Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y se extienden infinitamente lejos en direcciones opuestas, lo que también llamamos un cono . La forma en que cortamos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Se forma un círculo cortando un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un solo cono con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Se forma una parábola cortando el plano a través de la parte superior o inferior del doble cono, mientras que se forma una hipérbola cuando el plano corta la parte superior e inferior del cono (Figura ( PageIndex {1} )).
Las elipses, círculos, hipérbolas y parábolas a veces se denominan secciones cónicas no degeneradas, en contraste con las secciones cónicas degeneradas, que se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ). Se produce una cónica degenerada cuando un plano cruza el doble cono y pasa a través del ápice. Dependiendo del ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas de intersección.
Identificación de cónicas no generadas en forma general
En secciones anteriores de este capítulo, nos hemos centrado en las ecuaciones de forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección, cambiaremos nuestro enfoque a la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier cónica. La forma general se establece igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación.
(Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 )
donde (A ), (B ) y (C ) no son todos cero. Podemos usar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de cónica está representada por una ecuación dada.
Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término (xy ) que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de forma estándar. Como veremos más adelante, el término (xy ) gira la cónica siempre que (B ) no sea igual a cero.
| Secciones cónicas | Ejemplo |
|---|---|
| elipse | (4x ^ 2 + 9y ^ 2 = 1 ) |
| círculo | (4x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 ) |
| hipérbola | (4x ^ 2−9y ^ 2 = 1 ) |
| parábola | (4x ^ 2 = 9y ) o (4y ^ 2 = 9x ) |
| una línea | (4x + 9y = 1 ) |
| líneas de intersección | ((x − 4) (y + 4) = 0 ) |
| líneas paralelas | ((x − 4) (x − 9) = 0 ) |
| un punto | (4x ^ 2 + 4y ^ 2 = 0 ) |
| sin gráfico | (4x ^ 2 + 4y ^ 2 = −1 ) |
FORMA GENERAL DE SECCIONES CÓNICAS
Una sección cónica tiene la forma general
[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 label {gen} ]
donde (A ), (B ) y (C ) no son todos cero. La tabla ( PageIndex {2} ) resume las diferentes secciones cónicas donde (B = 0 ) y (A ) y (C ) son números reales distintos de cero. Esto indica que la cónica no se ha girado.
| elipse | (Ax ^ 2 + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ), (A ≠ C ) y (AC> 0 ) |
|---|---|
| círculo | (Ax ^ 2 + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ), (A = C ) |
| hipérbola | (Ax ^ 2 − Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) o (- Ax ^ 2 + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ), donde (A ) y (C ) son positivos |
| parábola | (Ax ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) o (Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) |
Cómo: dada la ecuación de una cónica, identificar el tipo de cónica
- Reescribe la ecuación en la forma general (Ecuación ref {gen}), (Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 )
- Identifique los valores de (A ) y (C ) de la forma general.
- Si (A ) y (C ) no son cero, tienen el mismo signo y no son iguales entre sí, entonces el gráfico puede ser una elipse.
- Si (A ) y (C ) son iguales y distintos de cero y tienen el mismo signo, entonces el gráfico puede ser un círculo.
- Si (A ) y (C ) no son cero y tienen signos opuestos, entonces el gráfico puede ser una hipérbola.
- Si (A ) o (C ) es cero, entonces el gráfico puede ser una parábola.
Si (B = 0 ), la sección cónica tendrá ejes verticales y / u horizontales. Si (B ) no es igual a 0, como se muestra a continuación, la sección cónica se gira. Observe la frase “puede ser” en las definiciones. Esto se debe a que la ecuación puede no representar una sección cónica, según los valores de (A ), (B ), (C ), (D ), (E ) y (F). Por ejemplo, el caso degenerado de un círculo o una elipse es un punto:
[Ax ^ 2 + Por ^ 2 = 0, ]
cuando (A ) y (B ) tienen el mismo signo.
