las matematicas

8.9: Usar variación directa e inversa

8.9: Usar variación directa e inversa

Cuando dos cantidades están relacionadas por una proporción, decimos que son proporcionales entre sí. Otra forma de expresar esta relación es hablar sobre la variación de las dos cantidades. Discutiremos la variación directa y la variación inversa en esta sección.

Resolver problemas de variación directa

 

Lindsay recibe $ 15 por hora en su trabajo. Si dejamos que s sea su salario y h sea el número de horas que ha trabajado, podríamos modelar esta situación con la ecuación

 

s = 15h

 

El salario de Lindsay es el producto de una constante, 15, y la cantidad de horas que trabaja. Decimos que el salario de Lindsay varía directamente con la cantidad de horas que trabaja. Dos variables varían directamente si una es producto de una constante y la otra.

 
 

Definición: VARIACIÓN DIRECTA

 

Para cualquiera de las dos variables x y y , y varía directamente con x if

 

y = kx, donde (n ne 0 )

 
 

En aplicaciones que usan variación directa, generalmente conoceremos los valores de un par de variables y se nos pedirá que busquen la ecuación que se relaciona x y y . Entonces podemos usar esa ecuación para encontrar valores de y para otros valores de x .

 

Cómo resolver problemas de variación directa

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Si y varía directamente con x e y = 20 cuando x = 8, encuentre la ecuación que se relaciona x y y .

 
     
Respuesta
     
     

The above image has 3 columns. The table shows the steps to solve direct variation problems. Step one is to write the formula for the direct variation. The direct variation formula is y equals k x. Then we get y equals k times x. Step two is substitute the given values for the variables. We are given y equals 20 and x equals 8. Then we have 20 equals k times 8. Step three is to solve for the constant variation. Divide both sides of the equation by 8, then multiply. We now get 20 divided by 8 equals k. K equals 2.5. Step four is to write the equation that relates x and y. Rewrite the general equation with the value we found k to get y equals 2 and five-tenths times x.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Si y varía directamente como x e y = 3, cuando x = 10, encuentre la ecuación que se relaciona x y y .

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {3} {10} x )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Si y varía directamente como x e y = 12 cuando x = 4, encuentre la ecuación que se relaciona x y y .

 
     
Respuesta
     
     

y = 3x

     
 
 
 

Enumeraremos los pasos a continuación.

 
 

Definición: RESOLVER PROBLEMAS DE VARIACIÓN DIRECTA

 
         
  1. Escribe la fórmula para la variación directa.
    2.      
  2. Sustituya los valores dados por las variables.
    3.      
  3. Resolver para la constante de variación.
    4.      
  4. Escribe la ecuación que relaciona x e y.
    5.  
 
 

Ahora resolveremos algunas aplicaciones de variación directa.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Cuando Raoul corre en la cinta de correr en el gimnasio, la cantidad de calorías, c , las quemaduras varía directamente con la cantidad de minutos, m , usa la cinta de correr. Quemó 315 calorías cuando usó la cinta de correr durante 18 minutos.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona c y m .
    2.      
  2. ¿Cuántas calorías quemaría si corriera en la cinta durante 25 minutos?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

          

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
                 
                 
                 
                 

Encuentra c cuando m = 25.

                 
                 
                 
                 
Escribe la ecuación que relaciona c y m. .
Sustituye el valor dado por m. .
Simplifica. .
Raoul quemaría 437.5 calorías si usara la cinta de correr durante 25 minutos.
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

El número de calorías, c , quemadas varía directamente con la cantidad de tiempo, t, gastado haciendo ejercicio. Arnold quemó 312 calorías en 65 minutos haciendo ejercicio.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona c y t .
    2.      
  2. ¿Cuántas calorías quemaría si hiciera ejercicio durante 90 minutos?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. c = 4,8 t
    2.          
  2. 432 calorías
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

La distancia que recorre un cuerpo en movimiento, d , varía directamente con el tiempo, t , se mueve. Un tren viaja 100 millas en 2 horas

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona d y t .
    2.      
  2. ¿Cuántas millas viajaría en 5 horas?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. d = 50t
    2.          
  2. 250 millas
    3.      
     
