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las matematicas

8.4: Funciones trigonométricas inversas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Comprender y usar las funciones de seno inverso, coseno y tangente.
  •      
  • Encuentre el valor exacto de las expresiones que involucran las funciones inversas seno, coseno y tangente.
  •      
  • Usa una calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas.
  •      
  • Encuentra valores exactos de funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas.
  •  
 
 

Para cualquier triángulo rectángulo, dado otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Pero, ¿qué pasa si solo se nos dan dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de una proporción de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de una función inversa a una trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas.

 

Comprensión y uso de las funciones de seno inverso, coseno y tangente

 

Para utilizar funciones trigonométricas inversas, debemos entender que una función trigonométrica inversa “deshace” lo que “hace” la función trigonométrica original, como es el caso con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
A chart that says “Trig Functinos”, “Inverse Trig Functions”, “Domain: Measure of an angle”, “Domain: Ratio”, “Range: Ratio”, and “Range: Measure of an angle”.
Figura ( PageIndex {1} )
 

Por ejemplo, si (f (x) = sin space x ), entonces escribiríamos (f ^ {- 1} (x) = { sin} ^ {- 1} x ) . Tenga en cuenta que ({ sin} ^ {- 1} x ) no significa ( dfrac {1} { sin space x} ). Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:

 
         
  • Dado que ( sin left ( dfrac { pi} {6} right) = dfrac {1} {2} ), entonces ( dfrac { pi} {6} = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ).
  •      
  • Como ( cos ( pi) = – 1 ), entonces ( pi = { cos} ^ {- 1} (- 1) ).
  •      
  • Dado que ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ), entonces ( dfrac { pi} {4} = { tan} ^ {- 1} (1) ).
  •  
 

En secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en varios ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo produciría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para esto, necesitamos funciones inversas. Recuerde que, para una función uno a uno, si (f (a) = b ), entonces una función inversa satisfaría (f ^ {- 1} (b) = a ).

 

Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son funciones uno a uno. La gráfica de cada función fallaría en la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser uno a uno porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada período, y hay un número infinito de períodos. Al igual que con otras funciones que no son uno a uno, necesitaremos restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea uno a uno. Elegimos un dominio para cada función que incluye el número 0. La figura ( PageIndex {2} ) muestra el gráfico de la función seno limitada a ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ) y la gráfica de la función coseno limitada a ([0, pi] ).

 
Two side-by-side graphs. The first graph, graph A, shows half of a period of the function sine of x. The second graph, graph B, shows half a period of the function cosine of x.
Figura ( PageIndex {2} ): (a) Función seno en un dominio restringido de ( left [- dfrac { pi} {2 }, dfrac { pi} {2} right] ); (b) Función coseno en un dominio restringido de ([0, pi] )
 

La figura ( PageIndex {3} ) muestra el gráfico de la función tangente limitada a ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ).

 
A graph of one period of tangent of x, from -pi/2 to pi/2.
Figura ( PageIndex {3} ): Función tangente en un dominio restringido de ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} { 2} right) )
 

Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos, y lo más importante, cada uno da como resultado una función uno a uno que es invertible. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la propiedad útil de que se extiende desde una asíntota vertical a la siguiente en lugar de dividirse en dos partes por una asíntota.

 

En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas.

 
         
  • La función seno inversa (y = { sin} ^ {- 1} x ) significa (x = sin space y ). La función seno inversa a veces se llama función arcsine , y se anota ( arcsin space x ).      

    (y = { sin} ^ {- 1} x ) tiene dominio ([- 1,1] ) y rango ( left [- frac { pi} {2}, frac { pi} {2} right] )

         
  •      
  • La función de coseno inverso (y = { cos} ^ {- 1} x ) significa (x = cos space y ). La función inversa del coseno a veces se denomina función arccosine , y se anota ( arccos space x ).      

    (y = { cos} ^ {- 1} x ) tiene dominio ([- 1,1] ) y rango ([0, π] )

         
  •      
  • La función de tangente inversa (y = { tan} ^ {- 1} x ) significa (x = tan space y ). La función de tangente inversa a veces se denomina función arctangent , y se anota ( arctan space x ).      

