8.9: Use el sistema de números complejos

8.9: Use el sistema de números complejos

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Evalúa la raíz cuadrada de un número negativo

 

Cuando tenemos una situación en la que tenemos una raíz cuadrada de un número negativo, decimos que no hay un número real que sea igual a esa raíz cuadrada. Por ejemplo, para simplificar ( sqrt {-1} ), estamos buscando un número real (x ) para que (x ^ {2} = – 1 ). Como todos los números reales al cuadrado son números positivos, no hay un número real que sea igual a (- 1 ) cuando esté al cuadrado.

 

Los matemáticos a menudo han ampliado sus sistemas de números según sea necesario. Agregaron (0 ) a los números de conteo para obtener los números enteros. Cuando necesitaban saldos negativos, agregaban números negativos para obtener los enteros. Cuando necesitaban la idea de partes de un todo, sumaban fracciones y obtenían los números racionales. Agregar los números irracionales permitía números como ( sqrt {5} ). Todos estos juntos nos dieron los números reales y hasta ahora en su estudio de las matemáticas, eso ha sido suficiente.

 

Pero ahora ampliaremos los números reales para incluir las raíces cuadradas de los números negativos. Comenzamos definiendo la unidad imaginaria (i ) como el número cuyo cuadrado es (- 1 ).

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

La unidad imaginaria (i ) es el número cuyo cuadrado es (- 1 ).

 

(i ^ {2} = – 1 text {o} i = sqrt {-1} )

 
 

Usaremos la unidad imaginaria para simplificar las raíces cuadradas de los números negativos.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Raíz cuadrada de un número negativo

 

Si (b ) es un número real positivo, entonces

 

( sqrt {-b} = sqrt {b} i )

 
 

Utilizaremos esta definición en el siguiente ejemplo. Tenga cuidado de que esté claro que el (i ) no está bajo el radical. A veces verá esto escrito como ( sqrt {-b} = i sqrt {b} ) para enfatizar que (i ) no está bajo el radical. Pero el ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ) se considera forma estándar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Escriba cada expresión en términos de (i ) y simplificar es posible:

 
         
  1. ( sqrt {-25} )
  2.      
  3. ( sqrt {-7} )
  4.      
  5. ( sqrt {-12} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( sqrt {-25} )

 

Usa la definición de la raíz cuadrada de los números negativos.

 

( sqrt {25} i )

 

Simplificar.

 

(5i )

 

b.

 

( sqrt {-7} )

 

Usa la definición de la raíz cuadrada de los números negativos.

 

( sqrt {7} i )

 

Simplificar.

 

Tenga cuidado de que esté claro que (i ) no está bajo el signo radical.

 

c.

 

( sqrt {-12} )

 

Usa la definición de la raíz cuadrada de los números negativos.

 

( sqrt {12} i )

 

Simplifica ( sqrt {12} ).

 

(2 sqrt {3} i )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escriba cada expresión en términos de (i ) y simplifique si es posible:

 
         
  1. ( sqrt {-81} )
  2.      
  3. ( sqrt {-5} )
  4.      
  5. ( sqrt {-18} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (9i )
  2.          
  3. ( sqrt {5} i )
  4.          
  5. (3 sqrt {2} i )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escriba cada expresión en términos de (i ) y simplifique si es posible:

 
         
  1. ( sqrt {-36} )
  2.      
  3. ( sqrt {-3} )
  4.      
  5. ( sqrt {-27} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6i )
  2.          
  3. ( sqrt {3} i )
  4.          
  5. (3 sqrt {3} i )
  6.      
     
 
 
 

Ahora que estamos familiarizados con el número imaginario (i ), podemos expandir los números reales para incluir números imaginarios. El sistema de números complejos incluye los números reales y los números imaginarios. Un número complejo tiene la forma (a + bi ), donde (a, b ) son números reales. Llamamos a (a ) la parte real y (b ) la parte imaginaria.

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

A número complejo tiene la forma (a + bi ), donde (a ) y (b ) son números reales.