El caso degenerado de una hipérbola es dos líneas rectas que se cruzan: (Ax ^ 2 + By ^ 2 = 0 ), cuando (A ) y (B ) tienen signos opuestos.
Por otro lado, la ecuación, (Ax ^ 2 + By ^ 2 + 1 = 0 ), cuando (A ) y (B ) son positivas no representa una gráfica en absoluto, ya que no hay pares ordenados reales que lo satisfagan.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación de una cónica a partir de su forma general
Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas.
- (4x ^ 2−9y ^ 2 + 36x + 36y − 125 = 0 )
- (9y ^ 2 + 16x + 36y − 10 = 0 )
- (3x ^ 2 + 3y ^ 2−2x − 6y − 4 = 0 )
- (- 25x ^ 2−4y ^ 2 + 100x + 16y + 20 = 0 )
Solución
- Reescribiendo la forma general (Ecuación ref {gen}), tenemos [ begin {align *} color {red} {A} color {black} x ^ {2} + color {blue} {B} color {negro} xy + color {rojo} {C} color {negro} y ^ {2} + color {azul} {D} color {negro} x + color {azul} { E} color {negro} y + color {azul} {F} color {negro} & = 0 \ [4pt] 4 x ^ {2} + 0 xy + (- 9) y ^ {2} + 36 x + 36 y + (- 125) & = 0 end {align *} ] con (A = 4 ) y (C = −9 ), por lo que observamos que (A ) y (C ) tienen signos opuestos. La gráfica de esta ecuación es una hipérbola.
- Reescribiendo la forma general (Ecuación ref {gen}), tenemos [ begin {align *} color {red} {A} color {black} x ^ {2} + color {blue} {B} color {negro} xy + color {rojo} {C} color {negro} y ^ {2} + color {azul} {D} color {negro} x + color {azul} { E} color {negro} y + color {azul} {F} color {negro} & = 0 \ [4pt] 0 x ^ {2} + 0 xy + 9 y ^ {2} + 16 x + 36 y + (- 10) & = 0 end {align *} ] con (A = 0 ) y (C = 9 ). Podemos determinar que la ecuación es una parábola, ya que (A ) es cero.
- Reescribiendo la forma general (Ecuación ref {gen}), tenemos [ begin {align *} color {red} {A} color {black} x ^ {2} + color {blue} {B} color {negro} xy + color {rojo} {C} color {negro} y ^ {2} + color {azul} {D} color {negro} x + color {azul} { E} color {negro} y + color {azul} {F} color {negro} & = 0 \ [4pt] 3 x ^ {2} + 0 xy + 3 y ^ {2} + (- 2 ) x + (- 6) y + (- 4) & = 0 end {align *} ] con (A = 3 ) y (C = 3 ). Porque (A = C ), la gráfica de esta ecuación es un círculo.
- Reescribiendo la forma general (Ecuación ref {gen}), tenemos [ begin {align *} color {red} {A} color {black} x ^ {2} + color {blue} {B} color {negro} xy + color {rojo} {C} color {negro} y ^ {2} + color {azul} {D} color {negro} x + color {azul} { E} color {negro} y + color {azul} {F} color {negro} & = 0 \ [4pt] (- 25) x ^ {2} + 0 xy + (- 4) y ^ { 2} + 100 x + 16 y + 20 & = 0 end {align *} ] con (A = −25 ) y (C = −4 ). Como (AC> 0 ) y (A ≠ C ), la gráfica de esta ecuación es una elipse.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas.
- (16y ^ 2 − x ^ 2 + x − 4y − 9 = 0 )
- (16x ^ 2 + 4y ^ 2 + 16x + 49y − 81 = 0 )
- Responda a
-
hipérbola
- Respuesta b
-
elipse
Encontrar una nueva representación de la ecuación dada después de rotar a través de un ángulo dado
Hasta ahora, hemos observado ecuaciones de secciones cónicas sin un término (xy ), que alinea los gráficos con los x y y . Cuando agregamos un término (xy ), estamos girando la cónica sobre el origen. Si los ejes x – y y se giran a través de un ángulo, digamos ( theta ), entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones: ((x, y) ) en el plano cartesiano con el eje x y y original, y ((x ^ prime, y ^ prime) ) en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, llamados eje x ‘ y eje y’ (Figura ( PageIndex {3} )).