    (y = { tan} ^ {- 1} x ) tiene dominio ((- infty, infty) ) y rango ( left (- frac { pi} {2} , frac { pi} {2} right) )

         
  •  
 

Las gráficas de las funciones inversas se muestran en las Figuras ( PageIndex {4} ) – ( PageIndex {6} ). Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número , un ángulo en radianes. Vemos que ({ sin} ^ {- 1} x ) tiene dominio ([−1,1] ) y rango ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), ({ cos} ^ {- 1} x ) tiene dominio ([−1,1] ) y rango ([0, pi] ) , y ({ tan} ^ {- 1} x ) tiene dominio de todos los números reales y el rango ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} Correcto)). Para encontrar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es un reflejo del gráfico de la función original sobre la línea (y = x ).

 
A graph of the functions of sine of x and arc sine of x. There is a dotted line y=x between the two graphs, to show inverse nature of the two functions
Figura ( PageIndex {4} ): La función seno y la función seno inversa (o arcoseno)
 
A graph of the functions of cosine of x and arc cosine of x. There is a dotted line at y=x to show the inverse nature of the two functions.
Figura ( PageIndex {5} ): La función coseno y la función coseno inverso (o arcocoseno)
 
A graph of the functions of tangent of x and arc tangent of x. There is a dotted line at y=x to show the inverse nature of the two functions.
Figura ( PageIndex {6} ): La función tangente y la función tangente inversa (o arcotangente)
 
 
 

RELACIONES PARA LAS FUNCIONES INVERSAS DE SINE, COSINE Y TANGENT

 

Para ángulos en el intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), if ( sin y = x ), entonces ({ sin} ^ {- 1} x = y ).

 

Para ángulos en el intervalo ([0, pi] ), si ( cos y = x ), entonces ({ cos} ^ {- 1} x = y ).

 

Para ángulos en el intervalo ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ), if ( tan y = x ), entonces ({ tan} ^ {- 1} x = y ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Escribir una relación para una función inversa

 

Dado ( sin left ( dfrac {5 pi} {12} right) ≈0.96593 ), escribe una relación que implique el seno inverso.

 

Solución

 

Usa la relación para el seno inverso. Si ( sin y = x ), entonces ({ sin} ^ {- 1} x = y ).

 

En este problema, (x = 0.96593 ) y (y = dfrac {5 pi} {12} ).

 

({ sin} ^ {- 1} (0.96593) ≈ dfrac {5 pi} {12} )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dado ( cos (0.5) ≈0.8776 ), escriba una relación que implique el coseno inverso.

 
     
Respuesta
     
     

( arccos (0.8776) ≈0.5 )

     
 
 
 

Encontrar el valor exacto de las expresiones que involucran las funciones inversa de seno, coseno y tangente

 

Ahora que podemos identificar funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas mediante el uso de una calculadora, la interpolación de una tabla o alguna otra técnica numérica. Tal como lo hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos para las funciones inversas cuando usamos los ángulos especiales, específicamente ( dfrac { pi} {6} ) (30 °), ( dfrac { pi} {4} ) (45 °) y ( dfrac { pi} {3} ) (60 °), y sus reflejos en otros cuadrantes.

 
 

Cómo: Dado un valor de entrada “especial”, evalúe una función trigonométrica inversa.

 
         
  1. Encuentre el ángulo (x ) para el cual la función trigonométrica original tiene una salida igual a la entrada dada para la función trigonométrica inversa.
  2.      
  3. Si (x ) no está en el rango definido de la inversa, encuentre otro ángulo (y ) que esté en el rango definido y tenga el mismo seno, coseno o tangente que (x ), dependiendo de cuál corresponde a la función inversa dada.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales

 

Evalúe cada uno de los siguientes.

 
         
  1. ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
  2.      
  3. ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) )
  4.      
  5. ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) )
  6.      
  7. ({ tan} ^ {- 1} (1) )
  8.  
 

