8.6: Propiedades de logaritmos; Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

8.6: Propiedades de logaritmos; Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

                 

Los logaritmos fueron descubiertos y utilizados en la antigüedad por matemáticos indios e islámicos. Sin embargo, no se usaron ampliamente hasta el siglo XVII, cuando los logaritmos simplificaron las grandes cantidades de cálculos manuales necesarios en las exploraciones científicas de la época. En particular, después de la invención del telescopio, los cálculos con datos astronómicos se hicieron muy importantes, y los logaritmos se convirtieron en una herramienta matemática esencial. De hecho, hasta la invención de la computadora y la calculadora electrónica en los últimos tiempos, los cálculos manuales utilizando logaritmos eran un elemento básico del plan de estudios de cada estudiante de ciencias.

 

La utilidad de los logaritmos en los cálculos se basa en las siguientes tres propiedades importantes, conocidas generalmente como las propiedades de los logaritmos.

 
 

PROPIEDAD DE LOS LOGARITMOS

 

(a) (log_ {b} (MN) = log_ {b} (M) + log_ {b} (N) )

 

(b) (log_ {b} ( frac {M} {N}) = log_ {b} (M) −log_ {b} (N) )

 

(c) (log_ {b} (M ^ r) = rlog_ {b} (M) )

 

siempre que M, N, b> 0.

 
 

La primera propiedad dice que el «registro de un producto es la suma de los registros». El segundo dice que el «registro de un cociente es la diferencia de los registros». Y la tercera propiedad a veces se conoce como la «regla de poder». Hablando en términos generales, cuando tomas el registro de una potencia, puedes mover el exponente al frente del registro.

 

No entraremos en detalles de los procedimientos de cálculo utilizando las propiedades (a) y (b), ya que estos procedimientos ya no son necesarios después de la invención de la calculadora. Pero la idea es que un producto que consume mucho tiempo de dos números, por ejemplo dos números de 10 dígitos, puede transformarse por la propiedad (a) en un problema de suma mucho más simple. Del mismo modo, un cociente grande y difícil puede transformarse mediante la propiedad (b) en un problema de resta mucho más simple. Las propiedades (a) y (b) también son la base de la regla de cálculo, un dispositivo de cómputo mecánico que precedió a la calculadora electrónica (muy rápido y útil, pero con una precisión de aproximadamente tres dígitos).

 

La propiedad (c), por otro lado, sigue siendo útil para cálculos difíciles. Si intenta calcular una gran potencia, digamos 2100, en una calculadora o computadora, recibirá un mensaje de error. Esto se debe a que todas las calculadoras y computadoras solo pueden manejar números y exponentes dentro de un cierto rango. Entonces, para calcular una gran potencia, es necesario usar la propiedad (c) para convertirla en un problema de multiplicación. Los detalles de este procedimiento se dan en la Sección 8.8.

 

Aunque las propiedades (a) y (b) ya no son necesarias para fines de cálculo, eso no significa que no sean importantes. Las funciones logarítmicas sirven para muchos propósitos en matemáticas y ciencias, y todas las propiedades del logaritmo son útiles de varias maneras.

 

¿De dónde vienen las propiedades del logaritmo? En realidad, todos se derivan de las leyes de los exponentes, utilizando el hecho de que la función exponencial es la inversa de la función logaritmo. Como solo usaremos la propiedad (c) en este libro, mostraremos cómo se deriva esa propiedad. Las propiedades (a) y (b) se derivan de manera similar.

 

Prueba de (c): Comience en el lado derecho de la ecuación y etiquete (log_ {b} (M) ) por x:

 

(x = log_ {b} (M) )

 

Use la Definición 1 en la Sección 8.5 para reescribir la ecuación en forma exponencial:

 

(b ^ x = M )

 

Elevar ambos lados a la enésima potencia:

 

((b ^ x) ^ r = M ^ r )

 

Aplica una de las Leyes de exponentes al lado izquierdo:

 

(b ^ {rx} = M ^ r )

 

Aplicar la función logarítmica de base b a ambos lados:

 

(log_ {b} (b ^ rx) = log_ {b} (M ^ r) )

 

Aplicar la fórmula (10) en la Sección 8.5 al lado izquierdo:

 

(rx = log_ {b} (M ^ r) )

 

Sustituye x por la primera línea de arriba:

 

(rlog_ {b} (M) = log_ {b} (M ^ r) )

 

Esta es la fórmula en la propiedad (c).

   

Cambio de fórmula base

 

Ahora podemos probar una fórmula de conversión que nos permitirá calcular el logaritmo en cualquier base.

