Resolver ecuaciones usando una estrategia general
Cada una de las primeras secciones de este capítulo ha tratado de resolver una forma específica de una ecuación lineal. Es hora de diseñar una estrategia general que pueda usarse para resolver cualquier ecuación lineal. Llamamos a esto la estrategia general. Algunas ecuaciones no requerirán todos los pasos para resolver, pero muchas sí. Simplificar cada lado de la ecuación tanto como sea posible primero facilita el resto de los pasos.
CÓMO: USAR UNA ESTRATEGIA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES
Paso 1. Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Use la propiedad distributiva para eliminar cualquier paréntesis. Combina términos semejantes.
Paso 2. Recoge todos los términos variables a un lado de la ecuación. Use la propiedad de igualdad de suma o resta.
Paso 3. Recolecta todos los términos constantes al otro lado de la ecuación. Use la propiedad de igualdad de suma o resta.
Paso 4. Haz que el coeficiente del término variable sea igual a 1. Usa la propiedad de igualdad de multiplicación o división. Establezca la solución a la ecuación.
Paso 5. Verifique la solución. Sustituya la solución en la ecuación original para asegurarse de que el resultado sea una declaración verdadera.
Ejemplo ( PageIndex {11} ):
Resolver: 3 (x + 2) = 18.
Solución
| Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Usa la propiedad distributiva. | $$ 3x + 6 = 18 etiqueta {8.3.46} $$ |
| Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación: todas las x ya están en el lado izquierdo. | |
| Recoge términos constantes en el otro lado de la ecuación. Resta 6 de cada lado. | $$ 3x + 6 textcolor {rojo} {- 6} = 18 textcolor {rojo} {- 6} tag {8.3.47} $$ |
| Simplifica. | $$ 3x = 12 tag {8.3.48} $$ |
| Haz que el coeficiente del término variable sea igual a 1. Divide cada lado entre 3. | $$ dfrac {3x} { textcolor {red} {3}} = dfrac {12} { textcolor {red} {3}} tag {8.3.49} $$ |
| Simplifica. | $$ x = 4 tag {8.3.50} $$ |
| Verificación: Sea x = 4. | $$ begin {split} 3 (x + 2) & = 18 \ 3 ( textcolor {red} {4} + 2 & stackrel {?} {=} 18 \ 3 (6) & stackrel {?} {=} 18 \ 18 & stackrel {?} {=} 18 ; checkmark end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {21} ):
Resolver: 5 (x + 3) = 35.
- Respuesta
-
x = 4
Ejercicio ( PageIndex {22} ):
Resolver: 6 (y – 4) = −18.
- Respuesta
-
y = 1
Ejemplo ( PageIndex {12} ):
Resolver: – (x + 5) = 7.
Solución
| Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible mediante la distribución. El único término x está en el lado izquierdo, por lo que todos los términos variables están en el lado izquierdo de la ecuación. | $$ – x – 5 = 7 etiqueta {8.3.51} $$ |
| Agregue 5 a ambos lados para obtener todos los términos constantes en el lado derecho de la ecuación. | $$ – x – 5 textcolor {rojo} {+ 5} = 7 textcolor {rojo} {+ 5} tag {8.3.52} $$ |
| Simplifica. | $$ – x = 12 tag {8.3.53} $$ |
| Haga que el coeficiente del término variable sea igual a 1 multiplicando ambos lados por -1. | $$ textcolor {red} {- 1} (-x) = textcolor {red} {- 1} (12) tag {8.3.54} $$ |
| Simplifica. | $$ x = -12 tag {8.3.55} $$ |
| Comprobar: Sea x = −12. | $$ begin {split} – (x + 5) & = 7 \ – ( textcolor {red} {- 12} + 5) & stackrel {?} {=} 7 \ – (- 7) & stackrel {?} {=} 7 \ 7 & = 7 ; marca de verificación end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {23} ):
Resolver: – (y + 8) = −2.
- Respuesta
-
y = -6
Ejercicio ( PageIndex {24} ):
Resolver: – (z + 4) = −12.
- Respuesta
-
z = 8
Ejemplo ( PageIndex {13} ):
Resolver: 4 (x – 2) + 5 = −3.
