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las matematicas

8.3: Simplificar expresiones radicales

 

         
  1. Encuentre el factor más grande en el radio y que sea una potencia perfecta del índice. Reescribe el radicando como producto de dos factores, usando ese factor.
  2.      
  3. Usa la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales.
  4.      
  5. Simplifica la raíz del poder perfecto.
  6.  
 

Aplicaremos este método en el siguiente ejemplo. Puede ser útil tener una tabla de cuadrados perfectos, cubos y cuartos poderes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {500} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {16} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {243} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {500} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

 

( sqrt {100 cdot 5} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt {100} cdot sqrt {5} )

 

Simplifica.

 

(10 ​​ sqrt {5} )

 

b.

 

( sqrt [3] {16} )

 

Reescribe el radicando como producto usando el mayor factor de cubo perfecto. (2 ^ {3} = 8 )

 

( sqrt [3] {8 cdot 2} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {2} )

 

Simplifica.

 

(2 sqrt [3] {2} )

 

c.

 

( sqrt [4] {243} )

 

Reescribe el radicando como un producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto. (3 ^ {4} = 81 )

 

( sqrt [4] {81 cdot 3} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [4] {81} cdot sqrt [4] {3} )

 

Simplifica.

 

(3 sqrt [4] {3} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: a. ( sqrt {288} ) b. ( sqrt [3] {81} ) c. ( sqrt [4] {64} )

 
     
Respuesta
     
     

a. (12 sqrt {2} ) b. (3 sqrt [3] {3} ) c. (2 sqrt [4] {4} )

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: a. ( sqrt {432} ) b. ( sqrt [3] {625} ) c. ( sqrt [4] {729} )

 
     
Respuesta
     
     

a. (12 sqrt {3} ) b. (5 sqrt [3] {5} ) c. (3 sqrt [4] {9} )

     
 
 
 

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. No olvide usar los signos de valor absoluto cuando tome una raíz par de una expresión con una variable en el radical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {x ^ {3}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {x ^ {4}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {x ^ {7}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {x ^ {3}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

 

( sqrt {x ^ {2} cdot x} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x} )

 

Simplifica.

 

(| x | sqrt {x} )

 

b.

 

( sqrt [3] {x ^ {4}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor de cubo perfecto más grande.

 

( sqrt [3] {x ^ {3} cdot x} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [3] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} )

 

Simplifica.

 

(x sqrt [3] {x} )

 

c.

 

( sqrt [4] {x ^ {7}} )

 

Reescribe el radicando como un producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto.

 

( sqrt [4] {x ^ {4} cdot x ^ {3}} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [4] {x ^ {4}} cdot sqrt [4] {x ^ {3}} )

 

Simplifica.

 

(| x | sqrt [4] {x ^ {3}} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: a. ( sqrt {b ^ {5}} ) b. ( sqrt [4] {y ^ {6}} ) c. ( sqrt [3] {z ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

a. (b ^ {2} sqrt {b} ) b. (| y | sqrt [4] {y ^ {2}} ) c. (z sqrt [3] {z ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: a. ( sqrt {p ^ {9}} ) b. ( sqrt [5] {y ^ {8}} ) c. ( sqrt [6] {q ^ {13}} )

 
     
Respuesta
     
     

a. (p ^ {4} sqrt {p} ) b. (p sqrt [5] {p ^ {3}} ) c. (q ^ {2} sqrt [6] {q} )

     
 
 
 

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en el radicando. En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores cuadrados perfectos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {72 n ^ {7}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {80 y ^ {14}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {72 n ^ {7}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

 

( sqrt {36 n ^ {6} cdot 2 n} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt {36 n ^ {6}} cdot sqrt {2 n} )

 

Simplifica.

 

(6 left | n ^ {3} right | sqrt {2 n} )

 

b.

 

( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

 

( sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [3] {8 x ^ {6}} cdot sqrt [3] {3 x} )

 

Reescribe el primer radicando como ( left (2 x ^ {2} right) ^ {3} ).

