8.7: Resolver aplicaciones de proporciones y figuras similares

8.7: Resolver aplicaciones de proporciones y figuras similares

 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 

Si pierde un problema, regrese a la sección indicada y revise el material.

 
         
  1. Resuelve ( dfrac {n} {3} = 30 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.2.25 .
  2.      
  3. El perímetro de una ventana triangular es de 23 pies. Las longitudes de dos lados son diez pies y seis pies. ¿Cuánto dura el tercer lado?
    Si se perdió este problema, revise Ejemplo 3.4.2
  4.  
 

Resolver proporciones

 

Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se denomina proporción .

 
 

Definición: PROPORCION

 

Una proporción es una ecuación de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), donde (b ne 0 ), (d ne 0 ).

 

La proporción se lee «a es a b, como c es a d»

 
 

La ecuación ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) es una proporción porque las dos fracciones son iguales.

 

La proporción ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) se lee “1 es 2 como 4 es a las 8. »

 

Las proporciones se utilizan en muchas aplicaciones para «ampliar» las cantidades. Comenzaremos con un ejemplo muy simple para que pueda ver cómo funcionan las proporciones. Incluso si puede encontrar la respuesta al ejemplo de inmediato, asegúrese de aprender también a resolverlo utilizando proporciones.

 

Supongamos que el director de una escuela quiere tener 1 maestro para 20 estudiantes. Ella podría usar proporciones para encontrar el número de maestros para 60 estudiantes. Dejamos que x sea el número de maestros para 60 estudiantes y luego establecemos la proporción:

 

[ dfrac {1 , text {profesor}} {20 , text {estudiantes}} = dfrac {x , text {maestros}} {60 , text {estudiantes}} nonumber ]

 

Tenemos cuidado de hacer coincidir las unidades de los numeradores y las unidades de los denominadores: maestros en los numeradores, estudiantes en los denominadores.

 

Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones en Resolver ecuaciones racionales . Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD para borrar las fracciones y luego resolver la ecuación resultante.

                                                                                                                                                                                                              
.
Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, 60. .
Simplificar. .
El director necesita 3 maestros para 60 estudiantes.
 

Ahora haremos algunos ejemplos de resolución de proporciones numéricas sin ninguna unidad. Luego resolveremos las aplicaciones usando proporciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

( dfrac {x} {63} = dfrac {4} {7} ).

 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {1} )

 

( dfrac {n} {84} = dfrac {11} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

77

     
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {2} )

 

( dfrac {y} {96} = dfrac {13} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

104

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

( dfrac {144} {a} = dfrac {9} {4} ).

 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {3} )

 

( dfrac {91} {b} = dfrac {7} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

65

     
 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {4} )

 

( dfrac {39} {c} = dfrac {13} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

24

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7}. )

 
 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {5} )

 

( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

33

     
 
 
 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {6} )

 

( dfrac {z} {z − 84} = – dfrac {1} {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

14

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

( dfrac {p + 12} {9} = dfrac {p − 12} {6} ).

 
 
 
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {7} )

 

( dfrac {v + 30} {8} = dfrac {v + 66} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

42

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {8} )

 

( dfrac {2x + 15} {9} = dfrac {7x + 3} {15} ).

 
     
Respuesta
     
     

6

     
 
 
 

Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones. Pero cuando establecemos la proporción, debemos asegurarnos de que las unidades sean correctas: las unidades en los numeradores deben coincidir y las unidades en los denominadores deben coincidir.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de paracetamol le recetará su médico?

 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {9} )

 

Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofeno le recetará el médico a Emilia, que pesa 60 libras?

 
     
Respuesta
     
     

12 ml

     
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {10} )

 

Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras recetan 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre le recetará el pediatra?

 
     
Respuesta
     
     

180 ml

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Un macchiato de caramelo helado de 16 onzas tiene 230 calorías. ¿Cuántas calorías hay en un macchiato de caramelo helado de 24 onzas?

