin of x. Five vertical asymptotes shown at multiples of pi.  
Figura ( PageIndex {9} ): La gráfica de la función cosecante, (f (x) = csc x = frac {1} { sin x} )
 
 
 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE (Y = A csc (Bx) )

 
         
  • El factor de estiramiento es (| A | ).
  •      
  • El período es ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  •      
  • El dominio es (x ≠ dfrac { pi} {| B |} k ), donde (k ) es un número entero.
  •      
  • El rango es ((- ∞, – | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  •      
  • Las asíntotas ocurren en (x = dfrac { pi} {| B |} k ), donde (k ) es un número entero.
  •      
  • (y = A csc (Bx) ) es una función impar porque el seno es una función impar.
  •  
 
 
 

Representación gráfica de variaciones de (y = sec x ) y (y = csc x )

 

Para versiones desplazadas, comprimidas y / o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos similares a los que usamos para tangente y cotangente. Es decir, ubicamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (específicamente los extremos locales). Si queremos graficar solo un período, podemos elegir el intervalo para el período de más de una manera. El procedimiento para secante es muy similar, porque la identidad de la función significa que el gráfico secante es el mismo que el gráfico cosecante desplazado medio período hacia la izquierda. Los cambios de fase y vertical se pueden aplicar a la función cosecante de la misma manera que a la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes.

 

[y = A sec (Bx − C) + D nonumber ]

 

[y = A csc (Bx − C) + D nonumber ]

 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE (Y = A sec (Bx − C) + D )

 
         
  • El factor de estiramiento es (| A | ).
  •      
  • El período es ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  •      
  • El dominio es (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), donde (k ) es un entero impar.
  •      
  • El rango es ((- ∞, – | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  •      
  • Las asíntotas verticales se producen en (x = dfrac {C} {B} + dfrac {π} {2 | B |} k ), donde (k ) es un entero impar.
  •      
  • No hay amplitud.
  •      
  • (y = A sec (Bx) ) es una función par porque el coseno es una función par.
  •  
 
 
 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE (Y = A csc (Bx − C) + D )

 
         
  1. El factor de estiramiento es (| A | ).
  2.      
  3. El período es ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  4.      
  5. El dominio es (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), donde (k ) es un número entero.
  6.      
  7. El rango es ((- ∞, – | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  8.      
  9. Las asíntotas verticales ocurren en (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), donde (k ) es un número entero.
  10.      
  11. No hay amplitud.
  12.      
  13. (y = A csc (Bx) ) es una función impar porque el seno es una función impar.
  14.  
 
 
 
 

CÓMO: Dada una función de la forma (y = A sec (Bx) ), grafica un período

 
         
  1. Exprese la función dada en la forma (y = A sec (Bx) ).
  2.      
  3. Identifique el factor de estiramiento / compresión, (| A | ).
  4.      
  5. Identifique (B ) y determine el período, (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
  6.      
  7. Dibuja la gráfica de (y = A cos (Bx) ).
  8.      
  9. Use la relación recíproca entre (y = cos , x ) y (y = sec , x ) para dibujar la gráfica de (y = A sec (Bx) ).
  10.      
  11. Dibuja las asíntotas.
  12.      
  13. Trace dos puntos de referencia y dibuje el gráfico a través de estos puntos.
  14.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficando una variación de la función secante

 

Grafica un período de (f (x) = 2.5 sec (0.4x) ).

 

Solución

 
         
  • Paso 1. La función dada ya está escrita en la forma general, (y = A sec (Bx) ).
  •      
  • Paso 2. (A = 2.5 ) por lo que el factor de estiramiento es (2.5 ).
  •      
  • Paso 3. (B = 0.4 ) entonces (P = dfrac {2 pi} {0.4} = 5 pi ). El período es (5 pi ) unidades.
  •      
  • Paso 4. Dibuja la gráfica de la función (g (x) = 2.5 cos (0.4x) ).
  •      
  • Paso 5. Usa la relación recíproca de las funciones coseno y secante para dibujar la función cosecante.
  •      
  • Pasos 6–7. Dibuje dos asíntotas en (x = 1.25 pi ) y (x = 3.75 pi ). Podemos usar dos puntos de referencia, el mínimo local en ((0,2.5) ) y el máximo local en ((2.5 pi, −2.5) ). La figura ( PageIndex {10} ) muestra el gráfico.
  •  
 
A graph of one period of a modified secant function, which looks like an upward facing prarbola and a downward facing parabola.  
Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Grafica un período de (f (x) = – 2.5 sec (0.4x) ).

