9.1: La función de raíz cuadrada

9.1: La función de raíz cuadrada

                 

En esta sección dirigimos nuestra atención a la función de raíz cuadrada, la función definida por la ecuación

 

[ begin {array} {c} {f (x) = sqrt {x}} \ end {array} ]

 

Comenzamos la sección dibujando el gráfico de la función, luego abordamos el dominio y el rango. Después de eso, investigaremos varias transformaciones diferentes de la función.

 

El gráfico de la función de raíz cuadrada

 

Creemos una tabla de puntos que satisfaga la ecuación de la función, luego tracemos los puntos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas en papel cuadriculado. Continuaremos creando y trazando puntos hasta que estemos convencidos de la forma final del gráfico.

 

Sabemos que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, no queremos poner ningún valor negativo x en nuestra tabla. Para simplificar aún más nuestros cálculos, usemos números cuya raíz cuadrada se calcule fácilmente. Esto trae a la mente cuadrados perfectos como 0, 1, 4, 9, etc. Hemos colocado estos números como valores x en la tabla de Figura 1 (b), luego calculamos la raíz cuadrada de cada uno. En Figura 1 (a), verá cada uno de los puntos de la tabla trazados como un punto sólido. Si continuamos agregando puntos a la tabla, graficando, el gráfico eventualmente se completará y tomará la forma de la curva sólida que se muestra en Figura 1 (c).

 
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Figura 1.} text {Creación del gráfico de} f (x) = sqrt {x}} \ nonumber end {array} ]
   

El enfoque de trazado de puntos utilizado para dibujar la gráfica de (f (x) = sqrt {x} ) en La figura 1 es un procedimiento probado y familiar. Sin embargo, un enfoque más sofisticado implica la teoría de los inversos desarrollada en el capítulo anterior.

 

En cierto sentido, sacar la raíz cuadrada es lo «inverso» de la cuadratura. Bueno, no del todo, ya que la función de cuadrado (f (x) = x ^ 2 ) en Figura 2 (a) falla la prueba de la línea horizontal y no es uno a uno. Sin embargo, si limitamos el dominio de la función de cuadratura, entonces la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) en Figura 2 (b), donde (x ge 0 ) , pasa la prueba de la línea horizontal y es uno a uno. Por lo tanto, la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), tiene una inversa, y la gráfica de su inversa se encuentra reflejando la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), a través de la línea y = x (ver Figura 2 (c)).

 
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Figura 2.} text {Dibujando el inverso de} f (x) = x ^ 2, x ge 0} \ nonumber end {array} ]
   

Para encontrar la ecuación de la inversa, recuerde que el procedimiento requiere que cambiemos los roles de x y y , luego resuelva la ecuación resultante para y [19459010 ] Por lo tanto, primero escriba (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), en la forma

 

[ begin {array} {c} {y = x ^ 2, x ge 0} \ nonumber end {array} ]

 

A continuación, cambie x y y .

 

[ begin {array} {c} {x = y ^ 2, y ge 0} \ end {array} ]

 

Cuando resolvemos esta última ecuación para y , obtenemos dos soluciones,

 

[ begin {array} {c} {y = pm sqrt {x}} \ end {array} ]

 

Sin embargo, en ecuación (2) , tenga en cuenta que y debe ser mayor o igual que cero. Por lo tanto, debemos elegir la respuesta no negativa en ecuación (3) , entonces el inverso de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), tiene la ecuación [19459002 ]  

[ begin {array} {c} {f ^ {- 1} (x) = sqrt {x}} \ nonumber end {array} ]

 

Esta es la ecuación de la reflexión de la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), que se muestra en Figura 2 (c ) Observe el acuerdo exacto con el gráfico de la función de raíz cuadrada en Figura 1 (c).

 

La secuencia de gráficos en Figura 2 también nos ayuda a identificar el dominio y el rango de la función de raíz cuadrada.

