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las matematicas
algebra fundamental

8.4: hipérbolas

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Representa gráficamente una hipérbola en forma estándar.
    •      
  • Determine la ecuación de una hipérbola dada su gráfica.
    •      
  • Reescribe la ecuación de una hipérbola en forma estándar.
    •      
  • Identifica una sección cónica dada su ecuación.
    •  
 
 

La hipérbola en forma estándar

 

Una hipérbola 23 es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, tienen un diferencia absoluta que es igual a una constante positiva. En otras palabras, si los puntos (F_ {1} ) y (F_ {2} ) son los focos y (d ) es una constante positiva dada, entonces ((x, y) ) es un punto en la hipérbola if (d = left | d_ {1} -d_ {2} right | ) como se muestra a continuación:

 
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Figura 8.4.1
 

Además, se forma una hipérbola por la intersección de un cono con un plano oblicuo que se cruza con la base. Consiste en dos curvas separadas, llamadas ramas 24 . Los puntos en las ramas separadas del gráfico donde la distancia es mínima se llaman vértices 25 . El punto medio entre los vértices de una hipérbola es su centro. A diferencia de una parábola, una hipérbola es asintótica a ciertas líneas dibujadas a través del centro. En esta sección, nos centraremos en graficar las hipérbolas que se abren hacia la izquierda y hacia la derecha o hacia arriba y hacia abajo.

 
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Figura 8.4.2
 

Las asíntotas se dibujan discontinuas ya que no son parte del gráfico; simplemente indican el comportamiento final de la gráfica. La ecuación de una hipérbola que se abre a izquierda y derecha en forma estándar 26 sigue:

 

( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

 
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Figura 8.4.3
 

Aquí el centro es ((h, k) ) y los vértices son ((h ± a, k) ). La ecuación de una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo en forma estándar 27 sigue:

 

( frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} – frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} = 1 )

 
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Figura 8.4.4
 

Aquí el centro es ((h, k) ) y los vértices son ((h, k ± b) ).

 

Las asíntotas son esenciales para determinar la forma de cualquier hipérbola. Dada la forma estándar, las asíntotas son líneas que pasan por el centro ((h, k) ) con pendiente (m = pm frac {b} {a} ). Para dibujar fácilmente las asíntotas, utilizamos dos segmentos de línea especiales a través del centro usando (a ) y (b ). Dada cualquier hipérbola, el eje transversal 28 es el segmento de línea formado por sus vértices. El eje conjugado 29 es el segmento de línea a través del centro perpendicular al eje transversal como se muestra a continuación:

 
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Figura 8.4.5
 

El rectángulo definido por los ejes transversales y conjugados se llama rectángulo fundamental 30 . Las líneas a través de las esquinas de este rectángulo tienen pendientes (m = pm frac {b} {a} ). Estas líneas son las asíntotas que definen la forma de la hipérbola. Por lo tanto, dada la forma estándar, muchas de las propiedades de una hipérbola son evidentes.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Ecuación Centro (a ) (b ) Abre
( frac {(x-3) ^ {2}} {25} – frac {(y-5) ^ {2}} {16} = 1 ) ((3,5) ) (a = 5 ) (b = 4 ) Izquierda y derecha
( frac {(y-2) ^ {2}} {36} – frac {(x + 1) ^ {2}} {9} = 1 ) ((- 1,2) ) (a = 3 ) (b = 6 ) Hacia arriba y hacia abajo
( frac {(y + 2) ^ {2}} {3} – (x-5) ^ {2} = 1 ) ((5, -2) ) (a = 1 ) (b = sqrt {3} ) Hacia arriba y hacia abajo
( frac {x ^ {2}} {49} – frac {(y + 4) ^ {2}} {8} = 1 ) ((0, -4) ) (a = 7 ) (b = 2 sqrt {2} ) Izquierda y derecha
 

Tabla 8.4.1

 

La gráfica de una hipérbola está completamente determinada por su centro, vértices y asíntotas.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Gráfico: ( frac {(x-5) ^ {2}} {9} – frac {(y-4) ^ {2}} {4} = 1 ).

 

Solución :

 

En este caso, la expresión que involucra (x ) tiene un coeficiente principal positivo; por lo tanto, la hipérbola se abre a izquierda y derecha. Aquí (a = sqrt {9} = 3 ) y (b = sqrt {4} = 2 ). Desde el centro ((5,4) ), marque puntos (3 ) unidades hacia la izquierda y hacia la derecha, así como (2 ) unidades hacia arriba y hacia abajo. Conecte estos puntos con un rectángulo de la siguiente manera:

 
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Figura 8.4.6
 

Las líneas a través de las esquinas de este rectángulo definen las asíntotas.

