8.4: Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados (Parte 1)

8.4: Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados (Parte 1)

Resolver una ecuación con constantes en ambos lados

 

Es posible que haya notado que en todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora, todos los términos variables estaban en un solo lado de la ecuación con las constantes en el otro lado. Esto no sucede todo el tiempo, así que ahora veremos cómo resolver ecuaciones donde los términos variables y / o términos constantes están a ambos lados de la ecuación.

 

Nuestra estrategia consistirá en elegir un lado de la ecuación como el lado variable, y el otro lado de la ecuación como el lado constante. Luego, utilizaremos las propiedades de igualdad de resta y suma, paso a paso, para obtener todos los términos variables juntos en un lado de la ecuación y los términos constantes juntos en el otro lado.

 

Al hacer esto, transformaremos la ecuación que comenzó con variables y constantes en ambos lados en la forma ax = b. Ya sabemos cómo resolver ecuaciones de esta forma usando las propiedades de igualdad de división o multiplicación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resolver: 4x + 6 = −14.

 

Solución

 

En esta ecuación, la variable está solo en el lado izquierdo. Tiene sentido llamar al lado izquierdo el lado variable. Por lo tanto, el lado derecho será el lado constante. Escribiremos las etiquetas sobre la ecuación para ayudarnos a recordar qué va a dónde.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Dado que el lado izquierdo es el lado variable, el 6 está fuera de lugar. Debemos «deshacer» sumar 6 restando 6, y para mantener la igualdad debemos restar 6 de ambos lados. Utilice la propiedad de resta de la igualdad. $$ 4x + 6 textcolor {rojo} {- 6} = -14 textcolor {rojo} {- 6} $$
Simplifica. $$ 4x = -20 $$
Ahora todas las x están a la izquierda y la constante a la derecha.
Use la propiedad de división de la igualdad. $$ dfrac {4x} { textcolor {red} {4}} = dfrac {-20} { textcolor {red} {4}} $$
Simplifica. $$ x = -5 $$
Comprobar: Sea x = −5. $$ begin {split} 4x + 6 & = -14 \ 4 ( textcolor {red} {- 5}) + 6 & = -14 \ -20 + 6 & = -14 \ – 14 & = -14 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Resolver: 3x + 4 = −8.

 
     
Respuesta
     
     

x = -4

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Resolver: 5a + 3 = −37.

 
     
Respuesta
     
     

a = -8

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resolver: 2y – 7 = 15.

 

Solución

 

Observe que la variable está solo en el lado izquierdo de la ecuación, por lo que este será el lado variable y el lado derecho será el lado constante. Como el lado izquierdo es el lado variable, el 7 está fuera de lugar. Se resta del 2y, por lo que para «deshacer» la resta, agregue 7 a ambos lados.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Agrega 7 a ambos lados. $$ 2a – 7 textcolor {rojo} {+ 7} = 15 textcolor {rojo} {+ 7} $$
Simplifica. $$ 2 años = 22 $$
Las variables están ahora en un lado y las constantes en el otro.
Divide ambos lados entre 2. $$ dfrac {2y} { textcolor {red} {2}} = dfrac {22} { textcolor {red} {2}} $$
Simplifica. $$ y = 11 $$
Verificar: Sustituir: y = 11. $$ begin {split} 2y – 7 & = 15 \ 2 cdot textcolor {red} {11} – 7 & stackrel {?} {=} 15 \ 22 – 7 & stackrel { ?} {=} 15 \ 15 & = 15 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Resolver: 5y – 9 = 16.

 
     
Respuesta
     
     

y = 5

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Resuelva: 3m – 8 = 19.

 
     
Respuesta
     
     

m = 9

     
 
 
 

Resolver una ecuación con variables en ambos lados

 

¿Qué pasa si hay variables en ambos lados de la ecuación? Comenzaremos como lo hicimos anteriormente: elegir un lado variable y un lado constante, y luego usar las Propiedades de igualdad de resta y suma para recopilar todas las variables en un lado y todas las constantes en el otro lado. Recuerde, lo que haga al lado izquierdo de la ecuación, también debe hacerlo al lado derecho.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resolver: 5x = 4x + 7.