 
 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {11} )

 

En un restaurante de comida rápida, un batido de chocolate de 22 onzas tiene 850 calorías. ¿Cuántas calorías tiene su batido de chocolate de 12 onzas? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

 
     
Respuesta
     
     

464 calorías

     
 
 
 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {12} )

 

A Yaneli le encantan los dulces Starburst, pero quiere mantener sus bocadillos a 100 calorías. Si los dulces tienen 160 calorías por 8 piezas, ¿cuántas piezas puede tener en su merienda?

 
     
Respuesta
     
     

5 piezas

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Josiah fue a México para las vacaciones de primavera y cambió $ 325 dólares a pesos mexicanos. En ese momento, el tipo de cambio tenía $ 1 US es igual a 12.54 pesos mexicanos. ¿Cuántos pesos mexicanos recibió por su viaje?

 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {13} )

 

Yurianna se va a Europa y quiere cambiar $ 800 dólares a euros. Al tipo de cambio actual, $ 1 US es igual a 0.738 Euro. ¿Cuántos euros tendrá para su viaje?

 
     
Respuesta
     
     

590,4 euros

     
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {14} )

 

Corey y Nicole viajan a Japón y necesitan intercambiar $ 600 en yenes japoneses. Si cada dólar es 94.1 yenes, ¿cuántos yenes obtendrán?

 
     
Respuesta
     
     

56.460 yenes

     
 
 
 

En el ejemplo anterior, relacionamos el número de pesos con el número de dólares usando una proporción. Podríamos decir que la cantidad de pesos es proporcional a la cantidad de dólares. Si dos cantidades están relacionadas por una proporción, decimos que son proporcionales.

 

Resolver aplicaciones de figuras similares

 

Cuando reduce o amplía una foto en un teléfono o tableta, calcula una distancia en un mapa, o usa un patrón para construir una estantería o cose un vestido, está trabajando con figuras similares . Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes están en la misma proporción.

 
 

Definición: FIGURAS SIMILARES

 

Dos figuras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes están en la misma proporción.

 
 

Por ejemplo, los dos triángulos en Figura son ​​similares. Cada lado de ΔABC es 4 veces la longitud del lado correspondiente de ΔXYZ.

 
The above image shows the steps to solve the proportion 1 divided by 12.54 equals 325 divided by p. What are you asked to find? How many Mexican pesos did he get? Assign a variable. Let p equal the number of pesos. Write a sentence that gives the information to find it. If one dollar US is equal to 12.54 pesos, then 325 dollars is how many pesos. Translate into a proportion, be careful of the units. Dollars divided pesos equals dollars divided by pesos to get 1 divided by 12.54 equals 325 divided by p. Multiply both sides by the LCD, 12.54 p to get 1 divided by 12.54 p times 1 divided by 12.54 equals 12.54 p times 325 divided by p. Remove common factors from both sides. Cross out 12.54 from the left side of the equation. Cross out p from the right side of the equation. Simplify to get p equals 4075.5 in the original proportion. Check. Is the answer reasonable? Yes, $100 would be $1254 pesos. $325 is a little more than 3 times this amount, so our answer of 4075.5 pesos makes sense. Substitute p equals 4075.5 in the original proportion. Use a calculator. We now have 1 divided by 12.54 equals 325 divided by p. Next, 1 divided by 12.54 equals 325 divided by 4075.5 to get 0.07874 equals 0.07874. The answer checks.
 

Esto se resume en la propiedad de triángulos similares.

 
 

Definición: PROPIEDAD DE TRIÁNGULOS SIMILARES

 

Si ΔABC es similar a ΔXYZ

 

The above figure shows to similar triangles. The larger triangle labeled A B C. The length of A to B is c, The length of B to C is a. The length of C to A is b. The larger triangle is labeled X Y Z. The length of X to Y is z. The length of Y to Z is x. The length of X to Z is y. To the right of the triangles, it states that measure of corresponding angle A is equal to the measure of corresponding angle X, measure of corresponding angle B is equal to the measure of corresponding angle Y, and measure of corresponding angle C is equal to the measure of corresponding angle Z. Therefore, a divided by x equals b divided by y equals c divided by z.

