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las matematicas

8.6: 12.6 Secciones cónicas en coordenadas polares

La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el movimiento de un planeta alrededor del sol o un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste más grande a menudo son elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está vinculada a la ubicación del cuerpo celeste en órbita y la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Como resultado, tendemos a usar coordenadas polares para representar estas órbitas.

En una órbita elíptica, la periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cercanos, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y disminuye a medida que se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que resulta en una órbita infinita. Estos cuerpos exhiben una órbita parabólica o hiperbólica sobre un cuerpo; el cuerpo en órbita se libera del tirón gravitacional del cuerpo celeste y se dispara al espacio. Cada una de estas órbitas puede ser modelada por una sección cónica en el sistema de coordenadas polares.

Identificación de una cónica en forma polar

 

Cualquier cónica se puede determinar por tres características: un solo foco , una línea fija llamada directriz y la relación de las distancias de cada uno a un punto en el gráfico. Considere la parábola (x = 2 + y ^ 2 ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
A horizontal parabola, labeled x = 2 + y squared, opening to the right is shown. The Focus is labeled Focus @ pole and is on the horizontal Polar Axis. The vertical Directrix is shown. A point on the upper side of the parabola is labeled P times (r, theta) and two lines of equal length r are drawn from it, one to the Focus and the other to the Directrix and perpendicular to it. The line to the Focus makes an angle theta with the Polar Axis.
Figura ( PageIndex {2} )
 

Anteriormente aprendimos cómo una parábola se define por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección, aprenderemos cómo definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco (P (r, theta) ) en el polo y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.

 

Si (F ) es un punto fijo, el foco y (D ) es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que (e ) sea un número positivo fijo, llamado [19459002 ] excentricidad , que podemos definir como la relación de las distancias desde un punto en el gráfico al foco y el punto en el gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos (P ) tal que (e = dfrac {PF} {PD} ) es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos (P ) con la propiedad de que la razón de la distancia desde (P ) a (F ) a la distancia desde (P ) to (D ) es igual a la constante (e ).

 

Para una cónica con excentricidad (e ),

 
         
  • si (0≤e <1 ), la cónica es una elipse
  •      
  • si (e = 1 ), la cónica es una parábola
  •      
  • si (e> 1 ), la cónica es una hipérbola
  •  
 

Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz, (x = pm p ), la excentricidad (e ) y el ángulo ( theta ). Por lo tanto, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar , una ecuación escrita en términos de (r ) y ( theta ).

 
 

LA ECUACIÓN POLAR PARA UNA CONICA

 

Para una cónica con un foco en el origen, si la directriz es (x = pm p ), donde (p ) es un número real positivo y la excentricidad es un número real positivo (e ), la cónica tiene una ecuación polar

 

[r = dfrac {ep} {1 pm e cos theta} ]

 

Para una cónica con un foco en el origen, si la directriz es (y = pm p ), donde (p ) es un número real positivo y la excentricidad es un número real positivo (e ), la cónica tiene una ecuación polar

 

[r = dfrac {ep} {1 pm e sin theta} ]

 
 
 
 

Cómo: Dada la ecuación polar para una cónica, identificar el tipo de cónica, la directriz y la excentricidad.

 
         
  1. Multiplica el numerador y el denominador por el recíproco de la constante en el denominador para reescribir la ecuación en forma estándar.
  2.      
  3. Identifique la excentricidad (e ) como el coeficiente de la función trigonométrica en el denominador.
  4.      
  5. Compare (e ) con (1 ) para determinar la forma de la cónica.
  6.      
  7. Determine la directriz como (x = p ) si el coseno está en el denominador y (y = p ) si el seno está en el denominador. Establezca (ep ) igual al numerador en forma estándar para resolver (x ) o (y ).
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación de una cónica dada la forma polar

 

Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad.

 
         
  1. (r = dfrac {6} {3 + 2 sin theta} )
  2.      
  3. (r = dfrac {12} {4 + 5 cos theta} )
  4.      
  5. (r = dfrac {7} {2−2 sin theta} )
  6.  
 

