8.7: Crecimiento exponencial y decadencia

8.7: Crecimiento exponencial y decadencia

                 

Modelos de crecimiento exponencial

 

Recordando las investigaciones en la Sección 8.3, comenzamos desarrollando una fórmula para el interés compuesto discreto. Esto condujo a otra fórmula para el interés compuesto continuo,

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ), (1)

 

donde (P_ {0} ) es la cantidad inicial (principal) yr es la tasa de interés anual en forma decimal. Si el dinero en una cuenta bancaria crece a una tasa anual r (mediante el pago de intereses), y si el crecimiento se agrega continuamente a la cuenta (es decir, los intereses se capitalizan continuamente), entonces el saldo en la cuenta en el momento t años es P (t), como se da por la fórmula ( 1 ).

 

Pero podemos usar exactamente el mismo análisis para cantidades distintas al dinero. Si P (t) representa la cantidad de alguna cantidad en el tiempo t años, y si P (t) crece a una tasa anual r con el crecimiento continuamente agregado, entonces podemos concluir de la misma manera que P (t) debe tener el formulario

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ), (2)

 

donde (P_ {0} ) es la cantidad inicial en el tiempo t = 0, es decir, P (0).

 

Un ejemplo clásico es el crecimiento de la población sin inhibiciones. Si una población P (t) de cierta especie se coloca en un buen ambiente, con muchos nutrientes y espacio para crecer, entonces crecerá de acuerdo con la fórmula ( 2 ). Por ejemplo, el tamaño de un cultivo bacteriano en una placa de Petri seguirá esta fórmula muy de cerca si se le proporcionan condiciones de vida óptimas. Muchas otras especies de animales y plantas también exhibirán este comportamiento si se colocan en un entorno en el que no tienen depredadores. Por ejemplo, cuando los británicos importaron conejos a Australia a fines del siglo XVIII para cazar, la población de conejos explotó porque las condiciones eran buenas para vivir y reproducirse, y no había depredadores naturales de los conejos.

 
 

CRECIMIENTO EXPONENCIAL

 

Si una función P (t) crece continuamente a una velocidad r> 0, entonces P (t) tiene la forma

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ), (3)

 

donde (P_ {0} ) es la cantidad inicial P (0). En este caso, se dice que la cantidad P (t) exhibe un crecimiento exponencial, y r es la tasa de crecimiento.

 
 

Observaciones 4.

 
         
  1.      

    Si una cantidad física (como la población) crece de acuerdo con la fórmula ( 3 ), decimos que la cantidad está modelada por la función de crecimiento exponencial P (t).

         
  2.      
  3.      

    Algunos pueden argumentar que el crecimiento de la población de conejos, o incluso de bacterias, no es realmente continuo. Después de todo, los conejos nacen uno a la vez, por lo que la población en realidad crece en trozos discretos. Esto es ciertamente cierto, pero si la población es grande, entonces el crecimiento parecerá ser continuo. Por ejemplo, considere la población mundial de humanos. Hay tanta gente en el mundo que hay muchos nuevos nacimientos y muertes cada segundo. Por lo tanto, la diferencia de tiempo entre cada cambio de 1 unidad en la población es solo una pequeña fracción de segundo y, en consecuencia, el crecimiento discreto actuará prácticamente igual que el crecimiento continuo. (Esto es análogo a los resultados casi idénticos para la composición continua y la composición diaria discreta que encontramos en la Sección 8.3; la composición de cada segundo o milisegundo estaría aún más cerca).

         
  4.      
  5.      

    Del mismo modo, usar la fórmula de crecimiento exponencial continuo ( 3 ) para modelar cantidades discretas a veces dará como resultado respuestas fraccionarias. En este caso, los resultados deberán redondearse para que tengan sentido. Por ejemplo, una respuesta de 224.57 conejos no es realmente posible, por lo que la respuesta debe redondearse a 225.

         
  6.      
  7.      

    En la fórmula ( 3 ), si el tiempo se mide en años (como lo hemos hecho hasta ahora en este capítulo), entonces r es la tasa de crecimiento anual. Sin embargo, el tiempo se puede medir en cualquier unidad conveniente. Se aplica la misma fórmula, excepto que la tasa de crecimiento r se da en términos de las unidades de tiempo particulares utilizadas. Por ejemplo, si el tiempo t se mide en horas, entonces r es la tasa de crecimiento por hora.