 
 

Para resolver aplicaciones con cifras similares, seguiremos la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría que utilizamos anteriormente.

 
 
 

Definición: SOLUCIONAR APLICACIONES DE GEOMETRÍA.

 
         
  1. Lea el problema y haga que se entiendan todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
  2.      
  3. Identifique lo que estamos buscando.
  4.      
  5. Nombre lo que estamos buscando al elegir una variable para representarlo.
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  10.      
  11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

ΔABC es similar a ΔXYZ

 

The above image shows two similar triangles. Two sides are given for each triangle. The larger triangle is labeled A B C. The length of A to B is 4. The length from B to C is a. The length from C to A is 3.2. The smaller triangle is labeled X Y Z. The length from X to Y is 3. The length from Y to Z is 4.5. The length from Z to X is y.

 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {15} )

 
 
 

ΔABC es similar a ΔXYZ. Las longitudes de dos lados de cada triángulo se dan en la figura.

 
 
 
 
The above image shows two similar triangles. The smaller triangle is labeled A B C. The length of two sides is given for the smaller triangle A B C. The length from A to B is 17. The length from B to C is a. The length from C to D is 15. The larger triangle is labeled X Y Z. The length is given for two sides. The length from X to Y is 25.5. The length from Y to Z is 12. The length from Z to X is y.  

Halla la longitud del lado a

 
 
 
     
Respuesta
     
     

8

     
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {16} )

 

ΔABC es similar a ΔXYZ. Las longitudes de dos lados de cada triángulo se dan en la figura.

 
     
Respuesta
     
     

22,5

     
 
 
 

El siguiente ejemplo muestra cómo se usan triángulos similares con mapas.

 
 
 
 
 
 

PRUÉBALO ( PageIndex {17} )

 

En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo cuyos lados se muestran en la figura a continuación. Si la distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas, encuentre la distancia de Seattle a Portland.

 

The above image is a triangle with one side labeled “Seattle, 4.5 inches”. The other side is labeled “Portland 3.5 inches”. The third side is labeled 1.5 inches. The vertex is labeled “Boise.”

 
     
Respuesta
     
     

150 millas

     
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {18} )

 

Usando el mapa de arriba, encuentra la distancia desde Portland a Boise.

 
     
Respuesta
     
     

350 millas

     
 
 
 

Podemos usar cifras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Tyler mide 6 pies de altura. Una tarde, su sombra tenía 8 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Encuentra la altura del árbol.

 
 
 
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {19} )

 

Un poste de teléfono proyecta una sombra de 50 pies de largo. Cerca de allí, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra de 10 pies de largo. ¿Qué altura tiene el poste telefónico?

 
     
Respuesta
     
     

40 pies

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {20} )

 

Un pino proyecta una sombra de 80 pies al lado de un edificio de 30 pies de altura que proyecta una sombra de 40 pies. ¿Qué altura tiene el pino?

 
     
Respuesta
     
     

60 pies

     
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Propiedad de triángulos similares      
               
    • Si ΔABC es similar a ΔXYZ
    •      
         
  •      
  • Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría      
               
    1. Lea el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
    2.          
    3. Identifique lo que estamos buscando.
    4.          
    5. Nombre lo que estamos buscando al elegir una variable para representarlo.
    6.          
    7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    8.          
    9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    10.          
    11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    12.          
    13. Responda la pregunta con una oración completa.
    14.      
         
  •  
 

Glosario

 
 
     
proporción
     
Una proporción es una ecuación de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d}, donde (b ne 0 ), (d ne 0 ). La proporción se lee «a es a bc es a d»
 
 
     
cifras similares
     
Dos figuras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes están en la misma proporción.
 
 
 
   
 
 
 
 
     
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