Solución
| Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible. Distribuir. | $$ 4x – 8 + 5 = -3 tag {8.3.56} $$ |
| Combina términos similares. | $$ 4x – 3 = -3 tag {8.3.57} $$ |
| La única x está en el lado izquierdo, por lo que todos los términos variables están en un lado de la ecuación. | |
| Suma 3 a ambos lados para obtener todos los términos constantes en el otro lado de la ecuación. | $$ 4x – 3 textcolor {rojo} {+ 3} = -3 textcolor {rojo} {+ 3} tag {8.3.58} $$ |
| Simplifica. | $$ 4x = 0 tag {8.3.59} $$ |
| Haga que el coeficiente del término variable sea igual a 1 dividiendo ambos lados entre 4. | $$ dfrac {4x} { textcolor {red} {4}} = dfrac {0} { textcolor {red} {4}} tag {8.3.60} $$ |
| Simplifica. | $$ x = 0 tag {8.3.61} $$ |
| Verificación: Sea x = 0. | $$ begin {split} 4 (x – 2) + 5 & = -3 \ 4 ( textcolor {red} {0} – 2) + 5 & stackrel {?} {=} -3 \ 4 (-2) + 5 & stackrel {?} {=} -3 \ -8 + 5 & stackrel {?} {=} -3 \ -3 & = -3 ; marca de verificación end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {25} ):
Resolver: 2 (a – 4) + 3 = −1.
- Respuesta
-
a = 2
Ejercicio ( PageIndex {26} ):
Resolver: 7 (n – 3) – 8 = −15.
- Respuesta
-
n = 2
Ejemplo ( PageIndex {14} ):
Resolver: 8 – 2 (3y + 5) = 0.
Solución
Tenga cuidado al distribuir lo negativo.
| Simplificar: use la propiedad distributiva. | $$ 8 – 6y – 10 = 0 tag {8.3.62} $$ |
| Combina términos similares. | $$ – 6 años – 2 = 0 etiqueta {8.3.63} $$ |
| Agregue 2 a ambos lados para recolectar constantes a la derecha. | $$ – 6y – 2 textcolor {red} {+ 2} = 0 textcolor {red} {+ 2} tag {8.3.64} $$ |
| Simplifica. | $$ y = – dfrac {1} {3} tag {8.3.65} $$ |
| Divide ambos lados entre −6. | $$ dfrac {-6y} { textcolor {red} {- 6}} = dfrac {2} { textcolor {red} {- 6}} tag {8.3.66} $$ [19459020 ] |
| Simplifica. | $$ y = – dfrac {1} {3} tag {8.3.67} $$ |
| Comprobar: Sea y = (- dfrac {1} {3} ). | $$ begin {split} 8 – 2 (3y + 5) & = 0 \ 8 – 2 Bigg [3 left ( textcolor {red} {- dfrac {1} {3}} derecha) + 5 Bigg] & = 0 \ 8 – 2 (-1 + 5) & stackrel {?} {=} 0 \ 8 – 2 (4) & stackrel {?} {=} 0 8 – 8 & stackrel {?} {=} 0 \ 0 & = 0; marca de verificación end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {27} ):
Resolver: 12 – 3 (4j + 3) = −17.
- Respuesta
-
(j = frac {5} {3} )
Ejercicio ( PageIndex {28} ):
Resolver: −6-8 (k – 2) = −10.
- Respuesta
-
(k = frac {5} {2} )
Ejemplo ( PageIndex {15} ):
Resolver: 3 (x – 2) – 5 = 4 (2x + 1) + 5.
