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las matematicas

8.4: La fórmula cuadrática

                 

Primero comenzamos con la definición de una ecuación cuadrática .

 
 

Ecuación cuadrática

 

Una ecuación polinómica de segundo grado de la forma [ax ^ 2 + bx + c = 0 nonumber ] donde (a ), (b ) y (c ) son cualesquiera números reales, se llama ecuación cuadrática en (x ).

 
 

El objetivo de esta sección es desarrollar un atajo de fórmula que proporcione soluciones exactas de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0. Comenzamos moviendo el término constante al otro lado de la ecuación.

 

[ begin {array} {rlrl} {a x ^ {2} + b x + c} & {= 0} & {} & color {Red} { text {Ecuación cuadrática. }} \ {a x ^ {2} + b x} & {= -c} & {} & color {Red} { text {Restar} c text {de ambos lados. }} end {array} nonumber ]

 

En preparación para completar el cuadrado, a continuación dividimos ambos lados de la ecuación por (a ).

 

[x ^ {2} + dfrac {b} {a} x = – dfrac {c} {a} quad text {Divide ambos lados entre} a nonumber ]

 

Ahora completamos el cuadrado. Tome la mitad del coeficiente de (x ), luego cuadre el resultado.

 

( dfrac {1} {2} cdot dfrac {b} {a} = dfrac {b} {2 a} ) cuando al cuadrado da ( left ( dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} )

 

Ahora agregamos ( dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} ) a ambos lados de la ecuación.

 

[x ^ {2} + dfrac {b} {a} x + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} = – dfrac {c} {a} + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}} quad color {Rojo} text {Agregar} b ^ {2} / left (4 a ^ {2} right) text {a ambos lados } nonumber ]

 

A la izquierda, factorizamos el trinomio cuadrado perfecto. A la derecha, hacemos fracciones equivalentes con un denominador común.

 

[ begin {array} {ll} { left (x + dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = – dfrac {c} {a} cdot dfrac {4 a} {4 a} + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}}} & color {Red} { text {A la izquierda, factoriza. A la derecha,}} \ {} & color {Red} { text {crear fracciones equivalentes con}} \ { left (x + dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = – dfrac {4 ac} {4 a ^ {2}} + dfrac {b ^ {2}} {4 a ^ {2}}} & color {Red} { text {Multiplica numeradores y denominadores. }} \ { left (x + dfrac {b} {2 a} right) ^ {2} = dfrac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2}}} & color {Rojo} { text {Agregar fracciones. }} end {array} nonumber ]

 

Cuando sacamos la raíz cuadrada, hay dos respuestas.

 

[x + dfrac {b} {2 a} = pm sqrt { dfrac {b ^ {2} -4 ac} {4 a ^ {2}}} quad color {Red} texto {Dos raíces cuadradas. } nonumber ]

 

Cuando sacas la raíz cuadrada de una fracción, tomas la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador.

 

[ begin {alineado} x + dfrac {b} {2 a} & = pm dfrac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} { sqrt {4 a ^ {2} }} \ x + dfrac {b} {2 a} & = pm dfrac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} quad color {Red} text {Simplifique: } sqrt {4 a ^ {2}} = 2 a \ x & = – dfrac {b} {2 a} pm dfrac { sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a } quad color {Rojo} text {Restar} b / (2 a) text {de ambos lados} end {alineado} nonumber ]

 

Debido a que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumar y restar numeradores y poner la respuesta sobre el común denominador.

 

[x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} nonumber ]

 
 

La ​​fórmula cuadrática

 

La ​​ecuación (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) se llama ecuación cuadrática. Sus soluciones están dadas por [x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 a c}} {2 a} nonumber ] llamada fórmula cuadrática .

 
 

¡Vaya! ¡Afortunadamente, el resultado es mucho más fácil de aplicar que de desarrollar! Probemos algunos ejemplos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resolver para (x: x ^ {2} -4 x-5 = 0 )

 

Solución

 

El par entero (1, −5 ) tiene el producto (ac = −5 ) y sum (b = −4 ). Por lo tanto, estos factores trinomiales.

 

[ begin {array} {r} {x ^ {2} -4 x-5 = 0} \ {(x + 1) (x-5) = 0} end {array} nonumber ]

 

Ahora podemos usar la propiedad del producto cero para escribir:

 

[ begin {array} {rlrl} {x + 1} & {= 0} & { text {or}} & {x-5} & {= 0} \ {x} & {= -1} & {} & {x} & {= 5} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = −1 ) y (x = 5 ). Ahora, vamos a probar la fórmula cuadrática. Primero, debemos comparar nuestra ecuación con la ecuación cuadrática, luego determinar los valores de (a ), (b ) y (c ).

