8.5: Simplifique expresiones racionales complejas

8.5: Simplifique expresiones racionales complejas

                 

 
 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Simplifica una expresión racional compleja escribiéndola como división
  •      
  • Simplifique una expresión racional compleja utilizando la pantalla LCD
  •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 

Si pierde un problema, regrese a la sección indicada y revise el material.

 
         
  1. Simplifique: ( frac { frac {3} {5}} { frac {9} {10}} ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.6.25 .
  2.      
  3. Simplifique: ( frac {1− frac {1} {3}} {4 ^ 2 + 4 · 5} ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.6.31 .
  4.  
 
 

Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador o denominador contiene una fracción. En el Capítulo 1 simplificamos fracciones complejas como estas:

 

[ begin {array} {cc} { frac { frac {3} {4}} { frac {5} {8}}} y { frac { frac {x} {2} } { frac {xy} {6}}} \ nonumber end {array} ]

 

En esta sección simplificaremos expresiones racionales complejas , que son expresiones racionales con expresiones racionales en el numerador o denominador.

 
 
 

Definición: EXPRESIÓN RACIONAL COMPLEJA

 

Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador o denominador contiene una expresión racional.

 
 

Aquí hay algunas expresiones racionales complejas:

 

( frac { frac {4} {y − 3}} { frac {8} {y ^ 2−9}} )

 

( frac { frac {1} {x} + frac {1} {y}} { frac {x} {y} – frac {y} {x}} )

 

( frac { frac {2} {x + 6}} { frac {4} {x − 6} – frac {4} {x ^ 2−36}} )
Recuerde , siempre excluimos valores que harían cualquier denominador cero.

 

Utilizaremos dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas.

 

Simplifique una expresión racional compleja escribiéndola como división

 

Ya hemos visto esta compleja expresión racional anteriormente en este capítulo.

 

( frac { frac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8}} { frac {2x ^ 2−8x + 3} {x ^ 2−5x + 6}} ) [ 19459004]  

Notamos que las barras de fracción nos dicen que dividimos, así que lo reescribimos como el problema de división

 

(( frac {6x ^ 2−7x + 2} {4x − 8}) ÷ ( frac {2x ^ 2−8x + 3} {x ^ 2−5x + 6}) ) [19459004 ]  

Luego multiplicamos la primera expresión racional por el recíproco de la segunda, tal como lo hacemos cuando dividimos dos fracciones.

 

Este es un método para simplificar expresiones racionales. Lo escribimos como si estuviéramos dividiendo dos fracciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

( frac { frac {4} {y − 3}} { frac {8} {y ^ 2−9}} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac { frac {4} {y − 3}} { frac {8} {y ^ 2−9}} )
Reescribe la fracción compleja como división. ( frac {4} {y − 3} ÷ frac {8} {y ^ 2−9} )
Reescribe como el producto de las primeras veces el recíproco de la segunda. ( frac {4} {y − 3} · frac {y ^ 2−9} {8} )
Multiplica. ( frac {4 (y ^ 2−9)} {8 (y − 3)} )
Factor para buscar factores comunes. ( frac {4 (y − 3) (y + 3)} {8 (y − 3)} )
Simplifica. ( frac {y + 3} {2} )
     

¿Hay algún valor de y que no debería permitirse? La expresión racional simplificada tiene solo una constante en el denominador. Pero la expresión racional compleja original tenía denominadores de y − 3 y (y ^ 2−9 ). Esta expresión no estaría definida si y = 3 o y = −3

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

( frac { frac {2} {x ^ 2−1}} { frac {3} {x + 1}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2} {3 (x − 1)} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

( frac { frac {1} {x ^ 2−7x + 12}} { frac {2} {x − 4}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {2 (x − 3)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

( frac { frac {1} {3} + frac {1} {6}} { frac {1} {2} – frac {1} {3}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

( frac { frac {1} {2} + frac {2} {3}} { frac {5} {6} + frac {1} {12}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {14} {11} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

( frac { frac {3} {4} – frac {1} {3}} { frac {1} {8} + frac {5} {6}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {10} {23} )

     
 
 
 

Cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

( frac { frac {1} {x} + frac {1} {y}} { frac {x} {y} – frac {y} {x}} ).

 
     
Respuesta
     
     

The above image has three columns. The image shows steps on how to divide complex rational expressions in three steps. Step one is to simplify the numerator and denominator. We will simplify the sum in the numerator and difference in the denominator for the example 1 divided by x plus 1 divided by y divided by x divided by y minus y divided by x. Find a common denominator and add the fractions in the numerator and find a common denominator and subtract the fractions in the numerator to get 1 times y divided by x times y plus 1 times x divided by y times x divided by x times x divided by y times x minus y times y divided by x times y. Then, we get y divided by x y plus x plus x y divided by x squared divided by x y minus y squared divided by x y. We now have just one rational expression in the numerator and one in the denominator, y plus x divided by x y divided by x squared minus y squared divided by x y. Step two is to rewrite the complex rational expression as a division problem. We write the numerator divided by the denominator. Step three is to divide the expressions. Multiply the first by the reciprocal of the second to get y plus x divided by x y times x y divided by x squared minus y squared. Factor any expressions if possible. We now have x y times y plus x divided by x y times x minus y times x plus y. Remove common factors. Cross out x, y and y plus x from the numerator. Cross out x, y and x plus y from the denominator. Simplify to get 1 divided by x minus y.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

( frac { frac {1} {x} + frac {1} {y}} { frac {1} {x} – frac {1} {y}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {y + x} {y − x} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

( frac { frac {1} {a} + frac {1} {b}} { frac {1} {a ^ 2} – frac {1} {b ^ 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {ab} {b − a} )

     
 
 
 
 

Definición: SIMPLIFIQUE UNA EXPRESIÓN RACIONAL COMPLEJA AL ESCRIBIRLA COMO DIVISIÓN.