         

    En la Sección 8.2, mostramos que una función de la forma bt con b> 1 es exponencial

         
  8.  
 

función de crecimiento. Del mismo modo, si A> 0, entonces la función exponencial más general (Ab ^ t ) también exhibe un crecimiento exponencial, ya que la gráfica de (Ab ^ t ) es solo una escala vertical de la gráfica de (b ^ t ). Sin embargo, la función de crecimiento exponencial en la fórmula ( 3 ) parece ser diferente. Mostraremos a continuación que la función (P_ {0} e ^ {rt} ) de hecho puede escribirse en la forma (Ab ^ t ) con b> 1.

 

Veamos primero un ejemplo específico. Supongamos que (P (t) = 4e ^ {0.8t} ). Usando las leyes de los exponentes, podemos reescribir P (t) como

 

(P (t) = 4e ^ {0.8t} = 4 (e ^ {0.8}) ^ t ). (5)

 

Como (e ^ {0.8} aprox 2.22554 ), se deduce que

 

(P (t) ≈ 4 (2.22554) ^ t ).

 

Debido a que la base ( aproximadamente 2.22554 ) es mayor que 1, esto muestra que P (t) es una función de crecimiento exponencial, como se ve en Figura 1 (a)).

 

Ahora suponga que P (t) es cualquier función de la forma (P_ {0} e ^ {rt} ) con r> 0. Como en ( 5 ) anterior, podemos usar las leyes de los exponentes para reescribir P (t) como

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {rt} = P_ {0} (e ^ {r}) ^ t = P_ {0} b ^ t ) con (b = e ^ r ).

 

Para probar que b> 1, considere la gráfica de (y = e ^ x ) que se muestra en Figura 1 (b). Recuerde que (e aprox 2.718 ), entonces e> 1, y por lo tanto (y = e ^ x ) es en sí misma una curva de crecimiento exponencial. Además, la intersección en y es (0,1) ya que (e ^ 0 = 1 ). De ello se deduce que (b = e ^ r> 1 ) desde r> 0 (ver Figura 1 (b)).

 

Por lo tanto, las funciones de la forma (P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ) con r> 0 son funciones de crecimiento exponencial.

 
Screen Shot 2019-08-15 at 2.56.10 PM.png
Figura 1
 

 

Aplicaciones del crecimiento exponencial

 

Ahora examinaremos el papel de las funciones de crecimiento exponencial en algunas aplicaciones del mundo real. En los siguientes ejemplos, suponga que la población está modelada por una función de crecimiento exponencial como en la fórmula ( 3 ).

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {6} )

 

Suponga que la población de un determinado país crece a una tasa anual del 2%. Si la población actual es de 3 millones, ¿cuál será la población dentro de 10 años?

 
 

Este es un problema de valor futuro. Si medimos la población en millones y el tiempo en años, entonces (P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ) con (P_ {0} = 3 ) y r = 0.02. Al insertar estos valores particulares en la fórmula ( 3 ), obtenemos

 

(P (t) = 3e ^ {0.02t} ).

 

La población en 10 años es (P (10) = 3e ^ {(0.02) (10)} aproximadamente 3.664208 ) millones.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {7} )

 

En el mismo país que en Ejemplo 6 , ¿cuánto tiempo le tomará a la población alcanzar los 5 millones?

 
 

Como antes,

 

(P (t) = 3e ^ {0.02t} ).

 

Ahora queremos saber cuándo el valor futuro P (t) de la población en algún momento t será igual a 5 millones. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación P (t) = 5 para el tiempo t, que conduce a la ecuación exponencial

 

(5 = 3e ^ {0.02t} ).

 

Usando el procedimiento para resolver ecuaciones exponenciales que se presentó en la Sección 8.6,

 

(5 = 3e ^ {0.02t} ).

 

( rightarrow frac {5} {3} = e ^ {0.02t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln ( frac {5} {3}) = ln (e ^ {0.02t}) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln ( frac {5} {3}) = 0.02t ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow frac {ln ( frac {5} {3})} {0.02} = t ) dividir

 

( rightarrow t aprox 25.54128 )

 

Por lo tanto, la población tardaría unos 25,54 años en llegar a 5 millones.

 

La población de bacterias se mide típicamente en peso, como en los dos ejemplos siguientes.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {8} )

 

Suponga que la función da un tamaño de cultivo bacteriano

 

(P (t) = 100e ^ {0.15t} ),

 

donde el tamaño P (t) se mide en gramos y el tiempo t se mide en horas. ¿Cuánto tiempo le tomará a la cultura duplicar su tamaño?