 
The image shows the expression a plus b i. The number a is labeled “real part†and the number b i is labeled “imaginary partâ€.  
Figura 8.8.1
 
 
 

Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como (a + bi ), donde (a ) y (b ) son números reales.

 

Si (b = 0 ), entonces (a + bi ) se convierte en (a + 0⋅i = a ), y es un número real.

 

Si (b ≠ 0 ), entonces (a + bi ) es un número imaginario.

 

Si (a = 0 ), entonces (a + bi ) se convierte en (0 + bi = bi ), y se llama un número imaginario puro.

 

Resumimos esto aquí.

                                                                                                                                                                                                                                                                      
(a + bi )
(b = 0 )              

(a + 0 cdot i )

             

(a )

             
Número real
(b neq 0 ) (a + bi ) Número imaginario
(a = 0 ) R              

(0 + bi )

             

(bi )

             
Puro imaginario numbe4
 

Tabla 8.8.1

 

La forma estándar de un número complejo es (a + bi ), por lo que esto explica por qué la forma preferida es ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ) cuando (b> 0 ).

 

El diagrama nos ayuda a visualizar el complejo sistema numérico. Está compuesto por los números reales y los números imaginarios.

 
The table has four rows and three columns. The first row is a header and the second column entry a plus b i. In the second row is b equals zero, a plus 0 i, and “Real numberâ€. The third row contains b is not equal to 0, a plus b i, and “Imaginary numberâ€. The fourth row contains a = 0, 0 plus b i, and “Pure imaginary numberâ€.  
Figura 8.8.2
 
 

Sumar o restar números complejos

 

Ahora estamos listos para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en los números complejos, tal como lo hicimos con los números reales.

 

Sumar y restar números complejos es muy parecido a sumar o restar términos similares. Sumamos o restamos las partes reales y luego sumamos o restamos las partes imaginarias. Nuestro resultado final debe estar en forma estándar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Agregar: ( sqrt {-12} + sqrt {-27} ).

 

Solución :

 

( sqrt {-12} + sqrt {-27} )

 

Usa la definición de la raíz cuadrada de los números negativos.

 

( sqrt {12} i + sqrt {27} i )

 

Simplifica las raíces cuadradas.

 

(2 sqrt {3} i + 3 sqrt {3} i )

 

Agregar.

 

(5 sqrt {3} i )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Agregar: ( sqrt {-8} + sqrt {-32} ).

 
     
Respuesta
     
     

(6 sqrt {2} i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Agregar: ( sqrt {-27} + sqrt {-48} )

 
     
Respuesta
     
     

(7 sqrt {3} i )

     
 
 
 

Recuerde agregar las partes reales y las partes imaginarias en este próximo ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((4-3 i) + (5 + 6 i) )
  2.      
  3. ((2-5 i) – (5-2 i) )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

((4-3 i) + (5 + 6 i) )

 

Usa la propiedad asociativa para unir las partes reales y las partes imaginarias.

 

((4 + 5) + (- 3 i + 6 i) )

 

Simplificar.

 

(9 + 3i )

 

b.

 

((2-5 i) – (5-2 i) )

 

Distribuir.

 

(2-5 i-5 + 2 i )

 

Usa la propiedad asociativa para unir las partes reales y las partes imaginarias.

 

(2-5-5 i + 2 i )

 

Simplificar.

 

(- 3-3 i )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((2 + 7 i) + (4-2 i) )
  2.      
  3. ((8-4 i) – (2-i) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6 + 5i )
  2.          
  3. (6-3i )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((3-2 i) + (- 5-4 i) )
  2.      
  3. ((4 + 3 i) – (2-6 i) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 2-6i )
  2.          
  3. (2 + 9i )
  4.      
     
 
 
 

Multiplicar números complejos

 

Multiplicar números complejos también es muy parecido a multiplicar expresiones con coeficientes y variables. Solo hay un caso especial que debemos considerar. Lo veremos después de practicar en los siguientes dos ejemplos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Multiplicar: (2 i (7-5 ​​i) )

 

Solución :

 

(2 i (7-5 ​​i) )

 

Distribuir.

 

(14 i-10 i ^ {2} )

 

Simplifica (i ^ {2} ).