 
 
 

En el ejemplo anterior, las variables c y m se nombraron en el problema. Por lo general, ese no es el caso. Tendremos que nombrar las variables en el siguiente ejemplo como parte de la solución, tal como lo hacemos en la mayoría de los problemas aplicados.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

La cantidad de galones de gasolina que usa el auto de Eunice varía directamente con la cantidad de millas que maneja. La semana pasada condujo 469.8 millas y usó 14.5 galones de gasolina.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona el número de galones de gasolina usados ​​con el número de millas conducidas.
    2.      
  2. ¿Cuántos galones de gasolina usaría el auto de Eunice si condujera 1000 millas?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

          

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra g cuando m = 1000.
Escribe la ecuación que relaciona gym. g = 0,031 m
Sustituye el valor dado por m. g = 0,031 (1000)
Simplifica. g = 31
El auto de Eunice usaría 31 galones de gasolina si lo condujera 1,000 millas.
     

Observe que en este ejemplo, las unidades en la constante de variación son galones / milla. En la vida cotidiana, generalmente hablamos de millas / galón.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

La distancia que recorre Brad varía directamente con el tiempo dedicado a viajar. Brad viajó 660 millas en 12 horas,

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona el número de millas recorridas en el tiempo.
    2.      
  2. ¿Cuántas millas podría viajar Brad en 4 horas?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. m = 55h
    2.          
  2. 220 millas
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

El peso de un líquido varía directamente según su volumen. Un líquido que pesa 24 libras tiene un volumen de 4 galones.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona el peso con el volumen.
    2.      
  2. Si un líquido tiene un volumen de 13 galones, ¿cuál es su peso?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. w = 6v
    2.          
  2. 78 libras
    3.      
     
 
 
 

En algunas situaciones, una variable varía directamente con el cuadrado de la otra variable. Cuando eso sucede, la ecuación de variación directa es (y = kx ^ 2 ).

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

La carga máxima que soportará una viga varía directamente con el cuadrado de la diagonal de la sección transversal de la viga. Una viga con diagonal de 4 “soportará una carga máxima de 75 libras.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona la carga máxima con la sección transversal.
    2.      
  2. ¿Cuál es la carga máxima que puede soportar una viga con diagonal de 8 “?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

          

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra L cuando c = 8.
Escribe la ecuación que relaciona L y c. (L = 4.6875c ^ 2 )
Sustituye el valor dado por c. (L = 4.6875 (8) ^ 2 )
Simplifica. L = 300
Una viga con diagonal de 8 “podría soportar una carga máxima de 300 libras.
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

La distancia a la que cae un objeto es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que cae. Una pelota cae 144 pies en 3 segundos.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona la distancia con el tiempo.
    2.      
  2. ¿Hasta dónde caerá un objeto en 4 segundos?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (d = 16t ^ 2 )
    2.          
  2. 256 pies
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

El área de un círculo varía directamente como el cuadrado del radio. Una pizza circular con un radio de 6 pulgadas tiene un área de 113.04 pulgadas cuadradas.

 
         
  1. Escribe la ecuación que relaciona el área con el radio.
    2.      
  2. ¿Cuál es el área de una pizza con un radio de 9 pulgadas?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (A = 3.14r ^ 2 )
    2.          
  2. 254,34 pulgadas cuadradas
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Resolver problemas de variación inversa

 

Muchas aplicaciones involucran dos variables que varían inversamente . A medida que una variable aumenta, la otra disminuye. La ecuación que los relaciona es (y = frac {k} {x} ).

 
 

Definición: VARIACIÓN INVERSA

 

Para cualquiera de las dos variables x y y , y varía inversamente con x if

 

y = ( frac {k} {x} ), donde (k ne 0 )

 
 
 

La palabra “inverso” en variación inversa se refiere al inverso multiplicativo. El inverso multiplicativo de x es ( frac {1} {x} ).