 
 

El tamaño inicial es ( P_ { 0} = 100 ) gramos, por lo que queremos saber cuándo el valor futuro P ( t ) en algún momento t será igual a 200. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación [ 19459031] P ( t ) = 200 por tiempo t , lo que lleva a lo exponencial ecuación

 

(200 = 100e ^ {0.15t} ).

 

Utilizando el mismo procedimiento que en el último ejemplo,

 

(200 = 100e ^ {0.15t} )

 

( rightarrow 2 = e ^ {0.15t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln (2) = ln (e ^ {0.15t}) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln (2) = 0.15t ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow frac {ln (2)} {0.15} = t ) división

 

( rightarrow t aprox 4.620981 ).

 

Por lo tanto, tomaría aproximadamente 4.62 horas para que el tamaño se duplicara.

 

El último ejemplo merece un comentario adicional. Supongamos que comenzamos con 1000 gramos en lugar de 100. Luego, duplicar el tamaño requeriría un valor futuro de 2000 gramos. Por lo tanto, en este caso, tendríamos que resolver la ecuación

 

(2000 = 1000e ^ {0.15t} ).

 

Pero el primer paso es aislar la exponencial dividiendo ambos lados entre 1000 para obtener

 

(2 = e ^ {0.15t} ),

 

y esto es lo mismo que la segunda línea de la solución en el último ejemplo, por lo que la respuesta será la misma. Del mismo modo, repetir este argumento para cualquier cantidad inicial conducirá a la misma segunda línea y, por lo tanto, a la misma respuesta. Por lo tanto, el tiempo de duplicación depende solo de r, no de la cantidad inicial (P_ {0} ).

   

Modelos de decaimiento exponencial

 

Hemos observado que si una cantidad aumenta continuamente a una tasa r, entonces se modela mediante una función de la forma (P (t) = P_ {0} e ^ {rt} ). Pero, ¿qué pasa si una cantidad disminuye en su lugar? Aunque no presentaremos los detalles aquí, el análisis puede llevarse a cabo de la misma manera que la derivación de la fórmula de capitalización continua en la Sección 8.3. La única diferencia es que la tasa de crecimiento r en las fórmulas debe ser reemplazada por −r ya que la cantidad está disminuyendo. La conclusión es que la cantidad está modelada por una función de la forma (P (t) = P_ {0} e ^ {- rt} ) en lugar de (P_ {0} e ^ {rt} ).

 
 

DECADENCIA EXPONENCIAL

 

Si una función P (t) disminuye continuamente a una velocidad r> 0, entonces P (t) tiene la forma

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {- rt} ), (9)

 

donde (P_ {0} ) es la cantidad inicial P (0). En este caso, se dice que la cantidad P (t) exhibe una disminución exponencial, y r es la tasa de disminución.

 
 

En la Sección 8.2, mostramos que una función de la forma bt con b <1 es una función de disminución exponencial. Del mismo modo, si A> 0, entonces la función exponencial más general (Ab ^ t ) también exhibe decadencia exponencial, ya que la gráfica de (Ab ^ t ) es solo una escala vertical de la gráfica de bt. Sin embargo, la función de disminución exponencial en la fórmula ( 9 ) parece ser diferente. Mostraremos a continuación que la función (P_ {0} e ^ {- rt} ) de hecho puede escribirse en la forma (Ab ^ t ) con b <1.

 

Veamos primero un ejemplo específico. Supongamos que (P (t) = 4e ^ {- 0.8t} ). Usando las leyes de los exponentes, podemos reescribir P (t) como

 

(P (t) = 4e ^ {- 0.8t} = 4 (e ^ {- 0.8}) ^ t ). (10)

 

Dado que (e ^ {- 0.8} aprox 0.44933 ), se deduce que

 

(P (t) aprox 4 (0.44933) ^ t ).

 

Debido a que la base ( aproximadamente 0.44933 ) es menor que 1, esto muestra que P (t) es una función de disminución exponencial, como se ve en Figura 2 (a)).

 

Ahora suponga que P (t) es cualquier función de la forma (P_ {0} e ^ {- rt} ) con r> 0. Como en ( 10 ) anterior, podemos use las leyes de los exponentes para reescribir P (t) como

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {- rt} = P_ {0} (e ^ {- r}) ^ t = P_ {0} b ^ t ) con (b = e ^ {- r} ).