 

[ begin {array} {l} {ax ^ {2} + b x + c = 0} \ {x ^ {2} -4 x-5 = 0} end {array} nonumber ]

 

Al comparar ecuaciones, vemos que (a = 1 ), (b = −4 ) y (c = −5 ). Ahora conectaremos estos números a la fórmula cuadrática. Primero, reemplace cada aparición de (a ), (b ) y (c ) en la fórmula cuadrática con paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado}
x & = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} quad color {Rojo} text { La fórmula cuadrática. } \ x & = { dfrac {- ( quad) pm sqrt {( quad) ^ {2} -4 () ()}} {2 ()} quad quad color {Red} texto {Reemplazar} a, b, text {y} c text {con paréntesis abiertos. }} end {alineado} nonumber ]

 

Ahora podemos sustituir: (1 ) por (a ), (- 4 ) por (b ) y (- 5 ) por (c ).

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {- (- 4) pm sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (1) (- 5)}} {2 (1)}} & color {Rojo} { text {Sustituir:} 1 text {para} a, -4 text {para} b} \ {x = dfrac {4 pm sqrt {16 +20}} {2}} & color {Rojo} { text {Simplificar. Exponente primero, luego}} \ {x = dfrac {4 pm sqrt {36}} {2}} & color {Red} { text {Add:} 16 + 20 = 36} \ {x = dfrac {4 pm 6} {2}} y color {Rojo} { text {Simplificar:} sqrt {36} = 6} end {array} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que debido al símbolo “más o menos”, tenemos dos respuestas.

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {4-6} {2}} & text {or} & {x = dfrac {4 + 6} {2}} \ {x = dfrac {-2} {2}} && {x = dfrac {10} {2}} \ {x = -1} && {x = 5} end {array} nonumber ] [ 19459004]  

Tenga en cuenta que estas respuestas coinciden con las respuestas encontradas usando la prueba ac para factorizar el trinomio.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resolver para (x: x ^ {2} -8x + 12 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 ), (6 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x: x ^ {2} = 5 x + 7 )

 

Solución

 

La ecuación es no lineal, pon un lado a cero.

 

[ begin {array} {rlrl} {x ^ {2}} & {= 5 x + 7} & {} & color {Red} { text {Ecuación original. }} \ {x ^ {2} -5 x-7} & {= 0} & {} & color {Red} { text {No lineal. Pon un lado a cero. }} end {array} nonumber ]

 

Compare (x ^ 2 −5x − 7 = 0 ) con (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que (a = 1 ), (b = −5 ) y (c = −7 ). Reemplace cada aparición de (a ), (b ) y (c ) con paréntesis abiertos para preparar la fórmula cuadrática para la sustitución.

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}} & color {Red} { text {La fórmula cuadrática. }} \ {x = dfrac {- () pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()}} & color {Red} { text {Reemplazar} a, b, text {y} c text {con}} end {array} nonumber ]

 

Sustituye (1 ) por (a ), (- 5 ) por (b ) y (- 7 ) por (c ).

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {- (- 5) pm sqrt {(- 5) ^ {2} -4 (1) (- 7)}} {2 (1)}} & color {Rojo} { text {Sustituir:} a = 1, b = -5, c = -7} \ {x = dfrac {5 pm sqrt {25 + 28} } {2}} & color {Red} { text {Exponentes y multiplicación primero. }} \ {x = dfrac {5 pm sqrt {53}} {2}} & color {Red} { text {Simplificar. }} end {array} nonumber ]

 

Verificar: Use la calculadora para verificar cada solución (vea la Figura ( PageIndex {1} )). Tenga en cuenta que al almacenar ((5- sqrt {53}) / 2 ) en ( mathbf {X} ), debemos rodear el numerador entre paréntesis.

 

fig 8.4.1.png

 

Figura ( PageIndex {1} ): Verifique ((5- sqrt {53}) / 2 ) y ((5+ sqrt {53} ) / 2 ).