 
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Figura 8.4.7
 

Use estas líneas discontinuas como guía para representar gráficamente la apertura de la hipérbola que pasa a la izquierda y derecha a través de los vértices.

 

Respuesta :

 
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Figura 8.4.8
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Gráfico: ( frac {(y-2) ^ {2}} {4} – frac {(x + 1) ^ {2}} {36} = 1 ).

 

Solución:

 

En este caso, la expresión que involucra (y ) tiene un coeficiente principal positivo; por lo tanto, la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo. Aquí (a = sqrt {36} = 6 ) y (b = sqrt {4} = 2 ). Desde el centro ((- 1,2) ) marca puntos (6 ) unidades hacia la izquierda y hacia la derecha, así como (2 ) unidades hacia arriba y hacia abajo. Conecta estos puntos con un rectángulo. Las líneas a través de las esquinas de este rectángulo definen las asíntotas.

 
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Figura 8.4.9
 

Use estas líneas discontinuas como guía para representar gráficamente la apertura de la hipérbola hacia arriba y hacia abajo pasando por los vértices.

 

Respuesta :

 
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Figura 8.4.10
 
 
 

Nota

 

Cuando se da una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo, como en el ejemplo anterior, es un error común intercambiar los valores para el centro, (h ) y (k ). Este es el caso porque la cantidad que involucra la variable (y ) generalmente aparece primero en forma estándar. Asegúrese de que el valor (y ) del centro proviene de la cantidad que involucra la variable (y ) y que el valor (x ) del centro se obtiene de la cantidad que involucra la variable (X).

 

Como con cualquier gráfico, estamos interesados ​​en encontrar las intersecciones (x ) – y (y ).

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Encuentra las intersecciones: ( frac {(y-2) ^ {2}} {4} – frac {(x + 1) ^ {2}} {36} = 1 ).

 

Solución:

 

Para encontrar (x ) – intercepta el conjunto (y = 0 ) y resuelve (x ).

 

( begin {alineado} frac {( color {Cerulean} {0} color {black} {-} 2) ^ {2}} {4} – frac {(x + 1) ^ {2}} {36} & = 1 \ 1- frac {(x + 1) ^ {2}} {36} & = 1 \ – frac {(x + 1) ^ {2}} { 36} & = 0 \ (x + 1) ^ {2} & = 0 \ x + 1 & = 0 \ x & = – 1 end {alineado} )

 

Por lo tanto, solo hay una (x ) – intercepción, ((- 1,0) ). Para encontrar el (y ) – intercepte el conjunto (x = 0 ) y resuelva (y ).

 

( begin {alineado} frac {(y-2) ^ {2}} {4} – frac {( color {Cerulean} {0} color {black} {+} 1) ^ {2}} {36} & = 1 \ frac {(y-2) ^ {2}} {4} – frac {1} {36} & = 1 \ frac {(y-2) ^ {2}} {4} & = frac {37} {36} \ frac {(y-2)} {2} & = frac { sqrt {37}} {36} \ y- 2 & = pm frac { sqrt {37}} {3} \ y & = 2 pm frac { sqrt {37}} {3} = frac {6 pm sqrt {37}} {3} end {alineado} )

 

Por lo tanto, hay dos (y ) – intersecciones, ( left (0, frac {6- sqrt {37}} {3} right) approx (0, -0.03) ) y ( left (0, frac {6+ sqrt {37}} {3} right) aprox (0,4.03) ). Tómese un momento para compararlos con el bosquejo del gráfico en el ejemplo anterior .

 

Respuesta :

 

(x ) – intercepción: ((- 1,0) ); (y ) – intercepta: ( left (0, frac {6- sqrt {37}} {3} right) ) y ( left (0, frac {6+ sqrt { 37}} {3} derecha) ).

 
 

Considere la hipérbola centrada en el origen,

 

(9 x ^ {2} -5 y ^ {2} = 45 )

 

La forma estándar requiere que un lado sea igual a (1 ). En este caso, podemos obtener la forma estándar dividiendo ambos lados por (45 ).

 

( begin {alineado} frac {9 x ^ {2} -5 y ^ {2}} {45} & = frac {45} {45} \ frac {9 x ^ {2 }} {45} – frac {5 y ^ {2}} {45} & = frac {45} {45} \ frac {x ^ {2}} {5} – frac {y ^ { 2}} {9} & = 1 end {alineado} )

 

Esto se puede escribir de la siguiente manera:

 

( frac {(x-0) ^ {2}} {5} – frac {(y-0) ^ {2}} {9} = 1 )

 

En este formulario, está claro que el centro es ((0,0) ), (a = sqrt {5} ) y (b = 3 ). El gráfico sigue.