 

Para probar que b <1, considere la gráfica de (y = e ^ {- x} ) que se muestra en Figura 2 (b). Ahora

 

(e ^ {- x} = (e ^ {- 1}) ^ x = ( frac {1} {e}) ^ x )

 

y ( frac {1} {e} aprox 0.36788 <1 ), entonces (y = e ^ {- x} ) es en sí misma una curva de caída exponencial. (Alternativamente, puede observar que la gráfica de (y = e ^ {- x} ) es el reflejo de la gráfica de (y = e ^ x ) a través del eje y.) Además, la y- la intersección es (0,1) ya que (e ^ {- 0} = 1 ). Se deduce que (b = e ^ {- r} <1 ) desde r> 0 (ver Figura 2 (b)).

 

Por lo tanto, las funciones de la forma (P (t) = P_ {0} e ^ {- rt} ) con r> 0 son funciones de disminución exponencial.

 
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Figura 2
 

 

Aplicaciones de la decadencia exponencial

 

El principal ejemplo de descomposición exponencial es la desintegración radiactiva. Los elementos radiactivos y los isótopos emiten espontáneamente partículas subatómicas, y este proceso cambia gradualmente la sustancia a un isótopo diferente. Por ejemplo, el isótopo radioactivo Uranio-238 finalmente se desintegra en el isótopo estable Plomo-206. Este es un proceso aleatorio para átomos individuales, pero en general la masa de la sustancia disminuye según la fórmula de descomposición exponencial ( 9 ).

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {11} )

 

Suponga que cierto elemento radiactivo tiene una tasa de desintegración anual del 10%. Comenzando con una muestra de 200 gramos del elemento, ¿cuántos gramos quedarán en 3 años?

 
 

Este es un problema de valor futuro. Si medimos el tamaño en gramos y el tiempo en años, entonces (P (t) = P_ {0} e ^ {- rt} ) con (P_ {0} = 200 ) yr = 0.10. Al insertar estos valores particulares en la fórmula ( 9 ), obtenemos

 

(P (t) = 200e ^ {- 0.10t} ).

 

La cantidad en 3 años es (P (3) = 200e ^ {- (0.10) (3)} aproximadamente 148.1636 ) gramos.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {12} )

 

Usando el mismo elemento que en Ejemplo 11 , si una muestra particular del elemento decae a 50 gramos después de 5 años, ¿qué tan grande fue la muestra original?

 
 

Este es un problema de valor presente, donde lo desconocido es la cantidad inicial (P_ {0} ) . Como antes, r = 0 . 10, entonces

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {- 0.10t} ).

 

Como P (5) = 50, tenemos la ecuación

 

(50 = P (5) = P_ {0} e ^ {- (0.10) (5)} ).

 

Esta ecuación se puede resolver por división:

 

( frac {50} {e ^ {- (0.10) (5)}} = P_ {0} )

 

Termine calculando el valor del lado izquierdo para obtener (P_ {0} aprox 82.43606 ) gramos.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {13} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual del 5%. ¿Cuántos años le tomará a una muestra de 100 gramos decaer a 40 gramos?

 
 

Use (P (t) = P_ {0} e ^ { – rt} ) con (P_ { 0} = 100 ) yr = 0 . 05, entonces (P (t) = 100e ^ {−0.05t} ).

 

Ahora queremos saber cuándo el valor futuro P (t) del tamaño de la muestra en algún momento t será igual a 40. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación P (t) = 40 para el tiempo t, que conduce a la ecuación exponencial

 

(40 = 100e ^ {- 0.05t} ).

 

Usando el procedimiento para resolver ecuaciones exponenciales que se presentó en la Sección 8.6,

 

(40 = 100e ^ {- 0.05t} )

 

( rightarrow 0.4 = e ^ {- 0.05t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln (0.4) = ln (e ^ {- 0.05t}) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln (0.4) = −0.05t ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow frac {ln (0.4)} {- 0.05} = t ) división

 

( rightarrow t aprox 18.32581 ).

 

Por lo tanto, tomaría aproximadamente 18.33 años para que la muestra decaiga a 40 gramos.