 

( sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x} )

 

Simplifica.

 

(2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x} )

 

c.

 

( sqrt [4] {80 y ^ {14}} )

 

Vuelva a escribir el radicando como un producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto.

 

( sqrt [4] {16 y ^ {12} cdot 5 y ^ {2}} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [4] {16 y ^ {12}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

 

Reescribe el primer radicando como ( left (2 y ^ {3} right) ^ {4} ).

 

( sqrt [4] { left (2 y ^ {3} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

 

Simplifica.

 

(2 left | y ^ {3} right | sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {7} )

 

Simplifique: a. ( sqrt {32 y ^ {5}} ) b. ( sqrt [3] {54 p ^ {10}} ) c. ( sqrt [4] {64 q ^ {10}} )

 
     
Respuesta
     
     

a. (4 y ^ {2} sqrt {2 y} ) b. (3 p ^ {3} sqrt [3] {2 p} ) c. (2 q ^ {2} sqrt [4] {4 q ^ {2}} )

     
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: a. ( sqrt {75 a ^ {9}} ) b. ( sqrt [3] {128 m ^ {11}} ) c. ( sqrt [4] {162 n ^ {7}} )

 
     
Respuesta
     
     

a. (5 a ^ {4} sqrt {3 a} ) b. (4 m ^ {3} sqrt [3] {2 m ^ {2}} ) c. (3 | n | sqrt [4] {2 n ^ {3}} )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, continuamos usando los mismos métodos aunque haya más de una variable bajo el radical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {40 x ^ {4} y ^ {5}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {48 x ^ {4} y ^ {7}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

 

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4} cdot 7 u v} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4}} cdot sqrt {7 u v} )

 

Reescribe el primer radicando como ( left (3 u v ^ {2} right) ^ {2} ).

 

( sqrt { left (3 u v ^ {2} right) ^ {2}} cdot sqrt {7 u v} )

 

Simplifica.

 

(3 | u | v ^ {2} sqrt {7 u v} )

 

b.

 

( sqrt [3] {40 x ^ {4} y ^ {5}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor de cubo perfecto más grande.

 

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3} cdot 5 x y ^ {2}} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

 

Reescribe el primer radicando como ((2xy) ^ {3} ).

 

( sqrt [3] {(2 x y) ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

 

Simplifica.

 

(2 x y sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

 

c.

 

( sqrt [4] {48 x ^ {4} y ^ {7}} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande.

 

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4} cdot 3 y ^ {3}} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

 

Reescribe el primer radicando como ((2xy) ^ {4} ).

 

( sqrt [4] {(2 x y) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

 

Simplifica.

 

(2 | x y | sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {98 a ^ {7} b ^ {5}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {56 x ^ {5} y ^ {4}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {32 x ^ {5} y ^ {8}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (7 left | a ^ {3} right | b ^ {2} sqrt {2 a b} )
  2.          
  3. (2 x y sqrt [3] {7 x ^ {2} y} )
  4.          
  5. (2 | x | y ^ {2} sqrt [4] {2 x} )
  6.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {180 m ^ {9} n ^ {11}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {72 x ^ {6} y ^ {5}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] {80 x ^ {7} y ​​^ {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6 m ^ {4} izquierda | n ^ {5} derecha | sqrt {5 m n} )
  2.          
  3. (2 x ^ {2} y sqrt [3] {9 y ^ {2}} )
  4.          
  5. (2 | x y | sqrt [4] {5 x ^ {3}} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {- 16} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt [3] {- 27} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

 

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} )

 

Toma la raíz cúbica.

 

(- 3 )

 

b.

 

( sqrt [4] {- 16} )

 

No hay un número real (n ) donde (n ^ {4} = – 16 ).

 

No es un número real

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 64} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {- 81} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 4 )
  2.          
  3. sin número real
  4.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 625} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {- 324} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 5 sqrt [3] {5} )
  2.          
  3. sin número real
  4.      
     