 
     
Respuesta
     
     

Esto es un reflejo vertical del gráfico anterior porque (A ) es negativo.

     
A graph of one period of a modified secant function, which looks like an downward facing parabola and a upward facing parabola.      
Figura ( PageIndex {11} )
     
     
 
 
 
 
 

P y R: ¿El desplazamiento vertical y el estiramiento / compresión afectan el rango de la secante?

 

Sí. El rango de (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) es ((- ∞, – | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞) )

 
 
 

Howto: Dada una función de la forma (f (x) = A sec (Bx − C) + D ), grafica un período.

 
         
  1. Exprese la función dada en la forma (y = A sec (Bx − C) + D ).
  2.      
  3. Identifique el factor de estiramiento / compresión, (| A | ).
  4.      
  5. Identifique (B ) y determine el período, ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  6.      
  7. Identifique (C ) y determine el cambio de fase, ( dfrac {C} {B} ).
  8.      
  9. Dibuja la gráfica de (y = A sec (Bx) ). pero muévalo hacia la derecha con ( dfrac {C} {B} ) y hacia arriba con (D ).
  10.      
  11. Dibuje las asíntotas verticales, que ocurren en (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), donde (k ) es un entero impar .
  12.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficando una variación de la función secante

 

Grafica un período de (y = 4 sec left ( dfrac { pi} {3x} – dfrac { pi} {2} right) +1 ).

 

Solución

 
         
  • Paso 1. Exprese la función dada en la forma (y = 4 sec left ( dfrac { pi} {3x} – dfrac { pi} {2} right ) +1 ).
  •      
  • Paso 2. El factor de estiramiento / compresión es (| A | = 4 ).
  •      
  • Paso 3. El período es
  •  
 

[ begin {align *} dfrac {2 pi} {| B |} & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {3}} \ [4pt] & = 2 pi cdot dfrac {3} { pi} \ [4pt] & = 6 end {align *} ]

 
         
  • Paso 4. El cambio de fase es
  •  
 

[ begin {align *} dfrac {C} {B} & = dfrac { dfrac { pi} {2}} { dfrac { pi} {3}} \ [4pt] & = dfrac { pi} {2} cdot dfrac {3} { pi} \ [4pt] & = 1.5 end {align *} ]

 
         
  • Paso 5. Dibuje la gráfica de (y = A sec (Bx) ), pero muévala a la derecha por ( dfrac {C} {B} = 1.5 ) y arriba por (D = 6 ).
  •      
  • Paso 6. Dibuja las asíntotas verticales, que ocurren en (x = 0 ), (x = 3 ) y (x = 6 ). Hay un mínimo local en ((1.5,5) ) y un máximo local en ((4.5, −3) ). La figura ( PageIndex {12} ) muestra el gráfico.
  •  
 
imageedit_80_2956545252.png  
Figura ( PageIndex {12} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Grafica un período de (f (x) = – 6 sec (4x + 2) −8 ).

 
     
Respuesta
     
     
A graph of one period of a modified secant function. There are two vertical asymptotes, one at approximately x=-pi/20 and one approximately at 3pi/16.      
Figura ( PageIndex {13} )
     
     
 
 
 
 

Preguntas y respuestas: el dominio de ( csc , x ) se dio como todo (x ) de modo que (x ≠ k pi ) para cualquier número entero (k ). ¿El dominio de (y = A csc (Bx − C) + D ) sería (x ≠ dfrac {C + k pi} {B} )?

