8.7: Resolver ecuaciones radicales

En esta sección resolveremos ecuaciones que tienen una variable en el radicando de una expresión radical. Una ecuación de este tipo se llama ecuación radical .

Como de costumbre, al resolver estas ecuaciones, lo que hacemos a un lado de una ecuación también debemos hacerlo al otro lado. Una vez que aislemos el radical, nuestra estrategia será elevar ambos lados de la ecuación al poder del índice. Esto eliminará el radical.

Resolver ecuaciones radicales que contienen un índice par elevando ambos lados a la potencia del índice puede introducir una solución algebraica que no sería una solución a la ecuación radical original. Nuevamente, llamamos a esto una solución extraña como lo hicimos cuando resolvimos ecuaciones racionales.

En el siguiente ejemplo, veremos cómo resolver una ecuación radical. Nuestra estrategia se basa en elevar un radical con índice (n ) a la potencia (n ^ {th} ). Esto eliminará el radical.

Para (a geq 0, ( sqrt [n] {a}) ^ {n} = a ).

Resolver una ecuación radical con un radical

Aislar el radical en un lado de la ecuación.
Eleve ambos lados de la ecuación a la potencia del índice.
Resuelve la nueva ecuación.
Verifique la respuesta en la ecuación original.

Cuando usamos un signo radical, indica la raíz principal o positiva. Si una ecuación tiene un radical con un índice par igual a un número negativo, esa ecuación no tendrá solución.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Resuelva: ( sqrt {9 k-2} + 1 = 0 ).

Solución :

	$.$
Para aislar el radical, reste (1 ) a ambos lados.	$.$
Simplifica.	$.$

Tabla 8.6.2

Debido a que la raíz cuadrada es igual a un número negativo, la ecuación no tiene solución.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resuelva: ( sqrt {2 r-3} + 5 = 0 ).

Respuesta: sin solución

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Resuelva: ( sqrt {7 s-3} + 2 = 0 ).

Respuesta: sin solución

Si un lado de una ecuación con una raíz cuadrada es un binomio, usamos el Producto del patrón de cuadrados binomiales cuando lo cuadramos.

Definición ( PageIndex {2} )

Cuadrados binomiales

( begin {array} {l} {(a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2}} \ {(ab) ^ {2} = a ^ {2} -2 a b + b ^ {2}} end {array} )

¡No olvides el término medio!

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Resuelva: ( sqrt {p-1} + 1 = p ).

Solución :

Tabla 8.6.3

Las soluciones son (p = 1, p = 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resuelve: ( sqrt {x-2} + 2 = x ).

Respuesta: (x = 2, x = 3 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resuelva: ( sqrt {y-5} + 5 = y ).

Respuesta: (y = 5, y = 6 )

Cuando el índice del radical es (3 ), cubicamos ambos lados para eliminar el radical.

(( sqrt [3] {a}) ^ {3} = a )

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Resuelva: ( sqrt [3] {5 x + 1} + 8 = 4 ).

Solución :

	( sqrt [3] {5 x + 1} + 8 = 4 )
Para aislar el radical, reste (8 ) de ambos lados.	( sqrt [3] {5 x + 1} = – 4 )
Cubica ambos lados de la ecuación.	(( sqrt [3] {5 x + 1}) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )
Simplifica.	(5 x + 1 = -64 )
Resuelve la ecuación.	(5 x = -65 )
	(x = -13 )
Verifique la respuesta.
$.$
	La solución es (x = -13 ).

Tabla 8.6.4

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Resolver: ( sqrt [3] {4 x-3} + 8 = 5 )

Respuesta: (x = -6 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Resolver: ( sqrt [3] {6 x-10} + 1 = -3 )

Respuesta: (x = -9 )

A veces una ecuación contendrá exponentes racionales en lugar de un radical. Utilizamos las mismas técnicas para resolver la ecuación que cuando tenemos un radical. Elevamos cada lado de la ecuación a la potencia del denominador del exponente racional. Como ( left (a ^ {m} right) ^ {^ {n}} = a ^ {m cdot n} ), tenemos por ejemplo,

( left (x ^ { frac {1} {2}} right) ^ {2} = x, left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ { 3} = x )

Recuerde, (x ^ { frac {1} {2}} = sqrt {x} ) y (x ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {x } ).

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Resuelva: ((3 x-2) ^ { frac {1} {4}} + 3 = 5 ).

Solución :

	((3 x-2) ^ { frac {1} {4}} + 3 = 5 )
Para aislar el término con el exponente racional, reste (3 ) de ambos lados.	((3 x-2) ^ { frac {1} {4}} = 2 )
Eleva cada lado de la ecuación a la cuarta potencia.	( left ((3 x-2) ^ { frac {1} {4}} right) ^ {4} = (2) ^ {4} )
Simplifica.	(3 x-2 = 16 )
Resuelve la ecuación.	(3x = 18 )
	(x = 6 )
Verifique la respuesta.
$.$
	La solución es (x = 6 ).

Tabla 8.6.5

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Resolver: ((9 x + 9) ^ { frac {1} {4}} – 2 = 1 )

Respuesta: (x = 8 )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Resolver: ((4 x-8) ^ { frac {1} {4}} + 5 = 7 )

Respuesta: (x = 6 )

A veces, la solución de una ecuación radical da como resultado dos soluciones algebraicas, ¡pero una de ellas puede ser una solución extraña !

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Resuelva: ( sqrt {r + 4} -r + 2 = 0 ).

Solución :

	( sqrt {r + 4} -r + 2 = 0 )
Aislar el radical.	( sqrt {r + 4} = r-2 )
Cuadra ambos lados de la ecuación.	(( sqrt {r + 4}) ^ {2} = (r-2) ^ {2} )
Simplifica y luego resuelve la ecuación.	(r + 4 = r ^ {2} -4 r + 4 )
Si es una ecuación cuadrática, entonces obtenga cero en un lado.	(0 = r ^ {2} -5 r )
Factoriza el lado derecho.	(0 = r (r-5) )
Utilice la propiedad del producto cero.	(0 = r quad 0 = r-5 )
Resuelve la ecuación.	(r = 0 quad r = 5 )
Comprueba tu respuesta.
$.$	La solución es (r = 5 ).
	(r = 0 ) es una solución extrema.

Tabla 8.6.6

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Resolver: ( sqrt {m + 9} -m + 3 = 0 )

Respuesta: (m = 7 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Resuelva: ( sqrt {n + 1} -n + 1 = 0 ).

Respuesta: (n = 3 )

Cuando hay un coeficiente frente al radical, también debemos elevarlo a la potencia del índice.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Resuelva: (3 sqrt {3 x-5} -8 = 4 ).

Solución :

	(3 sqrt {3 x-5} -8 = 4 )
Aislar el término radical.	(3 sqrt {3 x-5} = 12 )
Aislar el radical dividiendo ambos lados entre (3 ).	( sqrt {3 x-5} = 4 )
Cuadra ambos lados de la ecuación.	(( sqrt {3 x-5}) ^ {2} = (4) ^ {2} )
Simplifica, luego resuelve la nueva ecuación.	(3 x-5 = 16 )
	(3x = 21 )
Resuelve la ecuación.	(x = 7 )
Verifique la respuesta.
$.$
	La solución es (x = 7 ).