 
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Figura 8.4.11
 
 

La hipérbola en forma general

 

Hemos visto que la gráfica de una hipérbola está completamente determinada por su centro, vértices y asíntotas; que se puede leer de su ecuación en forma estándar. Sin embargo, la ecuación no siempre se da en forma estándar. La ecuación de una hipérbola en forma general 31 sigue:

 

( begin {array} {l} {px ^ {2} -qy ^ {2} + c x + d y + e = 0 quad color {Cerulean} {Hyperbola : opens : left : y : derecha.}} \ {qy ^ {2} -px ^ {2} + c x + d y + e = 0 quad color {Cerulean} {Hipérbola : abre : arriba : y : hacia abajo.}} end {array} )

 

donde (p, q> 0 ). Los pasos para graficar una hipérbola dada su ecuación en forma general se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Gráfico: (4 x ^ {2} -9 y ^ {2} +32 x-54 y-53 = 0 ).

 

Solución:

 

Comience reescribiendo la ecuación en forma estándar.

 

Paso 1 : Agrupe los términos con las mismas variables y mueva la constante hacia el lado derecho. Factorice de modo que el coeficiente principal de cada grupo sea (1 ).

 

( begin {alineado} 4 x ^ {2} -9 y ^ {2} +32 x-54 y-53 & = 0 \ left (4 x ^ {2} +32 x + _ _ _ right) + left (-9 y ^ {2} -54 y + _ _ _ right) & = 53 \ 4 left (x ^ {2} + 8x + _ _ _ right) -9 left (y ^ {2} + 6y + _ _ _ right) & = 53 end {alineado} )

 

Paso 2 : Completa el cuadrado para cada grupo. En este caso, para los términos que involucran (x ) use ( left ( frac {8} {2} right) ^ {2} = 4 ^ {2} = 16 ) y para los términos que involucran (y ) use ( left ( frac {6} {2} right) ^ {2} = (3) ^ {2} = 9 ). El factor delante de cada agrupación afecta el valor utilizado para equilibrar la ecuación de la derecha,

 

(4 color {negro} { left (x ^ {2} +8 x color {Cerulean} {+ 16} right) -} 9 color {black} { left (y ^ { 2} +6 y color {OliveGreen} {+ 9} right) =} 53 color {Cerulean} {+ 64} color {OliveGreen} {- 81} )

 

Debido a la propiedad distributiva, agregar (16 ) dentro de la primera agrupación es equivalente a agregar (4⋅16 = 64 ). Del mismo modo, agregar (9 ) dentro de la segunda agrupación es equivalente a agregar (- 9⋅9 = −81 ). Ahora factoriza y luego divide para obtener (1 ) en el lado derecho.

 

( begin {alineado} 4 (x + 4) ^ {2} -9 (y + 3) ^ {2} & = 36 \ frac {4 (x + 4) ^ {2} – 9 (y + 3) ^ {2}} { color {Cerulean} {36}} & color {black} {=} frac {36} { color {Cerulean} {36}} \ frac { 4 (x + 4) ^ {2}} {36} – frac {9 (y + 3) ^ {2}} {36} & = frac {36} {36} \ frac {(x + 4) ^ {2}} {9} – frac {(y + 3) ^ {2}} {4} & = 1 end {alineado} )

 

Paso 3 : Determine el centro, a y b, y luego use esta información para dibujar el gráfico. En este caso, el centro es ((- 4, −3) ), (a = sqrt {9} = 3 ) y (b = sqrt {4} = 2 ). Debido a que el coeficiente principal de la expresión que involucra (x ) es positivo y el coeficiente de la expresión que involucra (y ) es negativo, graficamos una apertura de hipérbola a izquierda y derecha.

 

Respuesta :

 
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Figura 8.4.13
 
 
 

Identificación de las secciones cónicas

 

En esta sección, el desafío es identificar una sección cónica dada su ecuación en forma general. Para distinguir entre las secciones cónicas, use los exponentes y coeficientes. Si la ecuación es cuadrática en una sola variable y lineal en la otra, entonces su gráfica será una parábola.

                                                                                                                                                             
Parábola : (a> 0 )
(x = a (y-k) ^ {2} + h )
(x = a y ^ {2} + b y + c )

             

Figura 8.4.15

             		              

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Figura 8.4.16

             
 

Tabla 8.4.2

                                                                                                                                                                           
Parábola : (a <0 )
(y = a (x-h) ^ {2} + k )
(y = a x ^ {2} + b x + c ) 		(x = a (y-k) ^ {2} + h )
(x = a y ^ {2} + b y + c )
             

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Figura 8.4.17

             		              

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Figura 8.4.18

             
 

Tabla 8.4.3

 

Si la ecuación es cuadrática en ambas variables, donde los coeficientes de los términos al cuadrado son iguales, entonces su gráfica será un círculo.

