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las matematicas

8.4: Simplificar exponentes racionales

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Simplifique las expresiones con (a ^ { frac {1} {n}} )

 

Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.

 

La propiedad de potencia para exponentes dice que ( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} ) cuando (m ) y (n ) son números enteros Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

 

Supongamos que queremos encontrar un número (p ) tal que ( left (8 ^ {p} right) ^ {3} = 8 ). Usaremos la propiedad de potencia de los exponentes para encontrar el valor de (p ).

 

( left (8 ^ {p} right) ^ {3} = 8 )

 

Multiplica los exponentes de la izquierda.

 

(8 ^ {3p} = 8 )

 

Escribe el exponente (1 ) a la derecha.

 

(8 ^ {3p} = 8 ^ {1} )

 

Dado que las bases son las mismas, los exponentes deben ser iguales.

 

(3p = 1 )

 

Resuelve para (p ).

 

(p = frac {1} {3} )

 

Entonces ( left (8 ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = 8 ). Pero también sabemos (( sqrt [3] {8}) ^ {3} = 8 ). Entonces debe ser que (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} ).

 

Esta misma lógica se puede usar para cualquier exponente entero positivo (n ) para mostrar que (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

 
 

Definición ( PageIndex {1} ): Exponente racional (a ^ { frac {1} {n}} )

 

Si ( sqrt [n] {a} ) es un número real y (n geq 2 ), entonces

 

(a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )

 
 

El denominador del exponente racional es el índice del radical.

 

Habrá momentos en que trabajar con expresiones será más fácil si usa exponentes racionales y tiempos en que será más fácil si usa radicales. En los primeros ejemplos, practicará la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Escribe como una expresión radical:

 
         
  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (y ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (z ^ { frac {1} {4}} )
  6.  
 

Solución :

 

Queremos escribir cada expresión en la forma ( sqrt [n] {a} ).

 

a.

 

(x ^ { frac {1} {2}} )

 

El denominador del exponente racional es (2 ), por lo que el índice del radical es (2 ). No mostramos el índice cuando es (2 ).

 

( sqrt {x} )

 

b.

 

(y ^ { frac {1} {3}} )

 

El denominador del exponente es (3 ), entonces el índice es (3 ).

 

( sqrt [3] {y} )

 

c.

 

(z ^ { frac {1} {4}} )

 

El denominador del exponente es \ (4 ), por lo que el índice es (4 ).

 

( sqrt [4] {z} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escribe como una expresión radical:

 
         
  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (m ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (r ^ { frac {1} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( sqrt {t} )
  2.          
  3. ( sqrt [3] {m} )
  4.          
  5. ( sqrt [4] {r} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escribe como una expresión radical:

 
         
  1. (b ^ { frac {1} {6}} )
  2.      
  3. (z ^ { frac {1} {5}} )
  4.      
  5. (p ^ { frac {1} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( sqrt [6] {b} )
  2.          
  3. ( sqrt [5] {z} )
  4.          
  5. ( sqrt [4] {p} )
  6.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, escribiremos cada radical usando un exponente racional. Es importante usar paréntesis alrededor de toda la expresión en el radicando, ya que toda la expresión se eleva al poder racional.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {5y} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {4 x} )
  4.      
  5. (3 sqrt [4] {5 z} )
  6.  
 

Solución :

 

Queremos escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {1} {n}} )

 

a.

 

( sqrt {5y} )

 

No se muestra ningún índice, por lo que es (2 ).

 

El denominador del exponente será (2 ).

 

Ponga paréntesis alrededor de toda la expresión (5y ).

 

((5 años) ^ { frac {1} {2}} )

 

b.

 

( sqrt [3] {4 x} )

 

El índice es (3 ), por lo que el denominador del exponente es (3 ). Incluya paréntesis ((4x) ).

 

((4 x) ^ { frac {1} {3}} )

 

c.