 

Sí. Los puntos excluidos del dominio siguen las asíntotas verticales. Sus ubicaciones muestran el desplazamiento horizontal y la compresión o expansión que implica la transformación a la entrada de la función original.

 
 
 

Howto: Dada una función de la forma (y = A csc (Bx) ), grafica un período.

 
         
  1. Exprese la función dada en la forma (y = A csc (Bx) ).
  2.      
  3. (| A | ).
  4.      
  5. Identifique (B ) y determine el período, (P = dfrac {2 pi} {| B |} ).
  6.      
  7. Dibuja la gráfica de (y = A sin (Bx) ).
  8.      
  9. Use la relación recíproca entre (y = sin , x ) y (y = csc , x ) para dibujar la gráfica de (y = A csc (Bx) ).
  10.      
  11. Dibuja las asíntotas.
  12.      
  13. Trace dos puntos de referencia y dibuje el gráfico a través de estos puntos.
  14.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Graficando una variación de la función Cosecant

 

Grafica un período de (f (x) = – 3 csc (4x) ).

 

Solución

 
         
  • Paso 1. La función dada ya está escrita en la forma general, (y = A csc (Bx) ).
  •      
  • Paso 2. (| A | = | −3 | = 3 ), entonces el factor de estiramiento es (3 ).
  •      
  • Paso 3. (B = 4 ), entonces (P = dfrac {2 pi} {4} = dfrac { pi} {2} ). El período es ( dfrac { pi} {2} ) unidades.
  •      
  • Paso 4. Dibuja la gráfica de la función (g (x) = – 3 sin (4x) ).
  •      
  • Paso 5. Usa la relación recíproca de las funciones seno y cosecante para dibujar la función cosecante.
  •      
  • Pasos 6–7. Dibuje tres asíntotas en (x = 0 ), (x = dfrac { pi} {4} ) y (x = dfrac { pi} {2} ). Podemos usar dos puntos de referencia, el máximo local en ( left ( dfrac { pi} {8}, – 3 right) ) y el mínimo local en ( left ( dfrac {3 pi} {8}, 3 derecha) ). La figura ( PageIndex {14} ) muestra el gráfico.
  •  
 
A graph of one period of a cosecant function. There are vertical asymptotes at x=0, x=pi/4, and x=pi/2.  
Figura ( PageIndex {14} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Grafica un período de (f (x) = 0.5 csc (2x) ).

 
     
Respuesta
     
     
A graph of one period of a modified secant function, which looks like an downward facing prarbola and a upward facing parabola.      
Figura ( PageIndex {15} )
     
     
 
 
 
 

Cómo: Dada una función de la forma (f (x) = A csc (Bx − C) + D ), grafica un período

 
         
  1. Exprese la función dada en la forma (y = A csc (Bx − C) + D ).
  2.      
  3. Identifique el factor de estiramiento / compresión, (| A | ).
  4.      
  5. Identifique (B ) y determine el período, ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  6.      
  7. Identifique (C ) y determine el cambio de fase, ( dfrac {C} {B} ).
  8.      
  9. Dibuje el gráfico de (y = A csc (Bx) ) pero muévalo hacia la derecha hacia arriba y hacia arriba por (D ).
  10.      
  11. Dibuja las asíntotas verticales, que ocurren en (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), donde (k ) es un número entero.
  12.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Graficando un cosante verticalmente estirado, comprimido horizontalmente y desplazado verticalmente

 

Dibuja un gráfico de (y = 2 csc left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ). ¿Cuáles son el dominio y el rango de esta función?

 

Solución

 
         
  • Paso 1. Exprese la función dada en la forma (y = 2 csc left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ).
  •      
  • Paso 2. Identifique el factor de estiramiento / compresión, (| A | = 2 ).
  •      
  • Paso 3. El período es ( dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {2}} = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ).
  •      
  • Paso 4. El cambio de fase es ( dfrac {0} { dfrac { pi} {2}} = 0 ).
  •      
  • Paso 5. Dibuje la gráfica de (y = A csc (Bx) ) pero desplace hacia arriba (D = 1 ).
  •      
  • Paso 6. Dibuja las asíntotas verticales, que ocurren en (x = 0 ), (x = 2 ), (x = 4 ).
  •  
 

El gráfico para esta función se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ).