 
 

Resolvemos problemas de variación inversa de la misma manera que resolvimos problemas de variación directa. Solo la forma general de la ecuación ha cambiado. Copiaremos el cuadro de procedimiento aquí y simplemente cambiaremos “directo” a “inverso”.

 
 

Definición: RESOLVER PROBLEMAS DE VARIACIÓN INVERSA

 
         
  1. Escribe la fórmula para la variación inversa.
    2.      
  2. Sustituya los valores dados por las variables.
    3.      
  3. Resolver para la constante de variación.
    4.      
  4. Escribe la ecuación que relaciona x e y.
    5.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Si y varía inversamente con x e y = 20 cuando x = 8 x y y .

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Si p varía inversamente con q y p = 30 cuando q = 12 encuentre la ecuación que relaciona py q.

 
     
Respuesta
     
     

(p = frac {360} {q} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Si y varía inversamente con x e y = 8 cuando x = 2 encuentre la ecuación que relaciona x e y.

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {16} {x} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

El consumo de combustible (mpg) de un automóvil varía inversamente con su peso. Un automóvil que pesa 3100 libras obtiene 26 mpg en la carretera.

 
         
  1. Escribe la ecuación de variación.
    2.      
  2. ¿Cuál sería el consumo de combustible de un automóvil que pesa 4030 libras?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

          

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra f cuando w = 4030.
Escribe la ecuación que relaciona f y w. .
Sustituye el valor dado por w. (f = frac {80,600} {4030} )
Simplifica. f = 20
Un automóvil que pesa 4030 libras tendría un consumo de combustible de 20 mpg.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

El valor de un automóvil varía inversamente con su antigüedad. Elena compró un auto de dos años por $ 20,000.

 
         
  1. Escribe la ecuación de variación.
    2.      
  2. ¿Cuál será el valor del auto de Elena cuando tenga 5 años?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (v = frac {40,000} {a} )
    2.          
  2. $ 8,000
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

El tiempo requerido para vaciar una piscina varía inversamente a la velocidad de bombeo. Lucy tardó 2,5 horas en vaciar su piscina con una bomba que tenía una potencia de 400 gpm (galones por minuto).

 
         
  1. Escribe la ecuación de variación.
    2.      
  2. ¿Cuánto tiempo le llevará vaciar la piscina con una bomba de 500 gpm?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (t = frac {1000} {r} )
    2.          
  2. 2 horas
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

La frecuencia de una cuerda de guitarra varía inversamente con su longitud. Una cuerda de 26 “de largo tiene una frecuencia de 440 vibraciones por segundo.

 
         
  1. Escribe la ecuación de variación.
    2.      
  2. ¿Cuántas vibraciones por segundo habrá si la longitud de la cuerda se reduce a 20 “colocando un dedo en un traste?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

          

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra f cuando L = 20.
Escribe la ecuación que relaciona f y L. (f = frac {11,440} {L} )
Sustituye el valor dado por L. (f = frac {11,440} {20} )
Simplifica. f = 572
Una cuerda de guitarra de 20 ”tiene una frecuencia de 572 vibraciones por segundo.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

El número de horas que tarda el hielo en derretirse varía inversamente con la temperatura del aire. Suponga que un bloque de hielo se derrite en 2 horas cuando la temperatura es de 65 grados.

 
         
  1. Escribe la ecuación de variación.
    2.      
  2. ¿Cuántas horas le tomaría al mismo bloque de hielo derretirse si la temperatura fuera de 78 grados?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (h = frac {130} {t} )
    2.          
  2. (1 frac {2} {3} ) horas
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

La fuerza necesaria para romper una tabla varía inversamente con su longitud. Richard usa 24 libras de presión para romper una tabla de 2 pies de largo.

 
         
  1. Escribe la ecuación de variación.
    2.      
  2. ¿Cuántas libras de presión se necesitan para romper una tabla de 5 pies de largo?
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (F = frac {48} {L} )
    2.          
  2. 9.6 libras
    3.      
     
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
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