 

(3 sqrt [4] {5 z} )

 

El índice es (4 ), por lo que el denominador del exponente es (4 ). Ponga paréntesis solo alrededor de (5z ) ya que 3 no está bajo el signo radical.

 

(3 (5 z) ^ { frac {1} {4}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {10m} )
  2.      
  3. ( sqrt [5] {3 n} )
  4.      
  5. (3 sqrt [4] {6 y} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ((10 m) ^ { frac {1} {2}} )
  2.          
  3. ((3 n) ^ { frac {1} {5}} )
  4.          
  5. (3 (6 años) ^ { frac {1} {4}} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt [7] {3 k} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {5 j} )
  4.      
  5. (8 sqrt [3] {2 a} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ((3 k) ^ { frac {1} {7}} )
  2.          
  3. ((5 j) ^ { frac {1} {4}} )
  4.          
  5. (8 (2 a) ^ { frac {1} {3}} )
  6.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, puede que le resulte más fácil simplificar las expresiones si las reescribe primero como radicales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (256 ^ { frac {1} {4}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

(25 ^ { frac {1} {2}} )

 

Reescribe como una raíz cuadrada.

 

( sqrt {25} )

 

Simplificar.

 

(5 )

 

b.

 

(64 ^ { frac {1} {3}} )

 

Reescribe como una raíz cúbica.

 

( sqrt [3] {64} )

 

Reconocer (64 ) es un cubo perfecto.

 

( sqrt [3] {4 ^ {3}} )

 

Simplificar.

 

(4 )

 

c.

 

(256 ^ { frac {1} {4}} )

 

Reescribe como una cuarta raíz.

 

( sqrt [4] {256} )

 

Reconocer (256 ) es una cuarta potencia perfecta.

 

( sqrt [4] {4 ^ {4}} )

 

Simplificar.

 

(4 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (16 ^ { frac {1} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6 )
  2.          
  3. (2 )
  4.          
  5. (2 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
  5. (81 ^ { frac {1} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (10 ​​)
  2.          
  3. (3 )
  4.          
  5. (3 )
  6.      
     
 
 
 

Tenga cuidado con la colocación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Necesitaremos usar la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) en un caso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2.      
  3. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  4.      
  5. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

((- 16) ^ { frac {1} {4}} )

 

Reescribe como una cuarta raíz.

 

( sqrt [4] {- 16} )

 

( sqrt [4] {(- 2) ^ {4}} )

 

Simplificar.

 

Sin solución real

 

b.

 

(- 16 ^ { frac {1} {4}} )

 

El exponente solo se aplica a (16 ). Reescribe como una cuarta raíz.

 

(- sqrt [4] {16} )

 

Reescribir (16 ) como (2 ^ {4} )

 

(- sqrt [4] {2 ^ {4}} )

 

Simplificar.

 

(- 2 )

 

c.

 

((16) ^ {- frac {1} {4}} )

 

Reescribe usando la propiedad (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

 

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )

 

Reescribe como una cuarta raíz.

 

( frac {1} { sqrt [4] {16}} )

 

Reescribe (16 ) como (2 ^ {4} ).

 

( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ {4}}} )

 

Simplificar.

 

( frac {1} {2} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 64) ^ {- frac {1} {2}} )
  2.      
  3. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  4.      
  5. ((64) ^ {- frac {1} {2}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. No hay una solución real
  2.          
  3. (- 8 )
  4.          
  5. ( frac {1} {8} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2.      
  3. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  4.      
  5. ((256) ^ {- frac {1} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. No hay una solución real
  2.          
  3. (- 4 )
  4.          
  5. ( frac {1} {4} )
  6.      
     