 

Vimos anteriormente que los procesos de crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación fijo. Del mismo modo, los procesos de disminución exponencial tienen una vida media fija, el tiempo en que la mitad de la cantidad original decae.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {14} )

 

Usando el mismo elemento que en Ejemplo 13 , ¿cuál es la vida media del elemento?

 
 

Como antes, r = 0.05, entonces

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {- 0.05t} ).

 

El tamaño inicial es (P_ {0} ) gramos, por lo que queremos saber cuándo el valor futuro P (t) en algún momento t será igual a la mitad de la cantidad inicial, ( frac {P_ { 0}} {2} ). Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación (P (t) = frac {P_ {0}} {2} ) para el tiempo t, que conduce a la ecuación exponencial

 

( frac {P_ {0}} {2} = P_ {0} e ^ {- 0.05t} ).

 

Utilizando el mismo procedimiento que en el último ejemplo,

 

( frac {P_ {0}} {2} = P_ {0} e ^ {- 0.05t} )

 

( rightarrow frac {1} {2} = e ^ {- 0.05t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln ( frac {1} {2}) = ln (e ^ {- 0.05t}) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln ( frac {1} {2}) = −0.05t ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow frac {ln ( frac {1} {2})} {- 0.05} = t ) división

 

( rightarrow t aprox 13.86294 )

 

Por lo tanto, la vida media es de aproximadamente 13.86 años.

 

El proceso de desintegración radiactiva también forma la base de la técnica de datación de carbono-14. La atmósfera de la Tierra contiene una pequeña cantidad del isótopo radiactivo carbono-14 y, por lo tanto, las plantas y los animales también contienen algo de carbono 14 debido a su interacción con la atmósfera. Sin embargo, esta interacción termina cuando una planta o animal muere, por lo que el carbono-14 comienza a descomponerse (la tasa de descomposición es de 0.012%). Al comparar la cantidad de carbono-14 en un hueso, por ejemplo, con la cantidad normal en un animal vivo, los científicos pueden calcular la edad del hueso.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {15} )

 

Suponga que solo el 1.5% de la cantidad normal de carbono-14 permanece en un fragmento de hueso. ¿Cuántos años tiene el hueso?

 
 

Use (P (t) = P_ {0} e ^ {- rt} ) con r = 0.00012, entonces

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {- 0.00012t} ).

 

El tamaño inicial es (P_ {0} ) gramos, por lo que queremos saber cuándo el valor futuro P (t) en algún momento t será igual al 1.5% de la cantidad inicial, (0.015P_ {0} ). Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación (P (t) = 0.015P_ {0} ) para el tiempo t, que conduce a la ecuación exponencial

 

(0.015P_ {0} = P_ {0} e ^ {- 0.00012t} ).

 

Utilizando el mismo procedimiento que en Ejemplo 14 ,

 

(0.015P_ {0} = P_ {0} e ^ {- 0.00012t} )

 

( rightarrow 0.015 = e ^ {- 0.00012t} ) aislar el exponencial

 

( rightarrow ln (0.015) = ln (e ^ {- 0.00012t}) ) aplica la función de registro natural

 

( rightarrow ln (0.015) = −0.00012t ) ya que (ln (e ^ x) = x )

 

( rightarrow frac {ln (0.015)} {- 0.00012} = t ) división

 

( rightarrow t aprox 34998 )

 

Por lo tanto, el hueso tiene aproximadamente 34998 años.

 

Si bien la técnica del carbono 14 solo funciona en plantas y animales, existen otras técnicas de datación similares, que utilizan otros isótopos radiactivos, que se usan para fechar rocas y otras materias inorgánicas.

   

Ejercicio

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 6%. Si la población es actualmente de 5 , 000, ¿qué será en 7 años? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
     
Respuesta
     
     

7610 personas

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 5%. Si la población actual es de 2.000, ¿cuántos años tardará en duplicarse? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual de 7.2%. ¿Cuántos años le tomará a una muestra de 227 gramos decaer a 93 gramos? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

12 . 39 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual de 6.8%. ¿Cuántos años le tomará a una muestra de 399 gramos decaer a 157 gramos? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 8%. Si la población es actualmente de 4,000, ¿cuántos años le tomará duplicarse? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

8 . 66 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual del 19.2%. Comenzando con una muestra de 443 gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de 9 años? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 17.4%. ¿Cuál es la vida media (en años) del isótopo? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