 

(14 i-10 (-1) )

 

Multiplica.

 

(14 i + 10 )

 

Escribir en forma estándar.

 

(10 ​​+ 14i )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Multiplicar: (4 i (5-3 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(12 + 20i )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Multiplicar: (- 3 i (2 + 4 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(12 + 6i )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, multiplicamos los binomios usando la propiedad distributiva o FOIL .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Multiplicar: ((3 + 2 i) (4-3 i) ).

 

Solución :

 

((3 + 2 i) (4-3 i) )

 

Use FOIL.

 

(12-9 i + 8 i-6 i ^ {2} )

 

Simplifique (i ^ {2} ) y combine términos similares.

 

(12-i-6 (-1) )

 

Multiplica.

 

(12-i + 6 )

 

Combina las partes reales.

 

(18-i )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Múltiple: ((5-3 i) (- 1-2 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 11-7i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Múltiple: ((- 4-3 i) (2 + i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 5-10i )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, podríamos usar FOIL o el Producto del patrón de cuadrados binomiales .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Multiplicar: ((3 + 2 i) ^ {2} )

 

Solución :

 

Tabla 8.8.2

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Multiplica usando el patrón Cuadrados binomiales: ((- 2-5 i) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 21-20 i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Multiplica usando el patrón Cuadrados binomiales: ((- 5 + 4 i) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(9-40i )

     
 
 
 

Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, no podemos usar la propiedad del producto para radicales. Para multiplicar las raíces cuadradas de los números negativos, primero debemos escribirlos como números complejos, usando ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ). Este es un lugar donde los estudiantes tienden a cometer errores, así que tenga cuidado cuando veas multiplicar con una raíz cuadrada negativa.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Multiplicar: ( sqrt {-36} cdot sqrt {-4} ).

 

Solución :

 

Para multiplicar raíces cuadradas de números negativos, primero los escribimos como números complejos.

 

( sqrt {-36} cdot sqrt {-4} )

 

Escribe como números complejos usando ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ).

 

( sqrt {36} i cdot sqrt {4} i )

 

Simplificar.

 

(6 i cdot 2 i )

 

Multiplica.

 

(12i ^ {2} )

 

Simplifica (i ^ {2} ) y multiplica.

 

(- 12 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Multiplicar: ( sqrt {-49} cdot sqrt {-4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 14 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Multiplicar: ( sqrt {-36} cdot sqrt {-81} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 54 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, cada binomio tiene una raíz cuadrada de un número negativo. Antes de multiplicar, cada raíz cuadrada de un número negativo debe escribirse como un número complejo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Multiplicar: ((3- sqrt {-12}) (5+ sqrt {-27}) ).

 

Solución :

 

Para multiplicar raíces cuadradas de números negativos, primero los escribimos como números complejos.

 

((3- sqrt {-12}) (5+ sqrt {-27}) )

 

Escribe como números complejos usando ( sqrt {-b} = sqrt {b} i ).

 

((3-2 sqrt {3} i) (5 + 3 sqrt {3} i) )

 

Use FOIL.

 

(15 + 9 sqrt {3} i-10 sqrt {3} i-6 cdot 3 i ^ {2} )

 

Combina términos similares y simplifica (i ^ {2} ).

 

(15- sqrt {3} i-6 cdot (-3) )

 

Multiplica y combina términos similares.

 

(33- sqrt {3} i )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Multiplicar: ((4- sqrt {-12}) (3- sqrt {-48}) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 12-22 sqrt {3} i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Multiplicar: ((- 2+ sqrt {-8}) (3- sqrt {-18}) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6 + 12 sqrt {2} i )

     
 
 
 

Primero observamos pares conjugados cuando estudiamos polinomios. Dijimos que un par de binomios que tienen el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y el otro es una diferencia, se llama par conjugado y tiene la forma ((un −b), (a + b) ).

 

Un par conjugado complejo es muy similar. Para un número complejo de la forma (a + bi ), su conjugado es (a − bi ). Observe que tienen el mismo primer término y el mismo último término, pero uno es una suma y el otro es una diferencia.