 

Solución

 

Aquí la variable, x, está en ambos lados, pero las constantes aparecen solo en el lado derecho, así que hagamos que el lado derecho sea el lado «constante». Entonces el lado izquierdo será el lado «variable».

                                                                                                                                                                                                              
No queremos ninguna variable a la derecha, así que resta el 4x. $$ 5x textcolor {rojo} {- 4x} = 4x textcolor {rojo} {- 4x} + 7 $$
Simplifica. $$ x = 7 $$
Tenemos todas las variables de un lado y las constantes del otro. Hemos resuelto la ecuación.
Verificar: Sustituye 7 por x. $$ begin {split} 5x & = 4x + 7 \ 5 ( textcolor {red} {7}) & stackrel {?} {=} 4 ( textcolor {red} {7}) + 7 \ 35 & stackrel {?} {=} 28 + 7 \ 35 & = 35 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: 6n = 5n + 10.

 
     
Respuesta
     
     

n = 10

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Resolver: −6c = −7c + 1.

 
     
Respuesta
     
     

c = 1

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve: 5y – 8 = 7y.

 

Solución

 

La única constante, −8, está en el lado izquierdo de la ecuación y la variable, y, está en ambos lados. Dejemos la constante a la izquierda y recojamos las variables a la derecha.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Resta 5y de ambos lados. $$ 5y textcolor {red} {- 5y} -8 = 7y textcolor {red} {- 5y} $$
Simplifica. $$ – 8 = 2 años $$
Tenemos las variables a la derecha y las constantes a la izquierda. Divide ambos lados entre 2. $$ dfrac {-8} { textcolor {red} {2}} = dfrac {2y} { textcolor {red} {2}} $$
Simplifica. $$ – 4 = y $$
Reescribe con la variable de la izquierda. $$ y = -4 $$
Comprobar: Sea y = −4. $$ begin {split} 5y – 8 & = 7y \ 5 ( textcolor {red} {- 4}) -8 & stackrel {?} {=} 7 ( textcolor {red} {- 4}) \ -20 – 8 & stackrel {?} {=} -28 \ -28 & = -28 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: 3p – 14 = 5p.

 
     
Respuesta
     
     

p = -7

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Resolver: 8m + 9 = 5m.

 
     
Respuesta
     
     

m = -3

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resolver: 7x = – x + 24.

 

Solución

 

La única constante, 24, está a la derecha, así que deja que el lado izquierdo sea el lado variable.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Elimina −x del lado derecho agregando x a ambos lados. $$ 7x textcolor {rojo} {+ x} = -x textcolor {rojo} {+ x} + 24 $$
Simplifica. $$ 8x = 24 $$
Todas las variables están a la izquierda y las constantes están a la derecha. Divide ambos lados entre 8. $$ dfrac {8x} { textcolor {red} {8}} = dfrac {24} { textcolor {red} {8}} $$
Simplifica. $$ x = 3 $$
Verificar: Sustituir x = 3. $$ begin {split} 7x & = -x + 24 \ 7 ( textcolor {red} {3}) & stackrel {?} {=} – ( textcolor {red} {3}) + 24 \ 21 & = 21 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Resuelva: 12j = −4j + 32.

 
     
Respuesta
     
     

j = 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Resolver: 8h = −4h + 12.

 
     
Respuesta
     
     

h = 1

     
 
 
 

Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados

 

El siguiente ejemplo será el primero en tener constantes variables y en ambos lados de la ecuación. Como lo hicimos antes, recopilaremos los términos variables a un lado y las constantes al otro lado.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resolver: 7x + 5 = 6x + 2.

