Nota
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Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se denomina proporción .
Definición: PROPORCION
Una proporción es una ecuación de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), donde (b ne 0 ), (d ne 0 ).
La proporción se lee «a es a b, como c es a d»
La ecuación ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) es una proporción porque las dos fracciones son iguales.
La proporción ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) se lee “1 es 2 como 4 es a las 8. »
Las proporciones se utilizan en muchas aplicaciones para «ampliar» las cantidades. Comenzaremos con un ejemplo muy simple para que pueda ver cómo funcionan las proporciones. Incluso si puede encontrar la respuesta al ejemplo de inmediato, asegúrese de aprender también a resolverlo utilizando proporciones.
Supongamos que el director de una escuela quiere tener 1 maestro para 20 estudiantes. Ella podría usar proporciones para encontrar el número de maestros para 60 estudiantes. Dejamos que x sea el número de maestros para 60 estudiantes y luego establecemos la proporción:
[ dfrac {1 , text {profesor}} {20 , text {estudiantes}} = dfrac {x , text {maestros}} {60 , text {estudiantes}} nonumber ]
Tenemos cuidado de hacer coincidir las unidades de los numeradores y las unidades de los denominadores: maestros en los numeradores, estudiantes en los denominadores.
Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones en Resolver ecuaciones racionales . Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD para borrar las fracciones y luego resolver la ecuación resultante.
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| Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, 60. |  |
| Simplificar. |  |
| El director necesita 3 maestros para 60 estudiantes. |
Ahora haremos algunos ejemplos de resolución de proporciones numéricas sin ninguna unidad. Luego resolveremos las aplicaciones usando proporciones.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
( dfrac {x} {63} = dfrac {4} {7} ).
PRUÉBALO ( PageIndex {1} )
( dfrac {n} {84} = dfrac {11} {12} ).
77
PRUÉBALO ( PageIndex {2} )
( dfrac {y} {96} = dfrac {13} {12} ).
104
Ejemplo ( PageIndex {2} )
( dfrac {144} {a} = dfrac {9} {4} ).
PRUÉBALO ( PageIndex {3} )
( dfrac {91} {b} = dfrac {7} {5} ).
65
PRUÉBALO ( PageIndex {4} )
( dfrac {39} {c} = dfrac {13} {8} ).
24
Ejemplo ( PageIndex {3} )
( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7}. )
PRUÉBALO ( PageIndex {5} )
( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).
33
PRUÉBALO ( PageIndex {6} )
( dfrac {z} {z − 84} = – dfrac {1} {5} ).
14
Ejemplo ( PageIndex {4} )
( dfrac {p + 12} {9} = dfrac {p − 12} {6} ).
Pruébalo ( PageIndex {7} )
( dfrac {v + 30} {8} = dfrac {v + 66} {12} ).
42
Pruébalo ( PageIndex {8} )
( dfrac {2x + 15} {9} = dfrac {7x + 3} {15} ).
6
Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones. Pero cuando establecemos la proporción, debemos asegurarnos de que las unidades sean correctas: las unidades en los numeradores deben coincidir y las unidades en los denominadores deben coincidir.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de paracetamol le recetará su médico?
PRUÉBALO ( PageIndex {9} )
Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofeno le recetará el médico a Emilia, que pesa 60 libras?
12 ml
PRUÉBALO ( PageIndex {10} )
Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras recetan 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre le recetará el pediatra?
180 ml
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Un macchiato de caramelo helado de 16 onzas tiene 230 calorías. ¿Cuántas calorías hay en un macchiato de caramelo helado de 24 onzas?
PRUÉBALO ( PageIndex {11} )
En un restaurante de comida rápida, un batido de chocolate de 22 onzas tiene 850 calorías. ¿Cuántas calorías tiene su batido de chocolate de 12 onzas? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.
464 calorías
PRUÉBALO ( PageIndex {12} )
A Yaneli le encantan los dulces Starburst, pero quiere mantener sus bocadillos a 100 calorías. Si los dulces tienen 160 calorías por 8 piezas, ¿cuántas piezas puede tener en su merienda?
5 piezas
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Josiah fue a México para las vacaciones de primavera y cambió $ 325 dólares a pesos mexicanos. En ese momento, el tipo de cambio tenía $ 1 US es igual a 12.54 pesos mexicanos. ¿Cuántos pesos mexicanos recibió por su viaje?
PRUÉBALO ( PageIndex {13} )
Yurianna se va a Europa y quiere cambiar $ 800 dólares a euros. Al tipo de cambio actual, $ 1 US es igual a 0.738 Euro. ¿Cuántos euros tendrá para su viaje?
590,4 euros
PRUÉBALO ( PageIndex {14} )
Corey y Nicole viajan a Japón y necesitan intercambiar $ 600 en yenes japoneses. Si cada dólar es 94.1 yenes, ¿cuántos yenes obtendrán?
56.460 yenes
En el ejemplo anterior, relacionamos el número de pesos con el número de dólares usando una proporción. Podríamos decir que la cantidad de pesos es proporcional a la cantidad de dólares. Si dos cantidades están relacionadas por una proporción, decimos que son proporcionales.
Cuando reduce o amplía una foto en un teléfono o tableta, calcula una distancia en un mapa, o usa un patrón para construir una estantería o cose un vestido, está trabajando con figuras similares . Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes están en la misma proporción.
Definición: FIGURAS SIMILARES
Dos figuras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes están en la misma proporción.
Por ejemplo, los dos triángulos en Figura son similares. Cada lado de ΔABC es 4 veces la longitud del lado correspondiente de ΔXYZ.
Esto se resume en la propiedad de triángulos similares.
Definición: PROPIEDAD DE TRIÁNGULOS SIMILARES
Si ΔABC es similar a ΔXYZ
Para resolver aplicaciones con cifras similares, seguiremos la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría que utilizamos anteriormente.
Definición: SOLUCIONAR APLICACIONES DE GEOMETRÍA.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
ΔABC es similar a ΔXYZ
PRUÉBALO ( PageIndex {15} )
ΔABC es similar a ΔXYZ. Las longitudes de dos lados de cada triángulo se dan en la figura.
Halla la longitud del lado a
8
PRUÉBALO ( PageIndex {16} )
ΔABC es similar a ΔXYZ. Las longitudes de dos lados de cada triángulo se dan en la figura.
22,5
El siguiente ejemplo muestra cómo se usan triángulos similares con mapas.
PRUÉBALO ( PageIndex {17} )
En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo cuyos lados se muestran en la figura a continuación. Si la distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas, encuentre la distancia de Seattle a Portland.
150 millas
Pruébalo ( PageIndex {18} )
Usando el mapa de arriba, encuentra la distancia desde Portland a Boise.
350 millas
Podemos usar cifras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Tyler mide 6 pies de altura. Una tarde, su sombra tenía 8 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Encuentra la altura del árbol.
Pruébalo ( PageIndex {19} )
Un poste de teléfono proyecta una sombra de 50 pies de largo. Cerca de allí, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra de 10 pies de largo. ¿Qué altura tiene el poste telefónico?
40 pies
Pruébalo ( PageIndex {20} )
Un pino proyecta una sombra de 80 pies al lado de un edificio de 30 pies de altura que proyecta una sombra de 40 pies. ¿Qué altura tiene el pino?
60 pies