                                                                                                                           
Círculo :
( begin {alineado} (xh) ^ {2} + (yk) ^ {2} & = r ^ {2} \ x ^ {2} + y ^ {2} + c x + d y + e & = 0 end {alineado} )              

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Figura 8.4.19

             
 

Tabla 8.4.4

 

Si la ecuación es cuadrática en ambas variables donde los coeficientes de los términos al cuadrado son diferentes pero tienen el mismo signo, entonces su gráfica será una elipse.

                                                                                                             
Elipse : (a, b> 0 ) y (p, q> 0 )
             

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Figura 8.4.20

             
 

Tabla 8.4.5

 

Si la ecuación es cuadrática en ambas variables donde los coeficientes de los términos al cuadrado tienen signos diferentes, entonces su gráfica será una hipérbola.

                                                                                                                                                              
Hipérbola : (a, b> 0 ) y (p, q> 0 )
( begin {alineado} frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 \ px ^ {2} -qy ^ {2} + c x + d y + e & = 0 end {alineado} ) ( begin {alineado} frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} – frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} & = 1 \ qy ^ {2} -px ^ {2} + c x + d y + e & = 0 end {alineado} )
             

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Figura 8.4.21

             		              

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Figura 8.4.22

             
 

Tabla 8.4.6

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Identifica la gráfica de cada ecuación como una parábola, círculo, elipse o hipérbola.

 
         
  1. (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -1 = 0 )
    2.      
  2. (3 x ^ {2} -2 y ^ {2} -12 = 0 )
    3.      
  3. (x-y ^ {2} -6 y + 11 = 0 )
    4.  
 

Solución:

 

1. La ecuación es cuadrática tanto en (x ) como en (y ) donde los coeficientes iniciales para ambas variables son los mismos, (4 ).

 

( begin {alineado} 4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -1 & = 0 \ 4 x ^ {2} +4 y ^ {2} & = 1 \ x ^ {2} + y ^ {2} & = frac {1} {4} end {alineado} )

 

Esta es una ecuación de un círculo centrado en el origen con radio (1/2 ).

 

2. La ecuación es cuadrática tanto en (x ) como en (y ) donde los coeficientes iniciales para ambas variables tienen signos diferentes.

 

(3 x ^ {2} -2 y ^ {2} -12 = 0 )
( frac {3 x ^ {2} -2 y ^ {2}} {12} = frac {12} {12} )
( frac {x ^ {2}} {4} – frac {y ^ {2}} {6} = 1 )

 

Esta es una ecuación de una hipérbola que se abre hacia la izquierda y hacia la derecha centrada en el origen.

 

3. La ecuación es cuadrática en (y ) solamente.

 

( begin {alineado} xy ^ {2} +6 y-11 & = 0 \ x & = y ^ {2} -6 y + quad + 11 \ x & = color {black} { left (y ^ {2} -6 y color {Cerulean} {+ 9} right) +} 11 color {Cerulean} {- 9} \ x & = (y-3) ^ {2} +2 end {alineado} )

 

Esta es una ecuación de una parábola que se abre a la derecha con el vértice ((2,3) ).

 

Respuesta :

 

1. Círculo

 

2. Hipérbola

 

3. Parábola

 
 
 

Puntos clave

 
         
  • La gráfica de una hipérbola está completamente determinada por su centro, vértices y asíntotas.
    •      
  • El centro, los vértices y las asíntotas son evidentes si la ecuación de una hipérbola se da en forma estándar: ( frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} – frac {(yk ) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) o ( frac {(yk) ^ {2}} {b ^ {2}} – frac {(xh) ^ {2}} {a ^ {2}} = 1 ).
    •      
  • Para graficar una hipérbola, marque los puntos (a ) unidades hacia la izquierda y derecha desde el centro y los puntos (b ) hacia arriba y hacia abajo desde el centro. Use estos puntos para dibujar el rectángulo fundamental; Las líneas a través de las esquinas de este rectángulo son las asíntotas. Si el coeficiente de (x ^ {2} ) es positivo, dibuje las ramas de la hipérbola que se abren de izquierda a derecha a través de los puntos determinados por (a ). Si el coeficiente de (y ^ {2} ) es positivo, dibuje las ramas de la hipérbola que se abren hacia arriba y hacia abajo a través de los puntos determinados por (b ).
    •      
  • La orientación del eje transversal depende del coeficiente de (x ^ {2} ) y (y ^ {2} ).
    •      
  • Si la ecuación de una hipérbola se da en forma general (px ^ {2} -qy ^ {2} + c x + d y + e = 0 ) o (qy ^ {2} -px ^ {2} + c x + d y + e = 0 ) donde (p, q> 0 ), agrupe los términos con las mismas variables y complete el cuadrado para ambas agrupaciones para obtener la forma estándar.
    •      
  • Reconocemos la ecuación de una hipérbola si es cuadrática tanto en (x ) como en (y ) donde los coeficientes de los términos cuadrados son opuestos en signo.
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Dada la ecuación de una hipérbola en forma estándar, determine su centro, de qué manera se abre el gráfico y los vértices.

