Después de definir los términos expresión y ecuación a principios de 19459007] , los hemos usado a lo largo de este libro. Tenemos simplificado muchos tipos de expresiones y resuelto ] muchos tipos de ecuaciones . Hemos simplificado muchas expresiones racionales hasta ahora en este capítulo. Ahora resolveremos ecuaciones racionales.
La definición de una ecuación racional es similar a la definición de ecuación que utilizamos en Fundamentos .
Debe asegurarse de conocer la diferencia entre expresiones racionales y ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.
[ begin {array} {cc} { textbf {Expresión racional}} y { textbf {Ecuación racional}} \ { frac {1} {8} x + frac {1} {2}} & { frac {1} {8} x + frac {1} {2} = frac {1} {4}} \ { frac {y + 6} {y ^ 2−36} } & { frac {y + 6} {y ^ 2−36} = y + 1} \ { frac {1} {n − 3} + frac {1} {n + 4}} & { frac {1} {n − 3} + frac {1} {n + 4} = frac {15} {n ^ 2 + n − 12}} \ nonumber end {array} ]
Resolver ecuaciones racionales
Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos la pantalla LCD de todas las fracciones en la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD para “borrar” las fracciones.
Aquí hay un ejemplo que hicimos cuando trabajamos con ecuaciones lineales:
Utilizaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD. Entonces tendremos una ecuación que no contiene expresiones racionales y, por lo tanto, es mucho más fácil de resolver.
Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador, debemos tener cuidado de no terminar con una solución que haga un denominador igual a cero.
Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían cero a cualquier denominador. De esa manera, cuando resolvamos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debemos descartar.
Una solución algebraica a una ecuación racional que causaría que cualquiera de las expresiones racionales sea indefinida se denomina solución extraña .
Definición: SOLUCIÓN EXTRAÑA A UNA ECUACIÓN RACIONAL
Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que causaría que cualquiera de las expresiones en la ecuación original sea indefinida.
Observamos las posibles soluciones extrañas, c , escribiendo (x ne c ) al lado de la ecuación.
Cómo resolver ecuaciones con expresiones racionales
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelva: ( frac {1} {y} + frac {2} {3} = frac {1} {5} ).
- Respuesta
-
(- frac {15} {7} )
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelva: ( frac {2} {3} + frac {1} {5} = frac {1} {x} ).
- Respuesta
-
( frac {15} {13} )
Los pasos de este método se muestran a continuación.
Definición: RESOLVER ECUACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES.
- Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.
- Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación.
- Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Verificación.
- Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
- Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.
Siempre comenzamos señalando los valores que causarían que cualquier denominador sea cero.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelva: (1− frac {5} {y} = – frac {6} {y ^ 2} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelva: (1− frac {2} {a} = frac {15} {a ^ 2} ).
- Respuesta
-
5, −3
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelva: (1− frac {4} {b} = frac {12} {b ^ 2} ).
- Respuesta
-
6, −2
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelva: ( frac {5} {3u − 2} = frac {3} {2u} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Resuelva: ( frac {1} {x − 1} = frac {2} {3x} ).
- Respuesta
-
−2
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Resuelva: ( frac {3} {5n + 1} = frac {2} {3n} ).
- Respuesta
-
−2
Cuando uno de los denominadores es cuadrático, recuerde factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Resuelva: ( frac {2} {p + 2} + frac {4} {p − 2} = frac {p − 1} {p ^ 2−4} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Resuelva: ( frac {2} {x + 1} + frac {1} {x − 1} = frac {1} {x ^ 2−1} ).
- Respuesta
-
( frac {2} {3} )
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Resolver: ( frac {5} {y + 3} + frac {2} {y − 3} = frac {5} {y ^ 2−9} )
- Respuesta
-
2
Ejemplo ( PageIndex {13} )
Resuelva: ( frac {4} {q − 4} – frac {3} {q − 3} = 1 ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {14} )
Resuelva: ( frac {2} {x + 5} – frac {1} {x − 1} = 1 ).
- Respuesta
-
−1, −2
Ejemplo ( PageIndex {15} )
Resuelva: ( frac {3} {x + 8} – frac {2} {x − 2} = 1 ).
- Respuesta
-
−2, −3
Ejemplo ( PageIndex {16} )
Resuelva: ( frac {m + 11} {m ^ 2−5m + 4} = frac {5} {m − 4} – frac {3} {m − 1} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {17} )
Resuelva: ( frac {x + 13} {x ^ 2−7x + 10} = frac {6} {x − 5} – frac {4} {x − 2} ).