 

Solución

 

Comienza eligiendo qué lado será el lado variable y qué lado será el lado constante. Los términos variables son 7x y 6x. Como 7 es mayor que 6, haga que el lado izquierdo sea el lado variable y, por lo tanto, el lado derecho será el lado constante.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Recolecta los términos variables al lado izquierdo restando 6x de ambos lados. $$ 7x textcolor {rojo} {- 6x} + 5 = 6x textcolor {rojo} {- 6x} + 2 $$
Simplifica. $$ x + 5 = 2 $$
Ahora, recoge las constantes del lado derecho restando 5 de ambos lados. $$ x + 5 textcolor {rojo} {- 5} = 2 textcolor {rojo} {- 5} $$
Simplifica. $$ x = -3 $$
La ​​solución es x = −3.
Comprobar: Sea x = −3. $$ begin {split} 7x + 5 & = 6x + 2 \ 7 ( textcolor {red} {- 3}) + 5 & stackrel {?} {=} 6 ( textcolor {red} {-3}) + 2 \ -21 + 5 & stackrel {?} {=} -18 + 2 \ -16 & = -16 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Resolver: 12x + 8 = 6x + 2.

 
     
Respuesta
     
     

x = -1

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Resolver: 9y + 4 = 7y + 12.

 
     
Respuesta
     
     

y = 4

     
 
 
 

Resumiremos los pasos que tomamos para que pueda consultarlos fácilmente.

 
 
 

CÓMO: RESOLVER UNA ECUACIÓN CON VARIABLES Y CONSTANTES EN AMBOS LADOS

 

Paso 1. Elija un lado para ser el lado variable y luego el otro será el lado constante.

 

Paso 2. Recolecta los términos variables al lado variable, usando la propiedad de igualdad de suma o resta.

 

Paso 3. Recoge las constantes al otro lado, usando la propiedad de igualdad de suma o resta.

 

Paso 4. Haz el coeficiente de la variable 1, usando la propiedad de igualdad de multiplicación o división.

 

Paso 5. Comprueba la solución sustituyéndola en la ecuación original.

 
 

Es una buena idea hacer que el lado de la variable sea aquel en el que la variable tiene el coeficiente más grande. Esto generalmente hace que la aritmética sea más fácil.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resolver: 6n – 2 = −3n + 7.

 

Solución

 

Tenemos 6n a la izquierda y −3n a la derecha. Como 6> – 3, haga que el lado izquierdo sea el lado «variable».

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
No queremos variables en el lado derecho: agregue 3n a ambos lados para dejar solo constantes a la derecha. $$ 6n textcolor {rojo} {+ 3n} – 2 = -3n textcolor {rojo} {+ 3n} + 7 $$
Combina términos similares. $$ 9n – 2 = 7 $$
No queremos constantes en el lado izquierdo, por lo tanto, agregue 2 a ambos lados. $$ 9n – 2 textcolor {rojo} {+ 2} = 7 textcolor {rojo} {+ 2} $$
Simplifica. $$ 9n = 9 $$
El término variable está a la izquierda y el término constante está a la derecha. Para que el coeficiente de n sea uno, divida ambos lados entre 9. $$ dfrac {9n} { textcolor {red} {9}} = dfrac {9} { textcolor {red} {9}} $$
Simplifica. $$ n = 1 $$
Comprobar: sustituir 1 por n. $$ begin {split} 6n – 2 & = -3n + 7 \ 6 ( textcolor {red} {1}) – 2 & stackrel {?} {=} + 7 \ 4 & = 4 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Resolver: 8q – 5 = −4q + 7.

 
     
Respuesta
     
     

q = 1

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Resolver: 7n – 3 = n + 3.

 
     
Respuesta
     
     

n = 1

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resolver: 2a – 7 = 5a + 8.

 

Solución

 

Esta ecuación tiene 2a a la izquierda y 5a a la derecha. Como 5> 2, haga que el lado derecho sea el lado variable y el lado izquierdo el lado constante.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Resta 2a de ambos lados para eliminar el término variable de la izquierda. $$ 2a textcolor {rojo} {- 2a} – 7 = 5a textcolor {rojo} {- 2a} + 8 $$
Combina términos similares. $$ – 7 = 3a + 8 $$
Resta 8 de ambos lados para eliminar la constante de la derecha. $$ – 7 textcolor {rojo} {- 8} = 3a + 8 textcolor {rojo} {- 8} $$
Simplifica. $$ – 15 = 3a $$
Divide ambos lados entre 3 para hacer 1 el coeficiente de a. $$ dfrac {-15} { textcolor {red} {3}} = dfrac {3a} { textcolor {red} {3}} $$
Simplifica. $$ – 5 = a $$
Verificación: Sea a = −5. $$ begin {split} 2a – 7 & = 5a + 8 \ 2 ( textcolor {red} {- 5}) – 7 & stackrel {?} {=} 5 ( textcolor {red} {-5}) + 8 \ -10 – 7 & stackrel {?} {=} -25 + 8 \ -17 & = -17 ; marca de verificación end {split} $$
 