Encontraremos las relaciones entre (x ) y (y ) en el plano cartesiano con (x ^ prime ) y (y ^ prime ) en el nuevo plano girado (Figura ( PageIndex {4} )).
La coordenada original x – y y -axes tienen vectores unitarios ( hat {i} ) y ( hat {j} ). Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios ( hat {i} ^ prime ) y ( hat {j} ^ prime ). El ángulo ( theta ) se conoce como el ángulo de rotación (Figura ( PageIndex {5} )). Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales.
[ hat {i} ′ = cos theta hat {i} + sin theta hat {j} ]
[ hat {j} ′ = – sin theta hat {i} + cos theta hat {j} ]
Considere un vector ( vec {u} ) en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas.
[ begin {align *} vec {u} & = x ^ prime i ′ + y ^ prime j ′ \ [4pt] & = x ^ prime (i cos theta + j sin theta) + y ^ prime (−i sin theta + j cos theta) & text {Substitute.} \ [4pt] & = ix ‘ cos theta + jx’ sin theta − iy ‘ sin theta + jy’ cos theta & text {Distribuir.} \ [4pt] & = ix ‘ cos theta − iy’ sin theta + jx ‘ sin theta + jy ‘ cos theta & text {Aplicar propiedad conmutativa.} \ [4pt] & = (x’ cos theta − y ‘ sin theta) i + (x’ sin theta + y ‘ cos theta) j & text {Factorizar por agrupación.} end {align *} ]
Debido a que ( vec {u} = x ^ prime i ′ + y ^ prime j ′ ), tenemos representaciones de (x ) y (y ) en términos del nuevo sistema de coordenadas .
(x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta )
y
(y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta )
ECUACIONES DE ROTACIÓN
Si un punto ((x, y) ) en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas donde los ejes de rotación se forman al girar un ángulo ( theta ) desde el positivo x -axis, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son ((x ^ prime, y ^ prime) ). Podemos usar las siguientes ecuaciones de rotación para definir la relación entre ((x, y) ) y ((x ^ prime, y ^ prime) ):
[x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta ]
y
[y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta ]
Cómo: Dada la ecuación de una cónica, encontrar una nueva representación después de girar a través de un ángulo
- Encuentra (x ) y (y ) donde (x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta ) y (y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta ).
- Sustituye la expresión para (x ) y (y ) en la ecuación dada, luego simplifica.
- Escribe las ecuaciones con (x ^ prime ) y (y ^ prime ) en forma estándar.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar una nueva representación de una ecuación después de rotar a través de un ángulo dado
Encuentre una nueva representación de la ecuación (2x ^ 2 − xy + 2y ^ 2−30 = 0 ) después de girar a través de un ángulo de ( theta = 45 ° ).
Solución
Encuentra (x ) y (y ), donde (x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta ) y (y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta ).
Porque ( theta = 45 ° ),
[ begin {align *} x & = x ^ prime cos (45 °) −y ^ prime sin (45 °) \ [4pt] x & = x ^ prime left ( dfrac {1} { sqrt {2}} right) −y ^ prime left ( dfrac {1} { sqrt {2}} right) \ [4pt] x & = dfrac {x ^ prime −y ^ prime} { sqrt {2}} end {align *} ]
y
[ begin {align *} y & = x ^ prime sin (45 °) + y ^ prime cos (45 °) \ [4pt] y & = x ^ prime left ( dfrac {1} { sqrt {2}} right) + y ^ prime left ( dfrac {1} { sqrt {2}} right) \ [4pt] y & = dfrac {x ^ prime + y ^ prime} { sqrt {2}} end {align *} ]
Sustituye (x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta ) y (y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta ) en (2x ^ 2 − xy + 2y ^ 2−30 = 0 ).