 
 
 

Simplifique las expresiones con (a ^ { frac {m} {n}} )

 

Podemos ver (a ^ { frac {m} {n}} ) de dos maneras. Recuerde que la propiedad de potencia nos dice que multipliquemos los exponentes y así ( left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} ) y ( left (a ^ {m} derecha) ^ { frac {1} {n}} ) ambos iguales (a ^ { frac {m} {n}} ). Si escribimos estas expresiones en forma radical, obtenemos

 

(a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ { frac {1} {n}} right) ^ {m} = ( sqrt [n] {a} ) ^ {m} quad text {y} quad a ^ { frac {m} {n}} = left (a ^ {m} right) ^ {^ { frac {1} {n} }} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

 

Esto nos lleva a la siguiente definición.

 
 

Definición ( PageIndex {2} ): exponente racional (a ^ { frac {m} {n}} )

 

Para cualquier número entero positivo (m ) y (n ),

 

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} quad text {y} quad a ^ { frac {m} { n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} )

 
 

¿Qué forma utilizamos para simplificar una expresión? Usualmente tomamos la raíz primero, de esa manera mantenemos los números en el radio y más pequeños, antes de elevarlo a la potencia indicada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {y ^ {3}} )
  2.      
  3. (( sqrt [3] {2 x}) ^ {4} )
  4.      
  5. ( sqrt { left ( frac {3 a} {4 b} right) ^ {3}} )
  6.  
 

Solución :

 

Queremos usar (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ {m}} ) para escribir cada radical en la forma (a ^ { frac {m} {n}} )

 

a.

 
.  
Figura 8.3.1
 
 

b.

 
.  
Figura 8.3.2
 
 

c.

 
.  
Figura 8.3.3
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt {x ^ {5}} )
  2.      
  3. (( sqrt [4] {3 y}) ^ {3} )
  4.      
  5. ( sqrt { left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ {5}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2.          
  3. ((3 años) ^ { frac {3} {4}} )
  4.          
  5. ( left ( frac {2 m} {3 n} right) ^ { frac {5} {2}} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Escribe con un exponente racional:

 
         
  1. ( sqrt [5] {a ^ {2}} )
  2.      
  3. (( sqrt [3] {5 a b}) ^ {5} )
  4.      
  5. ( sqrt { left ( frac {7 x y} {z} right) ^ {3}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2.          
  3. ((5 a b) ^ { frac {5} {3}} )
  4.          
  5. ( left ( frac {7 x y} {z} right) ^ { frac {3} {2}} )
  6.      
     
 
 
 

Recuerde que (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ). El signo negativo en el exponente no cambia el signo de la expresión.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  2.      
  3. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
  6.  
 

Solución :

 

Reescribiremos la expresión como radical primero usando la definición, (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ {m} ). Esta forma nos permite tomar la raíz primero y así mantenemos los números en el radio y más pequeños que si usáramos la otra forma.

 

a.

 

(125 ^ { frac {2} {3}} )

 

El poder del radical es el numerador del exponente, (2 ). El índice del radical es el denominador del exponente, (3 ).

 

(( sqrt [3] {125}) ^ {2} )

 

Simplificar.

 

((5) ^ {2} )

 

(25 )

 

b. Reescribiremos cada expresión primero usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ) y luego cambiaremos a forma radical.

 

(16 ^ {- frac {3} {2}} )

 

Reescribe usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

 

( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}})

 

Cambio a forma radical. El poder del radical es el numerador del exponente, (3 ). El índice es el denominador del exponente, (2 ).

 

( frac {1} {( sqrt {16}) ^ {3}} )

 

Simplificar.

 

( frac {1} {4 ^ {3}} )

 

( frac {1} {64} )

 

c.

 

(32 ^ {- frac {2} {5}} )

 

Reescribe usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} )

 

( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}})

 

Cambio a forma radical.

 

( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ {2}} )

 

Reescribe el radicando como una potencia.

 

( frac {1} { left ( sqrt [5] {2 ^ {5}} right) ^ {2}} )

 

Simplificar.