 
 

CAMBIO DE FÓRMULA BASE

 

(log_ {a} (x) = frac {log_ {b} (x)} {log_ {b} (a)} )

 
 

Prueba: Comience en el lado izquierdo de la ecuación y etiquete (log_ {a} (x) ) por r:

 

(r = log_ {a} (x) )

 

Use la Definición 1 en la Sección 8.5 para reescribir la ecuación en forma exponencial:

 

(a ^ r = x )

 

Aplicar la función logarítmica de base b a ambos lados:

 

(log_ {b} (a ^ r) = log_ {b} (x) )

 

Aplicar propiedad (c) al lado izquierdo:

 

(rlog_ {b} (a) = log_ {b} (x) )

 

Dividir entre (log_ {b} (a) ):

 

(r = frac {log_ {b} (x)} {log_ {b} (a)} )

 

Sustituye r por la primera línea de arriba:

 

(log_ {a} (x) = frac {log_ {b} (x)} {log_ {b} (a)} )

 

Este es el cambio de fórmula base.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {1} )

 

Compute (log_ {2} (5) ).

 
 

Antes de aplicar el cambio de fórmula base, veamos si podemos estimar el valor de (log_ {2} (5) ). Primero recuerde de la Propiedad 9 en la Sección 8.5 que (2 ^ {log_ {2} (5)} = 5 ). Ahora, ¿qué tan grande debería ser el exponente sobre una base de 2 para que la potencia sea igual a 5? Dado que (2 ^ 2 = 4 ) (demasiado pequeño) y (2 ^ 3 = 8 ) (demasiado grande), deberíamos esperar que (log_ {2} (5) ) esté entre 2 y 3 De hecho, aplicando el cambio de fórmula base con los rendimientos de logaritmo común

 

(log_ {2} (5) = frac {log_ {10} (5)} {log_ {10} (5)} = frac {log (5)} {log (2)} aprox frac {.6989700043} {. 3010299957} aprox. 2.321928095 ).

 

Según la fórmula, podríamos utilizar el logaritmo natural para obtener la misma respuesta, como en

 

(log_ {2} (5) = frac {log_ {e} (5)} {log_ {e} (2)} = frac {ln (5)} {ln (2)} aprox frac {1.609437912} {. 6931471806} aprox 2.321928095 ).

 

Las pulsaciones de teclas de la calculadora se muestran en Figura 1 .

 
Screen Shot 2019-08-14 at 4.09.49 PM.png
Figura 1. Computación (log_ {2} (5) ) utilizando la fórmula de cambio de base.
 

Otra forma de ver el Cambio de fórmula base es que dice que todos los logaritmos son múltiplos entre sí, ya que

 

(log_ {a} (x) = ( frac {1} {log_ {b} (a)}) log_ {b} (x) ).

 

Por lo tanto, (log_ {a} (x) ) es un múltiplo constante de (log_ {b} (x) ), donde la constante es ( frac {1} {log_ {b} ( una)}).

   

Resolver ecuaciones exponenciales

 

La propiedad (c) ( (log_ {b} (M ^ r) = r log_ {b} (M) )) también se usa ampliamente para ayudar a resolver ecuaciones exponenciales, y por lo tanto será una herramienta importante trabajar con aplicaciones en la siguiente sección. En términos generales, la estrategia principal para resolver ecuaciones exponenciales es (1) aislar primero la exponencial, luego (2) aplicar una función logarítmica a ambos lados y luego (3) usar la propiedad (c). Ilustraremos la estrategia con varios ejemplos.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {2} )

 

Resuelve (8 = 5 (3 ^ x) ).

 
 

Antes de intentar el procedimiento descrito anteriormente, primero acerquemos la solución usando un enfoque gráfico. Grafica ambos lados de la ecuación en tu calculadora, y luego encuentra la intersección de las dos curvas para obtener (x aproximadamente 0.42781574 ) (ver Figura 2 ).

 
Screen Shot 2019-08-14 at 4.14.18 PM.png
Figura 2. Aproximando la solución de (8 = 5 (3 ^ x) ) gráficamente.
 

Ahora resolveremos la ecuación algebraicamente. Primero aísle la función exponencial en un lado de la ecuación dividiendo ambos lados entre 5:

 

(1.6 = 3 ^ x )

 

Luego toma el logaritmo de ambos lados. Utilice el registro común o natural:

 

(log (1.6) = log (3 ^ x) )

 

Ahora use la propiedad (c) para mover el exponente al frente del registro en el lado derecho:

 

log (1.6) = xlog (3)

 

Finalmente, resuelve x dividiendo ambos lados por log (3):

 

( frac {log (1.6)} {log (3)} = x )

 

Por lo tanto, el valor exacto de x es ( frac {log (1.6)} {log (3)} ), y el valor aproximado es 0.42781574. Tenga en cuenta que esto es lo mismo que la aproximación gráfica encontrada anteriormente.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {3} )

 

Resuelve (300 = 100 (1.05 ^ {5x}) ).