Solución

 
         
  1. Evaluar ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) ) es lo mismo que determinar el ángulo que tendría un valor seno de ( dfrac { 1} {2} ). En otras palabras, ¿qué ángulo (x ) satisfaría ( sin (x) = dfrac {1} {2} )? Hay varios valores que satisfarían esta relación, como ( dfrac { pi} {6} ) y ( dfrac {5 pi} {6} ), pero sabemos que necesitamos el ángulo en el intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), por lo que la respuesta será ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) = dfrac { pi} {6} ). Recuerde que el inverso es una función, por lo que para cada entrada, obtendremos exactamente una salida.
  2.      
  3. Para evaluar ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ), sabemos que ( dfrac {5 pi} {4} ) y ( dfrac {7 pi} {4} ) ambos tienen un valor seno de (- dfrac { sqrt {2}} {2} ), pero ninguno está en el intervalo ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ). Para eso, necesitamos el coterminal de ángulo negativo con ( dfrac {7 pi} {4} ): ({ sin} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {2}} { 2} right) = – dfrac { pi} {4} ).
  4.      
  5. Para evaluar ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) ), estamos buscando un ángulo en el intervalo ([ 0, pi] ) con un valor coseno de (- dfrac { sqrt {3}} {2} ). El ángulo que satisface esto es ({ cos} ^ {- 1} left (- dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac {5 pi} {6} ).
  6.      
  7. Al evaluar ({ tan} ^ {- 1} (1) ), buscamos un ángulo en el intervalo ( left (- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right) ) con un valor tangente de (1 ). El ángulo correcto es ({ tan} ^ {- 1} (1) = dfrac { pi} {4} ).
  8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Evalúe cada uno de los siguientes.

 
         
  1. ({ sin} ^ {- 1} (- 1) )
  2.      
  3. ({ tan} ^ {- 1} (- 1) )
  4.      
  5. ({ cos} ^ {- 1} (- 1) )
  6.      
  7. ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {1} {2} right) )
  8.  
 
     
Responde a
     
     

(- dfrac { pi} {2} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

(- dfrac { pi} {4} )

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

( pi )

     
 
 
     
Respuesta d
     
     

( dfrac { pi} {3} )

     
 
 
 

Uso de una calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas

 

Para evaluar funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales discutidos previamente, necesitaremos usar una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones de emulación de calculadora tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden etiquetarse, por ejemplo, SIN-1, ARCSIN o ASIN.

 

En el capítulo anterior, trabajamos con trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dado un lado y un ángulo adicional. Usando las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos usar una calculadora para encontrar los valores con varios decimales.

 

En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y usaremos ( theta ) como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o radianes, así que asegúrese de configurar el modo apropiado para la aplicación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación del seno inverso en una calculadora

 

Evalúe ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ) usando una calculadora.

 

Solución

 

Debido a que la salida de la función inversa es un ángulo, la calculadora nos dará un valor en grados si está en modo grados y un valor en radianes si está en modo radianes. Las calculadoras también usan las mismas restricciones de dominio en los ángulos que estamos usando.

 

En modo radianes, ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ≈1.3252 ). En modo de grados, ({ sin} ^ {- 1} (0.97) ≈75.93 ° ). Tenga en cuenta que en el cálculo y más allá usaremos radianes en casi todos los casos.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Evalúe ({ cos} ^ {- 1} (- 0.4) ) usando una calculadora.

 
     
Respuesta
     
     

(1.9823 ) o (113.578 ^ { circ} )

     
 
 
 
 

Cómo: Dados dos lados de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la Figura 8.4.7, encuentre un ángulo.

