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las matematicas

8.3: Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad
  •      
  • Resuelve ecuaciones que necesitan ser simplificadas
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifique: −7 ( left ( dfrac {1} {- 7} right) ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 4.3.10 .
  2.      
  3. ¿Cuál es el recíproco de (- dfrac {3} {8} )? Si omitió este problema, revise Ejemplo 4.4.11 .
  4.      
  5. Evalúa 9x + 2 cuando x = −3. Si se perdió este problema, revise Ejemplo 3.8.10 .
  6.  
 
 
 

Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad

 

Introdujimos las propiedades de multiplicación y división de la igualdad en Resolver ecuaciones usando enteros; La propiedad de división de la igualdad y Resolver ecuaciones con fracciones . Modelamos cómo funcionaban estas propiedades usando sobres y contadores y luego las aplicamos para resolver ecuaciones (Ver Resolver ecuaciones usando enteros; La propiedad de división de la igualdad ). Los reformulamos nuevamente aquí mientras nos preparamos para usar estas propiedades nuevamente.

 
 

Definición: Propiedades de división y multiplicación de la igualdad

 

Propiedad de igualdad de división: para todos los números reales a, b, c y c ≠ 0, si a = b, entonces ( dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c} ) .

 

Propiedad de igualdad de multiplicación: para todos los números reales a, b, c, si a = b, entonces ac = bc.

 
 

Cuando divide o multiplica ambos lados de una ecuación por la misma cantidad, todavía tiene igualdad.

 

Revisemos cómo se pueden aplicar estas propiedades de igualdad para resolver ecuaciones. Recuerde, el objetivo es “deshacer” la operación en la variable. En el siguiente ejemplo, la variable se multiplica por 4, por lo que dividiremos ambos lados entre 4 para “deshacer” la multiplicación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resolver: 4x = −28.

 

Solución

 

Utilizamos la propiedad de igualdad de división para dividir ambos lados entre 4.

                                                                                                                                                              
Divide ambos lados entre 4 para deshacer la multiplicación. $$ dfrac {4x} { textcolor {red} {4}} = dfrac {-28} { textcolor {red} {4}} $$
Simplificar. $$ x = -7 $$
Comprueba tu respuesta. Deje x = −7. $$ begin {split} 4x & = -28 \ 4 ( textcolor {red} {- 7}) & stackrel {?} {=} -28 \ -28 & = -28 ; marca de verificación end {split} $$
 

Dado que esta es una afirmación verdadera, x = −7 es una solución para 4x = −28.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Resolver: 3y = −48.

 
     
Respuesta
     
     

y = -16

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Resolver: 4z = −52.

 
     
Respuesta
     
     

z = -13

     
 
 
 

En el ejemplo anterior, para “deshacer” la multiplicación, nos dividimos. ¿Cómo crees que “deshacemos” la división?

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resolver: ( dfrac {a} {- 7} ) = −42.

 

Solución

 

Aquí a se divide por −7. Podemos multiplicar ambos lados por −7 para aislar a.

                                                                                                                                                              
Multiplica ambos lados por −7. $$ textcolor {rojo} {- 7} left ( dfrac {a} {- 7} right) = textcolor {red} {7} (-42) $$
Simplificar. $$ a = 294 $$
Comprueba tu respuesta. Sea a = 294. $$ begin {split} dfrac {a} {- 7} & = -42 \ dfrac { textcolor {red} {294}} {- 7} & stackrel {?} {=} -42 \ -42 & = -42 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Resolver: ( dfrac {b} {- 6} ) = −24.

 
     
Respuesta
     
     

b = 144

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Resolver: ( dfrac {c} {- 8} ) = −16.

 
     
Respuesta
     
     

c = 128

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resolver: −r = 2.

 

Solución

 

Recuerde −r es equivalente a −1r.

                                                                                                              
Reescribe −r como −1r. $$ – 1r = 2 $$
Divide ambos lados entre −1. $$ dfrac {-1r} { textcolor {red} {- 1}} = dfrac {2} { textcolor {red} {- 1}} $$
 

Verificación.

                                                                                                              
Sustituye r = −2. $$ – r = 2 $$
Simplificar. $$ begin {split} – ( textcolor {red} {- 2}) & stackrel {?} {=} 2 \ 2 & = 2 ; marca de verificación end {split} $$
 

En Resolver ecuaciones con fracciones , vimos que hay otras dos formas de resolver −r = 2.

 
         
  1. Podríamos multiplicar ambos lados por −1.
  2.      
  3. Podríamos tomar lo contrario de ambos lados.
  4.  
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: −k = 8.

 
     
Respuesta
     
     

k = -8

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Resolver: −g = 3.