 
 
 

Hemos visto cómo usar el orden de operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un número entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada pero no podemos agregar la expresión resultante al entero ya que un término contiene un radical y el otro no. El siguiente ejemplo también incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y el denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (3+ sqrt {32} )
  2.      
  3. ( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

(3+ sqrt {32} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

 

(3+ sqrt {16 cdot 2} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

(3+ sqrt {16} cdot sqrt {2} )

 

Simplifica.

 

(3 + 4 sqrt {2} )

 

Los términos no se pueden agregar ya que uno tiene un radical y el otro no. Intentar agregar un número entero y un radical es como tratar de agregar un número entero y una variable. ¡No son como los términos!

 

b.

 

( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

 

( dfrac {4- sqrt {16 cdot 3}} {2} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( dfrac {4- sqrt {16} cdot sqrt {3}} {2} )

 

Simplifica.

 

( dfrac {4-4 sqrt {3}} {2} )

 

Factoriza el factor común del numerador.

 

( dfrac {4 (1- sqrt {3})} {2} )

 

Elimina el factor común, 2, del numerador y denominador.

 

( dfrac { cancel {2} cdot 2 (1- sqrt {3})} { cancel {2}} )

 

Simplifica.

 

(2 (1- sqrt {3}) )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (5+ sqrt {75} )
  2.      
  3. ( dfrac {10- sqrt {75}} {5} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (5 + 5 sqrt {3} )
  2.          
  3. (2- sqrt {3} )
  4.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (2+ sqrt {98} )
  2.      
  3. ( dfrac {6- sqrt {45}} {3} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 + 7 sqrt {2} )
  2.          
  3. (2- sqrt {5} )
  4.      
     
 
 
 

Use la propiedad del cociente para simplificar expresiones radicales

 

Siempre que tenga que simplificar una expresión radical, el primer paso que debe tomar es determinar si el radicando es una potencia perfecta del índice. De lo contrario, verifique el numerador y el denominador para ver si hay factores comunes y elimínelos. Puede encontrar una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son potencias perfectas del índice.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {45} {80}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt { dfrac {45} {80}} )

 

Simplifica primero dentro del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y el denominador.

 

( sqrt { dfrac {5 cdot 9} {5 cdot 16}} )

 

Simplifica la fracción eliminando factores comunes.

 

( sqrt { dfrac {9} {16}} )

 

Simplifica. Nota ( left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2} = dfrac {9} {16} ).

 

( dfrac {3} {4} )

 

b.

 

( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )

 

Simplifica primero dentro del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y el denominador.

 

( sqrt [3] { dfrac {2 cdot 8} {2 cdot 27}} )

 

Simplifica la fracción eliminando factores comunes.

 

( sqrt [3] { dfrac {8} {27}} )

 

Simplifica. Nota ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} = dfrac {8} {27} ).

 

( dfrac {2} {3} )

 

c.

 

( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

 

Simplifica primero dentro del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y el denominador.

 

( sqrt [4] { dfrac {5 cdot 1} {5 cdot 16}} )

 

Simplifica la fracción eliminando factores comunes.

 

( sqrt [4] { dfrac {1} {16}} )

 

Simplifica. Nota ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {4} = dfrac {1} {16} ).

 

( dfrac {1} {2} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {15} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {75} {48}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {54} {250}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {32} {162}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {5} {4} )
  2.          
  3. ( dfrac {3} {5} )
  4.          
  5. ( dfrac {2} {3} )
  6.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {98} {162}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {24} {375}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {4} {324}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {7} {9} )
  2.          
  3. ( dfrac {2} {5} )
  4.          
  5. ( dfrac {1} {3} )
  6.      
     
 
 
 

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción bajo el radical eliminando factores comunes. En el siguiente ejemplo, utilizaremos la Propiedad del cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases similares restando sus exponentes,

 

( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, quad a neq 0 )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )

 

Simplifica primero la fracción dentro del radical. Divide las bases similares restando los exponentes.

