las matematicas

8.4: Sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos

8.4: Sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos

Encuentra el mínimo común denominador de expresiones racionales

 

Cuando sumamos o restamos expresiones racionales con denominadores distintos, necesitaremos obtener denominadores comunes. Si revisamos el procedimiento que utilizamos con fracciones numéricas, sabremos qué hacer con las expresiones racionales.

 

Veamos el ejemplo ( frac {7} {12} + frac {5} {18} ) de Fundamentos . Como los denominadores no son iguales, el primer paso fue encontrar el mínimo común denominador (LCD). Recuerde, la pantalla LCD es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Es el número más pequeño que podemos usar como denominador común.

 

Para encontrar el LCD de 12 y 18, factorizamos cada número en primos, alineando cualquier primo común en columnas. Luego, “bajamos” una prima de cada columna. Finalmente, multiplicamos los factores para encontrar la pantalla LCD.

 

12 = 2 · 2 · 3

 

18 = 2 · 3 · 3

 

LCD = 2 · 2 · 3 · 3

 

LCD = 36

 

Hacemos lo mismo para las expresiones racionales. Sin embargo, dejamos la pantalla LCD en forma factorizada.

 
 

Definición: ENCUENTRE EL MENOR DENOMINADOR COMÚN DE EXPRESIONES RACIONALES.

 
         
  1. Factoriza cada expresión completamente.
    2.      
  2. Enumera los factores de cada expresión. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible.
    3.      
  3. Baja las columnas.
    4.      
  4. Multiplica los factores.
    5.  
 

Recuerde, siempre excluimos valores que harían que el denominador sea cero. ¿Qué valores de xv debemos excluir en este próximo ejemplo?

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentre la pantalla LCD para ( frac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( frac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( frac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} )
Factoriza cada expresión completamente, alineando factores comunes. Baja las columnas. (x ^ 2−2x − 3 = (x − 3) (x + 1) )
(x ^ 2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3) )
Multiplica los factores. LCD = (x + 1) (x − 3) (x + 3)
La pantalla LCD es (x + 1) (x − 3) (x + 3).
     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentre la pantalla LCD para ( frac {2} {x ^ 2 − x − 12}, frac {1} {x ^ 2−16} )

 
     
Respuesta
     
     

(x − 4) (x + 4) (x + 3)

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre la pantalla LCD para ( frac {x} {x ^ 2 + 8x + 15}, frac {5} {x ^ 2 + 9x + 18} )

 
     
Respuesta
     
     

(x + 3) (x + 6) (x + 5)

     
 
 
 
 
 
 

Encontrar expresiones racionales equivalentes

 

Cuando agregamos fracciones numéricas, una vez que encontramos la pantalla LCD, reescribimos cada fracción como una fracción equivalente con la pantalla LCD.

 The above image shows how to find the LCD (least common denominator) when adding numerical fractions in the example seven-twelfths plus five-eighteenths. The image shows 7 times 3 divided by 12 times 3 plus 5 times 2 plus 18 times 2. Below this is 21 divided by 36 plus 10 divided by 36. The image next to this shows that 12 equals 2 times 2 times 3. Below this shows 18 equals 2 times 3 times 3. A line is drawn. Below it is LCD equals 2 times 2 times 3 times 3. The line below this shows that the LCD equals 36.  

Haremos lo mismo para las expresiones racionales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Reescribe como expresiones racionales equivalentes con denominador (x + 1) (x − 3) (x + 3): ( frac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( frac { 3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Reescribe como expresiones racionales equivalentes con denominador (x + 3) (x − 4) (x + 4):
( frac {2} {x ^ 2 − x − 12} ), ( frac {1} {x ^ 2−16} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2x + 8} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} ),
( frac {x + 3} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Reescribe como expresiones racionales equivalentes con denominador (x + 3) (x + 5) (x + 6)
( frac {x} {x ^ 2 + 8x + 15} ), ( frac {5} {x ^ 2 + 9x + 18} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x ^ 2 + 6x} {(x + 3) (x + 5) (x + 6)} ),
( frac {x + 3} {(x + 3) (x + 5) (x + 6)} )

     
 
 
 

Agregar expresiones racionales con diferentes denominadores

 

Ahora tenemos todos los pasos que necesitamos para agregar expresiones racionales con diferentes denominadores. Como hemos hecho anteriormente, haremos primero un ejemplo de sumar fracciones numéricas.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Agregue: ( frac {7} {12} + frac {5} {18} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Agregue: ( frac {11} {30} + frac {7} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {19} {20} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Agregue: ( frac {3} {8} + frac {9} {20} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {33} {40} )

     
 
 
 

Ahora agregaremos expresiones racionales cuyos denominadores son monomios.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Agregue: ( frac {5} {12x ^ {2} y} + frac {4} {21xy ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Agregue: ( frac {2} {15a ^ {2} b} + frac {5} {6ab ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {4b + 25a} {30a ^ {2} b ^ 2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Agregue: ( frac {5} {16c} + frac {3} {8cd ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5d ^ 2 + 6} {16cd ^ 2} )

     
 
 
 

Ahora estamos listos para abordar los denominadores polinomiales.

