Como vimos en la última sección, para resolver problemas de aplicación que involucren funciones exponenciales, necesitaremos poder resolver ecuaciones exponenciales como
(1500 = 1000e ^ {0.06t} ) o (300 = 2 ^ x ).
Sin embargo, actualmente no tenemos ninguna herramienta matemática a nuestra disposición para resolver una variable que aparece como un exponente, como en estas ecuaciones. En esta sección, desarrollaremos el concepto de una función inversa, que a su vez se utilizará para definir la herramienta que necesitamos, el logaritmo, en la Sección 8.5.
Funciones uno a uno
DEFINICIÓN ( PageIndex {1} )
Se dice que una función dada f es uno a uno si para cada valor y en el rango de f, solo hay un valor x en el dominio de f tal que y = f (x). En otras palabras, f es uno a uno si cada salida y de f corresponde exactamente a una entrada x.
Es más fácil entender esta definición al observar diagramas de mapeo y gráficos de algunas funciones de ejemplo.
EJEMPLO ( PageIndex {2} )
Considere las dos funciones h y k definidas de acuerdo con los diagramas de mapeo en Figura 1 . En Figura 1 (a), hay dos valores en el dominio que se asignan a 3 en el rango. Por lo tanto, la función h no es uno a uno. Por otro lado, en Figura 1 (b), para cada salida en el rango de k, solo hay una entrada en el dominio que se asigna a ella. Por lo tanto, k es una función uno a uno.
EJEMPLO ( PageIndex {3} )
La gráfica de una función se muestra en Figura 2 (a). Para esta función f, el valor y 4 es la salida correspondiente a dos valores de entrada, x = −1 yx = 3 (ver el diagrama de mapeo correspondiente en Figura 2 (b)). Por lo tanto, f no es uno a uno.
Gráficamente, esto es evidente dibujando segmentos horizontales desde el punto (0 , 4) en el eje y sobre los puntos correspondientes en el gráfico, y luego dibujando vertical segmentos al eje x . Estos segmentos cumplen con el eje x en – 1 y 3.
EJERCICIO ( PageIndex {4} )
En Figura 3 , cada valor de y en el rango de f corresponde a un solo valor de entrada x. Por lo tanto, esta función es uno a uno.
Gráficamente, esto se puede ver dibujando mentalmente un segmento horizontal desde cada punto en el eje y sobre el punto correspondiente en el gráfico, y luego dibujando un segmento vertical al eje x. Se muestran varios ejemplos en Figura 3 . Es evidente que este procedimiento siempre dará como resultado un solo punto correspondiente en el eje x, porque cada valor de y solo corresponde a un punto en el gráfico. De hecho, es más fácil tener en cuenta que dado que cada línea horizontal solo se cruza con el gráfico una vez, entonces solo puede haber una entrada correspondiente a cada salida.
El proceso gráfico descrito en el ejemplo anterior, conocido como la prueba de línea horizontal, proporciona un medio visual simple para determinar si una función es uno a uno.
PRUEBA DE LÍNEA HORIZONTAL
Si cada línea horizontal se cruza con el gráfico de f como máximo una vez, entonces f es uno a uno. Por otro lado, si alguna línea horizontal cruza la gráfica de f más de una vez, entonces f no es uno a uno.
Observación 5. De la prueba de la línea horizontal se deduce que si f es una función estrictamente creciente, entonces f es uno a- uno. Del mismo modo, cada función estrictamente decreciente también es uno a uno.
Funciones inversas
Si f es uno a uno, entonces podemos definir una función asociada g, llamada función inversa de f. A continuación daremos una definición formal, pero la idea básica es que la función inversa g simplemente envía las salidas de f a sus entradas correspondientes. En otras palabras, el diagrama de mapeo para g se obtiene invirtiendo las flechas en el diagrama de mapeo para f.