Solución

 

Para cada una de las tres cónicas, reescribiremos la ecuación en forma estándar. La forma estándar tiene un (1 ) como la constante en el denominador. Por lo tanto, en las tres partes, el primer paso será multiplicar el numerador y el denominador por el recíproco de la constante de la ecuación original, ( dfrac {1} {c} ), donde (c ) es que constante.

 
         
  1. Multiplica el numerador y el denominador por ( dfrac {1} {3} ).
  2.  
 

(r = dfrac {6} {3 + 2 sin theta} ⋅ dfrac { left ( dfrac {1} {3} right)} { left ( dfrac {1} { 3} right)} = dfrac {6 left ( dfrac {1} {3} right)} {3 left ( dfrac {1} {3} right) +2 left ( dfrac { 1} {3} right) sin theta} = dfrac {2} {1+ dfrac {2} {3} sin theta} )

 

Como ( sin theta ) está en el denominador, la directriz es (y = p ). En comparación con la forma estándar, tenga en cuenta que (e = dfrac {2} {3} ). Por lo tanto, desde el numerador,

 

[ begin {align *} 2 & = ep \ 2 & = dfrac {2} {3} p \ left ( dfrac {3} {2} right) 2 & = left ( dfrac {3} {2} right) dfrac {2} {3} p \ 3 & = p end {align *} ]

 

Desde (e <1 ), la cónica es una elipse . La excentricidad es (e = dfrac {2} {3} ) y la directriz es (y = 3 ).

 
         
  1. Multiplica el numerador y el denominador por ( dfrac {1} {4} ).
  2.  
 

[ begin {align *} r & = dfrac {12} {4 + 5 cos theta} cdot dfrac { left ( dfrac {1} {4} right)} { left ( dfrac {1} {4} right)} \ r & = dfrac {12 left ( dfrac {1} {4} right)} {4 left ( dfrac {1} {4} derecha) +5 izquierda ( dfrac {1} {4} derecha) cos theta} \ r & = dfrac {3} {1+ dfrac {5} {4} cos theta} end {alinear *} ]

 

Como ( cos theta ) está en el denominador, la directriz es (x = p ). En comparación con la forma estándar, (e = dfrac {5} {4} ). Por lo tanto, desde el numerador,

 

[ begin {align *} 3 & = ep \ 3 & = dfrac {5} {4} p \ left ( dfrac {4} {5} right) 3 & = left ( dfrac {4} {5} right) dfrac {5} {4} p \ dfrac {12} {5} & = p end {align *} ]

 

Desde (e> 1 ), la cónica es una hipérbola . La excentricidad es (e = dfrac {5} {4} ) y la directriz es (x = dfrac {12} {5} = 2.4 ).

 
         
  1. Multiplica el numerador y el denominador por ( dfrac {1} {2} ).
  2.  
 

[ begin {align *} r & = dfrac {7} {2-2 sin theta} cdot dfrac { left ( dfrac {1} {2} right)} { left ( dfrac {1} {2} right)} \ r & = dfrac {7 left ( dfrac {1} {2} right)} {2 left ( dfrac {1} {2} derecha) -2 izquierda ( dfrac {1} {2} derecha) sin theta} \ r & = dfrac { dfrac {7} {2}} {1- sin theta} end { alinear *} ]

 

Debido a que el seno está en el denominador, la directriz es (y = −p ). En comparación con la forma estándar, (e = 1 ). Por lo tanto, desde el numerador,

 

[ begin {align *} dfrac {7} {2} & = ep \ dfrac {7} {2} & = (1) p \ dfrac {7} {2} & = p end {align *} ]

 

Porque (e = 1 ), la cónica es una parábola. La excentricidad es (e = 1 ) y la directriz es (y = – dfrac {7} {2} = – 3.5 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad para (r = dfrac {2} {3− cos theta} ).