 
An illustration of a right triangle with an angle theta. Adjacent to theta is the side a, opposite theta is the side p, and the hypoteneuse is side h.
Figura ( PageIndex {7} )
 
         
  1. Si un lado dado es la hipotenusa de longitud (h ) y se da el lado de longitud (a ) adyacente al ángulo deseado, use la ecuación ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {a} {h} right) ).
  2.      
  3. Si un lado dado es la hipotenusa de longitud (h ) y se da el lado de longitud (p ) opuesto al ángulo deseado, use la ecuación ( theta = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {p} {h} right) ).
  4.      
  5. Si se dan las dos patas (los lados adyacentes al ángulo recto), utilice la ecuación ( theta = { tan} ^ {- 1} left ( dfrac {p} {a} right ) ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Aplicación del coseno inverso a un triángulo rectángulo

 

Resuelve el triángulo en la Figura ( PageIndex {8} ) para el ángulo ( theta ).

 
An illustration of a right triangle with the angle theta. Adjacent to the angle theta is a side with a length of 9 and a hypoteneuse of length 12.
Figura ( PageIndex {8} )
 

Solución

 

Debido a que conocemos la hipotenusa y el lado adyacente al ángulo, tiene sentido que usemos la función coseno.

 

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {9} {12} \ theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {9} {12} derecha) qquad text {Aplicar definición de la inversa} \ theta & approx 0.7227 qquad text {o about} 41.4096 ^ { circ} text {Evaluate} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve el triángulo en la Figura ( PageIndex {9} ) para el ángulo ( theta ).

 
An illustration of a right triangle with the angle theta. Opposite to the angle theta is a side with a length of 6 and a hypoteneuse of length 10.
Figura ( PageIndex {9} )
 
     
Respuesta
     
     

({ sin} ^ {- 1} (0.6) = 36.87 ° = 0.6435 ) radianes

     
 
 
 

Encontrar valores exactos de funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas

 

Hay momentos en que necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, generalmente podemos encontrar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a una calculadora. Incluso cuando la entrada a la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos encontrar una expresión para la salida. Para ayudar a resolver diferentes casos, deje que (f (x) ) y (g (x) ) sean dos funciones trigonométricas diferentes que pertenecen al conjunto { ( sin (x) ), ( cos ( x) ), ( tan (x) )} y deje que (f ^ {- 1} (y) ) y (g ^ {- 1} (y) ) sean sus inversas.

 
Evaluación de las composiciones de la forma (f (f ^ {- 1} (y)) ) y (f ^ {- 1} (f (x)) )
 

Para cualquier función trigonométrica, (f (f ^ {- 1} (y)) = y ) para todos (y ) en el dominio apropiado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de (f ) se definió como idéntico al dominio de (f ^ {- 1} ). Sin embargo, debemos ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma (f ^ {- 1} (f (x)) ).

 
 
 

COMPOSICIONES DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Y SU INVERSIÓN

 

[ begin {align *} sin ({ sin} ^ {- 1} x) & = x qquad text {for} -1 leq x leq 1 \ cos ({ cos} ^ {- 1} x) & = x qquad text {para} -1 leq x leq 1 \ tan ({ tan} ^ {- 1} x) & = x qquad text {para} – infty  

 
 

Preguntas y respuestas

 

¿Es correcto que ({ sin} ^ {- 1} ( sin x) = x )?

 

No. Esta ecuación es correcta si xx pertenece al dominio restringido ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), pero el seno es definida para todos los valores de entrada reales, y para (x ) fuera del intervalo restringido, la ecuación no es correcta porque su inverso siempre devuelve un valor en ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ). La situación es similar para coseno y tangente y sus inversas. Por ejemplo, ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac {3 pi} {4} right) right) = dfrac { pi} {4} ) .

 
 
 
 

Cómo: Dada una expresión de la forma (f ^ {- 1} (f ( theta)) ) where (f ( theta) = sin theta ) , ( cos theta ), o ( tan theta ), evalúe.

 
         
  1. Si ( theta ) está en el dominio restringido de (f ), entonces (f ^ {- 1} (f ( theta)) = theta ).
  2.      
  3. Si no, busque un ángulo ( phi ) dentro del dominio restringido fuera de f tal que (f ( phi) = f ( theta) ). Entonces (f ^ {- 1} (f ( theta)) = phi ).
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de funciones trigonométricas inversas

 

Evalúe lo siguiente:

 
         
  1. ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac { pi} {3} right) right) )
  2.      
  3. ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) )
  4.      
  5. ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) )
  6.      
  7. ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) right) )
  8.  
 