 
A graph of 3 periods of a modified cosecant function, with 3 vertical asymptotes, and a dotted sinusoidal function that has local maximums where the cosecant function has local minimums and local minimums where the cosecant function has local maximums.  
Figura ( PageIndex {16} ): Una función cosecante transformada
 
 

Análisis

 

Las asíntotas verticales que se muestran en el gráfico marcan un período de la función, y los extremos locales en este intervalo se muestran mediante puntos. Observe cómo la gráfica de la cosecante transformada se relaciona con la gráfica de (f (x) = 2 sin left ( frac { pi} {2} x right) +1 ), que se muestra como la onda punteada naranja .

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dada la gráfica de (f (x) = 2 cos left ( frac { pi} {2} x right) +1 ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ), dibuje la gráfica de (g (x) = 2 sec left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ) en los mismos ejes.

 
A graph of two periods of a modified cosine function. Range is [-1,3], graphed from x=-4 to x=4.  
Figura ( PageIndex {17} )
 
 
     
Respuesta
     
     
A graph of two periods of both a secant and consine function. Grpah shows that cosine function has local maximums where secant function has local minimums and vice versa.      
Figura ( PageIndex {18} )
     
     
 
 
 

Análisis de la gráfica de (y = cot x )

 

La última función trigonométrica que necesitamos explorar es cotangente. La cotangente se define por la identidad recíproca (cot , x = dfrac {1} { tan x} ). Observe que la función no está definida cuando la función tangente es (0 ), lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en (0 ), ( pi ), etc. Dado que la salida de la función tangente es todo números reales, la salida de la función cotangente es también todos los números reales.

 

Podemos graficar (y = cot x ) observando la gráfica de la función tangente porque estas dos funciones son recíprocas entre sí. Ver Figura ( PageIndex {19} ). Cuando la gráfica de la función tangente disminuye, la gráfica de la función cotangente aumenta. Where the graph of the tangent function increases, the graph of the cotangent function decreases.

 

The cotangent graph has vertical asymptotes at each value of (x) where (tan x=0); we show these in the graph below with dashed lines. Since the cotangent is the reciprocal of the tangent, (cot x) has vertical asymptotes at all values of (x) where (tan x=0), and (cot x=0) at all values of (x) where (tan x) has its vertical asymptotes.

 
A graph of cotangent of x, with vertical asymptotes at multiples of pi.  
Figure (PageIndex{19}): The cotangent function
 
 
 
 

FEATURES OF THE GRAPH OF (Y = A cot(BX))

 
         
  • The stretching factor is (|A|).
  •      
  • The period is (P=dfrac{pi}{|B|}).
  •      
  • The domain is (x≠dfrac{pi}{|B|}k), where (k) is an integer.
  •      
  • The range is ((−∞,∞)).
  •      
  • The asymptotes occur at (x=dfrac{pi}{| B |}k), where (k) is an integer.
  •      
  • (y=Acot(Bx)) is an odd function.
  •  
 
 
 

Graphing Variations of (y =cot x)

 

We can transform the graph of the cotangent in much the same way as we did for the tangent. The equation becomes the following.

 

[y=Acot(Bx−C)+D]

 
 

PROPERTIES OF THE GRAPH OF (Y = A cot(Bx-c)+D)

 
         
  • The stretching factor is (| A |).
  •      
  • The period is (dfrac{pi}{|B|})
  •      
  • The domain is (x≠dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{| B |}k),where (k) is an integer.
  •      
  • The range is ((−∞,−|A|]∪[|A|,∞)).
  •      
  • The vertical asymptotes occur at (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{| B |}k),where (k) is an integer.
  •      
  • There is no amplitude.
  •      
  • (y=Acot(Bx)) is an odd function because it is the quotient of even and odd functions (cosine and sine, respectively)
  •  
 
 
 
 

Howto: Given a modified cotangent function of the form (f(x)=Acot(Bx)),graph one period.