 

( sqrt {m ^ {2}} )

 

Simplifica.

 

(| m | )

 

b.

 

( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )

 

Usa la propiedad del cociente de exponentes para simplificar primero la fracción bajo el radical.

 

( sqrt [3] {a ^ {3}} )

 

Simplifica.

 

(a )

 

c.

 

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

 

Usa la propiedad del cociente de exponentes para simplificar primero la fracción bajo el radical.

 

( sqrt [4] {a ^ {8}} )

 

Reescribe el radicando usando el cuarto factor de potencia perfecto.

 

( sqrt [4] { left (a ^ {2} right) ^ {4}} )

 

Simplifica.

 

(a ^ {2} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {6}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] { dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {y ^ {17}} {y ^ {5}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (| a | )
  2.          
  3. (| x | )
  4.          
  5. (y ^ {3} )
  6.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {x ^ {14}} {x ^ {10}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {m ^ {13}} {m ^ {7}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [5] { dfrac {n ^ {12}} {n ^ {2}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x ^ {2} )
  2.          
  3. (m ^ {2} )
  4.          
  5. (n ^ {2} )
  6.      
     
 
 
 

¿Recuerda el Cociente de una propiedad de poder ? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado.

 

( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Propiedad del cociente de expresiones radicales

 

Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b neq 0 ) y para cualquier número entero (n geq 2 ) entonces,

 

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} text {y} dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ) cómo simplificar el cociente de expresiones radicales

 

Simplifique: ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

 

Solución :

 

Paso 1 : Simplifica la fracción en el radicando, si es posible.

 

( dfrac {27 m ^ {3}} {196} ) no se puede simplificar.

 

( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

 

Paso 2 : Usa la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.

 

Reescribimos ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} ) como el cociente de ( sqrt {27 m ^ {3}} ) y ( sqrt { 196} ).

 

( dfrac { sqrt {27 m ^ {3}}} { sqrt {196}} )

 

Paso 3 : Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

 

(9m ^ {2} ) y (196 ) son cuadrados perfectos.

 

( dfrac { sqrt {9 m ^ {2}} cdot sqrt {3 m}} { sqrt {196}} )

 

( dfrac {3 m sqrt {3 m}} {14} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {19} )

 

Simplifique: ( sqrt { dfrac {24 p ^ {3}} {49}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2 | p | sqrt {6 p}} {7} )

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: ( sqrt { dfrac {48 x ^ {5}} {100}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt {3 x}} {5} )

     
 
 
 

Simplifique una raíz cuadrada usando la propiedad del cociente

 
         
  1. Simplifica la fracción en el radicando, si es posible.
  2.      
  3. Usa la propiedad del cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
  4.      
  5. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.
  6.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )

 

No podemos simplificar la fracción en el radicando. Reescribe usando la propiedad del cociente.

 

( dfrac { sqrt {45 x ^ {5}}} { sqrt {y ^ {4}}} )

 

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

 

( dfrac { sqrt {9 x ^ {4}} cdot sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

 

Simplifica.

 

( dfrac {3 x ^ {2} sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

 

b.

 

( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )

 

La fracción en el radio y no se puede simplificar. Usa la propiedad del cociente para escribir como dos radicales.

 

( dfrac { sqrt [3] {24 x ^ {7}}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

 

Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

 

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

 

Reescribe el numerador como el producto de dos radicales.

 

( dfrac { sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x}} { sqrt [3] { y ^ {3}}} )

 

Simplifica.

 

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x}} {y} )

 

c.

 

( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

 

La fracción en el radio y no se puede simplificar.

 

( dfrac { sqrt [4] {48 x ^ {10}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

 

Usa la propiedad del cociente para escribir como dos radicales. Reescribe cada radicando como un producto utilizando los factores de potencia cuarta perfectos.