(2 { left ( dfrac {x ^ prime −y ^ prime} { sqrt {2}} right)} ^ 2− left ( dfrac {x ^ prime −y ^ prime} { sqrt {2}} right) left ( dfrac {x ^ prime + y ^ prime} { sqrt {2}} right) +2 { left ( dfrac {x ^ prime + y ^ prime} { sqrt {2}} right)} ^ 2−30 = 0 )
Simplifica .
( begin {array} {rl} 2 dfrac {(x ^ prime − y ^ prime) (x ^ prime −y ^ prime)} {2} – dfrac {(x ^ prime −y ^ prime) (x ^ prime + y ^ prime)} {2} +2 dfrac {(x ^ prime + y ^ prime) (x ^ prime + y ^ prime) } {2} −30 = 0 & text {método FOIL} \ [4pt] {x ^ prime} ^ 2−2x ^ prime y ^ prime + {y ^ prime} ^ 2− dfrac { ({x ^ prime} ^ 2− {y ^ prime} ^ 2)} {2} + {x ^ prime} ^ 2 + 2x ^ prime y ^ prime + {y ^ prime} ^ 2 −30 = 0 & text {Combinar términos similares.} \ [4pt] 2 {x ^ prime} ^ 2 + 2 {y ^ prime} ^ 2− dfrac {({x ^ prime} ^ 2 – {y ^ prime} ^ 2)} {2} = 30 & text {Combinar términos similares.} \ [4pt] 2 (2 {x ^ prime} ^ 2 + 2 {y ^ prime} ^ 2− dfrac {({x ^ prime} ^ 2− {y ^ prime} ^ 2)} {2}) = 2 (30) & text {Multiplica ambos lados por 2.} \ [4pt] 4 {x ^ prime} ^ 2 + 4 {y ^ prime} ^ 2 – ({x ^ prime} ^ 2− {y ^ prime} ^ 2) = 60 & text {Simplify.} \ [4pt] 4 {x ^ prime} ^ 2 + 4 {y ^ prime} ^ 2− {x ^ prime} ^ 2 + {y ^ prime} 2 = 60 & text {Distribuir.} \ [4pt] dfrac {3 {x ^ prime} ^ 2} {60} + dfrac {5 {y ^ prime} ^ 2} {60} = dfrac {60} {60} & text {Set igual a 1.} end {array} )
Escribe las ecuaciones con (x ^ prime ) y (y ^ prime ) en la forma estándar.
[ dfrac {{x ^ prime} ^ 2} {20} + dfrac {{y ^ prime} ^ 2} {12} = 1 nonumber ]
Esta ecuación es una elipse. La figura ( PageIndex {6} ) muestra el gráfico.
Escribir ecuaciones de cónicas rotadas en forma estándar
Ahora que podemos encontrar la forma estándar de una cónica cuando se nos da un ángulo de rotación, aprenderemos cómo transformar la ecuación de una cónica dada en la forma (Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) en forma estándar girando los ejes. Para hacerlo, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas (x ^ prime ) y (y ^ prime ) sin el término (x ^ prime y ^ prime ), girando los ejes en una medida de ( theta ) que satisface
[ cot (2 theta) = dfrac {A − C} {B} ]
Ya hemos aprendido que cualquier cónica puede estar representada por la ecuación de segundo grado
(Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 )
donde (A ), (B ) y (C ) no son todos cero. Sin embargo, si (B ≠ 0 ), entonces tenemos un término (xy ) que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo ( theta ) donde ( cot (2 theta) = dfrac {A − C} {B} ).
- Si ( cot (2 theta)> 0 ), entonces (2 theta ) está en el primer cuadrante y ( theta ) está entre ((0 °, 45 °) ).