 
         
  1. Express the function in the form (f(x)=Acot(Bx)).
  2.      
  3. Identify the stretching factor, (|A|).
  4.      
  5. Identify the period, (P=dfrac{pi}{|B|}).
  6.      
  7. Draw the graph of (y=Atan(Bx)).
  8.      
  9. Plot any two reference points.
  10.      
  11. Use the reciprocal relationship between tangent and cotangent to draw the graph of (y=Acot(Bx)).
  12.      
  13. Sketch the asymptotes.
  14.  
 
 
 
 

Example (PageIndex{8}): Graphing Variations of the Cotangent Function

 

Determine the stretching factor, period, and phase shift of (y=3cot(4x)), and then sketch a graph.

 

Solución

 
         
  • Step 1. Expressing the function in the form (f(x)=Acot(Bx)) gives (f(x)=3cot(4x)).
  •      
  • Step 2. The stretching factor is (|A|=3).
  •      
  • Step 3. The period is (P=dfrac{pi}{4}).
  •      
  • Step 4. Sketch the graph of (y=3tan(4x)).
  •      
  • Step 5. Plot two reference points. Two such points are (left (dfrac{pi}{16},3 right )) and (left (dfrac{3pi}{16},−3 right )).
  •      
  • Step 6. Use the reciprocal relationship to draw (y=3cot(4x)).
  •      
  • Step 7. Sketch the asymptotes, (x=0), (x=dfrac{pi}{4}).
  •  
 

The orange graph in Figure (PageIndex{20}) shows (y=3tan(4x)) and the blue graph shows (y=3cot(4x)).

 
A graph of two periods of a modified tangent function and a modified cotangent function. Vertical asymptotes at x=-pi/4 and pi/4.  
Figure (PageIndex{20})
 
 
 
 

Howto: Given a modified cotangent function of the form (f(x)=Acot(Bx−C)+D), graph one period.

 
         
  1. Express the function in the form (f(x)=Acot(Bx−C)+D).
  2.      
  3. Identify the stretching factor, (| A |).
  4.      
  5. Identify the period, (P=dfrac{pi}{|B|}).
  6.      
  7. Identify the phase shift, (dfrac{C}{B}).
  8.      
  9. Draw the graph of (y=Atan(Bx)) shifted to the right by (dfrac{C}{B}) and up by (D).
  10.      
  11. Sketch the asymptotes (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{| B |}k),where (k) is an integer.
  12.      
  13. Plot any three reference points and draw the graph through these points.
  14.  
 
 
 

Example (PageIndex{9}): Graphing a Modified Cotangent

 

Sketch a graph of one period of the function (f(x)=4cot left (dfrac{pi}{8}x−dfrac{pi}{2} right )−2).

 

Solución

 
         
  • Step 1. The function is already written in the general form (f(x)=Acot(Bx−C)+D).
  •      
  • Step 2. (A=4),so the stretching factor is (4).
  •      
  • Step 3. (B=dfrac{pi}{8}), so the period is (P=dfrac{pi}{| B |}=dfrac{pi}{dfrac{pi}{8}}=8).
  •      
  • Step 4. (C=dfrac{pi}{2}),so the phase shift is (CB=dfrac{dfrac{pi}{2}}{dfrac{pi}{8}}=4).
  •      
  • Step 5. We draw (f(x)=4tan left (dfrac{pi}{8}x−dfrac{pi}{2} right )−2).
  •      
  • Step 6-7. Three points we can use to guide the graph are ((6,2)), ((8,−2)), and ((10,−6)). We use the reciprocal relationship of tangent and cotangent to draw (f(x)=4cot left (dfrac{pi}{8}x−dfrac{pi}{2} right )−2).
  •      
  • Step 8. The vertical asymptotes are (x=4) and (x=12).
  •  
 

The graph is shown in Figure (PageIndex{21}).