 
         
  1. ( frac {(x-6) ^ {2}} {16} – frac {(y + 4) ^ {2}} {9} = 1 )
    2.      
  2. ( frac {(y-3) ^ {2}} {25} – frac {(x + 1) ^ {2}} {64} = 1 )
    3.      
  3. ( frac {(y + 9) ^ {2}} {5} -x ^ {2} = 1 )
    4.      
  4. ( frac {(x-5) ^ {2}} {12} -y ^ {2} = 1 )
    5.      
  5. (4 (y + 10) ^ {2} -25 (x + 1) ^ {2} = 100 )
    6.      
  6. (9 (x-1) ^ {2} -5 (y + 10) ^ {2} = 45 )
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Centro: ((6, -4); a = 4; b = 3 ); se abre a izquierda y derecha; vértices: ((2, −4), (10, −4) )

     

3. Centro: ((0, -9); a = 1, b = sqrt {5} ); se abre hacia arriba y hacia abajo; vértices: ((0, -9- sqrt {5}), (0, -9 + sqrt {5}) )

     

5. Centro: ((- 1, −10); a = 2, b = 5 ); se abre hacia arriba y hacia abajo; vértices: ((- 1, −15), (−1, −5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine la forma estándar para la ecuación de una hipérbola dada la siguiente información.

 
         
  1. Centro ((2,7), a = 6, b = 3, ) se abre a izquierda y derecha.
    2.      
  2. Centro ((- 9,1), a = 7, b = 2, ) se abre hacia arriba y hacia abajo.
    3.      
  3. Centro ((10, -3), a = sqrt {7}, b = 5 sqrt {2}, ) se abre hacia arriba y hacia abajo.
    4.      
  4. Centro ((- 7, -2), a = 3 sqrt {3}, b = sqrt {5}, ) se abre a izquierda y derecha.
    5.      
  5. Centro ((0, -8), a = sqrt {2} b = 1, ) se abre hacia arriba y hacia abajo.
    6.      
  6. Centro ((0,0), a = 2 sqrt {6}, b = 4, ) se abre a izquierda y derecha.
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {(x-2) ^ {2}} {36} – frac {(y-7) ^ {2}} {9} = 1 )

     

3. ( frac {(y + 3) ^ {2}} {50} – frac {(x-10) ^ {2}} {7} = 1 )

     

5. ( frac {(y + 8) ^ {2}} {1} – frac {x ^ {2}} {2} = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Gráfico.

 
         
  1. ( frac {(x-3) ^ {2}} {9} – frac {(y + 1) ^ {2}} {16} = 1 )
    2.      
  2. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {4} – frac {(y-1) ^ {2}} {25} = 1 )
    3.      
  3. ( frac {(x-2) ^ {2}} {16} – frac {(y + 3) ^ {2}} {1} = 1 )
    4.      
  4. ( frac {(y + 2) ^ {2}} {9} – frac {(x + 2) ^ {2}} {36} = 1 )
    5.      
  5. ( frac {(y-1) ^ {2}} {4} – frac {(x-2) ^ {2}} {16} = 1 )
    6.      
  6. ((y + 2) ^ {2} – frac {(x + 3) ^ {2}} {9} = 1 )
    7.      
  7. (4 (x + 3) ^ {2} -9 (y-3) ^ {2} = 36 )
    8.      
  8. (16 x ^ {2} -4 (y-1) ^ {2} = 64 )
    9.      
  9. (4 (y-1) ^ {2} -25 x ^ {2} = 100 )
    10.      
  10. (9 y ^ {2} -16 x ^ {2} = 144 )
    11.      
  11. ( frac {(x-2) ^ {2}} {12} – frac {(y-4) ^ {2}} {9} = 1 )
    12.      
  12. ( frac {(x + 2) ^ {2}} {4} – frac {(y-1) ^ {2}} {8} = 1 )
    13.      
  13. ( frac {(y + 1) ^ {2}} {5} – frac {(x-3) ^ {2}} {2} = 1 )
    14.      
  14. ( frac {(y-4) ^ {2}} {3} – frac {(x + 6) ^ {2}} {18} = 1 )
    15.      
  15. (4 x ^ {2} -3 (y-3) ^ {2} = 12 )
    16.      
  16. (7 (x + 1) ^ {2} -2 y ^ {2} = 14 )
    17.      
  17. (6 y ^ {2} -3 x ^ {2} = 18 )
    18.      
  18. (10 ​​x ^ {2} -3 y ^ {2} = 30 )
    19.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
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Figura 8.4.23
     