 

En cada imagen de la Figura ( PageIndex {1} ), después de almacenar la solución en ( mathbf {X} ), tenga en cuenta que los lados izquierdo y derecho de la ecuación original (x ^ 2 = 5 x + 7 ) produce el mismo número, verificando que nuestras soluciones sean correctas.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x: x ^ {2} +7 x = 10 )

 
     
Respuesta
     
     

((- 7+ sqrt {89}) / 2, (- 7- sqrt {89}) / 2 )

     
 
 
 

Además de colocar todas las raíces cuadradas en forma radical simple, a veces necesita reducir su respuesta a los términos más bajos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resolver para (x: 7 x ^ {2} -10 x + 1 = 0 )

 

Solución

 

Compare (7x ^ 2 −10x + 1 = 0 ) con (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) y observe que (a = 7 ), (b = −10 ) y (c = 1 ). Reemplace cada aparición de (a ), (b ) y (c ) con paréntesis abiertos para preparar la fórmula cuadrática para la sustitución.

 

[ begin {alineado}
x & = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} quad color {Rojo} text { La fórmula cuadrática. } \
x & = dfrac {- ( quad) pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()} quad color {Rojo} text {Reemplazar} a, b, text {y} c text {con paréntesis abiertos.}
end {alineado} nonumber ]

 

Sustituye (7 ) por (a ), (- 10 ) por (b ) y (1 ) por (c ).

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {- (- 10) pm sqrt {(- 10) ^ {2} -4 (7) (1)}} {2 ( 7)}} & color {Rojo} { text {Sustituir:} 7 ​​text {para} a} \ {x = dfrac {10 pm sqrt {100-28}} {14}} & color {Rojo} { text {Exponente, luego multiplicación. }} \ {x = dfrac {10 pm sqrt {72}} {14}} & color {Red} { text {Simplificar. }} end {array} nonumber ]

 

En este caso, tenga en cuenta que podemos factorizar un cuadrado perfecto, a saber, ( sqrt {36} ).

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {10 pm sqrt {36} sqrt {2}} {14}} & color {Red} { sqrt {72} = sqrt {36} sqrt {2}} \ {x = dfrac {10 pm 6 sqrt {2}} {14}} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {36 } = 6} end {array} nonumber ]

 

Finalmente, observe que tanto el numerador como el denominador son divisibles por (2 ).

 

[ begin {alineado}
x & = dfrac { tfrac {10 pm 6 sqrt {2}} {2}} { tfrac {14} {2}} quad color { Rojo} text {Divide el numerador y el denominador entre} 2. \
x & = dfrac { tfrac {10} {2} pm tfrac {6 sqrt {2}} {2}} { tfrac {14} {2}} quad color {Rojo} text {Distribuya el} 2. \ x & = dfrac {5 pm 3 sqrt {2}} {7} quad color {Rojo} texto {Simplificar. }
end {alineado} nonumber ]

 

Simplificación alternativa: En lugar de dividir el numerador y el denominador por (2 ), algunos prefieren factorizar y cancelar, de la siguiente manera.

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {10 pm 6 sqrt {2}} {14}} & color {Red} { text {Respuesta original. }} \ {x = dfrac {2 (5 pm 3 sqrt {2})} {2 (7)}} & color {Red} { text {Factorizar a} 2} \ {x = dfrac { not {2} (5 pm 3 sqrt {2})} { not {2} (7)}} & color {Red} { text {Cancelar. }} \ {x = dfrac {5 pm 3 sqrt {2}} {7}} & color {Red} { text {Simplifique. }} end {array} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que obtenemos la misma respuesta usando esta técnica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resolver para (x: 3 x ^ {2} +8 x + 2 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

((- 4+ sqrt {10}) / 3, (- 4- sqrt {10}) / 3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Un objeto se lanza verticalmente y su altura (y ) (en pies) sobre el nivel del suelo viene dada por la ecuación (y = 320 + 192t − 16t ^ 2 ), donde es el tiempo (en segundos) que ha pasado desde su lanzamiento. ¿Cuánto tiempo debe pasar después del lanzamiento antes de que el objeto vuelva al nivel del suelo? Después de colocar la respuesta en forma simple y reducir, use su calculadora para redondear la respuesta a la décima de segundo más cercana.

 

Solución

 

Cuando el objeto vuelve al nivel del suelo, su altura (y ) sobre el nivel del suelo es (y = 0 ) pies. Para encontrar el momento en que esto ocurre, sustituya (y = 0 ) en la fórmula (y = 320 + 192t − 16t ^ 2 ) y resuelva (t ).

 

[ begin {array} {ll} {y = 320 + 192 t-16 t ^ {2}} & color {Red} { text {Ecuación original. }} \ {0 = 320 + 192 t-16 t ^ {2}} & color {Red} { text {Set} y = 0} end {array} nonumber ]

 

Cada uno de los coeficientes es divisible por (- 16 ).