EJEMPLO ( PageIndex {6} )
La función f en Figura 4 (a) asigna 1 a 5 y 2 a −3. Por lo tanto, la función inversa g en Figura 4 (b) asigna las salidas de f a sus entradas correspondientes: 5 a 1 y −3 a 2. Tenga en cuenta que al invertir las flechas en el diagrama de asignación para f se obtiene el diagrama de mapeo para g.
Dado que la función inversa g envía las salidas de f a sus entradas correspondientes, se deduce que las entradas de g son las salidas de f , y viceversa. Por lo tanto, las funciones g yf se relacionan simplemente intercambiando sus entradas y salidas.
La función original debe ser uno a uno para tener una inversa. Por ejemplo, considere la función h en Ejemplo 2 . h no es uno a uno. Si invertimos las flechas en el diagrama de mapeo para h (ver Figura 1 (a)), entonces la relación resultante no será una función, porque 3 se correlacionaría con 1 y 2.
Antes de dar la definición formal de una función inversa, es útil revisar la descripción de una función dada en la Sección 2.1. Si bien las funciones a menudo se definen por medio de una fórmula, recuerde que, en general, una función es solo una regla que dicta cómo asociar un valor de salida único a cada valor de entrada.
DEFINICIÓN ( PageIndex {7} )
Suponga que f es una función uno a uno dada. La función inversa g se define de la siguiente manera: para cada y en el rango de f, defina g (y) como el valor único x tal que y = f (x).
Para comprender esta definición, es útil mirar un diagrama:
La entrada para g es cualquier valor de y en el rango de f. Por lo tanto, la entrada en el diagrama anterior es un valor en el eje y. La salida de g es el valor correspondiente en el eje x que satisface la condición y = f (x). Tenga en cuenta en particular que el valor de x es único porque f es uno a uno.
La relación entre la función original f y su función inversa g se puede describir por:
PROPIEDAD ( PageIndex {8} )
Si g es la función inversa de f, entonces
(x = g (y) longleftrightarrow y = f (x) ).
De hecho, esta es realmente la relación definitoria para la función inversa. Una manera fácil de entender esta relación (y todo el concepto de una función inversa) es darse cuenta de que establece que las entradas y salidas están intercambiadas. Las entradas de g son las salidas de f , y viceversa. De ello se deduce que el dominio y el rango de f y g se intercambian:
PROPIEDAD ( PageIndex {9} )
Si g es la función inversa de f, entonces
Dominio (g) = Rango (f) y Rango (g) = Dominio (f).
La relación definitoria en Propiedad 8 también es equivalente a las dos identidades siguientes, por lo que proporcionan una caracterización alternativa de funciones inversas:
PROPIEDAD ( PageIndex {10} )
Si g es la función inversa de f, entonces
g (f (x)) = x por cada x en el dominio (f)
y
f (g (y)) = y por cada y en el dominio (g).
Tenga en cuenta que la primera declaración en Propiedad 10 dice que g asigna la salida f (x) de nuevo a la entrada x . La segunda afirmación dice lo mismo con los roles de f yg invertidos. Por lo tanto, f yg deben ser inversas.
La propiedad 10 también se puede interpretar para decir que las funciones gyf se “deshacen” entre sí. Si primero aplicamos f a una entrada x, y luego aplicamos g, recuperamos x nuevamente. Del mismo modo, si aplicamos g a una entrada y, y luego aplicamos f, recuperamos y nuevamente. Entonces, cualquier acción que realice f, g la invierte, y viceversa.
EJEMPLO ( PageIndex {11} )
Supongamos que (f (x) = x ^ 3 ). Por lo tanto, f es la función de “cubing”. ¿Qué operación revertirá el proceso de cubicación? Tomando una raíz cúbica. Por lo tanto, el inverso de f debería ser la función (g (y) = sqrt [3] {y} ).