Solución

 
         
  1. ( dfrac { pi} {3} ) está en ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), entonces ({ sin} ^ {- 1} left ( sin left ( dfrac { pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  2.      
  3. ( dfrac {2 pi} {3} ) no está en ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ) , pero (sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) = sin left ( dfrac { pi} {3} right) ), entonces ({ sin} ^ { −1} left ( sin left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  4.      
  5. ( dfrac {2 pi} {3} ) está en ([0, pi] ), entonces ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {2 pi} {3} right) right) = dfrac {2 pi} {3} ).
  6.      
  7. (- dfrac { pi} {3} ) no está en ([0, pi] ), sino ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) ) porque el coseno es una función par. ( dfrac { pi} {3} ) está en ([0, pi] ), entonces ({ cos} ^ {- 1} left ( cos left (- dfrac { pi} {3} right) right) = dfrac { pi} {3} ).
  8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Evalúa ({ tan} ^ {- 1} left ( tan left ( dfrac { pi} {8} right) right) ) y ({ tan} ^ {- 1} left ( tan left ( dfrac {11 pi} {9} right) right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac { pi} {8} ); ( dfrac {2 pi} {9} )

     
 
 
 
Evaluación de composiciones de la forma (f ^ {- 1} (g (x)) )
 

Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar una composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma (f ^ {- 1} (g (x)) ). Para valores especiales de (x ), podemos evaluar exactamente la función interna y luego la función inversa externa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo donde uno es ( theta ), haciendo que el otro ( dfrac { pi} {2} – theta Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
An illustration of a right triangle with angles theta and pi/2 - theta. Opposite the angle theta and adjacent the angle pi/2-theta is the side a. Adjacent the angle theta and opposite the angle pi/2 - theta is the side b. The hypoteneuse is labeled c.
Figura ( PageIndex {10} ): Triángulo rectángulo que ilustra las relaciones de cofunción
 

Debido a que ( cos theta = dfrac {b} {c} = sin left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ), tenemos ({ sin} ^ {- 1} ( cos theta) = dfrac { pi} {2} – theta ) if (0≤ theta≤ pi ). Si ( theta ) no está en este dominio, entonces necesitamos encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que ( theta ) y pertenezca al dominio restringido; luego restamos este ángulo de ( dfrac { pi} {2} ). De manera similar, ( sin theta = dfrac {a} {c} = cos left ( dfrac { pi} { 2} – theta right) ), entonces ({ cos} ^ {- 1} ( sin theta) = dfrac { pi} {2} – theta ) if (- dfrac { pi} {2} ≤ theta≤ dfrac { pi} {2} ). Estas son solo las relaciones de función-función presentadas de otra manera.

 
 

Cómo: Funciones dadas de la forma ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) ) y ({ cos} ^ {- 1} ( sin x) ), evaluarlos.

 
         
  1. Si (x ) está en ([0, pi] ), entonces ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) = dfrac { pi} {2} – X).
  2.      
  3. Si (x ) no está en ([0, pi] ), busque otro ángulo (y ) en ([0, pi] ) tal que ( cos y = cos x ).      

    [{ sin} ^ {- 1} ( cos x) = dfrac { pi} {2} −y ]

         
  4.      
  5. Si (x ) está en ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), entonces ({ cos} ^ {−1} ( sin x) = dfrac { pi} {2} −x ).
  6.      
  7. Si (x ) no está en ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ), entonces encuentre otro ángulo (y ) en ( left [- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2} right] ) tal que ( sin y = sin x ).      