- Si ( cot (2 theta) <0 ), entonces (2 theta ) está en el segundo cuadrante, y ( theta ) está entre ((45 °, 90 °) ).
- Si (A = C ), entonces ( theta = 45 ° ).
Cómo: dada una ecuación para una cónica en el sistema (x ^ prime y ^ prime ), reescribe la ecuación sin el término (x ^ prime y ^ prime ) en términos de (x ^ prime ) y (y ^ prime ), donde los ejes (x ^ prime ) y (y ^ prime ) son rotaciones de los ejes estándar por ( theta ) grados
- Encuentra ( cot (2 theta) ).
- Encuentra ( sin theta ) y ( cos theta ).
- Sustituye ( sin theta ) y ( cos theta ) en (x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta ) y (y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta ).
- Sustituye la expresión para (x ) y (y ) en la ecuación dada, y luego simplifica.
- Escribe las ecuaciones con (x ^ prime ) y (y ^ prime ) en la forma estándar con respecto a los ejes rotados.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): reescribir una ecuación con respecto a los ejes (x ^ prime ) y (y ^ prime ) sin los (x ^ prime y ^ primer ) Término
Reescribe la ecuación (8x ^ 2−12xy + 17y ^ 2 = 20 ) en el sistema (x ^ prime y ^ prime ) sin un (x ^ prime y ^ prime ) término.
Solución
Primero, encontramos ( cot (2 theta) ).
(8x ^ 2−12xy + 17y ^ 2 = 20 rightarrow A = 8 ), (B = −12 ) y (C = 17 )
De la figura ( PageIndex {7} ):
[ begin {align *} cot (2 theta) & = dfrac {A − C} {B} = dfrac {8−17} {- 12} \ [4pt] & = dfrac {−9} {- 12} = dfrac {3} {4} end {align *} ]
( cot (2 theta) = dfrac {3} {4} = dfrac { text {adyacente}} { text {opuesto}} )
Entonces la hipotenusa es
[ begin {align *} 3 ^ 2 + 4 ^ 2 & = h ^ 2 \ [4pt] 9 + 16 & = h ^ 2 \ [4pt] 25 & = h ^ 2 \ [4pt ] h & = 5 end {alinear *} ]
A continuación, encontramos ( sin theta ) y ( cos theta ).
[ begin {align *} sin theta & = sqrt { dfrac {1− cos (2 theta)} {2}} = sqrt { dfrac {1− dfrac {3 } {5}} {2}} = sqrt { dfrac { dfrac {5} {5} – dfrac {3} {5}} {2}} = sqrt { dfrac {5−3} { 5} ⋅ dfrac {1} {2}} = sqrt { dfrac {2} {10}} = sqrt { dfrac {1} {5}} \ sin theta & = dfrac {1 } { sqrt {5}} \ cos theta & = sqrt { dfrac {1+ cos (2 theta)} {2}} = sqrt { dfrac {1+ dfrac {3} {5}} {2}} = sqrt { dfrac { dfrac {5} {5} + dfrac {3} {5}} {2}} = sqrt { dfrac {5 + 3} {5 } ⋅ dfrac {1} {2}} = sqrt { dfrac {8} {10}} = sqrt { dfrac {4} {5}} \ cos theta & = dfrac {2} { sqrt {5}} end {align *} ]
Sustituya los valores de ( sin theta ) y ( cos theta ) en (x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta ) y (y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta ).
[ begin {align *} x & = x ‘ cos theta − y ^ prime sin theta \ [4pt] & = x ^ prime left ( dfrac {2} { sqrt {5}} right) −y ^ prime left ( dfrac {1} { sqrt {5}} right) \ [4pt] & = dfrac {2x ^ prime −y ^ prime } { sqrt {5}} end {align *} ]
y
[ begin {align *} y & = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta \ [4pt] & = x ^ prime left ( dfrac {1} { sqrt {5}} right) + y ^ prime left ( dfrac {2} { sqrt {5}} right) \ [4pt] & = dfrac {x ^ prime + 2y ^ prime} { sqrt {5}} end {align *} ]
Sustituye las expresiones para (x ) y (y ) en la ecuación dada, y luego simplifica.