 

[0 = t ^ {2} -12 t-20 quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} -16 nonumber ]

 

Compare (t ^ 2−12t − 20 = 0 ) con (at ^ 2 + bt + c = 0 ) y observe que (a = 1 ), (b = −12 ) y (c = −20 ). Reemplace cada aparición de (a ), (b ) y (c ) con paréntesis abiertos para preparar la fórmula cuadrática para la sustitución. Tenga en cuenta que esta vez estamos resolviendo t, no (x ).

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}} & color {Red} { text {La fórmula cuadrática. }} \ {x = dfrac {- () pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()}} & color {Red} { text {Reemplazar} a, b, text {y} c text {con paréntesis abiertos. }} end {array} nonumber ]

 

Sustituye (1 ) por (a ), (- 12 ) por (b ) y (- 20 ) por (c ).

 

[ begin {array} {ll} {t = dfrac {- (- 12) pm sqrt {(- 12) ^ {2} -4 (1) (- 20)}} {2 (1)}} & color {Red} { text {Sustituir:} 1 text {for} a} \ {t = dfrac {12 pm sqrt {144 + 80}} {2}} & color {Red} { text {Exponente, luego multiplicación. }} \ {t = dfrac {12 pm sqrt {224}} {2}} & color {Red} { text {Simplifique. }} end {array} nonumber ]

 

La respuesta no es simple, ya que podemos factorizar ( sqrt {16} ).

 

[ begin {array} {ll} {t = dfrac {12 pm sqrt {16} sqrt {14}} {2}} & color {Red} { sqrt {224} = sqrt {16} sqrt {14}} \ {t = dfrac {12 pm 4 sqrt {14}} {2}} & color {Red} { text {Simplify:} sqrt {16 } = 4} end {array} nonumber ]

 

Use la propiedad distributiva para dividir ambos términos en el numerador por (2 ).

 

[ begin {array} {ll} {t = dfrac {12} {2} pm dfrac {4 sqrt {14}} {2}} & color {Red} { text { Divida ambos términos entre} 2} \ {t = 6 pm 2 sqrt {14}} & color {Red} { text {Simplify}} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, tenemos dos soluciones, (t = 6-2 sqrt {14} ) y (t = 6 + 2 sqrt {14} ). Usa tu calculadora para encontrar aproximaciones decimales, luego redondea a la décima más cercana.

 

fig 8.4.2.png

 

Figura ( PageIndex {2} ): Usando la calculadora para encontrar aproximaciones decimales

 

[t aprox-1.5,13.5 nonumber ]

 

El tiempo negativo es irrelevante, por lo que a la décima de segundo más cercana, el objeto tarda aproximadamente (13.5 ) segundos en volver al nivel del suelo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Un objeto se lanza verticalmente y su altura (y ) (en pies) sobre el nivel del suelo viene dada por la ecuación (y = 160 + 96t − 16t ^ 2 ), donde (t ) es el tiempo (en segundos) que ha pasado desde su lanzamiento. ¿Cuánto tiempo debe pasar después del lanzamiento antes de que el objeto vuelva al nivel del suelo?

 
     
Respuesta
     
     

(3+ sqrt {19} aprox 7.4 ) segundos

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Arnie se sube a su bicicleta al mediodía y comienza a viajar hacia el norte a una velocidad constante de (12 ) millas por hora. A la 1:00 P M , Barbara se sube a su bicicleta en el mismo punto de partida y comienza a conducir hacia el este a una velocidad constante de (8 ) millas por hora. ¿A qué hora del día estarán a (50 ) millas de distancia (como vuela)? No se preocupe por la forma simple, solo informe la hora del día, corrija al minuto más cercano.

 

Solución

 

En el momento en que están (50 ) millas de distancia, deje que (t ) represente el tiempo que Arnie ha estado montando desde el mediodía. Debido a que Barbara comenzó a la 1:00 P M , ha estado montando durante una hora menos que Arnie. Entonces, dejemos que (t − 1 ) represente el número de horas que Barbara ha estado montando en el momento en que están (50 ) millas de distancia.

 

Ahora, si Arnie ha estado viajando a una velocidad constante de (12 ) millas por hora durante (t ) horas, entonces ha recorrido una distancia de (12t ) millas. Debido a que Barbara ha estado viajando a una velocidad constante de (8 ) millas por hora durante (t − 1 ) horas, ha recorrido una distancia de (8 (t − 1) ) millas.

 

fig 8.4.3.png

 

Figura ( PageIndex {3} ): (50 ) millas de distancia.

