8.3: Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común

8.3: Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común

Agregar expresiones racionales con un denominador común

 

¿Cuál es el primer paso que das cuando agregas fracciones numéricas? Verifica si tienen un denominador común. Si lo hacen, agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. Si no tienen un denominador común, encontrará uno antes de sumar.

 

Es lo mismo con las expresiones racionales. Para agregar expresiones racionales, deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común.

 
 

Definición: ADICIÓN DE EXPRESIÓN RACIONAL

 

Si p, q, yr son polinomios donde (r ne 0 ), entonces

 

( frac {p} {r} + frac {q} {r} = frac {p + q} {r} )

 

Para agregar expresiones racionales con un denominador común, suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común.

 
 

Primero agregaremos dos fracciones numéricas, para recordarnos cómo se hace esto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Agregue: ( frac {5} {18} + frac {7} {18} ).

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {5} {18} + frac {7} {18} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {5 + 7} {18} )
Agregue el numerador. ( frac {12} {18} )
Factoriza el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes. ( frac {6 · 2} {6 · 3} )
Simplificar. ( frac {2} {3} )
     
     
     
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Agregue: ( frac {7} {16} + frac {5} {16} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3} {4} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Agregue: ( frac {3} {10} + frac {1} {10} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2} {5} )

     
 
 
  Recuerde, no permitimos valores que hagan que el denominador sea cero. ¿Qué valor de yy debería excluirse en el siguiente ejemplo?
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Agregue: ( frac {3y} {4y − 3} + frac {7} {4y − 3} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
( frac {3y} {4y − 3} + frac {7} {4y − 3} ).
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {3y + 7} {4y − 3} )
El numerador y el denominador no se pueden factorizar. La fracción se simplifica.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Agregue: ( frac {5x} {2x + 3} + frac {2} {2x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5x + 2} {2x + 3} ).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Agregue: ( frac {x} {x − 2} + frac {1} {x − 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x + 1} {x − 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Agregue: ( frac {7x + 12} {x + 3} + frac {x ^ 2} {x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {7x + 12} {x + 3} + frac {x ^ 2} {x + 3} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {7x + 12 + x ^ 2} {x + 3} )
Escribe los grados en orden descendente. ( frac {x ^ 2 + 7x + 12} {x + 3} )
Factoriza el numerador. ( frac {(x + 3) (x + 4)} {x + 3} )
Simplificar. x + 4
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Agregue: ( frac {9x + 14} {x + 7} + frac {x ^ 2} {x + 7} ).

 
     
Respuesta
     
     

x + 2

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Agregue: ( frac {x ^ 2 + 8x} {x + 5} + frac {15} {x + 5} ).

 
     
Respuesta
     
     

x + 3

     
 
 
 
 
 

Restar expresiones racionales con un denominador común

 

Para restar expresiones racionales, también deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.

 
 

Definición: SUBTRACCIÓN DE EXPRESIÓN RACIONAL

 

Si p, q, yr son polinomios donde (r ne 0 )

 

( frac {p} {r} – frac {q} {r} = frac {p − q} {r} )

 

Para restar expresiones racionales, reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el denominador común.

 
  Siempre simplificamos las expresiones racionales. Asegúrese de factorizar, si es posible, después de restar los numeradores para poder identificar los factores comunes.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Restar: ( frac {n ^ 2} {n − 10} – frac {100} {n − 10} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {n ^ 2} {n − 10} – frac {100} {n − 10} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {n ^ 2−100} {n − 10} )
Factoriza el numerador. ( frac {(n − 10) (n + 10)} {n − 10} )
Simplificar. n + 10
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Restar: ( frac {x ^ 2} {x + 3} – frac {9} {x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

x − 3

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Restar: ( frac {4x ^ 2} {2x − 5} – frac {25} {2x − 5} ).

 
     
Respuesta
     
     

2x + 5

     
 
 
 

¡Ten cuidado con los signos cuando restas un binomio!