    [{ cos} ^ {- 1} ( sen x) = dfrac { pi} {2} −y ]

         
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Evaluación de la composición de un seno inverso con un coseno

 

Evalúa ({ sin} ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) )

 
         
  1. por evaluación directa.
  2.      
  3. por el método descrito anteriormente.
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Aquí, podemos evaluar directamente el interior de la composición. [ begin {align *} cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) & = cos left ( dfrac { pi} {6} +2 pi right) & = cos left ( dfrac { pi} {6} right) \ & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ] Ahora, podemos evaluar el función inversa como lo hicimos anteriormente. [{ sin} ^ {- 1} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) = dfrac { pi} {3} ]
  2.      
  3. Tenemos (x = dfrac {13 pi} {6} ), (y = dfrac { pi} {6} ) y [ begin {align *} { sin } ^ {- 1} left ( cos left ( dfrac {13 pi} {6} right) right) & = dfrac { pi} {2} – dfrac { pi} {6 } \ & = dfrac { pi} {3} end {align *} ]
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Evalúa ({ cos} ^ {- 1} left ( sin left (- dfrac {11 pi} {4} right) right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3 pi} {4} )

     
 
 
 
Evaluación de composiciones de la forma (f (g ^ {- 1} (x)) )
 

Para evaluar composiciones de la forma (f (g ^ {- 1} (x)) ), donde (f ) y (g ) son dos de las funciones seno, coseno o tangente y (x ) es cualquier entrada en el dominio de (g ^ {- 1} ), tenemos fórmulas exactas, como ( sin ({ cos} ^ {- 1} x) = sqrt {1 − x ^ 2} ). Cuando necesitamos usarlos, podemos derivar estas fórmulas usando las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos usar la identidad pitagórica, ({ sin} ^ 2 x + { cos} ^ 2 x = 1 ), para resolver uno cuando se le da el otro. También podemos usar las funciones trigonométricas inversas para encontrar composiciones que involucren expresiones algebraicas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Evaluación de la composición de un seno con un coseno inverso

 

Encuentre un valor exacto para ( sin left ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) ).

 

Solución

 

Comenzando con el interior, podemos decir que hay algún ángulo tal que ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ), lo que significa ( cos theta = dfrac {4} {5} ), y estamos buscando ( sin theta ). Podemos usar la identidad pitagórica para hacer esto.

 

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Use nuestro valor conocido para coseno} \ { sin} ^ 2 theta + { left ( dfrac {4} {5} right)} ^ 2 & = 1 qquad text {Resolver para seno} \ { sin} ^ 2 theta & = 1- dfrac {16} {25 } \ sin theta & = pm dfrac {9} {25} \ & = pm dfrac {3} {5} end {align *} ]

 

Dado que ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) ) está en el cuadrante I, ( sin theta ) debe ser positivo , entonces la solución es (35 ). Ver Figura ( PageIndex {11} ).

 
An illustration of a right triangle with an angle theta. Oppostie the angle theta is a side with length 3. Adjacent the angle theta is a side with length 4. The hypoteneuse has angle of length 5.
Figura ( PageIndex {11} ): Triángulo rectángulo que ilustra que si ( cos theta = dfrac {4} {5} ), entonces ( sin theta = dfrac {3} {5} )
 

Sabemos que el coseno inverso siempre da un ángulo en el intervalo ([0, pi] ), por lo que sabemos que el seno de ese ángulo debe ser positivo; por lo tanto ( sin left ({ cos} ^ {- 1} left ( dfrac {4} {5} right) right) = sin theta = dfrac {3} {5} ) .

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Evalúa ( cos left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {5} {12} right) right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {12} {13} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Evaluación de la composición de un seno con una tangente inversa

 

Encuentre un valor exacto para ( sin left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) ).

 

Solución

 

Si bien podríamos usar una técnica similar a la del Ejemplo ( PageIndex {6} ), aquí demostraremos una técnica diferente. Desde adentro, sabemos que hay un ángulo tal que ( tan theta = dfrac {7} {4} ). Podemos imaginar esto como los lados opuestos y adyacentes en un triángulo rectángulo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).

