Secuencias
Una secuencia 1 es una función cuyo dominio es un conjunto de números naturales consecutivos que comienzan con (1 ). Por ejemplo, la siguiente ecuación con el dominio ( {1,2,3, dots } ) define una secuencia infinita 2 :
(a (n) = 5 n-3 ) o (a_ {n} = 5 n-3 )
Los elementos en el rango de esta función se denominan términos de la secuencia. Es común definir el término (n ) th, o el término general de una secuencia 3 , utilizando el subíndice notación (a_ {n} ), que dice ” (a ) sub (n )”. Los términos se pueden encontrar usando la sustitución de la siguiente manera:
( begin {alineado} color {Cerulean} {General : término:} quad & color {black} {a_ {n} = 5 n-3} \ color {Cerulean} {Primero : term (n = 1):} quad & color {black} {a_ {1} =} 5 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} – 3 = 2 \ color {Cerulean} {Segundo : término (n = 2):} quad & color {black} {a_ {2} = 5} ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} – 3 = 7 \ color {Cerulean} {Tercero : término (n = 3):} quad & color {black} {a_ {3} = 5} ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} – 3 = 12 \ color {Cerulean} {Cuarto : término (n = 4):} quad & color {black} {a_ {4} = 5} ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} – 3 = 17 \ color {Cerulean} {Quinto : término (n = 5):} quad & color {black} {a_ {5} = 5} ( color { Cerulean} {5} color {black} {)} – 3 = 22 \ vdots end {alineado} )
Esto produce una lista ordenada,
(2,7,12,17,22, ldots )
Los puntos suspensivos ((…) ) indican que esta secuencia continúa para siempre. A diferencia de un conjunto, el orden importa. Si el dominio de una secuencia consiste en números naturales que terminan, como ( {1,2,3, ldots, k } ), entonces se llama una secuencia finita 4 .
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Dado el término general de una secuencia, encuentre los primeros términos (5 ) así como el término (100 ^ {th} ): (a_ {n} = frac {n (n-1 )} {2} ).
Solución
Para encontrar los primeros términos (5 ), sustituya (1, 2, 3, 4 ) y (5 ) por (n ) y luego simplifique.
( begin {array} {l} {a_ {1} = frac { color {Cerulean} {1} color {black} {(} color {Cerulean} {1} color {black } {-} 1)} {2} = frac {1 (0)} {2} = frac {0} {2} = 0} \ {a_ {2} = frac { color {Cerulean} {2} color {black} {(} color {Cerulean} {2} color {black} {-} 1)} {2} = frac {2 (1)} {2} = frac {2 } {2} = 1} \ {a_ {3} = frac { color {Cerulean} {3} color {black} {(} color {Cerulean} {3} color {black} {-} 1)} {2} = frac {3 (2)} {2} = frac {6} {2} = 3} \ {a_ {4} = frac { color {Cerulean} {4} color {black} {(} color {Cerulean} {4} color {black} {-} 1)} {2} = frac {4 (3)} {2} = frac {12} {2} = 6} \ {a_ {5} = frac { color {Cerulean} {5} color {black} {(} color {Cerulean} {5} color {black} {-} 1)} { 2} = frac {5 (4)} {2} = frac {20} {2} = 10} end {array} )
Use (n = 100 ) para determinar el término (100 ^ {th} ) en la secuencia.
(a_ {100} = frac {100 (100-1)} {2} = frac {100 (99)} {2} = frac {9,900} {2} = 4,950 ) [19459012 ]
Respuesta :
Los primeros cinco términos: (0, 1, 3, 6, 10 ); (a_ {100} = 4,950 )
A veces, el término general de una secuencia alternará en signo y tendrá una variable distinta de (n ).
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Encuentre los primeros (5 ) términos de la secuencia: (a_ {n} = (- 1) ^ {n} x ^ {n + 1} ).
Solución
Aquí nos encargamos de reemplazar (n ) con los primeros (5 ) números naturales y no (x ).
( begin {array} {l} {a_ {1} = (- 1) color {Cerulean} {^ {1}} color {black} {x} ^ { color {Cerulean} { 1} color {black} {+} 1} = – x ^ {2}} \ {a_ {2} = (- 1) ^ { color {Cerulean} {2}} color {black} {x } ^ { color {Cerulean} {2} color {black} {+} 1} = x ^ {3}} \ {a_ {3} = (- 1) ^ { color {Cerulean} {3} } color {black} {x} ^ { color {Cerulean} {3} color {black} {+} 1} = – x ^ {4}} \ {a_ {4} = (- 1) ^ { color {Cerulean} {4}} color {black} {x} ^ { color {Cerulean} {4} color {black} {+} 1} = x ^ {5}} \ {a_ { 5} = (- 1) ^ { color {Cerulean} {5}} color {black} {x} ^ { color {Cerulean} {5} color {black} {+} 1} = – x ^ {6}} end {array} )
Respuesta :
(- x ^ {2}, x ^ {3}, – x ^ {4}, x ^ {5}, – x ^ {6} )
Un ejemplo interesante es la secuencia de Fibonacci. Los primeros dos números en la secuencia de Fibonacci son (1 ), y cada término sucesivo es la suma de los dos anteriores. Por lo tanto, el término general se expresa en términos de los dos anteriores como sigue:
(F_ {n} = F_ {n-2} + F_ {n-1} )
Aquí (F_ {1} = 1, F_ {2} = 1 ) y (n> 2 ). Una fórmula que describe una secuencia en términos de sus términos anteriores se denomina recurrencia relación 5 .
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Encuentra los primeros (7 ) números de Fibonacci.
Solución
Dado que (F_ {1} = 1 ) y (F_ {2} = 1 ), use la relación de recurrencia (F_ {n} = F_ {n-2} + F_ {n-1 } ) donde (n ) es un número entero que comienza con (n = 3 ) para encontrar los siguientes términos (5 ):
( begin {array} {l} {F_ {3} = F _ { color {Cerulean} {3} color {black} {-} 2} + F _ { color {Cerulean} {3} color {black} {-} 1} = F_ {1} + F_ {2} = 1 + 1 = 2} \ {F_ {4} = F _ { color {Cerulean} {4} color {black} {-} 2} + F _ { color {Cerulean} {4} color {black} {-} 1} = F_ {2} + F_ {3} = 1 + 2 = 3} \ {F_ {5} = F _ { color {Cerulean} {5} color {black} {-} 2} + F _ { color {Cerulean} {5} color {black} {-} 1} = F_ {3} + F_ { 4} = 2 + 3 = 5} \ {F_ {6} = F _ { color {Cerulean} {6} color {black} {-} 2} + F _ { color {Cerulean} {6} color {negro} {-} 1} = F_ {4} + F_ {5} = 3 + 5 = 8} \ {F_ {7} = F _ { color {Cerulean} {7} color {black} {- } 2} + F _ { color {Cerulean} {7} color {black} {-} 1} = F_ {5} + F_ {6} = 5 + 8 = 13} end {array} ) [19459012 ]
Respuesta :
(1,1,2,3,5,8,13 )
Los números de Fibonacci aparecen en aplicaciones que van desde el arte hasta la informática y la biología. La belleza de esta secuencia se puede visualizar construyendo una espiral de Fibonacci. Considere un mosaico de cuadrados donde cada lado tiene una longitud que coincide con cada número de Fibonacci:
La conexión de las esquinas opuestas de los cuadrados con un arco produce una forma espiral especial.
Esta forma se llama espiral de Fibonacci y se aproxima a muchas formas espirales que se encuentran en la naturaleza.