 

( dfrac { sqrt [4] {16 x ^ {8} cdot 3 x ^ {2}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

 

Reescribe el numerador como el producto de dos radicales.

 

( dfrac { sqrt [4] { left (2 x ^ {2} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 x ^ {2}}} { sqrt [4] { left (y ^ {2} right) ^ {4}}} )

 

Simplifica.

 

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {3 x ^ {2}}} {y ^ {2}} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {21} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {80 m ^ {3}} {n ^ {6}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {108 c ^ {10}} {d ^ {6}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {80 x ^ {10}} {y ^ {4}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {4 | m | sqrt {5 m}} { left | n ^ {3} right |} )
  2.          
  3. ( dfrac {3 c ^ {3} sqrt [3] {4 c}} {d ^ {2}} )
  4.          
  5. ( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {5 x ^ {2}}} {| y |} )
  6.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {22} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {54 u ^ {7}} {v ^ {8}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {40 r ^ {3}} {s ^ {6}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {162 m ^ {14}} {n ^ {12}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {3 u ^ {3} sqrt {6 u}} {v ^ {4}} )
  2.          
  3. ( dfrac {2 r sqrt [3] {5}} {s ^ {2}} )
  4.          
  5. ( dfrac {3 left | m ^ {3} right | sqrt [4] {2 m ^ {2}}} { left | n ^ {3} right |} ) [ 19459003]      
     
 
 
 

Asegúrese de simplificar la fracción en el radio y primero, si es posible.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )

 

Simplifica la fracción en el radicando, si es posible.

 

( sqrt { dfrac {9 p ^ {4} q ^ {5}} {16}} )

 

Reescribe usando la propiedad Cociente.

 

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {5}}} { sqrt {16}} )

 

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

 

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {4}} cdot sqrt {q}} {4} )

 

Simplifica.

 

( dfrac {3 p ^ {2} q ^ {2} sqrt {q}} {4} )

 

b.

 

( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )

 

Simplifica la fracción en el radicando, si es posible.

 

( sqrt [3] { dfrac {8 x ^ {3} y ^ {5}} {27}} )

 

Reescribe usando la propiedad Cociente.

 

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {5}}} { sqrt [3] {27}} )

 

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

 

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {y ^ {2}}} { sqrt [3] {27} } )

 

Simplifica.

 

( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )

 

c.

 

( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

 

Simplifica la fracción en el radicando, si es posible.

 

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {5} b ^ {4}} {16}} )

 

Reescribe usando la propiedad Cociente.

 

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt [4] {16}} )

 

Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

 

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {4} b ^ {4}} cdot sqrt [4] {a}} { sqrt [4] {16}} ) [19459006 ]  

Simplifica.

 

( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {23} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {50 x ^ {5} y ^ {3}} {72 x ^ {4} y}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {5 | y | sqrt {x}} {6} )
  2.          
  3. ( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )
  4.          
  5. ( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )
  6.      
     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {24} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt { dfrac {48 m ^ {7} n ^ {2}} {100 m ^ {5} n ^ {8}}} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] { dfrac {54 x ^ {7} y ​​^ {5}} {250 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  4.      
  5. ( sqrt [4] { dfrac {32 a ^ {9} b ^ {7}} {162 a ^ {3} b ^ {3}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {2 | m | sqrt {3}} {5 left | n ^ {3} right |} )
  2.          
  3. ( dfrac {3 x y sqrt [3] {x ^ {2}}} {5} )
  4.          
  5. ( dfrac {2 | a b | sqrt [4] {a ^ {2}}} {3} )
  6.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, no hay nada que simplificar en los denominadores. Dado que el índice de los radicales es el mismo, podemos usar la Propiedad del cociente nuevamente, para combinarlos en un radical. Luego miraremos para ver si podemos simplificar la expresión.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )
  2.      
  3. ( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
  4.      
  5. ( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )

 

El denominador no se puede simplificar, así que usa la propiedad del cociente para escribir como un radical.