Verifiquemos Propiedad 10 :
(g (f (x)) = g (x ^ 3) = sqrt [3] {x ^ 3} = x )
y
(f (g (y)) = f ( sqrt [3] {y}) = ( sqrt [3] {y}) ^ 3 = y )
EJEMPLO ( PageIndex {12} )
Suponga que f (x) = 4x − 1. f actúa sobre una entrada x multiplicando primero por 4 y luego restando 1. La función inversa debe invertir el proceso: primero sume 1 y luego divida entre 4. Por lo tanto, la función inversa debe ser (g (y) = frac {y + 1} {4} ).
Nuevamente, verifiquemos Propiedad 10 :
(g (f (x)) = g (4x − 1) = frac {(4x − 1) +1} {4} = frac {4x} {4} = x )
y
(f (g (y)) = f ( frac {y + 1} {4}) = 4 ( frac {y + 1} {4}) – 1 = (y + 1) −1 = Y )
Observaciones 13.
-
El cálculo g (f (x)), en el que la salida de una función se usa como entrada de otra, se denomina composición de g con f. Así, las funciones inversas se “deshacen” entre sí en el sentido de la composición. La composición de funciones es un concepto importante en muchas áreas de las matemáticas, por lo que se proporciona más práctica con la composición de funciones en los ejercicios.
-
Si g es la función inversa de f, entonces f también es la inversa de g. Esto se deduce de Propiedad 8 o Propiedad 10 . (Tenga en cuenta que las etiquetas x e y para las variables no son importantes. La idea clave es que dos funciones son inversas si sus entradas y salidas se intercambian).
Notación: Para indicar que dos funciones f y g son inversas, usualmente usamos la notación (f ^ {- 1} ) para g. El símbolo (f ^ {- 1} ) se lee “f inverso”. Además, para evitar confusiones con los roles típicos de x e y, a menudo es útil usar diferentes etiquetas para las variables. Reescribiendo Propiedad 8 con la notación (f ^ {- 1} ), y usando nuevas etiquetas para las variables, tenemos la relación definitoria:
PROPIEDAD ( PageIndex {14} )
(v = f ^ {- 1} (u) longleftrightarrow u = f (v) )
Del mismo modo, reescribiendo Propiedad 10 , tenemos las relaciones de composición:
PROPIEDAD ( PageIndex {15} )
(f ^ {- 1} (f (z)) ) = z por cada z en el dominio (f)
y
(f (f ^ {- 1} (z)) = z ) por cada z en el dominio ( (f ^ {- 1} ))
Sin embargo, la nueva notación viene con una advertencia importante:
ADVERTENCIA ( PageIndex {16} )
(f ^ {- 1} ) no no significa ( frac {1} {f} )
El exponente -1 es solo una notación en este contexto. Cuando se aplica a una función, representa el inverso de la función, no el recíproco de la función.
El gráfico de una función inversa
¿Cómo se relacionan las gráficas de f y (f ^ {- 1} )? Suponga que el punto (a, b) está en la gráfica de f. Eso significa que b = f (a). Dado que las entradas y salidas se intercambian para la función inversa, se deduce que (a = f ^ {- 1} (b) ), entonces (b, a) está en la gráfica de (f ^ {- 1} ) Ahora (a, b) y (b, a) son solo reflexiones entre sí a través de la línea y = x (vea la discusión a continuación para obtener una explicación detallada), por lo que se deduce que lo mismo es cierto para las gráficas de f y (f ^ {- 1} ) si graficamos ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas (es decir, como funciones de x).
Por ejemplo, considere las funciones del Ejemplo 11 . Las funciones (f (x) = x ^ 3 ) y (f ^ {- 1} (x) = sqrt [3] {x} ) se grafican en Figura 6 junto con la línea y = x. Varios pares de puntos reflejados también se muestran en el gráfico.
Para ver por qué los puntos (a, b) y (b, a) son solo reflejos entre sí a través de la línea y = x, considere el segmento S entre estos dos puntos (consulte Figura 7 ) Será suficiente mostrar: (1) que S es perpendicular a la línea y = x, y (2) que el punto de intersección P del segmento S y la línea y = x es equidistante de cada uno de (a, b) y (b, a).