 
         
  1. Simplifica el numerador y el denominador.
  2.      
  3. Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.
  4.      
  5. Divide las expresiones.
  6.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

( frac {n− frac {4n} {n + 5}} { frac {1} {n + 5} + frac {1} {n − 5}} )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

( frac {b− frac {3b} {b + 5}} { frac {2} {b + 5} + frac {1} {b − 5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

b (b + 2)

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

( frac {1− frac {3} {c + 4}} { frac {1} {c + 4} + frac {c} {3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

3c + 3

     
 
 
 
 
 
 
 

Simplifique una expresión racional compleja utilizando la pantalla LCD

 

«limpiamos» las fracciones multiplicando por la pantalla LCD cuando resolvimos ecuaciones con fracciones. Podemos usar esa estrategia aquí para simplificar expresiones racionales complejas. Multiplicaremos el numerador y el denominador por LCD de todas las expresiones racionales.

 

Veamos la compleja expresión racional que simplificamos de una manera en Ejemplo . Aquí lo simplificaremos multiplicando el numerador y el denominador por la pantalla LCD. Cuando multiplicamos por ( frac {LCD} {LCD} ) estamos multiplicando por 1, por lo que el valor permanece igual.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Simplifique: ( frac { frac {1} {3} + frac {1} {6}} { frac {1} {2} – frac {1} {3}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Simplifique: ( frac { frac {1} {2} + frac {1} {5}} { frac {1} {10} + frac {1} {5}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Simplifique: ( frac { frac {1} {4} + frac {3} {8}} { frac {1} {2} – frac {5} {16}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7} {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Cómo simplificar una expresión racional compleja utilizando la pantalla LCD

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Simplifique: ( frac { frac {1} {x} + frac {1} {y}} { frac {x} {y} – frac {y} {x}} ).

 
     
Respuesta
     
     

The above image has 3 columns. It shows the steps on how to simplify a complex rational expression using the LCD for 1 divided by x plus 1 divided by y divided by x divided by y minus y divided by x. Step one is to find the LCD of all fractions in the complex rational expression. The LCD of all the fractions is x y. Multiply the numerator and denominator by the LCD. Step two is to multiply both the numerator and denominator by x y to get x y times 1 divided by x plus 1 divided by y divided x y times x divided by y minus y divided by x. Step three is to simplify the expression. Distribute to get x y times 1 divided by x plus x y times 1 divided y divided by x y times x divided by y minus x y times y divided by x. Simplify to get y plus x divided by x squared minus y squared. Remove common factors. Cross out y plus x in the numerator. Cross out x plus y in the numerator. Simplify to get 1 divided by x minus y.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Simplifique: ( frac { frac {1} {a} + frac {1} {b}} { frac {a} {b} – frac {b} {a}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {b + a} {a ^ 2 + b ^ 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Simplifique: ( frac { frac {1} {x ^ 2} – frac {1} {y ^ 2}} { frac {1} {x} – frac {1} {y} } ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {y − x} {xy} )

     
 
 
 
 

Definición: SIMPLIFIQUE UNA EXPRESIÓN RACIONAL COMPLEJA MEDIANTE EL LCD.

 
         
  1. Encuentra la pantalla LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.
  2.      
  3. Multiplica el numerador y el denominador por la pantalla LCD.
  4.      
  5. Simplifica la expresión.
  6.  
 
 

Asegúrese de comenzar factorizando todos los denominadores para que pueda encontrar la pantalla LCD.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Simplifique: ( frac { frac {2} {x + 6}} { frac {4} {x − 6} – frac {4} {x ^ 2−36}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: ( frac { frac {3} {x + 2}} { frac {5} {x − 2} – frac {3} {x ^ 2−4}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3x − 6} {5x + 7} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Simplifique: ( frac { frac {2} {x − 7} – frac {1} {x + 7}} { frac {6} {x + 7} – frac {1} { x ^ 2−49}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x + 21} {6x + 43} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: ( frac { frac {4} {m ^ 2−7m + 12}} { frac {3} {m − 3} – frac {2} {m − 4}} ) .

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ( frac { frac {3} {x ^ 2 + 7x + 10}} { frac {4} {x + 2} + frac {1} {x + 5}} ) .

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3} {5x + 22} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Simplifique: ( frac { frac {4y} {y + 5} + frac {2} {y + 6}} { frac {3y} {y ^ 2 + 11y + 30}} ) .

 
     
Respuesta
     
     

( frac {6y + 34} {3y} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( frac { frac {y} {y + 1}} {1+ frac {1} {y − 1}} ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( frac { frac {x} {x + 3}} {1+ frac {1} {x + 3}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x} {x + 4} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: ( frac {1+ frac {1} {x − 1}} { frac {3} {x + 1}} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x (x + 1)} {3 (x − 1)} )

     
 
 
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Para simplificar una expresión racional escribiéndola como división      
               
    1. Simplifica el numerador y el denominador.
    2.          
    3. Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.
    4.          
    5. Divide las expresiones.
    6.      
         
  •      
  • Para simplificar una expresión racional compleja utilizando la pantalla LCD      
               
    1. Encuentra la pantalla LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.
    2.          
    3. Multiplica el numerador y el denominador por la pantalla LCD.
    4.          
    5. Simplifica la expresión.
    6.      
         
  •  
 

Glosario

 
     
expresión racional compleja
     
Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador o denominador contiene una expresión racional.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
                                  
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