 
     
Respuesta
     
     

g = -3

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resolver: ( dfrac {2} {3} ) x = 18.

 

Solución

 

Dado que el producto de un número y su recíproco es 1, nuestra estrategia será aislar x multiplicando por el recíproco de ( dfrac {2} {3} ).

                                                                                                                                                                                                              
Multiplica por el recíproco de ( dfrac {2} {3} ). $$ textcolor {rojo} { dfrac {3} {2}} cdot dfrac {2} {3} x = textcolor {rojo} { dfrac {3} {2}} cdot 18 $$
Los recíprocos se multiplican por uno. $$ 1x = dfrac {3} {2} cdot dfrac {18} {1} $$
Multiplica. $$ x = 27 $$
Comprueba tu respuesta. Sea x = 27. $$ begin {split} dfrac {2} {3} x & = 18 \ dfrac {2} {3} cdot textcolor {red} {27} & stackrel {?} {= } 18 \ 18 & = 18 ; marca de verificación end {split} $$
 

Observe que podríamos haber dividido ambos lados de la ecuación ( dfrac {2} {3} ) x = 18 entre ( dfrac {2} {3} ) para aislar x. Si bien esto funcionaría, multiplicar por el recíproco requiere menos pasos.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: ( dfrac {2} {5} ) n = 14.

 
     
Respuesta
     
     

n = 35

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Resolver: ( dfrac {5} {6} ) y = 15.

 
     
Respuesta
     
     

y = 18

     
 
 
 
 

Resolver ecuaciones que deben simplificarse

 

Muchas ecuaciones comienzan más complicadas que las que acabamos de resolver. Primero, necesitamos simplificar ambos lados de la ecuación tanto como sea posible.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: 8x + 9x – 5x = −3 + 15.

 

Solución

 

Comienza combinando términos similares para simplificar cada lado.

                                                                                                                                                                                                              
Combina términos similares. $$ 12x = 12 $$
Divide ambos lados entre 12 para aislar x. $$ dfrac {12x} { textcolor {rojo} {12}} = dfrac {12} { textcolor {rojo} {12}} $$
Simplificar. $$ x = 1 $$
Comprueba tu respuesta. Sea x = 1. $$ begin {split} 8x + 9x – 5x & = -3 + 15 \ 8 cdot textcolor {red} {1} + 9 cdot textcolor {red} {1} – 5 cdot textcolor {red} {1} & stackrel {?} {=} -3 + 15 \ 12 & = 12 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Resolver: 7x + 6x – 4x = −8 + 26.

 
     
Respuesta
     
     

x = 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Resuelva: 11n – 3n – 6n = 7 – 17.

 
     
Respuesta
     
     

n = -5

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve: 11-20 = 17y – 8y – 6y.

 

Solución

 

Simplifique cada lado combinando términos similares.

                                                                                                                                                                                                              
Simplifica cada lado. $$ – 9 = 3 años $$
Divide ambos lados entre 3 para aislar y. $$ dfrac {-9} { textcolor {red} {3}} = dfrac {3y} { textcolor {red} {3}} $$
Simplificar. $$ – 3 = y $$
Comprueba tu respuesta. Deje y = −3. $$ begin {split} 11 – 20 & = 17y – 8y – 6y \ 11 – 20 & stackrel {?} {=} 17 ( textcolor {red} {- 3}) -8 ( textcolor {red} {- 3}) -6 ( textcolor {red} {- 3}) \ 11 – 20 & stackrel {?} {=} -51 + 24 + 18 \ -9 & stackrel { ?} {=} -9 ; marca de verificación end {split} $$
 

Observe que la variable terminó en el lado derecho del signo igual cuando resolvimos la ecuación. Es posible que prefiera dar un paso más para escribir la solución con la variable en el lado izquierdo del signo igual.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Resuelva: 18 – 27 = 15c – 9c – 3c.

 
     
Respuesta
     
     

c = -3

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Resuelva: 18 – 22 = 12x – x – 4x.

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {4} {7} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: −3 (n – 2) – 6 = 21.

 

Solución

 

Recuerde: siempre simplifique primero cada lado.

                                                                                                                                                                                                              
Distribuir. $$ – 3n + 6 = 21 $$
Simplificar. $$ – 3x = 21 $$
Divide ambos lados entre -3 para aislar n. $$ begin {split} dfrac {-3n} { textcolor {red} {- 3}} & = dfrac {21} { textcolor {red} {- 3}} \ n & = -7 end {split} $$
Comprueba tu respuesta. Deje n = −7. $$ begin {split} −3 (n – 2) – 6 & = 21 \ -3 ( textcolor {red} {- 7} – 2) – 6 & stackrel {?} {=} 21 \ -3 (-9) – 6 & stackrel {?} {=} 21 \ 27 – 6 & stackrel {?} {=} 21 \ 21 & = 21 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Resolver: −4 (n – 2) – 8 = 24.