 
An illustration of a right triangle with angle theta. Adjacent the angle theta is a side with length 4. Opposite the angle theta is a side with length 7.
Figura ( PageIndex {12} ): Un triángulo rectángulo con dos lados conocidos
 

Usando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar la hipotenusa de este triángulo.

 

[ begin {align *}
4 ^ 2 + 7 ^ 2 & = {hypotenuse} ^ 2 \
hypotenuse & = sqrt {65} \
text {Ahora, nosotros puede evaluar el seno del ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.} \
sin theta & = dfrac {7} { sqrt {65}} \
text {Esto nos da nuestra composición deseada.} \
sin left ({ tan} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {4} right) right) & = sin theta \ [ 19459083] & = dfrac {7} { sqrt {65}} \
& = dfrac {7 sqrt {65}} {65}
end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Evalúa ( cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {7} {9} right) right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {4 sqrt {2}} {9} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Encontrar el coseno del seno inverso de una expresión algebraica

 

Encuentre una expresión simplificada para ( cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) ) para (- 3≤x ≤3 ).

 

Solución

 

Sabemos que hay un ángulo ( theta ) tal que ( sin theta = dfrac {x} {3} ).

 

[ begin {align *} { sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Utilice el teorema de Pitágoras} \ { left ( dfrac {x} {3} right)} ^ 2 + { cos} ^ 2 theta & = 1 qquad text {Resolver para coseno} \ { cos} ^ 2 theta & = 1- dfrac {x ^ 2} { 9} \ cos theta & = pm sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {9}} \ & = pm sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {3}} end {align *} ]

 

Dado que sabemos que el seno inverso debe dar un ángulo en el intervalo ([- dfrac { pi} {2}, dfrac { pi} {2}] ), podemos deducir que el coseno de ese ángulo debe ser positivo.

 

(cos left ({ sin} ^ {- 1} left ( dfrac {x} {3} right) right) = sqrt { dfrac {9-x ^ 2} {3 }} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentre una expresión simplificada para ( sin ({ tan} ^ {- 1} (4x)) ) para (- dfrac {1} {4} ≤ x≤ dfrac {1} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {4x} { sqrt {16x ^ 2 + 1}} )

     
 
 
 
 

Medios

 

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Conceptos clave

 
         
  • Una función inversa es aquella que “deshace” otra función. El dominio de una función inversa es el rango de la función original y el rango de una función inversa es el dominio de la función original.
  •      
  • Debido a que las funciones trigonométricas no son individuales en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos.
  •      
  • Para cualquier función trigonométrica (f (x) ), si (x = f ^ {- 1} (y) ), entonces (f (x) = y ). Sin embargo, (f (x) = y ) solo implica (x = f ^ {- 1} (y) ) si (x ) está en el dominio restringido de (f ). Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • Los ángulos especiales son las salidas de funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo, ( frac { pi} {4} = { tan} ^ {- 1} (1) ) y ( frac { pi} {6} = { sin} ^ {- 1 } ( frac {1} {2}) ). Ver ejemplo ( PageIndex {2} ).
  •      
  • Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •      
  • Las funciones inversas nos permiten encontrar un ángulo cuando se nos dan dos lados de un triángulo rectángulo. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • En la composición de funciones, si la función interna es una función trigonométrica inversa, entonces hay expresiones exactas; por ejemplo, ( sin ({ cos} ^ {- 1} (x)) = sqrt {1 − x ^ 2} ). Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • Si la función interna es una función trigonométrica, entonces las únicas combinaciones posibles son ({ sin} ^ {- 1} ( cos x) = frac { pi} {2} −x ) if (0≤x≤ pi ) y ({ cos} ^ {- 1} ( sin x) = frac { pi} {2} −x ) if (- frac { pi} {2} ≤x≤ frac { pi} {2} ). Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •      
  • Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para ayudar a determinar la relación de lados que representa la salida de la función trigonométrica. Ver Ejemplo ( PageIndex {8} ).
  •      
  • Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede usar identidades trigonométricas para ayudar a determinar la relación de lados. Ver Ejemplo ( PageIndex {9} ).
  •  
 
                                  
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