 
     
Respuesta
     
     

elipse; (e = dfrac {1} {3} ); (x = −2 )

     
 
 
 

Graficando las ecuaciones polares de las cónicas

 

Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando grafica en coordenadas polares. Debemos usar la excentricidad de una sección cónica para determinar qué tipo de curva graficar y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como lo hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, necesitamos reescribir la ecuación para que el denominador comience con (1 ). Esto nos permite determinar (e ) y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores por ( theta ) y resolver (r ) para trazar algunos puntos clave. Establecer ( theta ) igual a (0 ), ( dfrac { pi} {2} ), ( pi ) y ( dfrac {3 pi} {2} ) proporciona los vértices para que podamos crear un boceto aproximado del gráfico.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2A} ): Graficando una parábola en forma polar

 

Gráfico (r = dfrac {5} {3 + 3 cos theta} ).

 

Solución

 

Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de (3 ), que es ( dfrac {1} {3} ).

 

[ begin {align *} r & = dfrac {5} {3 + 3 cos theta} = dfrac {5 left ( dfrac {1} {3} right)} {3 left ( dfrac {1} {3} right) +3 left ( dfrac {1} {3} right) cos theta} \ r & = dfrac { dfrac {5} {3 }} {1+ cos theta} end {align *} ]

 

Como (e = 1 ), graficaremos una parábola con un foco en el origen. La función tiene un ( cos theta ), y hay un signo de suma en el denominador, por lo que la directriz es (x = p ).

 

[ begin {align *} dfrac {5} {3} & = ep \ dfrac {5} {3} & = (1) p \ dfrac {5} {3} & = p end {align *} ]

 

La directriz es (x = dfrac {5} {3} ).

 

Trazar algunos puntos clave como en la Tabla ( PageIndex {1} ) nos permitirá ver los vértices. Ver Figura ( PageIndex {3} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {1} )
A B C D
( theta ) (0 ) ( dfrac { pi} {2} ) ( pi ) ( dfrac {3 pi} {2} )
(r = dfrac {5} {3 + 3 cos theta} ) ( dfrac {5} {6} ≈0,83 ) ( dfrac {5} {3} ≈1,67 ) indefinido ( dfrac {5} {3} ≈1,67 )
 
A horizontal parabola opening left is shown in a polar coordinate system. The Focus is at the Pole. The Directrix, the vertical line x = 5/3, is shown. The Vertex is labeled A. The points where the parabola intersects the vertical axis through the Pole are labeled: the upper point is B, the lower point is D. The Polar Axis tick marks are labeled 2, 3, 4, 5.
Figura ( PageIndex {3} )
 

Podemos verificar nuestro resultado con una utilidad gráfica. Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 
A horizontal parabola opening left is shown in a polar coordinate system. The Vertex is on the Polar Axis at r = 1. The Polar Axis tick marks are labeled 2, 3, 4, 5.
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2B} ): Graficando una hipérbola en forma polar

 

Gráfico (r = dfrac {8} {2−3 sin theta} ).

 

Solución

 

Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de (2 ), que es ( dfrac {1} {2} ).

 

[ begin {align *} r & = dfrac {8} {2−3 sin theta} = dfrac {8 left ( dfrac {1} {2} right)} {2 left ( dfrac {1} {2} right) −3 left ( dfrac {1} {2} right) sin theta} \ r & = dfrac {4} {1− dfrac {3} {2} sin theta} end {align *} ]

 

Porque (e = dfrac {3} {2} ), (e> 1 ), por lo que graficaremos una hipérbola con un foco en el origen. La función tiene un término ( sin theta ) y hay un signo de resta en el denominador, entonces la directriz es (y = −p ).

 

[ begin {align *} 4 & = ep \ 4 & = left ( dfrac {3} {2} right) p \ 4 left ( dfrac {2} {3} right) & = p \ dfrac {8} {3} & = p end {align *} ]

 

La directriz es (y = – dfrac {8} {3} ).