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Restar: ( frac {y ^ 2} {y − 6} – frac {2y + 24} {y − 6} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {y ^ 2} {y − 6} – frac {2y + 24} {y − 6} )
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {y ^ 2− (2y + 24)} {y − 6} )
Distribuya el signo en el numerador. ( frac {y ^ 2−2y − 24} {y − 6} )
Factoriza el numerador. ( frac {(y − 6) (y + 4)} {y − 6} )
Simplificar. y + 4
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Restar: ( frac {n ^ 2} {n − 4} – frac {n + 12} {n − 4} ).

 
     
Respuesta
     
     

n + 3

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Restar: ( frac {y ^ 2} {y − 1} – frac {9y − 8} {y − 1} ).

 
     
Respuesta
     
     

y − 8

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Restar: ( frac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x-18} – frac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x-18} ) .

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
( frac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} – frac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} ) [19459027 ]              
Las fracciones tienen un denominador común, así que suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. ( frac {5x ^ 2−7x + 3− (4x ^ 2 + x − 9)} {x ^ 2−3x + 18} )
Distribuya el signo en el numerador. ( frac {5x ^ 2−7x + 3−4x ^ 2 − x + 9} {x ^ 2−3x + 18} )
Combina términos similares. ( frac {x ^ 2−8x + 12} {x ^ 2−3x + 18} )
Factoriza el numerador y el denominador. ( frac {(x − 2) (x − 6)} {(x + 3) (x − 6)} )
Simplificar. ( frac {x − 2} {x + 3} )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Restar: ( frac {4x ^ 2−11x + 8} {x ^ 2−3x + 2} – frac {3x ^ 2 + x − 3} {x ^ 2−3x + 2} ) .

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x − 11} {x − 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Restar: ( frac {6x ^ 2 − x + 20} {x ^ 2−81} – frac {5x ^ 2 + 11x − 7} {x ^ 2−81} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x − 3} {x + 9} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Sumar y restar expresiones racionales cuyos denominadores son opuestos

 

Cuando los denominadores de dos expresiones racionales son opuestos, es fácil obtener un denominador común. Solo tenemos que multiplicar una de las fracciones por ( frac {−1} {- 1} )

 

Veamos cómo funciona esto.

                                                                                                                                                                                                              
.
Multiplica la segunda fracción por ( frac {−1} {- 1} ). .
Los denominadores son los mismos. .
Simplificar. .
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Agregue: ( frac {4u − 1} {3u − 1} + frac {u} {1−3u} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Agregue: ( frac {8x − 15} {2x − 5} + frac {2x} {5−2x} ).

 
     
Respuesta
     
     

3

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Agregue: ( frac {6y ^ 2 + 7y − 10} {4y − 7} + frac {2y ^ 2 + 2y + 11} {7−4y} ).

 
     
Respuesta
     
     

y + 3

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Restar: ( frac {m ^ 2−6m} {m ^ 2−1} – frac {3m + 2} {1 − m ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Restar: ( frac {y ^ 2−5y} {y ^ 2−4} – frac {6y − 6} {4 − y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {y + 3} {y + 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Restar: ( frac {2n ^ 2 + 8n − 1} {n ^ 2−1} – frac {n ^ 2−7n − 1} {1 − n ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3n − 2} {n − 1} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Adición de expresión racional      
               
    •          

      Si p, q, yr son polinomios donde (r ne 0 ), entonces

               

      ( frac {p} {r} + frac {q} {r} = frac {p + q} {r} )

               
    •          
    • Para agregar expresiones racionales con un denominador común, suma los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común.
    •      
         
  •      
  • Sustracción de expresión racional      
               
    •          

      Si p, q, yr son polinomios donde (r ne 0 )

               

      ( frac {p} {r} – frac {q} {r} = frac {p − q} {r} )

               
    •          
    • Para restar expresiones racionales, reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el denominador común.
    •      
         
  •  
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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