- La pendiente de S es
( frac {a − b} {b − a} = −1 ),
y la pendiente de la línea y = x es 1, por lo que son perpendiculares.
2. La línea que contiene S tiene la ecuación y − b = – (x − a), o equivalente, y = −x + (a + b). Para encontrar la intersección de S y la línea y = x, establezca x = −x + (a + b) y resuelva para x para obtener
(x = frac {a + b} {2} ).
Dado que y = x, se deduce que el punto de intersección es
(P = ( frac {a + b} {2}, frac {a + b} {2}) )
Finalmente, podemos usar la fórmula de distancia presentada en la sección 9.6 para calcular la distancia desde P a ( a, b ) y la distancia desde P a ( b, a ). En ambos casos, la distancia calculada resulta ser
( frac {| a − b |} { sqrt {2}} )
Cálculo de la fórmula de una función inversa
¿Cómo se encuentra la fórmula de una función inversa? En Ejemplo 11 , fue fácil ver que el inverso de la función de “cubicación” debe ser la función de raíz cúbica. Pero, ¿cómo se obtuvo la fórmula para el inverso en Ejemplo 12 ?
En realidad, existe un procedimiento simple para encontrar la fórmula para la función inversa (siempre que exista dicha fórmula; recuerde que no todas las funciones pueden describirse mediante una fórmula simple, por lo que el procedimiento no funcionará para tales funciones). El siguiente procedimiento funciona porque las entradas y salidas (las variables x y y ) se cambian en el paso 3.
COMPUTACIÓN DE LA FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
-
Verifique el gráfico de la función original f (x) para ver si pasa la prueba de la línea horizontal. Si es así, entonces f es uno a uno y puede continuar.
-
Escribe la fórmula en forma de ecuación xy, como y = f (x).
-
Intercambie las variables x e y.
-
Resuelve la nueva ecuación para y, si es posible. El resultado será la fórmula para (f ^ {- 1} (x) ).
EJEMPLO ( PageIndex {17} )
Comencemos por encontrar el inverso de la función f (x) = 4x − 1 de Ejemplo 12 .
Paso 1: Una comprobación del gráfico muestra que f es uno a uno (consulte Figura 8 ).
PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: y = 4x – 1
PASO 3: Intercambio x e y: x = 4y – 1
PASO 4: Resuelve para y:
x = 4y – 1
( rightarrow x + 1 = 4y )
( rightarrow frac {x + 1} {4} = y )
Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = frac {x + 1} {4} ).
La figura 9 demuestra que la gráfica de (f ^ {- 1} (x) = frac {x + 1} {4} ) es un reflejo de la gráfica de f (x ) = 4x − 1 a través de la línea y = x. En esta figura, el comando ZSquare en el menú ZOOM se ha utilizado para ilustrar mejor el reflejo (el comando ZSquare iguala las escalas en ambos ejes).
EJEMPLO ( PageIndex {18} )
Esta vez encontraremos el inverso de (f (x) = 2x ^ 5 + 3 ).
Paso 1: Una comprobación del gráfico muestra que f es uno a uno ( esto se deja al lector para verificar ).
PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = 2x ^ 5 + 3 ).
PASO 3: Intercambio x e y: (x = 2y ^ 5 + 3 ).
PASO 4: Resuelve para y:
(x = 2y ^ 5 + 3 ).
( rightarrow x − 3 = 2y ^ 5 )
( rightarrow frac {x − 3} {2} = y ^ 5 )
( rightarrow sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} = y )
Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} )
Nuevamente, tenga en cuenta que la gráfica de (f ^ {- 1} (x) = sqrt [5] { frac {x − 3} {2}} ) es un reflejo de la gráfica de ( f (x) = 2x ^ 5 + 3 ) a través de la línea y = x (ver Figura 10 ).