 
A graph of one period of a modified cotangent function. Vertical asymptotes at x=4 and x=12.  
Figure (PageIndex{21}): One period of a modified cotangent function
 
 
 

Using the Graphs of Trigonometric Functions to Solve Real-World Problems

 

Many real-world scenarios represent periodic functions and may be modeled by trigonometric functions. As an example, let’s return to the scenario from the section opener. Have you ever observed the beam formed by the rotating light on a police car and wondered about the movement of the light beam itself across the wall? The periodic behavior of the distance the light shines as a function of time is obvious, but how do we determine the distance? We can use the tangent function .

 
 

Example (PageIndex{10}): Using Trigonometric Functions to Solve Real-World Scenarios

 

Suppose the function (y=5tan(dfrac{pi}{4}t)) marks the distance in the movement of a light beam from the top of a police car across a wall where (t) is the time in seconds and (y) is the distance in feet from a point on the wall directly across from the police car.

 
         
  1. Find and interpret the stretching factor and period.
  2.      
  3. Graph on the interval ([0,5]).
  4.      
  5. Evaluate (f(1)) and discuss the function’s value at that input.
  6.  
 

Solución

 
         
  1. We know from the general form of (y=Atan(Bt)) that (| A |) is the stretching factor and (dfrac{pi}{B}) is the period.
  2.  
 
A graph showing that variable A is the coefficient of the tangent function and variable B is the coefficient of x, which is within that tangent function.  
Figure (PageIndex{22})
 
 

We see that the stretching factor is (5). This means that the beam of light will have moved (5) ft after half the period.

 

The period is (dfrac{pi}{tfrac{pi}{4}}=dfrac{pi}{1}⋅dfrac{4}{pi}=4). This means that every (4) seconds, the beam of light sweeps the wall. The distance from the spot across from the police car grows larger as the police car approaches.

 
         
  1. To graph the function, we draw an asymptote at (t=2) and use the stretching factor and period. See Figure (PageIndex{23})
  2.  
 
A graph of one period of a modified tangent function, with a vertical asymptote at x=4.  
Figure (PageIndex{23})
 
 
         
  1. period: (f(1)=5tan(frac{pi}{4}(1))=5(1)=5); after (1) second, the beam of has moved (5) ft from the spot across from the police car.
  2.  
 
 
 

Medios

 

Access these online resources for additional instruction and practice with graphs of other trigonometric functions.

 
   

Key Equations

                                                                                                                                                                                                              
Shifted, compressed, and/or stretched tangent function (y=A tan(Bx−C)+D)
Shifted, compressed, and/or stretched secant function (y=A sec(Bx−C)+D)
Shifted, compressed, and/or stretched cosecant function (y=A csc(Bx−C)+D)
Shifted, compressed, and/or stretched cotangent function (y=A cot(Bx−C)+D)
 

Key Concepts

 
         
  • The tangent function has period (π).
  •      
  • (f( x )=Atan( Bx−C )+D) is a tangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example (PageIndex{1}), Example (PageIndex{2}), and Example (PageIndex{3}).
  •      
  • The secant and cosecant are both periodic functions with a period of (2pi). (f( x )=Asec( Bx−C )+D) gives a shifted, compressed, and/or stretched secant function graph. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {4} ) y el Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • (f( x )=Acsc( Bx−C )+D) gives a shifted, compressed, and/or stretched cosecant function graph. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •      
  • The cotangent function has period (pi) and vertical asymptotes at (0,±pi,±2pi),….
  •      
  • The range of cotangent is (( −∞,∞ )), and the function is decreasing at each point in its range.
  •      
  • The cotangent is zero at (±dfrac{pi}{2},±dfrac{3pi}{2}),….
  •      
  • (f(x)=Acot(Bx−C)+D) is a cotangent with vertical and/or horizontal stretch/compression and shift. See Example (PageIndex{8}) and Example (PageIndex{9}).
  •      
  • Real-world scenarios can be solved using graphs of trigonometric functions. See Example (PageIndex{10}).
  •  
 
                                  
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