 
     
Respuesta
     
     

n = -6

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Resolver: −6 (n – 2) – 12 = 30.

 
     
Respuesta
     
     

n = -5

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad

 

En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para la variable usando la Propiedad de igualdad de división y verifique la solución.

 
         
  1. 8x = 32
  2.      
  3. 7p = 63
  4.      
  5. −5c = 55
  6.      
  7. −9x = −27
  8.      
  9. −90 = 6 años
  10.      
  11. −72 = 12 años
  12.      
  13. −16p = −64
  14.      
  15. −8m = −56
  16.      
  17. 0.25z = 3.25
  18.      
  19. 0.75a = 11.25
  20.      
  21. −3x = 0
  22.      
  23. 4x = 0
  24.  
 

En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para la variable usando la Propiedad de igualdad de multiplicación y verifique la solución.

 
         
  1. ( dfrac {x} {4} ) = 15
  2.      
  3. ( dfrac {z} {2} ) = 14
  4.      
  5. −20 = ( dfrac {q} {- 5} )
  6.      
  7. ( dfrac {c} {- 3} ) = −12
  8.      
  9. ( dfrac {y} {9} ) = −6
  10.      
  11. ( dfrac {q} {6} ) = −8
  12.      
  13. ( dfrac {m} {- 12} ) = 5
  14.      
  15. −4 = ( dfrac {p} {- 20} )
  16.      
  17. ( dfrac {2} {3} ) y = 18
  18.      
  19. ( dfrac {3} {5} ) r = 15
  20.      
  21. (- dfrac {5} {8} ) w = 40
  22.      
  23. 24 = (- dfrac {3} {4} ) x
  24.      
  25. (- dfrac {2} {5} = dfrac {1} {10} a )
  26.      
  27. (- dfrac {1} {3} q = – dfrac {5} {6} )
  28.  
 

Resuelva ecuaciones que deben simplificarse

 

En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación.

 
         
  1. 8a + 3a – 6a = −17 + 27
  2.      
  3. 6 años – 3 años + 12 años = −43 + 28
  4.      
  5. −9x – 9x + 2x = 50 – 2
  6.      
  7. −5m + 7m – 8m = −6 + 36
  8.      
  9. 100 – 16 = 4p – 10p – p
  10.      
  11. −18-7 = 5t – 9t – 6t
  12.      
  13. ( dfrac {7} {8} n – dfrac {3} {4} n ) = 9 + 2
  14.      
  15. ( dfrac {5} {12} q + dfrac {1} {2} q ) = 25 – 3
  16.      
  17. 0.25d + 0.10d = 6 – 0.75
  18.      
  19. 0.05p – 0.01p = 2 + 0.24
  20.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Globos Ramona compró 18 globos para una fiesta. Ella quiere hacer 3 racimos iguales. Encuentre la cantidad de globos en cada grupo, b, resolviendo la ecuación 3b = 18.
  2.      
  3. Enseñanza La clase de jardín de infantes de Connie tiene 24 niños. Ella quiere que entren en 4 grupos iguales. Encuentre el número de niños en cada grupo, g, resolviendo la ecuación 4g = 24.
  4.      
  5. Precio del boleto Daria pagó $ 36.25 por 5 boletos para niños en la pista de patinaje sobre hielo. Encuentre el precio de cada boleto, p, resolviendo la ecuación 5p = 36.25.
  6.      
  7. Precio unitario Nishant pagó $ 12.96 por un paquete de 12 botellas de jugo. Encuentre el precio de cada botella, b, resolviendo la ecuación 12b = 12.96.
  8.      
  9. Ahorro de combustible El SUV de Tania obtiene la mitad de millas por galón (mpg) que el automóvil híbrido de su esposo. El SUV obtiene 18 mpg. Encuentre las millas por galón, m, del automóvil híbrido, resolviendo la ecuación ( dfrac {1} {2} ) m = 18.
  10.      
  11. Tela El equipo de perforación usó 14 yardas de tela para hacer banderas para un tercio de los miembros. Encuentre cuánto tejido, f, necesitarían para hacer banderas para todo el equipo resolviendo la ecuación ( dfrac {1} {3} ) f = 14.
  12.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Frida comenzó a resolver la ecuación −3x = 36 sumando 3 a ambos lados. Explica por qué el método de Frida dará como resultado la solución correcta.
  2.      
  3. Emiliano piensa que x = 40 es la solución a la ecuación ( dfrac {1} {2} ) x = 80. Explica por qué está equivocado.
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para confiar en todos los objetivos?

 
                                  
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