EJEMPLO ( PageIndex {19} )
Encuentre el inverso de (f (x) = frac {5} {7 + x} ).
Paso 1: Una comprobación del gráfico muestra que f es uno a uno ( esto se deja al lector para verificar ).
PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = frac {5} {7 + x} ).
PASO 3: Intercambio x e y: (x = frac {5} {7 + y} ).
PASO 4: Resuelve para y:
(x = frac {5} {7 + y} )
( rightarrow x (7 + y) = 5 )
( rightarrow 7 + y = frac {5} {x} )
(y = frac {5} {x} −7 = frac {5 – 7x} {x} )
Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = frac {5 – 7x} {x} )
EJEMPLO ( PageIndex {20} )
Este ejemplo es un poco más complicado: encuentre el inverso de la función (f (x) = frac {5x + 2} {x − 3} ).
Paso 1: Una comprobación del gráfico muestra que f es uno a uno ( esto se deja para que el lector lo verifique).
PASO 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = frac {5x + 2} {x − 3} ).
PASO 3: Intercambio x e y: (x = frac {5y + 2} {y − 3} ).
PASO 4: Resuelve para y:
(x = frac {5y + 2} {y − 3} )
( rightarrow x (y − 3) = 5y + 2 )
( rightarrow xy − 3x = 5y + 2 )
Esta ecuación es lineal en y. Aísle los términos que contienen la variable y en un lado de la ecuación, factor, luego divida por el coeficiente de y.
(xy − 3x = 5y + 2 )
(xy − 5y = 3x + 2 )
(y (x − 5) = 3x + 2 )
(y = frac {3x + 2} {x − 5} )
Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = frac {3x + 2} {x − 5} ).
EJEMPLO ( PageIndex {21} )
De acuerdo con la prueba de línea horizontal, la función (h (x) = x ^ 2 ) ciertamente no es unívoca. Sin embargo, si solo consideramos la mitad derecha o la mitad izquierda de la función (es decir, restringir el dominio al intervalo ([0, infty) ) o ((- infty, 0] )), entonces la función sería uno a uno y, por lo tanto, tendría un inverso ( La Figura 11 (a) muestra la mitad izquierda). Por ejemplo, supongamos que f es la función (f (x) = x ^ 2 ), (x le 0 )
En este caso, el procedimiento aún funciona, siempre que llevemos la condición de dominio en todos los pasos, de la siguiente manera:
Paso 1: El gráfico en Figura 11 (a) pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que f es uno a uno.
Paso 2: Escribe la fórmula en forma de ecuación xy: (y = x ^ 2 ), (x le 0 )
Paso 3: Intercambio x e y: (x = y ^ 2 ), (y le 0 )
Observe cómo x e y también deben intercambiarse en la condición de dominio.
Paso 4: Resuelva para y: (y = pm sqrt {x} ), (y le 0 )
Ahora hay dos opciones para y, una positiva y otra negativa, pero la condición (y le 0 ) nos dice que la opción negativa es la correcta. Por lo tanto, la última declaración es equivalente a
(y = – sqrt {x} ).
Por lo tanto, (f ^ {- 1} (x) = – sqrt {x} ). La gráfica de (f ^ {- 1} ) se muestra en Figura 11 (b), y las gráficas de f y (f ^ {- 1} ) se muestran en [19459014 ] Figura 11 (c) como reflexiones a través de la línea y = x.
Ejercicio
En Ejercicios 1 – 12 , usa la gráfica para determinar si la función es uno a uno.