 

( frac {1} {2 ^ {2}} )

 

( frac {1} {4} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  2.      
  3. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. (16 ^ {- frac {3} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (9 )
  2.          
  3. ( frac {1} {729} )
  4.          
  5. ( frac {1} {8} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  4.      
  5. (625 ^ {- frac {3} {4}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (8 )
  2.          
  3. ( frac {1} {9} )
  4.          
  5. ( frac {1} {125} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

(- 25 ^ { frac {3} {2}} )

 

Reescribir en forma radical.

 

(- ( sqrt {25}) ^ {3} )

 

Simplifica el radical.

 

(- (5) ^ {3} )

 

Simplificar.

 

(- 125 )

 

b.

 

(- 25 ^ {- frac {3} {2}} )

 

Reescribe usando (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}} ).

 

(- left ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}} right) )

 

Reescribir en forma radical.

 

(- left ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ {3}} right) )

 

Simplifica el radical.

 

(- left ( frac {1} {(5) ^ {3}} right) )

 

Simplificar.

 

(- frac {1} {125} )

 

c.

 

((- 25) ^ { frac {3} {2}} )

 

Reescribir en forma radical.

 

(( sqrt {-25}) ^ {3} )

 

No hay un número real cuya raíz cuadrada sea (- 25 ).

 

No es un número real.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 64 )
  2.          
  3. (- frac {1} {64} )
  4.          
  5. No es un número real
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  4.      
  5. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 729 )
  2.          
  3. (- frac {1} {729} )
  4.          
  5. No es un número real
  6.      
     
 
 
 

Usa las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

 

Las mismas propiedades de exponentes que ya hemos usado también se aplican a exponentes racionales. Enumeraremos las Propiedades de los exponentes aquí para tenerlas como referencia a medida que simplificamos las expresiones.

 

Propiedades de los exponentes

 

Si (a ) y (b ) son números reales y (m ) y (n ) son números racionales, entonces

 

Propiedad del producto

 

(a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} )

 

Propiedad de energía

 

( left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} )

 

Producto a una potencia

 

((a b) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} )

 

Propiedad del cociente

 

( frac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, a neq 0 )

 

Definición de exponente cero

 

(a ^ {0} = 1, a neq 0 )

 

Cociente a una propiedad de potencia

 

( left ( frac {a} {b} right) ^ {m} = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

 

Propiedad del exponente negativo

 

(a ^ {- n} = frac {1} {a ^ {n}}, a neq 0 )

 

Aplicaremos estas propiedades en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )
  2.      
  3. ( left (z ^ {9} right) ^ { frac {2} {3}} )
  4.      
  5. ( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )
  6.  
 

Solución

 

a. La propiedad del producto nos dice que cuando multiplicamos la misma base, agregamos los exponentes.

 

(x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {5} {6}} )

 

Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes.

 

(x ^ { frac {1} {2} + frac {5} {6}} )

 

Agrega las fracciones.

 

(x ^ { frac {8} {6}} )

 

Simplifica el exponente.

 

(x ^ { frac {4} {3}} )

 

b. La propiedad de potencia nos dice que cuando elevamos una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

 

( left (z ^ {9} right) ^ { frac {2} {3}} )

 

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

 

(z ^ {9 cdot frac {2} {3}} )

 

Simplificar.

 

(z ^ {6} )

 

c. La propiedad del cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

 

( frac {x ^ { frac {1} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )

 

Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.

 

( frac {1} {x ^ { frac {5} {3} – frac {1} {3}}} )

 

Simplificar.

 

( frac {1} {x ^ { frac {4} {3}}})

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (x ^ { frac {1} {6}} cdot x ^ { frac {4} {3}} )
  2.      
  3. ( left (x ^ {6} right) ^ { frac {4} {3}} )
  4.      
  5. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x ^ { frac {3} {2}} )
  2.          
  3. (x ^ {8} )
  4.          
  5. ( frac {1} {x} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (y ^ { frac {3} {4}} cdot y ^ { frac {5} {8}} )
  2.      
  3. ( left (m ^ {9} right) ^ { frac {2} {9}} )
  4.      
  5. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (y ^ { frac {11} {8}} )
  2.          
  3. (m ^ {2} )
  4.          
  5. ( frac {1} {d} )
  6.      
     