 

Cómo agregar expresiones racionales con diferentes denominadores

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Agregue: ( frac {3} {x − 3} + frac {2} {x − 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

The above image shows the steps to add fractions whose denominators are monomials for the example 5 divided by 12 x squared y plus 4 divided by 21 x y squared. Find the LCD of 12 x squared y and 21 x y squared. To the right of this expression is 12 x squared y equals 2 times 2 times 3 times x times x times y. Below that is 21 x y squared equals 3 times 7 times x times y times y. A line is drawn. Below that is LCD equals 2 times 2 times 3 times 7 times x times x times y times y. Below that is LCD equals 84 x squared y squared. Rewrite each rational expression as an equivalent fraction with the LCD. The original equation is shown. Below that is 5 times 7 y divided by 12 x squared y times 7 y plus 4 times 4 x divided by 21 x y squared times 4 x. Simplify to get 35 y divided by 84 x squared y squared plus 16 x divided by x squared y squared. Add the rational expressions 16 x plus 35 y divided by 84 x squared y squared. There are no factors common to the numeration and denominator. The fraction cannot be simplified. Step 2 is to add the rational expression. Then, add the numerators and place the sum over the common denominator to get 3 x minus 6 plus 2 x minus 6 divided by x minus 3 times x minus 2. Step 3 is to simplify, if possible. Because 5 x minus 12 cannot be factored, the answer is simplified to 5 x minus 12 divided by x minus 3 times x minus 2.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Agregue: ( frac {2} {x − 2} + frac {5} {x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7x − 4} {(x + 3) (x − 2)} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Agregue: ( frac {4} {m + 3} + frac {3} {m + 4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7m + 25} {(m + 3) (m + 4)} )

     
 
 
 
 
 

Los pasos a seguir para agregar expresiones racionales se resumen en el siguiente cuadro de procedimiento.

 
 

Definición: AGREGAR EXPRESIONES RACIONALES.

 
 
         
  1. Determine si las expresiones tienen un denominador común.
    Sí – vaya al paso 2.
    No – Reescriba cada expresión racional con la pantalla LCD.
    Encuentra la pantalla LCD.
    Vuelva a escribir cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la pantalla LCD.
    2.      
  2. Agrega las expresiones racionales.
    3.      
  3. Simplifica, si es posible.
    4.  
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {16} )

 

Agregue: ( frac {2a} {2ab + b ^ 2} + frac {3a} {4a ^ 2 − b ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Agregue: ( frac {5x} {xy − y ^ 2} + frac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x (5x + 7y)} {y (x − y) (x + y)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Agregue: ( frac {7} {2m + 6} + frac {4} {m ^ 2 + 4m + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7m + 15} {2 (m + 3) (m + 1)} )

     
 
 
 

¡Evita la tentación de simplificar demasiado pronto! En el ejemplo anterior, debemos dejar la primera expresión racional como ( frac {2a (2a − b)} {b (2a + b) (2a − b)} ) para poder agregarla a ( frac {3a · b} {(2a + b) (2a − b) · b} ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Agregue: ( frac {8} {x ^ 2−2x − 3} + frac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Agregue: ( frac {1} {m ^ 2 − m − 2} + frac {5m} {m ^ 2 + 3m + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5m ^ 2−9m + 2} {(m − 2) (m + 1) (m + 2)} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Agregue: ( frac {2n} {n ^ 2−3n − 10} + frac {6} {n ^ 2 + 5n + 6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2 (n2 + 6n − 15)} {(n + 2) (n − 5) (n + 3)} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Restar expresiones racionales con diferentes denominadores

 

El proceso que usamos para restar expresiones racionales con diferentes denominadores es el mismo que para la suma. Solo tenemos que tener mucho cuidado con los signos al restar los numeradores.

 
 

Cómo restar expresiones racionales con diferentes denominadores

 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Restar: ( frac {x} {x − 3} – frac {x − 2} {x + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