EJERCICIO ( PageIndex {1} )
- Respuesta
-
no uno a uno
EJERCICIO ( PageIndex {2} )
EJERCICIO ( PageIndex {3} )
- Respuesta
-
no uno a uno
EJERCICIO ( PageIndex {4} )
EJERCICIO ( PageIndex {5} )
- Respuesta
-
no uno a uno
EJERCICIO ( PageIndex {6} )
EJERCICIO ( PageIndex {7} )
- Respuesta
-
uno a uno
EJERCICIO ( PageIndex {8} )
EJERCICIO ( PageIndex {9} )
- Respuesta
-
uno a uno
EJERCICIO ( PageIndex {10} )
EJERCICIO ( PageIndex {11} )
- Respuesta
-
uno a uno
EJERCICIO ( PageIndex {12} )
En Ejercicios 13 – 28 , evalúa la composición g (f (x)) y simplifica tu respuesta.
EJERCICIO ( PageIndex {13} )
(g (x) = frac {9} {x} ), (f (x) = −2x ^ 2 + 5x − 2 )
- Respuesta
-
( frac {−9} {2x ^ 2−5x + 2} )
EJERCICIO ( PageIndex {14} )
(f (x) = – frac {5} {x} ), (g (x) = −4x ^ 2 + x − 1 )
EJERCICIO ( PageIndex {15} )
(g (x) = 2 sqrt {x} ), (f (x) = – x − 3 )
- Respuesta
-
(2 sqrt {−x − 3} )
EJERCICIO ( PageIndex {16} )
(f (x) = 3x ^ 2−3x − 5 ), (g (x) = frac {6} {x} )
EJERCICIO ( PageIndex {17} )
(g (x) = 3 sqrt {x} ), (f (x) = 4x + 1 )
- Respuesta
-
(3 sqrt {4x + 1} )
EJERCICIO ( PageIndex {18} )
f (x) = −3x − 5, g (x) = – x − 2
EJERCICIO ( PageIndex {19} )
(g (x) = −5x ^ 2 + 3x − 4 ), (f (x) = frac {5} {x} )
- Respuesta
-
(- frac {125} {x ^ 2} + frac {15} {x} −4 )
EJERCICIO ( PageIndex {20} )
g (x) = 3x + 3, (f (x) = 4x ^ 2 −2x − 2 )
EJERCICIO ( PageIndex {21} )
(g (x) = 6 sqrt {x} ), f (x) = −4x + 4
- Respuesta
-
(6 sqrt {−4x + 4} )
EJERCICIO ( PageIndex {22} )
g (x) = 5x − 3, f (x) = – 2x − 4
EJERCICIO ( PageIndex {23} )
(g (x) = 3 sqrt {x} ), f (x) = −2x + 1
- Respuesta
-
(3 sqrt {−2x + 1} )
EJERCICIO ( PageIndex {24} )
(g (x) = frac {3} {x} ), (f (x) = – 5x ^ 2−5x − 4 )
EJERCICIO ( PageIndex {25} )
(f (x) = frac {5} {x} ), g (x) = – x + 1
- Respuesta
-
(- frac {5} {x} +1 )
EJERCICIO ( PageIndex {26} )
(f (x) = 4x ^ 2 + 3x − 4 ), (g (x) = frac {2} {x} )
EJERCICIO ( PageIndex {27} )
g (x) = −5x + 1, f (x) = −3x − 2
- Respuesta
-
15x + 11
EJERCICIO ( PageIndex {28} )
(g (x) = 3x ^ 2 + 4x − 3 ), (f (x) = frac {8} {x} )
En Ejercicios 29 – 36 , primero copie el gráfico dado de la función uno a uno f (x) en su papel cuadriculado. Luego, en el mismo sistema de coordenadas, dibuje la gráfica de la función inversa (f ^ {- 1} (x) ).
EJERCICIO ( PageIndex {29} )
- Respuesta
-
EJERCICIO ( PageIndex {30} )
EJERCICIO ( PageIndex {31} )
- Respuesta
-
EJERCICIO ( PageIndex {32} )
EJERCICIO ( PageIndex {33} )
- Respuesta
-
EJERCICIO ( PageIndex {34} )
EJERCICIO ( PageIndex {35} )
- Respuesta
-
EJERCICIO ( PageIndex {36} )
En Ejercicios 37 – 68 , encuentre la fórmula para la función inversa (f ^ {- 1} (x) ).