3.

     
7d68d36f6b7befbbc9a256b05d73c808.png
Figura 8.4.24
     

5.

     
e6ea301b50c7f90c7c8a57749332c3a3.png
Figura 8.4.25
     

7.

     
182483e092b3d50bb5984fe266e094ec.png
Figura 8.4.26
     

9.

     
c09030594434d6f5c0a129cbf17a292d.png
Figura 8.4.27
     

11.

     
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Figura 8.4.28
     

13.

     
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Figura 8.4.29
     

15.

     
fa516dace111c6d9c1d79e44c1ff32df.png
Figura 8.4.30
     

17.

     
875fbfc3716535d0dde3cb7aa81657be.png
Figura 8.4.31
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra las intersecciones (x ) – y (y ).

 
         
  1. ( frac {(x-1) ^ {2}} {9} – frac {(y-4) ^ {2}} {4} = 1 )
    2.      
  2. ( frac {(x + 4) ^ {2}} {16} – frac {(y-3) ^ {2}} {9} = 1 )
    3.      
  3. ( frac {(y-1) ^ {2}} {4} – frac {(x + 1) ^ {2}} {36} = 1 )
    4.      
  4. ( frac {(y + 2) ^ {2}} {4} – frac {(x-1) ^ {2}} {16} = 1 )
    5.      
  5. (2 x ^ {2} -3 (y-1) ^ {2} = 12 )
    6.      
  6. (6 (x-5) ^ {2} -2 y ^ {2} = 12 )
    7.      
  7. (36 x ^ {2} -2 y ^ {2} = 9 )
    8.      
  8. (6 y ^ {2} -4 x ^ {2} = 2 )
    9.      
  9. Encuentre la ecuación de la hipérbola con vértices ((± 2, 3) ) y un eje conjugado que mide (12 ) unidades.
    10.      
  10. Encuentre la ecuación de la hipérbola con vértices ((4, 7) ) y ((4, 3) ) y un eje conjugado que mide (6 ) unidades.
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ) – intercepta: ((1 pm 3 sqrt {5}, 0) ) (y ) – intercepta: ninguna

     

3. (x ) – intercepta: ninguno (y ) – intercepta: ( left (0, frac {3 pm sqrt {37}} {3} right) ) [ 19459003]      

5. (x ) – intercepta: ( left ( pm frac { sqrt {30}} {2}, 0 right) ) (y ) – intercepta: ninguna [19459003 ]      

7. (x ) – intercepta: ( left ( pm frac {1} {2}, 0 right) ) (y ) – intercepta: ninguna

     

9. ( frac {x ^ {2}} {4} – frac {(y-3) ^ {2}} {36} = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Reescribe en forma y gráfico estándar.

 
         
  1. (4 x ^ {2} -9 y ^ {2} +16 x + 54 y-101 = 0 )
    2.      
  2. (9 x ^ {2} -25 y ^ {2} -18 x-100 y-316 = 0 )
    3.      
  3. (4 y ^ {2} -16 x ^ {2} -64 x + 8 y-124 = 0 )
    4.      
  4. (9 y ^ {2} -4 x ^ {2} -24 x-72 y + 72 = 0 )
    5.      
  5. (y ^ {2} -36 x ^ {2} -72 x-12 y-36 = 0 )
    6.      
  6. (9 y ^ {2} -x ^ {2} +8 x-36 y + 11 = 0 )
    7.      
  7. (36 x ^ {2} -4 y ^ {2} +24 y-180 = 0 )
    8.      
  8. (x ^ {2} -25 y ^ {2} -2 x-24 = 0 )
    9.      
  9. (25 x ^ {2} -64 y ^ {2} +200 x + 640 y-2.800 = 0 )
    10.      
  10. (49 y ^ {2} -4 x ^ {2} +40 x + 490 y + 929 = 0 )
    11.      
  11. (3 x ^ {2} -2 y ^ {2} +24 x + 8 y + 34 = 0 )
    12.      
  12. (4 x ^ {2} -8 y ^ {2} -24 x + 80 y-196 = 0 )
    13.      
  13. (3 y ^ {2} -x ^ {2} -2 x-6 y-16 = 0 )
    14.      
  14. (12 y ^ {2} -5 x ^ {2} +40 x + 48 y-92 = 0 )
    15.      
  15. (4 x ^ {2} -16 y ^ {2} +12 x + 16 y-11 = 0 )
    16.      
  16. (4 x ^ {2} -y ^ {2} -4 x-2 y-16 = 0 )
    17.      
  17. (4 y ^ {2} -36 x ^ {2} +108 x-117 = 0 )
    18.      
  18. (4 x ^ {2} -9 y ^ {2} +8 x + 6 y-33 = 0 )
    19.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( frac {(x + 2) ^ {2}} {9} – frac {(y-3) ^ {2}} {4} = 1 );