 

La distancia y dirección recorrida por Arnie y Barbara están marcadas en la Figura ( PageIndex {3} ). Tenga en cuenta que tenemos un triángulo rectángulo, por lo que los lados del triángulo deben satisfacer el teorema de Pitágoras. Es decir,

 

[(12 t) ^ {2} + [8 (t-1)] ^ {2} = 50 ^ {2} quad color {Rojo} text {Usa el teorema de Pitágoras. } nonumber ]

 

Distribuya el (8 ).

 

[(12 t) ^ {2} + (8 t-8) ^ {2} = 50 ^ {2} quad color {Red} text {Distribuir el} 8 nonumber ] [19459004 ]  

Al cuadrado cada término. Use ((a − b) ^ 2 = a ^ 2 −2ab + b ^ 2 ) para expandir ((8t − 8) ^ 2 ).

 

[ begin {alineado} 144 t ^ {2} +64 t ^ {2} -128 t + 64 & = 2500 quad color {Rojo} text {Al cuadrado cada término. } \ 208 t ^ {2} -128 t + 64 & = 2500 quad color {Rojo} text {Simplificar:} 144 t ^ {2} +64 t ^ {2} = 208 t ^ {2} end {alineado} nonumber ]

 

La ecuación resultante es no lineal. Haz un lado igual a cero.

 

[ begin {array} {rlrl} {208 t ^ {2} -128 t-2436} & {= 0} & {} & color {Red} { text {Subtract} 2500 text { de ambos lados. }} \ {52 t ^ {2} -32 t-609} & {= 0} & {} & color {Red} { text {Divide ambos lados entre} 4.} End {array} nonumber ]

 

Compare (52t ^ 2 −32t − 609 = 0 ) con (at ^ 2 + bt + c = 0 ) y observe que (a = 52 ), (b = −32 ) y (c = −609 ). Reemplace cada aparición de (a ), (b ) y (c ) con paréntesis abiertos para preparar la fórmula cuadrática para la sustitución. Tenga en cuenta que esta vez estamos resolviendo (t ), no (x ).

 

[ begin {array} {ll} {x = dfrac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a}} & color {Red} { text {La fórmula cuadrática. }} \ {x = dfrac {- () pm sqrt {() ^ {2} -4 () ()}} {2 ()}} & color {Red} { text {Reemplazar} a, b, text {y} c text {con}} end {array} nonumber ]

 

Sustituye (52 ) por (a ), (- 32 ) por (b ) y (- 609 ) por (c ).

 

[ begin {align *} t & = dfrac {- (- 32) pm sqrt {(- 32) ^ {2} -4 (52) (- 609)}} {2 (52 )} quad color {Rojo} text {Sustituir:} 52 text {para} a \ t & = dfrac {32 pm sqrt {1024 + 126672}} {104} quad color {Rojo { } text {Exponente, luego multiplicación.} \ t & = dfrac {32 pm sqrt {127696}} {104} quad color {Red} text {Simplify. } end {align *} nonumber ]
Ahora, como la solicitud es por un tiempo aproximado, no nos molestaremos con una forma y reducción simples, sino que procederemos inmediatamente a la calculadora para aproximar este último resultado (ver Figura ( PageIndex {4} )). Por lo tanto, Arnie ha estado montando aproximadamente (3.743709336 ) horas. Para cambiar la parte fraccionaria (0.743709336 ) horas a minutos, multiplique por (60 ) min / h.

 

fig 8.4.4.png

 

Figura ( PageIndex {4} ): Tiempo aproximado que Arnie ha estado montando.

 

[0.743709336 mathrm {hr} = 0.743709336 mathrm {hr} times dfrac {60 mathrm {min}} { mathrm {hr}} = 44.62256016 mathrm {min} nonumber ] [19459004 ]  

Redondeando al minuto más cercano, Arnie ha estado montando aproximadamente (3 ) horas y (45 ) minutos. Debido a que Arnie comenzó a andar al mediodía, el tiempo en el que él y Bárbara están a (50 millas) de distancia es aproximadamente a las 3:45 p.m.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

A las 6:00 a.m., un tren de carga pasa por Sagebrush Junction en dirección oeste a (40 ) millas por hora. A las 8:00 AM , un tren de pasajeros pasa a través del cruce hacia el sur a (60 ) millas por hora. A qué hora del día, correcto al minuto más cercano, ¿estarán los dos trenes separados por (180 ) millas?

 
     
Respuesta
     
     

9:42 AM

     
 
 
                                  
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