Cálculo de grandes potencias

 

Los logaritmos se usaron originalmente para calcular grandes productos y potencias. Antes de la era de las calculadoras y las computadoras, los estudiantes de matemáticas pasaban muchas horas aprendiendo y practicando estos procedimientos. En la actualidad, la mayoría de estos cálculos se pueden hacer fácilmente en una calculadora, por lo que el uso original de logaritmos ya no se enseña.

 

Sin embargo, las calculadoras siguen siendo limitadas. No pueden calcular grandes potencias como (253 ^ {789} ) (¡pruébalo!), Y la mayoría de los programas de computadora tampoco pueden (todas esas herramientas tienen un límite en el tamaño de los cálculos que pueden realizar).

 

Entonces, ¿cómo podemos calcular grandes potencias como estas? La idea es utilizar nuestro conocimiento de las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales. Aquí está el procedimiento:

 

     
1.      

   Primero, deje (y = 253 ^ {789} ), y tome el registro de ambos lados:

        

   (log (y) = log (253 ^ {789}) )
   = 789 log (253) (propiedad de los registros)
   ( approx 1896.062091 ) (aproximación de la calculadora) [19459006 ]      

     
2.      

   Ahora la idea es exponer ambos lados, usando la función (10 ​​^ x ). Sin embargo, su calculadora aún no puede calcular (10 ​​^ {1896.062091} ) (pruébelo). Así que ahora separamos la parte entera, y nuestra respuesta final estará en notación científica:

        

   (y = 10 ^ {log (y)} = 10 ^ {1896.062091} = 10 ^ {1896 + 0.062091} = 10 ^ {1896} cdot 10 ^ {0.062091} aprox 10 ^ {1896} cdot 1.153694972 ) (aproximación de la calculadora)

        
 

 

Por lo tanto, la respuesta final es aproximadamente (1.153695 cdot 10 ^ {1896} ). Aquí hay un ejemplo adicional:

   

     
1.      

   Deje (y = 2 ^ {400} ), y tome el registro de ambos lados:

        

   (log (y) = log (2 ^ {400}) )
   = 400 log (2) (propiedad de los registros)
   ( aprox 120.4119983 ) (aproximación de la calculadora) [19459006 ]      

     
2.      

   Exponga ambos lados, usando la función (10 ​​^ x ) y separando la parte entera del exponente:

        

   (y = 10 ^ {log (y)} = 10 ^ {120.4119983} = 10 ^ {120 + 4119983} = 10 ^ {120} cdot 10 ^ {0.4119983} )

        

   ( aprox 10120 cdot 2.582250083 ) (aproximación de la calculadora)

        
 

 

La respuesta final es aproximadamente (2.582250 cdot 10 ^ {120} ).

   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 – 10 , calcule el valor de la expresión. Exprese su respuesta en notación científica (c cdot 10 ^ {n} ).