Solución
| Distribuir. | $$ 3x – 6 – 5 = 8x + 4 + 5 tag {8.3.68} $$ |
| Combina términos similares. | $$ 3x – 11 = 8x + 9 tag {8.3.69} $$ |
| Resta 3x para obtener todas las variables a la derecha desde 8> 3. | $$ 3x textcolor {rojo} {- 3x} – 11 = 8x textcolor {rojo} {- 3x} + 9 tag {8.3.70} $$ |
| Simplifica. | $$ – 11 = 5x + 9 tag {8.3.71} $$ |
| Resta 9 para obtener las constantes a la izquierda. | $$ – 11 textcolor {rojo} {- 9} = 5x + 9 textcolor {rojo} {- 9} tag {8.3.72} $$ |
| Simplifica. | $$ – 20 = 5x tag {8.3.73} $$ |
| Dividir entre 5. | $$ dfrac {-20} { textcolor {red} {5}} = dfrac {5x} { textcolor {red} {5}} tag {8.3.74} $$ |
| Simplifica. | $$ – 4 = x tag {8.3.75} $$ |
| Verificar: Sustituir: −4 = x. | $$ begin {split} 3 (x – 2) – 5 & = 4 (2x + 1) + 5 \ 3 ( textcolor {red} {- 4} – 2) – 5 & stackrel { ?} {=} 4 [2 ( textcolor {rojo} {- 4}) + 1] + 5 \ 3 (-6) – 5 & stackrel {?} {=} 4 (-8 + 1) + 5 \ -18 – 5 & stackrel {?} {=} 4 (-7) + 5 \ -23 & stackrel {?} {=} -28 + 5 \ -23 & = -23 ; marca de verificación end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {29} ):
Resolver: 6 (p – 3) – 7 = 5 (4p + 3) – 12.
- Respuesta
-
p = -2
Ejercicio ( PageIndex {30} ):
Resolver: 8 (q + 1) – 5 = 3 (2q – 4) – 1.
- Respuesta
-
q = -8
Ejemplo ( PageIndex {16} ):
Resolver: ( dfrac {1} {2} ) (6x – 2) = 5 – x.
Solución
| Distribuir. | $$ 3x – 1 = 5 – x tag {8.3.76} $$ |
| Agrega x para obtener todas las variables de la izquierda. | $$ 3x – 1 textcolor {rojo} {+ x} = 5 – x textcolor {rojo} {+ x} tag {8.3.77} $$ |
| Simplifica. | $$ 4x – 1 = 5 tag {8.3.78} $$ |
| Agrega 1 para obtener constantes a la derecha. | $$ 4x – 1 textcolor {red} {+ 1} = 5 textcolor {red} {+ 1} tag {8.3.79} $$ |
| Simplifica. | $$ 4x = 6 tag {8.3.80} $$ |
| Dividir entre 4. | $$ dfrac {4x} { textcolor {red} {4}} = dfrac {6} { textcolor {red} {4}} tag {8.3.81} $$ |
| Simplifica. | $$ x = dfrac {3} {2} tag {8.3.82} $$ |
| Verificación: Sea x = ( dfrac {3} {2} ). | $$ begin {split} dfrac {1} {2} (6x – 2) & = 5 – x \ dfrac {1} {2} left (6 cdot textcolor {red} { dfrac {3} {2}} – 2 right) & stackrel {?} {=} 5 – textcolor {red} { dfrac {3} {2}} \ dfrac {1} {2} (9 – 2) & stackrel {?} {=} Dfrac {10} {2} – dfrac {3} {2} \ dfrac {1} {2} (7) & stackrel {?} {=} dfrac {7} {2} \ dfrac {7} {2} & = dfrac {7} {2} ; marca de verificación end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {31} ):
Resuelve: ( dfrac {1} {3} ) (6u + 3) = 7 – u.
- Respuesta
-
u = 2
Ejercicio ( PageIndex {32} ):
Resolver: ( dfrac {2} {3} ) (9x – 12) = 8 + 2x.
- Respuesta
-
x = 4
En muchas aplicaciones, tendremos que resolver ecuaciones con decimales. La misma estrategia general funcionará para estas ecuaciones.
Ejemplo ( PageIndex {17} ):
Resuelva: 0.24 (100x + 5) = 0.4 (30x + 15).