     
d880acc9fb26a60a1772a30b9d7b92e8.png
Figura 8.4.32
     

3. ( frac {(y + 1) ^ {2}} {16} – frac {(x + 2) ^ {2}} {4} = 1 );

     
0778f75f99ae9dead087b04e638e28dc.png
Figura 8.4.33
     

5. ( frac {(y-6) ^ {2}} {36} – (x + 1) ^ {2} = 1 );

     
a2b5244c74da266593d5ae1a8cdb3485.png
Figura 8.4.34
     

7. ( frac {x ^ {2}} {4} – frac {(y-3) ^ {2}} {36} = 1 );

     
94c2e2cbac9a89ba91f631235cd710c3.png
Figura 8.4.35
     

9. ( frac {(x + 4) ^ {2}} {64} – frac {(y-5) ^ {2}} {25} = 1 );

     
4ab428fbea1fa93faef1394327d09193.png
Figura 8.4.36
     

11. ( frac {(x + 4) ^ {2}} {2} – frac {(y-2) ^ {2}} {3} = 1 );

     
7e2b54e8c4375e03291fd77f1721f0b0.png
Figura 8.4.37
     

13. ( frac {(y-1) ^ {2}} {6} – frac {(x + 1) ^ {2}} {18} = 1 );

     
75151effd5b8d5403e9e990a6b97b191.png
Figura 8.4.38
     

15. ( frac { left (x + frac {3} {2} right) ^ {2}} {4} – frac { left (y- frac {1} {2} right) ^ {2}} {1} = 1 )

     
bdc36fa2cf7335562f933b3ebdda5817.png
Figura 8.4.39
     

17. ( frac {y ^ {2}} {9} – left (x- frac {3} {2} right) ^ {2} = 1 );

     
19bea337124cbde013bd3b887a40fbef.png
Figura 8.4.40
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dada la forma general, determinar las intersecciones.

 
         
  1. (3 x ^ {2} -y ^ {2} -11 x-8 y-4 = 0 )
    2.      
  2. (4 y ^ {2} -8 x ^ {2} +2 x + 9 y-9 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} -y ^ {2} +2 x + 2 y-4 = 0 )
    4.      
  4. (y ^ {2} -x ^ {2} +6 y-8 x-16 = 0 )
    5.      
  5. (5 x ^ {2} -2 y ^ {2} -4 x-3 y = 0 )
    6.      
  6. (2 x ^ {2} -3 y ^ {2} -4 x-5 y + 1 = 0 )
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ) -intercepts: ( left (- frac {1} {3}, 0 right), (4,0); y ) -intercepts: ((0, -4 pm 2 sqrt {3}) )

     

3. (x ) -intercepts: ((- 1 pm sqrt {5}, 0); y ) -intercepts: ninguno

     

5. (x ) – intercepta: ((0,0), left ( frac {4} {5}, 0 right); y ) – intercepta: ((0,0 ), left (0, – frac {3} {2} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola dada.

 
         
  1. ( frac {(y-5) ^ {2}} {9} – frac {(x + 8) ^ {2}} {16} = 1 )
    2.      
  2. ( frac {(x + 9) ^ {2}} {36} – frac {(y-4) ^ {2}} {4} = 1 )
    3.      
  3. (16 x ^ {2} -4 y ^ {2} -24 y-96 x + 44 = 0 )
    4.      
  4. (4 y ^ {2} -x ^ {2} -8 y-4 x-4 = 0 )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (y = – frac {3} {4} x-1, y = frac {3} {4} x + 11 )

     

3. (y = -2 x + 3, y = 2 x-9 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dada la gráfica de una hipérbola, determine su ecuación en forma general.

 

1.

 
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Figura 8.4.41
 

2.