3 . 98 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 7%. Si la población es actualmente de 8,000, ¿cuántos años le tomará alcanzar los 18,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 17.3%. Comenzando con una muestra de 214 gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de 5 años? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

90 . 11 g

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 7%. Si la población crece a 2 , 000 en 7 años, ¿cuál era la población original? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 3%. Si la población es actualmente de 3,000, ¿cuántos años le tomará duplicarse? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

23 . 10 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

Suponga que un cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual del 12.5%. Comenzando con una muestra de 127 gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de 6 años? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual del 13.1%. Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual del 13.1%

 
     
Respuesta
     
     

141 . 10 g

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 2%. Si la población crece a 9 , 000 en 4 años, ¿cuál era la población original? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 2%. Si la población es actualmente de 7,000, ¿cuántos años le tomará duplicarse? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

34 . 66 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual de 5.3%. ¿Cuántos años le tomará a una muestra de 217 gramos decaer a 84 gramos? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 18.7%. ¿Cuántos años le tomará a una muestra de 324 gramos decaer a 163 gramos? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

3 . 67 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 8%. Si la población es actualmente de 8,000, ¿cuántos años le tomará alcanzar los 18,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 2.3%. Si una muestra particular decae a 25 gramos después de 8 años, ¿qué tan grande (en gramos) era la muestra original? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

30 . 05 g

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 4%. Si la población es actualmente de 7,000, ¿cuántos años le tomará llegar a 17,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 9.8%. Si una muestra particular decae a 11 gramos después de 6 años, ¿qué tan grande (en gramos) era la muestra original? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

19 . 80 g

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 5%. Si la población crece a 6 , 000 en 3 años, ¿cuál era la población original? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 8%. Si la población es actualmente de 6 , 000, ¿qué será en 5 años? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
     
Respuesta
     
     

8 , 951 personas

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 15.8%. ¿Cuál es la vida media (en años) del isótopo? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 9%. Si la población crece a 7 , 000 en 5 años, ¿cuál era la población original? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
     
Respuesta
     
     

8 , 951 personas

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 18,6%. Si una muestra particular decae a 41 gramos después de 3 años, ¿qué tan grande (en gramos) era la muestra original? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

Suponga que un cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de desintegración anual de 5.2%. ¿Cuál es la vida media (en años) del isótopo? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

13 . 33 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

Suponga que un cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual de 6.5%. ¿Cuál es la vida media (en años) del isótopo? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 8%. Si la población es actualmente de 2,000, ¿cuántos años le tomará llegar a 7,000? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

15 . 66 años

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

Suponga que cierto isótopo radiactivo tiene una tasa de descomposición anual del 3,7%. Si una muestra en particular decae a 47 gramos después de 8 años, ¿qué tan grande (en gramos) era la muestra original? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 6%. Si la población es actualmente de 7 , 000, ¿qué será en 7 años? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

 
     
Respuesta
     
     

10 , 654 personas

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

Suponga que la población de un determinado pueblo crece a una tasa anual del 4%. If the population is currently 1 000, what will it be in 3 years? Round your answer to the nearest integer.

 
 

​​​​​​​In  Exercises 33 40 , use the fact that the decay rate of carbon-14 is 0.012%. Redondea tu respuesta al año más cercano.

 
 

EXERCISE (PageIndex{33})

 

Suppose that only 8.6% of the normal amount of carbon-14 remains in a fragment of bone. How old is the bone?

 
     
Answer
     
     

20445 years

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{34})

 

Suppose that only 5.2% of the normal amount of carbon-14 remains in a fragment of bone. How old is the bone?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{35})

 

Suppose that 90.1% of the normal amount of carbon-14 remains in a piece of wood. How old is the wood?

 
     
Answer
     
     

869 years

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{36})

 

Suppose that 83.6% of the normal amount of carbon-14 remains in a piece of cloth. How old is the cloth?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{37})

 

Suppose that only 6.2% of the normal amount of carbon-14 remains in a fragment of bone. How old is the bone?

 
     
Answer
     
     

23172 years

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{38})

 

Suppose that only 1.3% of the normal amount of carbon-14 remains in a fragment of bone. How old is the bone?

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{39})

 

Suppose that 96.7% of the normal amount of carbon-14 remains in a piece of cloth. How old is the cloth?

 
     
Answer
     
     

280 years

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{40})

 

Suppose that 84.9% of the normal amount of carbon-14 remains in a piece of wood. How old is the wood?

 
 

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