[ begin {align *} 8 { left ( dfrac {2x ^ prime −y ^ prime} { sqrt {5}} right)} ^ 2−12 left ( dfrac { 2x ^ prime −y ^ prime} { sqrt {5}} right) left ( dfrac {x ^ prime + 2y ^ prime} { sqrt {5}} right) +17 { left ( dfrac {x ^ prime + 2y ^ prime} { sqrt {5}} right)} ^ 2 & = 20 \ [4pt] 8 left ( dfrac {(2x ^ prime −y ^ prime) (2x ^ prime −y ^ prime)} {5} right) −12 left ( dfrac {(2x ^ prime −y ^ prime) (x ^ prime + 2y ^ prime )} {5} right) +17 left ( dfrac {(x ^ prime + 2y ^ prime) (x ^ prime + 2y ^ prime)} {5} right) & = 20 \ [4pt] 8 (4 {x ^ prime} ^ 2−4x ^ prime y ^ prime + {y ^ prime} ^ 2) −12 (2 {x ^ prime} ^ 2 + 3x ^ prime y ^ prime −2 {y ^ prime} ^ 2) +17 ({x ^ prime} ^ 2 + 4x ^ prime y ^ prime +4 {y ^ prime} ^ 2) & = 100 [4pt] 32 {x ^ prime} ^ 2−32x ^ prime y ^ prime +8 {y ^ prime} ^ 2−24 {x ^ prime} ^ 2−36x ^ prime y ^ prime +24 {y ^ prime} ^ 2 + 17 {x ^ prime} ^ 2 + 68x ^ prime y ^ prime +68 {y ^ prime} ^ 2 & = 100 \ [4pt] 25 {x ^ prime} ^ 2 + 100 {y ^ prime} ^ 2 & = 100 \ [4pt] dfrac {25} {100} {x ^ prime} ^ 2 + dfrac {100} {100} {y ^ prime} ^ 2 & = dfrac {100} {100} end {align *} ]
Escriba las ecuaciones con (x ^ prime ) y (y ^ prime ) en la forma estándar con respecto al nuevo sistema de coordenadas.
[ dfrac {{x ^ prime} ^ 2} {4} + dfrac {{y ^ prime} ^ 2} {1} = 1 nonumber ]
La figura ( PageIndex {8} ) muestra el gráfico de la elipse.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Vuelva a escribir el (13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2 = 16 ) en el sistema (x ^ prime y ^ prime ) sin el (x ^ prime y ^ prime ) término.
- Respuesta
-
( dfrac {{x ^ prime} ^ 2} {4} + dfrac {{y ^ prime} ^ 2} {1} = 1 )
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficando una ecuación que no tiene términos (x ^ prime y ^ prime )
Representa gráficamente la siguiente ecuación en relación con el sistema (x ^ prime y ^ prime ):
(x ^ 2 + 12xy − 4y ^ 2 = 30 )
Solución
Primero, encontramos ( cot (2 theta) ).
(x ^ 2 + 12xy − 4y ^ 2 = 20 rightarrow A = 1 ), (B = 12 ) y (C = −4 )
[ begin {align *} cot (2 theta) & = dfrac {A − C} {B} \ cot (2 theta) & = dfrac {1 – (- 4) } {12} \ cot (2 theta) & = dfrac {5} {12} end {align *} ]
Debido a que ( cot (2 theta) = dfrac {5} {12} ), podemos dibujar un triángulo de referencia como en la Figura ( PageIndex {9} ).