 

Trazar algunos puntos clave como en la Tabla ( PageIndex {2} ) nos permitirá ver los vértices. Ver Figura ( PageIndex {5} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {2} )
A B C D
( theta ) (0 ) ( dfrac { pi} {2} ) ( pi ) ( dfrac {3 pi} {2} )
             

(r = dfrac {8} {2−3 sin theta} )

             
             

(4 )

             
             

(- 8 )

             
             

(4 )

             
             

( dfrac {8} {5} = 1.6 )

             
   
A vertical hyperbola is shown in a polar coordinate system, centered below the Pole. The Vertices are on the vertical axis through the Pole. The upper Vertex is labeled D and the lower Vertex is labeled B. The points where the upper branch of the hyperbola intersect the Polar Axis and its horizontal extension are labeled A and C respectively. The Polar Axis tick marks are labeled 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Figura ( PageIndex {5} )
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2C} ): Graficando una elipse en forma polar

 

Gráfico (r = dfrac {10} {5−4 cos theta} ).

 

Solución

 

Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 5, que es ( dfrac {1} {5} ).

 

[ begin {align *} r & = dfrac {10} {5−4 cos theta} = dfrac {10 left ( dfrac {1} {5} right)} {5 left ( dfrac {1} {5} right) −4 left ( dfrac {1} {5} right) cos theta} \ r & = dfrac {2} {1− dfrac {4} {5} cos theta} end {align *} ]

 

Debido a que (e = dfrac {4} {5} ), (e <1 ), entonces graficaremos una elipse con un foco en el origen. La función tiene un ( cos theta ), y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es (x = −p ).

 

[ begin {align *} 2 & = ep \ 2 & = left ( dfrac {4} {5} right) p \ 2 left ( dfrac {5} {4} right) & = p \ dfrac {5} {2} & = p end {align *} ]

 

La directriz es (x = – dfrac {5} {2} ).

 

Trazar algunos puntos clave como en la Tabla ( PageIndex {3} ) nos permitirá ver los vértices. Ver Figura ( PageIndex {6} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Tabla ( PageIndex {3} )
A B C D
( theta ) (0 ) ( dfrac { pi} {2} ) ( pi ) ( dfrac {3 pi} {2} )
(r = dfrac {10} {5−4 cos theta} ) (10 ​​) (2 ) ( dfrac {10} {9} ≈1.1 ) (2 )
   
A horizontal ellipse is shown in a polar coordinate system, centered on the Polar Axis to the right of the Pole. The Vertices are on the Polar Axis. The right Vertex is labeled A and the left Vertex is labeled C and is to the left of the Pole.  Point A is on the Polar Axis at r = 10. The Polar Axis tick marks are labeled 2, 4, 6, 8, 10, 12. The upper and lower points where the ellipse intersects the vertical axis through the Pole are labeled B and D respectively. The Directrix, the vertical line x = negative 5/2, is shown.
Figura ( PageIndex {6} )
 

Análisis

 

Podemos verificar nuestro resultado utilizando una utilidad gráfica. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

 
Figura ( PageIndex {6} ): (r = dfrac {10} {5−4 cos theta} ) graficada en una ventana de visualización de ([- 3,12,1] ) por ([- 4,4,1] ), ( theta min = 0 ) y ( theta max = 2 pi ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Gráfico (r = dfrac {2} {4− cos theta} ).

 
     
Respuesta
     
     
Figura ( PageIndex {7} )
     
 
 
 

Definición de cónicas en términos de enfoque y directriz

 

Hasta ahora hemos estado usando ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora trabajaremos en reversa; Utilizaremos información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.