 
 

(300 = 100 (1.05 ^ {5x}) )

 

( rightarrow 3 = 1.05 ^ {5x} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow log (3) = log (1.05 ^ {5x}) ) aplica la función de registro común

 

( rightarrow log (3) = 5x log (1.05) ) use la propiedad (c)

 

( rightarrow frac {log (3)} {5log (1.05)} = x ) dividir

 

( rightarrow x aprox 4.503417061 )

 

Si la base del exponencial es 10 oe , la elección correcta del logaritmo lleva a una solución más rápida:

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (3 = 4e ^ x ).

 
 

(3 = 4e ^ x ).

 

( rightarrow 0.75 = e ^ x ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln (0.75) = ln (e ^ x) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln (0.75) = x ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow x aprox −.2876820725 )

 

En este caso, debido a que la base de la función exponencial es e , el uso de la función de registro natural simplifica la solución.

 

Ahora podemos centrar nuestra atención en resolver problemas de aplicación más interesantes, como las preguntas planteadas al final de la Sección 8.3.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {5} )

 

Si deposita $ 1000 en una cuenta que paga 6% de interés compuesto continuamente, ¿cuánto tiempo le tomará tener $ 1500 en su cuenta?

 
 

Primero, recuerde la fórmula de interés compuesto continuo de la Sección 8.3:

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ) (6)

 

En este caso, (P_ {0} = 1000 ) y r = .06. Al insertar estos valores en la fórmula, obtenemos

 

(P (t) = 1000e ^ {0.06t} ).

 

Ahora queremos que el valor futuro P (t) de la cuenta en algún momento t sea igual a $ 1500. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación

 

(1500 = 1000e ^ {0.06t} ).

 

Siguiendo los pasos del ejemplo anterior,

 

(1500 = 1000e ^ {0.06t} )

 

( rightarrow 1.5 = e ^ {0.06t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln (1.5) = ln (e ^ {0.06t}) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln (1.5) = 0.06t ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow frac {ln (1.5)} {0.06} = t ) dividir

 

( rightarrow t aprox 6.757751802 )

 

Por lo tanto, tomaría alrededor de 6 años y 9 meses.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {7} )

 

Si deposita $ 1000 en una cuenta que paga 5% de interés compuesto mensualmente, ¿cuánto tiempo le tomará duplicar su dinero?

 
 

Primero, recuerde la fórmula de interés compuesto discreto de la Sección 8.3:

 

(P (t) = P_ {0} (1+ frac {r} {n}) ^ {nt} ) (8)

 

En este caso, (P_ {0} = 1000 ), r = .05 yn = 12. Al insertar estos valores en la fórmula, obtenemos

 

(P (t) = 1000 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12t} ).

 

Ahora queremos que el valor futuro P (t) de la cuenta en algún momento t sea igual al doble de la cantidad inicial. En otras palabras, queremos que P (t) sea igual a 2000. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación

 

(2000 = 1000 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12t} ).

 

Siguiendo los pasos de los Ejemplos 2 y 3 ,

 

(2000 = 1000 (1+ frac {.05} {12}) ^ {12t} )

 

( rightarrow 2 = (1+ frac {.05} {12}) ^ {12t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow log (2) = log ((1+ frac {.05} {12}) ^ {12t}) ) aplica la función de registro común

 

( rightarrow log (2) = 12tlog (1+ frac {.05} {12}) ) use la propiedad (c)

 

( rightarrow frac {log (2)} {12log (1+ frac {.05} {12})} = t ) dividir

 

( rightarrow t aprox 13.89180573 )

 

Por lo tanto, su dinero tardaría aproximadamente 13,9 años en duplicarse.

   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 10 , usa una calculadora para evaluar la función en el valor dado p . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

(f (x) = log_ {4} (x) ); p = 57,60.

 
     
Respuesta
     
     

2 . 92

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

(f (x) = log_ {4} (x) ); p = 11,22.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

(f (x) = log_ {7} (x) ); p = 2,98.

 
     
Respuesta
     
     

0 . 56

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

(f (x) = log_ {3} (x) ); p = 2,27.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

(f (x) = log_ {6} (x) ); p = 2,56.