( cot (2 theta) = dfrac {5} {12} = dfrac {adyacente} {opuesto} )
Por lo tanto, la hipotenusa es
[ begin {align *} 5 ^ 2 + {12} ^ 2 & = h ^ 2 \ [4pt] 25 + 144 & = h ^ 2 \ [4pt] 169 & = h ^ 2 \ [4pt] h & = 13 end {alinear *} ]
A continuación, encontramos ( sin theta ) y ( cos theta ). Usaremos identidades de medio ángulo.
( sin theta = sqrt { dfrac {1− cos (2 theta)} {2}} = sqrt { dfrac {1− dfrac {5} {13}} {2 }} = sqrt { dfrac { dfrac {13} {13} – dfrac {5} {13}} {2}} = sqrt { dfrac {8} {13} ⋅ dfrac {1} { 2}} = dfrac {2} { sqrt {13}} )
( cos theta = sqrt { dfrac {1+ cos (2 theta)} {2}} = sqrt { dfrac {1+ dfrac {5} {13}} {2 }} = sqrt { dfrac { dfrac {13} {13} + dfrac {5} {13}} {2}} = sqrt { dfrac {18} {13} ⋅ dfrac {1} { 2}} = dfrac {3} { sqrt {13}} )
Ahora encontramos (x ) y (y ).
(x = x ^ prime cos theta − y ^ prime sin theta )
(x = x ^ prime left ( dfrac {3} { sqrt {13}} right) −y ^ prime left ( dfrac {2} { sqrt {13}} derecha) )
(x = dfrac {3x ^ prime −2y ^ prime} { sqrt {13}} )
y
(y = x ^ prime sin theta + y ^ prime cos theta )
(y = x ^ prime left ( dfrac {2} { sqrt {13}} right) + y ^ prime left ( dfrac {3} { sqrt {13}} derecha) )
(y = dfrac {2x ^ prime + 3y ^ prime} { sqrt {13}} )
Ahora sustituimos (x = dfrac {3x ^ prime −2y ^ prime} { sqrt {13}} ) y (y = dfrac {2x ^ prime + 3y ^ prime} { sqrt {13}} ) en (x ^ 2 + 12xy − 4y ^ 2 = 30 ).
( begin {array} {rl} { left ( dfrac {3x ^ prime −2y ^ prime} { sqrt {13}} right)} ^ 2 + 12 left ( dfrac {3x ^ prime −2y ^ prime} { sqrt {13}} right) left ( dfrac {2x ^ prime + 3y ^ prime} { sqrt {13}} right) −4 { left ( dfrac {2x ^ prime + 3y ^ prime} { sqrt {13}} right)} ^ 2 = 30 \ left ( dfrac {1} {13} right) [{( 3x ^ prime −2y ^ prime)} ^ 2 + 12 (3x ^ prime −2y ^ prime) (2x ^ prime + 3y ^ prime) −4 {(2x ^ prime + 3y ^ prime )} ^ 2] = 30 & text {Factor.} \ left ( dfrac {1} {13} right) [9 {x ^ prime} ^ 2−12x ^ prime y ^ prime + 4 {y ^ prime} ^ 2 + 12 (6 {x ^ prime} ^ 2 + 5x ^ prime y ^ prime −6 {y ^ prime} ^ 2) −4 (4 {x ^ prime } ^ 2 + 12x ^ prime y ^ prime +9 {y ^ prime} ^ 2)] = 30 & text {Multiplicar.} \ left ( dfrac {1} {13} right) [ 9 {x ^ prime} ^ 2−12x ^ prime y ^ prime +4 {y ^ prime} ^ 2 + 72 {x ^ prime} ^ 2 + 60x ^ prime y ^ prime −72 { y ^ prime} ^ 2−16 {x ^ prime} ^ 2−48x ^ prime y ^ prime −36 {y ^ prime} ^ 2] = 30 & text {Distribuir.} \ left ( dfrac {1} {13} right) [65 {x ^ prime} ^ 2−104 {y ^ prime} ^ 2] = 30 & text {Combinar términos similares.} \ 65 {x ^ prime} ^ 2−104 {y ^ prime} ^ 2 = 390 & text {Multipl y.} \ dfrac {{x ^ prime} ^ 2} {6} – dfrac {4 {y ^ prime} ^ 2} {15} = 1 & text {Dividir por 390.} end {array} )
La figura ( PageIndex {10} ) muestra el gráfico de la hipérbola ( dfrac {{x ^ prime} ^ 2} {6} – dfrac {4 {y ^ prime} ^ 2} {15} = 1 )