 
 

Cómo: dado el enfoque, la excentricidad y la directriz de una cónica, determinar la ecuación polar

 
         
  1. Determine si la directriz es horizontal o vertical. Si la directriz se da en términos de (y ), usamos la forma polar general en términos de seno. Si la directriz se da en términos de (x ), usamos la forma polar general en términos de coseno.
  2.      
  3. Determine el signo en el denominador. Si (p <0 ), use la resta. Si (p> 0 ), use la suma.
  4.      
  5. Escribe el coeficiente de la función trigonométrica como la excentricidad dada.
  6.      
  7. Escribe el valor absoluto de (p ) en el numerador y simplifica la ecuación.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Encontrar la forma polar de una cónica vertical dado un foco en el origen y la excentricidad y directriz

 

Encuentra la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, (e = 3 ) y directrix (y = −2 ).

 

Solución

 

La directriz es (y = −p ), por lo que sabemos que la función trigonométrica en el denominador es seno.

 

Porque (y = −2 ), (- 2 <0 ), entonces sabemos que hay un signo de resta en el denominador. Utilizamos la forma estándar de

 

(r = dfrac {ep} {1 − e sin theta} )

 

y (e = 3 ) y (| −2 | = 2 = p ).

 

Por lo tanto,

 

[ begin {align *} r & = dfrac {(3) (2)} {1-3 sin theta} \ r & = dfrac {6} {1-3 sin theta} end {align *} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3B} ): Encontrar la forma polar de una cónica horizontal dado un enfoque en el origen y la excentricidad y directriz

 

Encuentra la forma polar de una cónica dado un foco en el origen, (e = dfrac {3} {5} ), y directrix (x = 4 ).

 

Solución

 

Debido a que la directriz es (x = p ), sabemos que la función en el denominador es coseno. Porque (x = 4 ), (4> 0 ), entonces sabemos que hay un signo de suma en el denominador. Utilizamos la forma estándar de

 

(r = dfrac {ep} {1 + e cos theta} )

 

y (e = dfrac {3} {5} ) y (| 4 | = 4 = p ).

 

Por lo tanto,

 

[ begin {align *} r & = dfrac { left ( dfrac {3} {5} right) (4)} {1+ dfrac {3} {5} cos theta } \ r & = dfrac { dfrac {12} {5}} {1+ dfrac {3} {5} cos theta} \ r & = dfrac { dfrac {12} {5} } {1 left ( dfrac {5} {5} right) + dfrac {3} {5} cos theta} \ r & = dfrac { dfrac {12} {5}} { dfrac {5} {5} + dfrac {3} {5} cos theta} \ r & = dfrac {12} {5} ⋅ dfrac {5} {5 + 3 cos theta} r & = dfrac {12} {5 + 3 cos theta} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, (e = 1 ) y directriz (x = −1 ).

 
     
Respuesta
     
     

(r = dfrac {1} {1− cos theta} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Convertir una cónica en forma polar en forma rectangular

 

Convierta la cónica (r = dfrac {1} {5−5 sin theta} ) a forma rectangular.

 

Solución:

 

Reorganizaremos la fórmula para usar las identidades (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ).

 

[ begin {align *} r & = dfrac {1} {5-5 sin theta} \ r cdot (5-5 sin theta) & = dfrac {1} {5 -5 sin theta} cdot (5-5 sin theta) qquad text {Eliminar la fracción.} \ 5r-5r sin theta & = 1 qquad text {Distribuir.} \ 5r & = 1 + 5r sin theta qquad text {Isolate} 5r. \ 25r ^ 2 & = {(1 + 5r sin theta)} ^ 2 qquad text {Cuadra ambos lados. } \ 25 (x ^ 2 + y ^ 2) & = {(1 + 5y)} ^ 2 qquad text {Sustituir} r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} text {y} y = r sin theta. \ 25x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 1 + 10y + 25y ^ 2 qquad text {Distribuya y use FOIL. } \ 25x ^ 2-10y & = 1 qquad text {Reorganizar términos y establecer igual a 1.} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Convierta la cónica (r = dfrac {2} {1 + 2 cos theta} ) a forma rectangular.

 
     
Respuesta
     
     

(4−8x + 3x ^ 2 − y ^ 2 = 0 )

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con cónicas en coordenadas polares.

 
 

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