 
     
Respuesta
     
     

0 . 52

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

(f (x) = log_ {8} (x) ); p = 289,27.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

(f (x) = log_ {8} (x) ); p = 302,67.

 
     
Respuesta
     
     

2 . 75

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

(f (x) = log_ {5} (x) ); p = 15,70.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

(f (x) = log_ {8} (x) ); p = 46,13.

 
     
Respuesta
     
     

1 . 84

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

(f (x) = log_ {4} (x) ); p = 15,59.

 
 

En Ejercicios 11 18 , realiza cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1. Aproxima la solución de la ecuación dada usando tu calculadora gráfica. Cargue cada lado de la ecuación en el menú Y = de su calculadora. Ajuste los parámetros de VENTANA para que el punto de intersección de los gráficos sea visible en la ventana de visualización. Use la utilidad de intersección en el menú CALC de su calculadora para determinar la coordenada x del punto de intersección. Luego haga una copia precisa de la imagen en su ventana de visualización en su tarea.
  2.      
  3.      

    Resuelve la ecuación dada algebraicamente y redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

         
  4.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

(20 = 3 (1.2) ^ x )

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Screen Shot 2019-08-15 at 2.26.22 PM.png
  2.          
  3.          

    10 . 41

             
  4.      
     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

(15 = 2 (1.8) ^ x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

(14 = (1.4) ^ {5x} )

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Screen Shot 2019-08-15 at 2.27.17 PM.png
  2.          
  3.          

    1 . 57

             
  4.      
     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

(16 = (1.8) ^ {4x} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

(- 4 = 0.2 ^ x − 9 )

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Screen Shot 2019-08-15 at 2.30.00 PM.png
  2.          
  3.          

    1 . 00

             
  4.      
     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

(12 = 2.9 ^ x + 2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

(13 = 0.1 ^ {x + 1} )

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Screen Shot 2019-08-15 at 2.30.59 PM.png
  2.          
  3.          

    2 . 11

             
  4.      
     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

(19 = 1.2 ^ {x − 6} )

 
 

En Ejercicios 19 34 , resuelve la ecuación dada algebraicamente y redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

(20 = e ^ {x − 3} )

 
     
Respuesta
     
     

6 . 00

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

(- 4 = e ^ x − 9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

(23 = 0.9 ^ x + 9 )

 
     
Respuesta
     
     

25 . 05

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

(10 ​​= e ^ x + 7 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(19 = e ^ x + 5 )

 
     
Respuesta
     
     

2 . 64

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

(4 = 7 (2.3) ^ x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

(18 = e ^ {x + 4} )

 
     
Respuesta
     
     

1 . 11

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

(15 = e ^ {x + 6} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

(8 = 2.7 ^ {3x} )

 
     
Respuesta
     
     

0 . 70

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

(7 = e ^ x + 1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

(7 = 1.1 ^ {8x} )

 
     
Respuesta
     
     

2 . 55

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

(6 = 0.2 ^ {x − 8} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

(- 7 = 1.3 ^ {x − 9} )

 
     
Respuesta
     
     

2 . 64

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

(11 = 3 (0.7) ^ x )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

(23 = e ^ x + 9 )

 
     
Respuesta
     
     

2 . 64

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

(20 = 3.2 ^ {x + 1} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

Suponga que invierte $ 17,000 al 6% de interés compuesto diariamente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

11 . 55 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

Suponga que invierte $ 6,000 al 9% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

Suponga que invierte $ 16,000 al 6% de interés compuesto diariamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 26,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

8 . 09 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

Suponga que invierte $ 15,000 al 5% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

Suponga que invierte $ 18,000 al 3% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

23 . 13 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

Suponga que invierte $ 7,000 al 5% de interés compuesto diariamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 13,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

Suponga que invierte $ 16,000 al 9% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

7 . 70 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

Suponga que invierte $ 16,000 al 2% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 25,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

Suponga que invierte $ 2,000 al 5% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 10,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

32 . 19 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

Suponga que invierte $ 4,000 al 6% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 10,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

Suponga que invierte $ 4,000 al 3% de interés compuesto diariamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 14,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

41 . 76 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

Suponga que invierte $ 13,000 al 2% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 20,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {47} )

 

Suponga que invierte $ 20,000 al 7% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años le tomará a su inversión alcanzar los $ 30,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

5 . 79 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {48} )

 

Suponga que invierte $ 16,000 al 4% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {49} )

 

Suponga que invierte $ 8,000 al 8% de interés compuesto continuamente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

8 . 66 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {50} )

 

Suponga que invierte $ 3,000 al 3% de interés compuesto diariamente. ¿Cuántos años llevará duplicar su inversión? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
                   
                                  
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