EJERCICIO ( PageIndex {37} )
(f (x) = 5x ^ 3−5 )
- Respuesta
-
( sqrt [3] { frac {x + 5} {5}} )
EJERCICIO ( PageIndex {38} )
(f (x) = 4x ^ 7−3 )
EJERCICIO ( PageIndex {39} )
(f (x) = – frac {9x − 3} {7x + 6} )
- Respuesta
-
(- frac {6x − 3} {7x + 9} )
EJERCICIO ( PageIndex {40} )
f (x) = 6x − 4
Ejercicio ( PageIndex {41} )
f (x) = 7x − 9
- Respuesta
-
( frac {x + 9} {7} )
EJERCICIO ( PageIndex {42} )
f (x) = 7x + 4
EJERCICIO ( PageIndex {43} )
(f (x) = 3x ^ 5−9 )
- Respuesta
-
( sqrt [5] { frac {x + 9} {3}} )
EJERCICIO ( PageIndex {44} )
f (x) = 6x + 7
EJERCICIO ( PageIndex {45} )
(f (x) = frac {4x + 2} {4x + 3} )
- Respuesta
-
(- frac {3x − 2} {4x − 4} )
EJERCICIO ( PageIndex {46} )
(f (x) = 5x ^ 7 + 4 )
EJERCICIO ( PageIndex {47} )
(f (x) = frac {4x − 1} {2x + 2} )
- Respuesta
-
(- frac {2x + 1} {2x − 4} )
EXERCISE (PageIndex{48})
(f(x) = sqrt[7]{8x−3})
EXERCISE (PageIndex{49})
(f(x) = sqrt[3]{−6x−4})
- Answer
-
(−frac{x^3+4}{6})
EXERCISE (PageIndex{50})
(f(x) = frac{8x−7}{3x−6})
EXERCISE (PageIndex{51})
(f(x) = sqrt[7]{−3x−5})
- Answer
-
(−frac{x^7+5}{3})
EXERCISE (PageIndex{52})
(f(x) = sqrt[9]{8x+2})
EXERCISE (PageIndex{53})
(f(x) = sqrt[3]{6x+7})
- Answer
-
(frac{x^3−7}{6})
EXERCISE (PageIndex{54})
(f(x) = frac{3x+7}{2x+8})
EXERCISE (PageIndex{55})
f(x) = −5x+2
- Answer
-
(−frac{x−2}{5})
EXERCISE (PageIndex{56})
f(x) = 6x+8
EXERCISE (PageIndex{57})
(f(x) = 9x^9+5)
- Answer
-
(sqrt[9]{frac{x−5}{9}})
EXERCISE (PageIndex{58})
(f(x) = 4x^5−9)
EXERCISE (PageIndex{59})
(f(x) = frac{9x−3}{9x+7})
- Answer
-
(−frac{7x+3}{9x−9})
EXERCISE (PageIndex{60})
(f(x) = sqrt[3]{9x−7})
EXERCISE (PageIndex{61})
(f(x) = x^4), (x le 0)
- Answer
-
(−sqrt[4]{x})
EXERCISE (PageIndex{62})
(f(x) = x^4), (x ge 0)
EXERCISE (PageIndex{63})
(f(x) = x^2−1), (x le 0)
- Answer
-
(−sqrt{x+1})
EXERCISE (PageIndex{64})
(f(x) = x^2+2), (x ge 0)
EXERCISE (PageIndex{65})
(f(x) = x^4+3), (x le 0)
- Answer
-
(−sqrt[4]{x−3})
EXERCISE (PageIndex{66})
(f(x) = x^4−5), (x ge 0)
EXERCISE (PageIndex{67})
(f(x) = (x−1)^2), (x le 1)
- Answer
-
(−sqrt{x}+1)
EXERCISE (PageIndex{68})
(f(x) = (x+2)^2), (x ge −2)