Solución
| Distribuir. | $$ 24x + 1.2 = 12x + 6 tag {8.3.83} $$ |
| Resta 12x para obtener todas las x s a la izquierda. | $$ 24x + 1.2 textcolor {rojo} {- 12x} = 12x + 6 textcolor {rojo} {- 12x} tag {8.3.84} $$ |
| Simplifica. | $$ 12x + 1.2 = 6 tag {8.3.85} $$ |
| Reste 1.2 para obtener las constantes a la derecha. | $$ 12x + 1.2 textcolor {rojo} {- 1.2} = 6 textcolor {rojo} {- 1.2} tag {8.3.86} $$ |
| Simplifica. | $$ 12x = 4.8 tag {8.3.87} $$ |
| Divide. | $$ dfrac {12x} { textcolor {red} {12}} = dfrac {4.8} { textcolor {red} {12}} tag {8.3.88} $$ |
| Simplifica. | $$ x = 0.4 tag {8.3.89} $$ |
| Verificación: Sea x = 0.4. | $$ begin {split} 0.24 (100x + 5) & = 0.4 (30x + 15) \ 0.24 [100 ( textcolor {red} {0.4}) + 5] & stackrel {?} {= } 0.4 [30 ( textcolor {red} {0.4}) + 15] \ 0.24 (40 + 5) & stackrel {?} {=} 0.4 (12 + 15) \ 0.24 (45) & stackrel { ?} {=} 0.4 (27) \ 10.8 & = 10.8 ; marca de verificación end {split} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {33} ):
Resuelva: 0.55 (100n + 8) = 0.6 (85n + 14).
- Respuesta
-
n = 1
Ejercicio ( PageIndex {34} ):
Resuelva: 0.15 (40m – 120) = 0.5 (60m + 12).
n = -1
La práctica hace la perfección
Resolver una ecuación con constantes en ambos lados
En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación para la variable.
- 6x – 2 = 40
- 7x – 8 = 34
- 11w + 6 = 93
- 14 años + 7 = 91
- 3a + 8 = −46
- 4 m + 9 = −23
- −50 = 7n – 1
- −47 = 6b + 1
- 25 = −9y + 7
- 29 = −8x – 3
- −12p – 3 = 15
- −14q – 15 = 13
Resolver una ecuación con variables en ambos lados
En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación para la variable.
- 8z = 7z – 7
- 9k = 8k – 11
- 4x + 36 = 10x
- 6x + 27 = 9x
- c = −3c – 20
- b = −4b – 15
- 5q = 44 – 6q
- 7z = 39 – 6z
- 3 años + ( dfrac {1} {2} ) = 2 años
- 8x + ( dfrac {3} {4} ) = 7x
- −12a – 8 = −16a
- −15r – 8 = −11r
Resolver una ecuación con variables y constantes en ambos lados
En los siguientes ejercicios, resuelve las ecuaciones para la variable.
- 6x – 15 = 5x + 3
- 4x – 17 = 3x + 2
- 26 + 8d = 9d + 11
- 21 + 6 f = 7 f + 14
- 3p – 1 = 5p – 33
- 8q – 5 = 5q – 20
- 4a + 5 = – a – 40
- 9c + 7 = −2c – 37
- 8 años – 30 = −2 años + 30
- 12x – 17 = −3x + 13
- 2z – 4 = 23 – z
- 3y – 4 = 12 – y
- ( dfrac {5} {4} ) c – 3 = ( dfrac {1} {4} ) c – 16
- ( dfrac {4} {3} ) m – 7 = ( dfrac {1} {3} ) m – 13
- 8 – ( dfrac {2} {5} ) q = ( dfrac {3} {5} ) q + 6
- 11 – ( dfrac {1} {4} ) a = ( dfrac {3} {4} ) a + 4
- ( dfrac {4} {3} ) n + 9 = ( dfrac {1} {3} ) n – 9
- ( dfrac {5} {4} ) a + 15 = ( dfrac {3} {4} ) a – 5
- ( dfrac {1} {4} ) y + 7 = ( dfrac {3} {4} ) y – 3
- ( dfrac {3} {5} ) p + 2 = ( dfrac {4} {5} ) p – 1
- 14n + 8,25 = 9n + 19,60
- 13z + 6,45 = 8z + 23,75
- 2.4w – 100 = 0.8w + 28
- 2.7w – 80 = 1.2w + 10
- 5.6r + 13.1 = 3.5r + 57.2
- 6.6x – 18.9 = 3.4x + 54.7
Resolver una ecuación usando la estrategia general
En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación lineal usando la estrategia general.