Identificación de cónicas sin ejes giratorios
Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de cónica descrita por una ecuación? ¿Qué sucede cuando se giran los ejes? Recordemos, la forma general de una cónica es
(Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 )
Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma
(A ′ {x ^ prime} ^ 2 + B′x ^ prime y ^ prime + C ′ {y ^ prime} ^ 2 + D′x ^ prime + E′y ^ primo + F ′ = 0 )
Se puede demostrar que
(B ^ 2−4AC = {B ′} ^ 2−4A′C ′ )
La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a la expresión invariante . El discriminante, (B ^ 2−4AC ), es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Debido a que el discriminante permanece sin cambios, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica.
CÓMO: USAR EL DISCRIMINANTE PARA IDENTIFICAR UNA CONIC
Si la ecuación
[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ]
se transforma girando ejes en la ecuación
[A ′ {x ^ prime} ^ 2 + B′x ^ prime y ^ prime + C ′ {y ^ prime} ^ 2 + D′x ^ prime + E′y ^ primo + F ′ = 0 ]
luego [B ^ 2−4AC = {B ′} ^ 2−4A′C ′ ]
La ecuación (Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) es una elipse, una parábola o una hipérbola, o un caso degenerado de uno de estos. Si el discriminante, (B ^ 2−4AC ), es
- (<0 ), la sección cónica es una elipse
- (= 0 ), la sección cónica es una parábola
- (> 0 ), la sección cónica es una hipérbola
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Identificación de la cónica sin ejes giratorios
Identifique la cónica para cada uno de los siguientes sin ejes giratorios.
- (5x ^ 2 + 2 sqrt {3} xy + 2y ^ 2−5 = 0 )
- (5x ^ 2 + 2 sqrt {3} xy + 12y ^ 2−5 = 0 )
Solución
a. Comencemos por determinar (A ), (B ) y (C ).
( underbrace {5} _ {A} x ^ 2 + underbrace {2 sqrt {3}} _ {B} xy + underbrace {2} _ {C} y ^ 2−5 = 0 )
Ahora, encontramos el discriminante.
[ begin {align *} B ^ 2−4AC & = {(2 sqrt {3})} ^ 2−4 (5) (2) \ & = 4 (3) −40 \ & = 12−40 \ & = – 28 <0 end {align *} ]
Por lo tanto, (5x ^ 2 + 2 sqrt {3} xy + 2y ^ 2−5 = 0 ) representa una elipse.
b. Nuevamente, comencemos por determinar (A ), (B ) y (C ).
( underbrace {5} _ {A} x ^ 2 + underbrace {2 sqrt {3}} _ {B} xy + underbrace {12} _ {C} y ^ 2−5 = 0 no número )
Ahora, encontramos el discriminante.
[ begin {align *} B ^ 2−4AC & = {(2 sqrt {3})} ^ 2−4 (5) (12) \ & = 4 (3) −240 \ & = 12−240 \ & = – 228 <0 end {align *} ]
Por lo tanto, (5x ^ 2 + 2 sqrt {3} xy + 12y ^ 2−5 = 0 ) representa una elipse.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Identifique la cónica para cada uno de los siguientes sin ejes giratorios.
- (x ^ 2−9xy + 3y ^ 2−12 = 0 )
- (10x ^ 2−9xy + 4y ^ 2−4 = 0 )
- Responda a
-
hipérbola
- Respuesta b
-
elipse