 
 
 

A veces necesitamos usar más de una propiedad. En el siguiente ejemplo, utilizaremos tanto el Producto como una Propiedad de Energía y luego la Propiedad de Energía .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left (27 u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )
  2.      
  3. ( left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} ) [19459013 ]  
 

Solución :

 

a.

 

( left (27 u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )

 

Primero usamos el Producto para una Propiedad de Energía.

 

((27) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} )

 

Reescribe (27 ) como una potencia de (3 ).

 

( left (3 ^ {3} right) ^ { frac {2} {3}} left (u ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac { 2} {3}} )

 

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

 

( left (3 ^ {2} right) left (u ^ { frac {1} {3}} right) )

 

Simplificar.

 

(9 u ^ { frac {1} {3}} )

 

b.

 

( left (m ^ { frac {2} {3}} n ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {3} {2}} ) [19459001 ]  

Primero usamos el Producto para una Propiedad de Energía.

 

( left (m ^ { frac {2} {3}} right) ^ { frac {3} {2}} left (n ^ { frac {1} {2}} derecha) ^ { frac {3} {2}} )

 

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

 

(m n ^ { frac {3} {4}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left (32 x ^ { frac {1} {3}} right) ^ { frac {3} {5}} )
  2.      
  3. ( left (x ^ { frac {3} {4}} y ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} ) [19459013 ]  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (8 x ^ { frac {1} {5}} )
  2.          
  3. (x ^ { frac {1} {2}} y ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left (81 n ^ { frac {2} {5}} right) ^ { frac {3} {2}} )
  2.      
  3. ( left (a ^ { frac {3} {2}} b ^ { frac {1} {2}} right) ^ { frac {4} {3}} ) [19459013 ]  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (729 n ^ { frac {3} {5}} )
  2.          
  3. (a ^ {2} b ^ { frac {2} {3}} )
  4.      
     
 
 
 

Utilizaremos tanto la Propiedad del producto como la Cociente de la propiedad en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}} } )
  2.      
  3. ( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3 }} y ^ { frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( frac {x ^ { frac {3} {4}} cdot x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}} } )

 

Use la propiedad del producto en el numerador, agregue los exponentes.

 

( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )

 

Usa la propiedad del cociente, resta los exponentes.

 

(x ^ { frac {8} {4}} )

 

Simplificar.

 

(x ^ {2} )

 

b.

 

( left ( frac {16 x ^ { frac {4} {3}} y ^ {- frac {5} {6}}} {x ^ {- frac {2} {3 }} y ^ { frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )

 

Usa la propiedad del cociente, resta los exponentes.

 

( left ( frac {16 x ^ { frac {6} {3}}} {y ^ { frac {6} {6}}} right) ^ { frac {1} { 2}} )

 

Simplificar.

 

( left ( frac {16 x ^ {2}} {y} right) ^ { frac {1} {2}} )

 

Usa el producto para una propiedad de potencia, multiplica los exponentes.

 

( frac {4 x} {y ^ { frac {1} {2}}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} cdot m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}} } )
  2.      
  3. ( left ( frac {25 m ^ { frac {1} {6}} n ^ { frac {11} {6}}} {m ^ { frac {2} {3}} n ^ {- frac {1} {6}}} right) ^ { frac {1} {2}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (m ^ {2} )
  2.          
  3. ( frac {5 n} {m ^ { frac {1} {4}}})
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} cdot u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}} } )
  2.      
  3. ( left ( frac {27 x ^ { frac {4} {5}} y ^ { frac {1} {6}}} {x ^ { frac {1} {5}} y ^ {- frac {5} {6}}} right) ^ { frac {1} {3}} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (u ^ {3} )
  2.          
  3. (3 x ^ { frac {1} {5}} y ^ { frac {1} {3}} )
  4.      
     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con simplificación de exponentes racionales.

 
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