Sistemas no lineales
Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación no es lineal se denomina sistema no lineal 32 . En esta sección, utilizaremos el método de sustitución para resolver sistemas no lineales. Recuerde que las soluciones a un sistema con dos variables son pares ordenados ((x, y) ) que satisfacen ambas ecuaciones.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Resuelve: ( left { begin {array} {l} {x + 2 y = 0} \ {x ^ {2} + y ^ {2} = 5} end {array} Correcto.).
Solución
En este caso comenzamos resolviendo para x en la primera ecuación.
( left { begin {array} {c} {x + 2 y = 0} \ {x ^ {2} + y ^ {2} = 5} end {array} Longrightarrow x = -2y right. )
Sustituye (x = −2y ) en la segunda ecuación y luego resuelve (y ).
( begin {alineado} ( color {Cerulean} {- 2y} color {black} {)} ^ {2} + y ^ {2} & = 5 \ 4 y ^ {2} + y ^ {2} & = 5 \ 5 y ^ {2} & = 5 \ y ^ {2} & = 1 \ y & = pm 1 end {alineado} )
Aquí hay dos respuestas para (y ); use (x = −2y ) para encontrar los valores (x ) correspondientes.
| Usando (y = -1 ) | Usando (y = 1 ) |
|---|---|
| ( begin {alineado} x & = – 2 y \ & = – 2 (-1) \ & = 2 end {alineado} ) | ( begin {alineado} x & = – 2 y \ & = – 2 (1) \ & = – 2 end {alineado} ) |
Tabla 8.5.1
Esto nos da dos soluciones de pares ordenados, ((2, −1) ) y ((- 2,1) ).
Respuesta :
((2, −1), (−2,1) )
En el ejemplo anterior, el sistema dado consistía en una línea y un círculo. Graficando estas ecuaciones en el mismo conjunto de ejes, podemos ver que las dos soluciones de pares ordenados corresponden a los dos puntos de intersección.
Si se nos da un sistema que consiste en un círculo y una línea, entonces hay (3 ) posibilidades para soluciones reales: dos soluciones como se muestra arriba, una solución o ninguna solución.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve: ( left { begin {array} {c} {x + y = 3} \ {x ^ {2} + y ^ {2} = 2} end {array} right . ).
Solución
Resuelve (y ) en la primera ecuación.
( left { begin {array} {c} {x + y} \ {x ^ {2} + y ^ {2}} end {array} right. )
Luego, sustituye (y = 3 − x ) en la segunda ecuación y luego resuelve (x ).
( begin {array} {r} {x ^ {2} + ( color {Cerulean} {3-x} color {black} {)} ^ {2} = 2} \ {x ^ {2} + 9-6 x + x ^ {2} = 2} \ {2 x ^ {2} -6 x + 9 = 2} \ {2 x ^ {2} -6 x + 7 = 0} end {array} )
La ecuación resultante no tiene en cuenta. Además, usando (a = 2 ), (b = −6 ) y (c = 7 ) podemos ver que el discriminante es negativo:
( begin {alineado} b ^ {2} -4 ac & = (- 6) ^ {2} -4 (2) (7) \ & = 36-56 \ & = – 20 final {alineado} )
Llegamos a la conclusión de que no hay soluciones reales para esta ecuación y, por lo tanto, no hay solución para el sistema.
Respuesta :
(Ø )
Si se le da un círculo y una parábola, entonces hay (5 ) posibilidades de soluciones.
Cuando utilizamos el método de sustitución, podemos realizar el paso de sustitución utilizando expresiones algebraicas completas. El objetivo es producir una sola ecuación en una variable que se pueda resolver utilizando las técnicas aprendidas hasta este punto en nuestro estudio de álgebra.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Resuelve: ( left { begin {array} {c} {x ^ {2} + y ^ {2} = 2} \ {yx ^ {2} = – 2} end {array }Correcto.).
Solución
Podemos resolver (x ^ {2} ) en la segunda ecuación.
( left { begin {array} {l} {x ^ {2} + y ^ {2} = 2} \ {yx ^ {2} = – 2 quad Rightarrow quad y + 2 = x ^ {2}} end {array} right. )
Sustituye (x ^ {2} = y + 2 ) en la primera ecuación y luego resuelve (y ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {y + 2} color {black} {+} y ^ {2} & = 2 \ y ^ {2} + y & = 0 \ y (y + 1) & = 0 \ y & = 0 quad text {o} quad y = -1 end {alineado} )
Sustituir en (x ^ {2} = y + 2 ) para encontrar los valores (x ) correspondientes.
| Usando (y = -1 ) | Usando (y = 0 ) |
|---|---|
| ( begin {alineado} x ^ {2} & = y + 2 \ x ^ {2} & = color {Cerulean} {- 1} color {black} {+} 2 \ x ^ {2} & = 1 \ x & = pm 1 end {alineado} ) | ( begin {alineado} x ^ {2} & = y + 2 \ x ^ {2} & = color {Cerulean} {0} color {black} {+} 2 \ x ^ {2} & = 2 \ x & = pm sqrt {2} end {alineado} ) |
Esto nos lleva a cuatro soluciones, ((± 1, −1) ) y (( pm sqrt {2}, 0) ).