- 5 (x + 3) = 75
- 4 (y + 7) = 64
- 8 = 4 (x – 3)
- 9 = 3 (x – 3)
- 20 (y – 8) = −60
- 14 (y – 6) = −42
- −4 (2n + 1) = 16
- −7 (3n + 4) = 14
- 3 (10 + 5r) = 0
- 8 (3 + 3p) = 0
- ( dfrac {2} {3} ) (9c – 3) = 22
- ( dfrac {3} {5} ) (10x – 5) = 27
- 5 (1.2u – 4.8) = −12
- 4 (2.5v – 0.6) = 7.6
- 0.2 (30n + 50) = 28
- 0,5 (16 m + 34) = −15
- – (w – 6) = 24
- – (t – 8) = 17
- 9 (3a + 5) + 9 = 54
- 8 (6b – 7) + 23 = 63
- 10 + 3 (z + 4) = 19
- 13 + 2 (m – 4) = 17
- 7 + 5 (4 – q) = 12
- −9 + 6 (5 – k) = 12
- 15 – (3r + 8) = 28
- 18 – (9r + 7) = −16
- 11 – 4 (y – 8) = 43
- 18 – 2 (y – 3) = 32
- 9 (p – 1) = 6 (2p – 1)
- 3 (4n – 1) – 2 = 8n + 3
- 9 (2 m – 3) – 8 = 4 m + 7
- 5 (x – 4) – 4x = 14
- 8 (x – 4) – 7x = 14
- 5 + 6 (3s – 5) = −3 + 2 (8s – 1)
- −12 + 8 (x – 5) = −4 + 3 (5x – 2)
- 4 (x – 1) – 8 = 6 (3x – 2) – 7
- 7 (2x – 5) = 8 (4x – 1) – 9
Matemáticas cotidianas
- Haciendo una cerca Jovani tiene una cerca alrededor del jardín rectangular en su patio trasero. El perímetro de la cerca es de 150 pies. El largo es 15 pies más que el ancho. Encuentre el ancho, w, resolviendo la ecuación 150 = 2 (w + 15) + 2w.
- Entradas para conciertos En un concierto escolar, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 1,506. Las entradas para estudiantes se venden por $ 6 y las entradas para adultos se venden por $ 9. El número de boletos para adultos vendidos fue 5 menos de 3 veces el número de boletos para estudiantes. Encuentre el número de boletos de estudiante vendidos, s, resolviendo la ecuación 6s + 9 (3s – 5) = 1506.
- Monedas Rhonda tiene $ 1.90 en monedas de cinco centavos. El número de monedas de diez centavos es uno menos del doble del número de monedas de cinco centavos. Encuentre el número de monedas de cinco centavos, n, resolviendo la ecuación 0.05n + 0.10 (2n – 1) = 1.90.
- Esgrima Micah tiene 74 pies de esgrima para hacer un corral rectangular para perros en su patio. Quiere que la longitud sea 25 pies más que el ancho. Encuentre la longitud, L, resolviendo la ecuación 2L + 2 (L – 25) = 74.
Ejercicios de escritura
203. Al resolver una ecuación con variables en ambos lados, ¿por qué suele ser mejor elegir el lado con el coeficiente más grande como el lado variable? 204. Resuelve la ecuación 10x + 14 = −2x + 38, explicando todos los pasos de tu solución. 205. ¿Cuál es el primer paso que das al resolver la ecuación 3 – 7 (y – 4) = 38? Explica por qué este es tu primer paso. 206. Resuelve la ecuación 1 4 (8x + 20) = 3x – 4 explicando todos los pasos de tu solución como en los ejemplos de esta sección. 207. Usando tus propias palabras, enumera los pasos en la Estrategia general para resolver ecuaciones lineales. 208. Explique por qué debería simplificar ambos lados de una ecuación tanto como sea posible antes de recopilar los términos variables a un lado y los términos constantes al otro lado.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) ¿Qué le dice esta lista de verificación sobre su dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?