 

( sqrt { dfrac {48 a ^ {7}} {3 a}} )

 

Simplifica la fracción bajo el radical.

 

( sqrt {16 a ^ {6}} )

 

Simplifica.

 

(4 left | a ^ {3} right | )

 

b.

 

( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )

 

El denominador no se puede simplificar, así que usa la propiedad del cociente para escribir como un radical.

 

( sqrt [3] { dfrac {-108} {2}} )

 

Simplifica la fracción bajo el radical.

 

( sqrt [3] {- 54} )

 

Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos.

 

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3} cdot 2} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} cdot sqrt [3] {2} )

 

Simplifica.

 

(- 3 sqrt [3] {2} )

 

c.

 

( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

 

El denominador no se puede simplificar, así que usa la propiedad del cociente para escribir como un radical.

 

( sqrt [4] { dfrac {96 x ^ {7}} {3 x ^ {2}}} )

 

Simplifica la fracción bajo el radical.

 

( sqrt [4] {32 x ^ {5}} )

 

Vuelva a escribir el radicando como un producto utilizando el cuarto factor de potencia perfecto.

 

( sqrt [4] {16 x ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

 

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

 

( sqrt [4] {(2 x) ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

 

Simplifica.

 

(2 | x | sqrt [4] {2 x} )

 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {25} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac { sqrt {98 z ^ {5}}} { sqrt {2 z}} )
  2.      
  3. ( dfrac { sqrt [3] {- 500}} { sqrt [3] {2}} )
  4.      
  5. ( dfrac { sqrt [4] {486 m ^ {11}}} { sqrt [4] {3 m ^ {5}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (7z ^ {2} )
  2.          
  3. (- 5 sqrt [3] {2} )
  4.          
  5. (3 | m | sqrt [4] {2 m ^ {2}} )
  6.      
     
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {26} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac { sqrt {128 m ^ {9}}} { sqrt {2 m}} )
  2.      
  3. ( dfrac { sqrt [3] {- 192}} { sqrt [3] {3}} )
  4.      
  5. ( dfrac { sqrt [4] {324 n ^ {7}}} { sqrt [4] {2 n ^ {3}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (8m ^ {4} )
  2.          
  3. (- 4 )
  4.          
  5. (3 | n | sqrt [4] {2} )
  6.      
     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con simplificación de expresiones radicales.

 

Conceptos clave

 
         
  • Expresión radical simplificada      
               
    • Para números reales (a, m ) y (n≥2 )
      ( sqrt [n] {a} ) se considera simplificado si (a ) no tiene factores de (m ^ {n} )
    •      
         
  •      
  • Propiedad del producto de (n ^ {th} ) Raíces      
               
    • Para cualquier número real, ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ), y para cualquier número entero (n≥2 )
      ( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} ) y ( sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )
    •      
         
  •      
  • Cómo simplificar una expresión radical usando la Propiedad del producto      
               
    1. Encuentre el factor más grande en el radio y que sea una potencia perfecta del índice.
      Reescribe el radicando como producto de dos factores, usando ese factor.
    2.          
    3. Usa la regla del producto para reescribir el radical como el producto de dos radicales.
    4.          
    5. Simplifica la raíz del poder perfecto.
    6.      
         
  •      
  • Propiedad del cociente de expresiones radicales      
               
    • If (sqrt[n]{a}) and (sqrt[n]{b}) are real numbers, (b≠0), and for any integer (n≥2) then, (sqrt[n]{dfrac{a}{b}}=dfrac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}) and (dfrac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}=sqrt[n]{dfrac{a}{b}})
       
    •      
         
  •      
  • How to simplify a radical expression using the Quotient Property.      
               
    1. Simplify the fraction in the radicand, if possible.
    2.          
    3. Use the Quotient Property to rewrite the radical as the quotient of two radicals.
    4.          
    5. Simplify the radicals in the numerator and the denominator.
    6.      
         
  •  
 
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