Respuesta :
(( pm 1, -1), ( pm sqrt {2}, 0) )
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelva: ( left { begin {alineado} (x-1) ^ {2} -2 y ^ {2} & = 4 \ x ^ {2} + y ^ {2} & = 9 end {alineado} right. )
Solución
Podemos resolver (y ^ {2} ) en la segunda ecuación,
( left { begin {array} {r} {(x-1) ^ {2} -2 y ^ {2} = 4} \ {x ^ {2} + y ^ {2 } = 9} end {array} right. Longrightarrow y ^ {2} = 9-x ^ {2} )
Sustituye (y ^ {2} = 9 − x ^ {2} ) en la primera ecuación y luego resuelve (x ).
( begin {alineado} (x-1) ^ {2} -2 color {negro} { left ( color {Cerulean} {9-x ^ {2}} right)} & = 4 \ x ^ {2} -2 x + 1-18 + 2 x ^ {2} & = 0 \ 3 x ^ {2} -2 x-21 & = 0 \ (3 x + 7) ( x-3) & = 0 \ 3 x + 7 & = 0 text {o} x-3 = 0 \ x & = – frac {7} {3} quad x = 3 end {alineado} )
Sustituir en (y ^ {2} = 9 − x ^ {2} ) para encontrar los valores correspondientes de (y ).
| Usando (x = – frac {7} {3} ) | Usando (x = 3 ) |
|---|---|
| ( begin {array} {l} {y ^ {2} = 9- color {black} { left ( color {Cerulean} {- frac {7} {3}} right) ^ {2}}} \ {y ^ {2} = frac {9} {1} – frac {49} {9}} \ {y ^ {2} = frac {32} {9} } \ {y = pm frac { sqrt {32}} {3} = pm frac {4 sqrt {2}} {3}} end {array} ) | ( begin {alineado} y ^ {2} & = 9 – ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} ^ {2} \ y ^ {2} & = 0 \ y & = 0 end {alineado} ) |
Esto lleva a tres soluciones, ( left (- frac {7} {3}, pm frac {4 sqrt {2}} {3} right) ) y ((3, 0) ).
Respuesta :
((3,0), left (- frac {7} {3}, pm frac {4 sqrt {2}} {3} right) )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve: ( left { begin {alineado} x ^ {2} + y ^ {2} & = 2 \ x y & = 1 end {alineado} derecho. ).
Solución
Resuelve (y ) en la segunda ecuación.
( left { begin {array} {r} {x ^ {2} + y ^ {2} = 2} \ {xy = 1} end {array} right. Longrightarrow y = frac {1} {x} )
Sustituye (y = frac {1} {x} ) en la primera ecuación y luego resuelve (x ).
(x ^ {2} + left ( frac {1} {x} right) ^ {2} = 2 )
(x ^ {2} + frac {1} { x ^ {2}} = 2 )
Esto nos deja con una ecuación racional. Anote que (x ≠ 0 ) y multiplique ambos lados por (x ^ {2} ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {x ^ {2}} color {black} { left (x ^ {2} + frac {1} {x ^ {2}} derecha)} & = 2 cdot color {Cerulean} {x ^ {2}} \ x ^ {4} +1 & = 2 x ^ {2} \ x ^ {4} -2 x ^ {2 } +1 & = 0 \ left (x ^ {2} -1 right) left (x ^ {2} -1 right) & = 0 end {alineado} )
En este punto podemos ver que ambos factores son iguales. Aplicar la propiedad del producto cero.
( begin {alineado} x ^ {2} -1 & = 0 \ x ^ {2} & = 1 \ x & = pm 1 end {alineado} )
Sustituir en (y = frac {1} {x} ) para encontrar los valores (y ) correspondientes.
| Usando (x = -1 ) | Usando (x = 1 ) |
|---|---|
| ( begin {alineado} y & = frac {1} {x} \ & = frac {1} { color {Cerulean} {- 1}} \ & = – 1 end { alineado} ) | ( begin {alineado} y & = frac {1} {x} \ & = frac {1} { color {Cerulean} {1}} \ & = 1 end {alineado} ) |
Esto lleva a dos soluciones.
Respuesta :
((1,1), (- 1, -1) )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve: ( left { begin {array} {r} { frac {1} {x} + frac {1} {y} = 4} \ { frac {1} {x ^ {2}} + frac {1} {y ^ {2}} = 40} end {array} right. )
- Respuesta
-
( left (- frac {1} {2}, frac {1} {6} right) left ( frac {1} {6}, – frac {1} {2} right) )