 
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Figura 8.4.42
 

3.

 
a7bc4eadfff45a64281536baae8dc741.png
Figura 8.4.43
 

4.

 
5a4c64dcf71ab2c3f0a80ed545fad3e4.png
Figura 8.4.44
 
     
Respuesta
     
     

1. (x ^ {2} -9 y ^ {2} -4 x + 18 y-41 = 0 )

     

3. (25 y ^ {2} -4 x ^ {2} -100 y + 8 x-4 = 0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Identifica lo siguiente como la ecuación de una línea, parábola, círculo, elipse o hipérbola.

 
         
  1. (x ^ {2} + y ^ {2} +10 x-2 y + 23 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} + y + 2 x-3 = 0 )
    3.      
  3. (2 x ^ {2} + y ^ {2} -12 x + 14 = 0 )
    4.      
  4. (3 x-2 y = 24 )
    5.      
  5. (x ^ {2} -y ^ {2} + 36 = 0 )
    6.      
  6. (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -32 = 0 )
    7.      
  7. (x ^ {2} -y ^ {2} -2 x + 2 y-1 = 0 )
    8.      
  8. (x-y ^ {2} +2 y + 1 = 0 )
    9.      
  9. (3 x + 3 y + 5 = 0 )
    10.      
  10. (8 x ^ {2} +4 y ^ {2} -144 x-12 y + 641 = 0 )
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Círculo

     

3. Elipse

     

5. Hipérbola

     

7. Hipérbola

     

9. Línea

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Identifica las secciones cónicas y reescribe en forma estándar.

 
         
  1. (x ^ {2} -y-6 x + 11 = 0 )
    2.      
  2. (x ^ {2} + y ^ {2} -12 x-6 y + 44 = 0 )
    3.      
  3. (x ^ {2} -2 y ^ {2} -4 x-12 y-18 = 0 )
    4.      
  4. (25 y ^ {2} -2 x ^ {2} +36 x-50 y-187 = 0 )
    5.      
  5. (7 x ^ {2} +4 y ^ {2} -84 x + 16 y + 240 = 0 )
    6.      
  6. (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} -80 x + 399 = 0 )
    7.      
  7. (4 x ^ {2} +4 y ^ {2} +4 x-32 y + 29 = 0 )
    8.      
  8. (16 x ^ {2} -4 y ^ {2} -32 x + 20 y-25 = 0 )
    9.      
  9. (9 x-18 y ^ {2} +12 y + 7 = 0 )
    10.      
  10. (16 x ^ {2} +12 y ^ {2} -24 x-48 y + 9 = 0 )
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Parábola; (y = (x-3) ^ {2} +2 )

     

3. Hipérbola; ( frac {(x-2) ^ {2}} {4} – frac {(y + 3) ^ {2}} {2} = 1 )

     

5. Elipse; ( frac {(x-6) ^ {2}} {4} + frac {(y + 2) ^ {2}} {7} = 1 )

     

7. Círculo; ( left (x + frac {1} {2} right) ^ {2} + (y-4) ^ {2} = 9 )

     

9. Parábola; (x = 2 left (y- frac {1} {3} right) ^ {2} -1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 
         
  1. Desarrolle una fórmula para las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola. Compártalo junto con un ejemplo en el panel de discusión.
    2.      
  2. Crea tu propia ecuación de una hipérbola, escríbela en forma general y grafica.
    3.      
  3. ¿Todas las hipérbolas tienen intersecciones? ¿Cuáles son los posibles números de intercepciones para una hipérbola? Explique.
    4.      
  4. Investigue y discuta ejemplos del mundo real de hipérbolas.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 

Notas a pie de página

 

23 The set of points in a plane whose distances from two fixed points, called foci, has an absolute difference that is equal to a positive constant.

 

24 The two separate curves of a hyperbola.

 

25 Points on the separate branches of a hyperbola where the distance is a minimum.

 

26 The equation of a hyperbola written in the form (frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1).The center is ((h, k)), (a) defines the transverse axis, and (b) defines the conjugate axis.

 

27 The equation of a hyperbola written in the form (frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}=1). The center is ((h, k)), (b) defines the transverse axis, and (a) defines the conjugate axis.

 

28 The line segment formed by the vertices of a hyperbola.

 

29 A line segment through the center of a hyperbola that is perpendicular to the transverse axis.

 

30 The rectangle formed using the endpoints of a hyperbolas, transverse and conjugate axes.

 

31 The equation of a hyperbola written in the form (px^{2} − qy^{2} + cx +dy + e = 0) or (qy^{2} − px^{2} − cx +dy + e = 0) where (p, q > 0).

 
                                  
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