 
 

Definición ( PageIndex {4} )

   

Un par conjugado complejo tiene la forma (a + bi, a + bi ).

 
 

Multiplicaremos un par conjugado complejo en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Multiplicar: ((3-2 i) (3 + 2 i) ).

 

Solución :

 

((3-2 i) (3 + 2 i) )

 

Utilice FOIL

 

(9 + 6 i-6 i-4 i ^ {2} )

 

Combina términos similares y simplifica (i ^ {2} ).

 

(9-4 (-1) )

 

Multiplica y combina términos similares.

 

(13 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Multiplicar: ((4-3 i) cdot (4 + 3 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(25 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Multiplicar: ((- 2 + 5 i) cdot (-2-5 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(29 )

     
 
 
 

De nuestro estudio de polinomios, sabemos que el producto de los conjugados siempre tiene la forma ((ab) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2} ). El resultado se llama a diferencia de cuadrados . Podemos multiplicar un par conjugado complejo usando este patrón.

 

El último ejemplo que utilizamos FOIL. Ahora usaremos el Producto del patrón de conjugados .

 
The quantity a minus b in parentheses times the quantity a plus b in parentheses is written above the expression showing the product of 3 minus 2 i in parentheses and 3 plus 2 i in parentheses. In the next line a squared minus b squared is written above the expression 3 squared minus the quantity 2 i in parentheses squared. Simplifying we get 9 minus 4 i squared. This is equal to 9 minus 4 times negative 1. The final result is 13.  
Figura 8.8.8
 
 

Observe que este es el mismo resultado que encontramos en el ejemplo 8.8.9.

 

 

Cuando multiplicamos conjugados complejos, el producto de los últimos términos siempre tendrá un (i ^ {2} ) que se simplifica a (- 1 ).

 

( begin {array} {c} {(ab i) (a + bi)} \ {a ^ {2} – (bi) ^ {2}} \ {a ^ {2} – b ^ {2} i ^ {2}} \ {a ^ {2} -b ^ {2} (- 1)} \ {a ^ {2} + b ^ {2}} end {array} )

 

Esto nos lleva al producto del patrón de conjugados complejos: ((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} )

 
 

Definición ( PageIndex {5} )

 

Producto de conjugados complejos

 

Si (a ) y (b ) son números reales, entonces

 

((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Multiplica usando el producto del patrón de conjugados complejos: ((8-2 i) (8 + 2 i) ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                              
.
Usa el producto del patrón de conjugados complejos, ((a-b i) (a + b i) = a ^ {2} + b ^ {2} ). .
Simplifica los cuadrados. .
Agregar. .
 

Tabla 8.8.3

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Multiplica usando el producto del patrón de conjugados complejos: ((3-10 i) (3 + 10 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(109 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Multiplicar usando el producto del patrón de conjugados complejos: ((- 5 + 4 i) (- 5-4 i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(41 )

     
 
 
 

Simplifique los poderes de (i )

 

Los poderes de (i ) crean un patrón interesante que nos ayudará a simplificar los poderes superiores de (i ). Vamos a evaluar los poderes de (i ) para ver el patrón.

 

( begin {array} {ccc} {i ^ {1}} & {i ^ {2}} & {i ^ {3}} y {i ^ {4}} \ {i} & {-1} y {i ^ {2} cdot i} y {i ^ {2} cdot i ^ {2}} \ {} & {} y {- 1 cdot i} y {(- 1 ) (- 1)} \ {} & {} & {- i} y {1} end {array} )

 

( begin {array} {cccc} {i ^ {5}} & {i ^ {6}} & {i ^ {7}} & {i ^ {8}} \ {i ^ { 4} cdot i} y {i ^ {4} cdot i ^ {2}} y {i ^ {4} cdot i ^ {3}} y {i ^ {4} cdot i ^ {4} } \ {1 cdot i} y {1 cdot i ^ {2}} y {1 cdot i ^ {3}} y {1 cdot 1} \ {i} y {i ^ {2} } & {i ^ {3}} & {1} \ {} & {- 1} & {-i} end {array} )

 

Resumimos esto ahora.