The above image has 3 columns. It shows the steps on how to subtract rational expressions with different denominators for x divided by x minus three minus x plus x minus 3. Step 1 is to Determine if the expressions have a common denominator. Yes – go to step 2. No – Rewrite each rational expression with the LCD. Find the LCD. Rewrite each rational expression as an equivalent rational expression with the LCD. In the above expression, the answer is no. Find the LCD of x minus 3, x plus 3. To the right of this is x – 3: x – 3. Below that is x – 2: x – 2. A line is drawn. Below that is written the LCD is x – 3 times x plus 3. Rewrite as x times x plus 3 divided by x minus 3 times x plus 3 minus x minus 2 times x minus 3 divided by x plus 3 times x minus 3. Keep the denominators factored! Factor to get x squared plus 3 x divided by x minus 3 times x plus 3 minus x squared minus 5 x plus 6 divided by x minus 3 times x plus 3. Step 2 is to subtract the rational expressions. Subtract the numerators and place the difference over the common denominator to get x 2 plus 3 x minus x squared minus 5 x plus 6 divided by x minus 3 times x plus 3. Then to x squared plus 3 x minus x squared plus 5 x minus 6 divided by x minus 3 times x plus 3. Be careful with the signs! Then to 8 x minus 6 divided by x minus 3 times x plus 3. Step 3 is to simplify, if possible. The numerator and denominator have no factors in common. The answer is simplified to 2 times 4 x minus 3 divided by x minus 3 times x plus 3.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Restar: ( frac {y} {y + 4} – frac {y − 2} {y − 5} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−7y + 8} {(y + 4) (y − 5)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Restar: ( frac {z + 3} {z + 2} – frac {z} {z + 3} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {4z + 9} {(z + 2) (z + 3)} )

     
 
 
 

Los pasos a seguir para restar expresiones racionales se enumeran a continuación.

 
 

Definición: EXTRACCIONES RACIONALES DE Sustrato.

 
         
  1. Determine si tienen un denominador común.
    Sí – vaya al paso 2.
    No – Reescriba cada expresión racional con la pantalla LCD.
    Encuentra la pantalla LCD.
    Vuelva a escribir cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la pantalla LCD.
    2.      
  2. Resta las expresiones racionales.
    3.      
  3. Simplifica, si es posible.
    4.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Restar: ( frac {8y} {y ^ 2−16} – frac {4} {y − 4} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Restar: ( frac {2x} {x ^ 2−4} – frac {1} {x + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {x − 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Restar: ( frac {3} {z + 3} – frac {6z} {z ^ 2−9} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−3} {z − 3} )

     
 
 
 

Hay muchos signos negativos en el siguiente ejemplo. ¡Ten mucho cuidado!

 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Restar: ( frac {−3n − 9} {n ^ 2 + n − 6} – frac {n + 3} {2 − n} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Restar: ( frac {3x − 1} {x ^ 2−5x − 6} – frac {2} {6 − x} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {x − 6} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Restar: ( frac {−2y − 2} {y ^ 2 + 2y − 8} – frac {y − 1} {2 − y} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {y + 3} {y + 4} )

     
 
 
 
 
 

Cuando una expresión no está en forma de fracción, podemos escribirla como una fracción con el denominador 1.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Restar: ( frac {5c + 4} {c − 2} −3 ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Restar: ( frac {2x + 1} {x − 7} −3 ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−x + 22} {x − 7} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Restar: ( frac {4y + 3} {2y − 1} −5 ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−2 (3y − 4)} {2y − 1} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Definición: AGREGAR O RESTAR EXPRESIONES RACIONALES.

 
         
  1. Determine si las expresiones tienen un denominador común.
    Sí – vaya al paso 2.
    No – Reescriba cada expresión racional con la pantalla LCD.
    Encuentra la pantalla LCD.
    Vuelva a escribir cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la pantalla LCD.
    2.      
  2. Suma o resta las expresiones racionales.
    3.      
  3. Simplifica, si es posible.
    4.  
 
 

Seguimos los mismos pasos que antes para encontrar la pantalla LCD cuando tenemos más de dos expresiones racionales. En el siguiente ejemplo, comenzaremos factorizando los tres denominadores para encontrar su LCD.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Simplifica: ( frac {2u} {u − 1} + frac {1} {u} – frac {2u − 1} {u ^ 2 − u} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Simplifique: ( frac {v} {v + 1} + frac {3} {v − 1} – frac {6} {v ^ 2−1} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {v + 3} {v + 1} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Agrega texto de ejercicios aquí. Simplifica: ( frac {3w} {w + 2} + frac {2} {w + 7} – frac {17w + 4} {w ^ 2 + 9w + 14} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3w} {w + 7} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Encuentra el mínimo común denominador de expresiones racionales      
               
    1. Factoriza cada expresión completamente.
      2.          
    2. Enumera los factores de cada expresión. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible.
      3.          
    3. Baja las columnas.
      4.          
    4. Multiplica los factores.
      5.      
         
    •      
  • Sumar o restar expresiones racionales      
               
    1. Determine si las expresiones tienen un denominador común.
      Sí – vaya al paso 2.
      No – Reescriba cada expresión racional con la pantalla LCD.          
                     
      • Encuentra la pantalla LCD.
        •              
      • Vuelva a escribir cada expresión racional como una expresión racional equivalente con la pantalla LCD.
        •          
               
      2.          
    2. Suma o resta las expresiones racionales.
      3.          
    3. Simplifica, si es posible.
      4.      
         
    •  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
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