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las matematicas

8.3: La hipérbola

Graficar hipérbolas centradas en un punto ((h, k) ) que no sea el origen es similar a las elipses gráficas centradas en un punto distinto del origen. Usamos las formas estándar ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} – dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) para horizontal hipérbolas y ( dfrac {{(y − k)} ^ 2} {a ^ 2} – dfrac {{((x − h)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar, podemos calcular y trazar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, vértices, co-vértices y focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados.

 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficando una hipérbola centrada en ((h, k) ) Dada una ecuación en forma general

 

Representa gráficamente la hipérbola dada por la ecuación (9x ^ 2−4y ^ 2−36x − 40y − 388 = 0 ). Identifique y etiquete el centro, vértices, co-vértices, focos y asíntotas.

 

Solución

 

Comienza por expresar la ecuación en forma estándar. Agrupe los términos que contienen la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación.

 

((9x ^ 2−36x) – (4y ^ 2 + 40y) = 388 )

 

Factoriza el coeficiente principal de cada expresión.

 

(9 (x ^ 2−4x) −4 (y ^ 2 + 10y) = 388 )

 

Completa el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación agregando las mismas constantes a cada lado.

 

(9 (x ^ 2−4x + 4) −4 (y ^ 2 + 10y + 25) = 388 + 36−100 )

 

Reescribe como cuadrados perfectos.

 

(9 {(x − 2)} ^ 2−4 {(y + 5)} ^ 2 = 324 )

 

Divide ambos lados entre el término constante para colocar la ecuación en forma estándar.

 

( dfrac {{((x − 2)} ^ 2} {36} – dfrac {{(y + 5)} ^ 2} {81} = 1 )

 

La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( dfrac {{(x − h)} ^ 2} {a ^ 2} – dfrac {{(y − k)} ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), donde (a ^ 2 = 36 ) y (b ^ 2 = 81 ), o (a = 6 ) y (b = 9 ). Por lo tanto, el eje transversal es paralelo al eje (x ). Se sigue que:

 

el centro de la elipse es ((h, k) = (2, −5) )

 

las coordenadas de los vértices son ((h pm a, k) = (2 pm 6, −5) ), o ((- 4, −5) ) y ((8, −5) )

 

las coordenadas de los co-vértices son ((h, k pm b) = (2, −5 pm 9) ), o ((2, −14) ) y ((2 , 4) )

 

las coordenadas de los focos son ((h pm c, k) ), donde (c = pm sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). Resolviendo para (c ), tenemos

 

(c = pm sqrt {36 + 81} = pm sqrt {117} = pm 3 sqrt {13} )

 

Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ((2−3 sqrt {13}, – 5) ) y ((2 + 3 sqrt {13}, – 5) ).

 

Las ecuaciones de las asíntotas son (y = pm dfrac {b} {a} (x − h) + k = pm dfrac {3} {2} (x − 2) −5 ) .

 

Luego, trazamos y rotulamos el centro, vértices, co-vértices, focos y asíntotas y dibujamos curvas suaves para formar la hipérbola, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
A horizontal hyperbola centered at (2, negative 5) with Vertices at (negative 4, negative 5) and (8, 5) and Foci at (2 minus 3 square root of 13, negative 5) and (2 + 3 square root of 13, negative 5). Also shown are the slant asymptotes, y = (3/2) times (x minus 2) minus 5 and y = (negative 3/2)times (x minus 2) minus 5. The points (2, negative 14), (2, 4) and (0, 0) are labeled.
Figura ( PageIndex {10} )
 
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