 

( begin {array} {ll} {i ^ {1} = i} & {i ^ {5} = i} \ {i ^ {2} = – 1} & {i ^ {6 } = – 1} \ {i ^ {3} = – i} & {i ^ {7} = – i} \ {i ^ {4} = 1} y {i ^ {8} = 1} end {array} )

 

Si continuamos, el patrón seguiría repitiéndose en bloques de cuatro. Podemos usar este patrón para ayudarnos a simplificar los poderes de (i ). Como (i ^ {4} = 1 ), reescribimos cada poder, (i ^ {n} ), como un producto que usa (i ^ {4} ) a un poder y otro poder de ( yo).

 

Lo reescribimos en la forma (i ^ {n} = left (i ^ {4} right) ^ {q} cdot i ^ {r} ), donde el exponente, (q ), es el cociente de (n ) dividido por (4 ) y el exponente, (r ), es el resto de esta división. Por ejemplo, para simplificar (i ^ {57} ), dividimos (57 ) por (4 ) y obtenemos (14 ) con un resto de (1 ). En otras palabras, (57 = 4⋅14 + 1 ). Entonces escribimos (i ^ {57} = left (1 ^ {4} right) ^ {14} cdot i ^ {1} ) y luego simplificamos desde allí.

 
.  
Figura 8.8.13
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Simplifique: (i ^ {86} ).

 

Solución :

 

(i ^ {86} )

 

Divide (86 ) por (4 ) y reescribe (i ^ {86} ) en (i ^ {n} = left (i ^ {4} right) ^ {q } cdot i ^ {r} ) forma.

 

( left (1 ^ {4} right) ^ {21} cdot i ^ {2} )

 
.  
Figura 8.8.14
 
 

Simplificar.

 

((1) ^ {21} cdot (-1) )

 

Simplificar.

 

(- 1 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: (i ^ {75} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: (i ^ {92} ).

 
     
Respuesta
     
     

(1 )

     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con el complejo sistema de números.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Raíz cuadrada de un número negativo      
               
    • Si (b ) es un número real positivo, entonces ( sqrt {-b} = sqrt {b} i
    •      
         
  •  
                                                                                                                                                                                                                                                                      
(a + bi )
(b = 0 )              

(a + 0 cdot i )

             

(a )

             
Número real
(b neq 0 ) (a + bi ) Número imaginario
(a = 0 )              

(0 + bi )

             

(bi )

             
Número imaginario puro
 

Tabla 8.8.1

 
         
  •      
               
    • Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como a + bi , donde a, b [19459043 ] son ​​números reales.
      The diagram has a rectangle with the labels “Complex Numbers” and a plus b i. A second rectangle has the labels “Real Numbers”, a plus b i, b = 0. A third rectangle has the labels “Imaginary Numbers”, a plus b i, b not equal to 0. Arrows go from the Real Numbers rectangle and Imaginary Numbers rectangle and point toward the Complex Numbers rectangle.
      Figura 8.8.2
    •      
         
  •      
  • Producto de conjugados complejos      
               
    • Si (a, b ) son números reales, entonces
      ((a − bi) (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2} )
    •      
         
  •      
  • Cómo dividir números complejos      
               
    1. Escribe el numerador y el denominador en forma estándar.
    2.          
    3. Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.
    4.          
    5. Simplifique y escriba el resultado en forma estándar.
    6.      
         
  •  
 

Glosario

 
     
par conjugado complejo
     
Un par conjugado complejo tiene la forma (a + bi, a-bi ).
 
 
     
número complejo
     
Un número complejo tiene la forma (a + bi ), donde (a ) y (b ) son números reales. Llamamos a (a ) la parte real y (b ) la parte imaginaria.
 
 
     
sistema de números complejos
     
El complejo sistema numérico está compuesto por los números reales y los números imaginarios.
 
 
     
unidad imaginaria
     
La unidad imaginaria (i ) es el número cuyo cuadrado es (- 1 ). (i ^ {2} = – 1 ) o (i = sqrt {−1} ).
 
 
     
forma estándar
     
Un número complejo está en forma estándar cuando se escribe como (a + bi ), donde (a, b ) son números reales.
 
 
 
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