- Respuesta
-
sin solución
Ejemplo ( PageIndex {18} )
Resuelva: ( frac {y − 14} {y ^ 2 + 3y − 4} = frac {2} {y + 4} + frac {7} {y − 1} ).
- Respuesta
-
sin solución
La ecuación que resolvimos en Ejemplo tenía solo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. Algunas ecuaciones no tienen solución.
Ejemplo ( PageIndex {19} )
Resuelva: ( frac {n} {12} + frac {n + 3} {3n} = frac {1} {n} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {20} )
Resuelve: ( frac {x} {18} + frac {x + 6} {9x} = frac {2} {3x} ).
- Respuesta
-
−2
Ejemplo ( PageIndex {21} )
Resuelva: ( frac {y + 5} {5y} + frac {y} {15} = frac {1} {y} ).
- Respuesta
-
−3
Ejemplo ( PageIndex {22} )
Resuelva: ( frac {y} {y + 6} = frac {72} {y ^ 2−36} +4 ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {23} )
Resuelva: ( frac {x} {x + 4} = frac {32} {x ^ 2−16} +5 ).
- Respuesta
-
−4, 3
Ejemplo ( PageIndex {24} )
Resuelva: ( frac {y} {y + 8} = frac {128} {y ^ 2−64} +9 ).
- Respuesta
-
7
Ejemplo ( PageIndex {25} )
Resuelva: ( frac {x} {2x − 2} – frac {2} {3x + 3} = frac {5x ^ 2−2x + 9} {12x ^ 2−12} ).
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {26} )
Resuelva: ( frac {y} {5y − 10} – frac {5} {3y + 6} = frac {2y ^ 2−19y + 54} {15y ^ 2−60} ).
- Respuesta
-
sin solución
Ejemplo ( PageIndex {27} )
Resuelva: ( frac {z ^ 2} {z + 8} – frac {3} {4z − 8} = frac {3z ^ 2−16z − 68} {z ^ 2 + 8z − 64 } ).
- Respuesta
-
sin solución
Resolver una ecuación racional para una variable específica
Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos cómo resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en negocios, ciencias, economía y otros campos usan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.
Comenzaremos con una fórmula que relacione la distancia, la tasa y el tiempo. Lo hemos usado muchas veces antes, pero generalmente no de esta forma.
Ejemplo ( PageIndex {28} )
Resuelve: ( frac {D} {T} = R ) para T.
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {29} )
Resuelve: ( frac {A} {L} = W ) para L.
- Respuesta
-
(L = frac {A} {W} )
Ejemplo ( PageIndex {30} )
Resuelve: ( frac {F} {A} = M ) para A.
- Respuesta
-
(A = frac {F} {M} )
Ejemplo usa la fórmula para la pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea.
Ejemplo ( PageIndex {31} )
Resuelve: (m = frac {x − 2} {y − 3} ) para y.
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {32} )
Resuelve: ( frac {y − 2} {x + 1} = frac {2} {3} ) para x.
- Respuesta
-
(x = frac {3y − 8} {2} )
Ejemplo ( PageIndex {33} )
Resuelve: (x = frac {y} {1 − y} ) para y.
- Respuesta
-
(y = frac {x} {1 + x} )
Asegúrese de seguir todos los pasos en Ejemplo . Puede parecer una fórmula muy simple, pero no podemos resolverla instantáneamente para ningún denominador.
Ejemplo ( PageIndex {34} )
Resuelve ( frac {1} {c} + frac {1} {m} = 1 ) para c.
- Respuesta
-
Observe que, aunque excluimos c = 0 ym = 0 de la ecuación original, ahora también debemos indicar que (m ne 1 ).
Ejemplo ( PageIndex {35} )
Resuelve: ( frac {1} {a} + frac {1} {b} = c ) para a.
- Respuesta
-
(a = frac {b} {cb − 1} )
Ejemplo ( PageIndex {36} )
Resuelve: ( frac {2} {x} + frac {1} {3} = frac {1} {y} ) para y.
- Respuesta
-
(y = frac {3x} {6 + x} )
Conceptos clave
- Estrategia para resolver ecuaciones con expresiones racionales
- Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.
- Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación.
- Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Verificación.
- Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
- Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.
Glosario
- ecuación racional
- Una ecuación racional es dos expresiones racionales conectadas por un signo igual.
- solución extraña a una ecuación racional
- Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que causaría que cualquiera de las expresiones en la ecuación original sea indefinida.