Tenga en cuenta que podríamos haber hecho del lado izquierdo el lado variable en lugar del lado derecho, pero habría dado lugar a un coeficiente negativo en el término variable. Si bien podríamos trabajar con lo negativo, hay menos posibilidades de error al trabajar con aspectos positivos. ¡La estrategia descrita anteriormente ayuda a evitar los aspectos negativos!

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Resolver: 2a – 2 = 6a + 18.

 
     
Respuesta
     
     

a = -5

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Resolver: 4k – 1 = 7k + 17.

 
     
Respuesta
     
     

k = -6

     
 
 
 

Para resolver una ecuación con fracciones, seguimos los mismos pasos para obtener la solución.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Resolver: ( dfrac {3} {2} ) x + 5 = ( dfrac {1} {2} ) x – 3.

 

Solución

 

Dado que ( dfrac {3} {2}> dfrac {1} {2} ), haga que el lado izquierdo sea el lado variable y el lado derecho el lado constante.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Resta ( dfrac {1} {2} ) x de ambos lados. $$ dfrac {3} {2} x textcolor {rojo} {- dfrac {1} {2} x} + 5 = dfrac {1} {2} x textcolor {rojo} { dfrac {1} {2} x} – 3 $$
Combina términos similares. $$ x + 5 = -3 $$
Resta 5 de ambos lados. $$ x + 5 textcolor {rojo} {- 5} = -3 textcolor {rojo} {- 5} $$
Simplifica. $$ x = -8 $$
Comprobar: Sea x = −8. $$ begin {split} dfrac {3} {2} x + 5 & = dfrac {1} {2} x – 3 \ dfrac {3} {2} ( textcolor {red} {-8}) + 5 & stackrel {?} {=} Dfrac {1} {2} ( textcolor {red} {- 8}) – 3 \ -12 + 5 & stackrel {?} { =} -4 – 3 \ -7 & = -7 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Resolver: ( dfrac {7} {8} ) x – 12 = (- dfrac {1} {8} ) x – 2.

 
     
Respuesta
     
     

x = 10

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Resuelve: ( dfrac {7} {6} ) y + 11 = ( dfrac {1} {6} ) y + 8.

 
     
Respuesta
     
     

y = -3

     
 
 
 

También seguimos los mismos pasos cuando la ecuación tiene decimales.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Resolver: 3.4x + 4 = 1.6x – 5.

 

Solución

 

Desde 3.4> 1.6, haga que el lado izquierdo sea el lado variable y el lado derecho el lado constante.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Reste 1.6x de ambos lados. $$ 3.4x textcolor {rojo} {- 1.6x} + 4 = 1.6x textcolor {rojo} {- 1.6x} – 5 $$
Combina términos similares. $$ 1,8x + 4 = -5 $$
Resta 4 de ambos lados. $$ 1.8x + 4 textcolor {rojo} {- 4} = -5 textcolor {rojo} {- 4} $$
Simplifica. $$ 1,8x = -9 $$
Use la propiedad de división de la igualdad. $$ dfrac {1.8x} { textcolor {red} {1.8}} = dfrac {-9} { textcolor {red} {1.8}} $$
Simplifica. $$ x = -5 $$
Comprobar: Sea x = −5. $$ begin {split} 3.4x + 4 & = 1.6x – 5 \ 3.4 ( textcolor {red} {- 5}) + 4 & stackrel {?} {=} 1.6 ( textcolor { rojo} {- 5}) – 5 \ -17 + 4 & stackrel {?} {=} -8 – 5 \ -13 & = -13 ; marca de verificación end {split} $$
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

Resolver: 2.8x + 12 = −1.4x – 9.

 
     
Respuesta
     
     

x = -5

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

Resolver: 3.6y + 8 = 1.2y – 4.

 
     
Respuesta
     
     

y = -5

     
 
 
 
 
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