 
         
  •      

    En Figura 2 (a), la parábola se abre hacia afuera indefinidamente, tanto a la izquierda como a la derecha. En consecuencia, el dominio es (D_ {f} = (- infty, infty) ), o todos los números reales. Además, el gráfico tiene vértice en el origen y se abre hacia arriba indefinidamente, por lo que el rango es (R_ {f} = [0, infty) ).

         
  •      
  •      

    En Figura 2 (b), restringimos el dominio. Por lo tanto, la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), ahora tiene dominio (D_ {f} = [0, infty) ). El rango no cambia y es (R_ {f} = [0, infty) ).

         
  •      
  •      

    En Figura 2 (c), hemos reflejado la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), a través de la línea y = x para obtener la gráfica de (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). Como hemos intercambiado el papel de x e y, el dominio de la función de raíz cuadrada debe ser igual al rango de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ). Es decir, (D_ {f ^ {- 1}} = [0, infty) ). Del mismo modo, el rango de la función de raíz cuadrada debe ser igual al dominio de (f (x) = x ^ 2 ) , (x ge 0 ). Por lo tanto, (R_ {f ^ {- 1}} = [0, infty) ).

         
  •  
 

Por supuesto, también podemos determinar el dominio y el rango de la función de raíz cuadrada proyectando todos los puntos en el gráfico en los ejes x y y , como se muestra en Figuras 3 (a) y (b), respectivamente.

 
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Figura 3.} text {Proyecte en los ejes para encontrar el dominio y el rango}} \ nonumber end {array} ] [ 19459021]
   

Algunos podrían oponerse al rango, preguntando «¿Cómo sabemos que el gráfico de la imagen de la función de raíz cuadrada en Figura 3 (b) aumenta indefinidamente?» Nuevamente, la respuesta se encuentra en la secuencia de gráficos en Figura 2 . En Figura 2 (c), observe que la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ), (x ge 0 ), se abre indefinidamente a la derecha a medida que la gráfica se eleva a infinito. Por lo tanto, después de reflejar este gráfico a través de la línea y = x , el gráfico resultante debe elevarse indefinidamente hacia arriba a medida que se mueve hacia la derecha. Por lo tanto, el rango de la función de raíz cuadrada es ([0, infty) ).

 

Traducciones

 

Si desplazamos la gráfica de (y = sqrt {x} ) hacia la derecha y hacia la izquierda, o hacia arriba y hacia abajo, el dominio y / o el rango se ven afectados.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Dibuje la gráfica de (f (x) = sqrt {x − 2} ). Usa tu gráfica para determinar el dominio y el rango.

 
 

Sabemos que la ecuación básica (y = sqrt {x} ) tiene el gráfico que se muestra en Figuras 1 (c ) Si reemplazamos x con x 2, la ecuación básica ( y = sqrt {x} ) se convierte en (f (x) = sqrt {x − 2} ) . De nuestro trabajo anterior con transformaciones geométricas, sabemos que esto desplazará el gráfico dos unidades hacia la derecha, como se muestra en Figuras 4 (a) y (b).

 
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Figura 4. Para dibujar la gráfica de (f (x) = sqrt {x − 2} ), cambie la gráfica de [19459042 ] (y = sqrt {x} ) dos unidades a la derecha.
 

 

Para encontrar el dominio, proyectamos cada punto de la gráfica de f en el eje x, como se muestra en Figura 4 (a). Tenga en cuenta que todos los puntos a la derecha de 2 o incluidos están sombreados en el eje x. En consecuencia, el dominio de f es

 

Dominio = ([2, infty) ) = {x: (x ge 0 )}

 

Como no ha habido desplazamiento en la dirección vertical, el rango sigue siendo el mismo. Para encontrar el rango, proyectamos cada punto en el gráfico en el eje y, como se muestra en Figura 4 (b). Tenga en cuenta que todos los puntos en y por encima de cero están sombreados en el eje y. Por lo tanto, el rango de f es

 

Rango = ([0, infty) ) = {y: (y ge 0 )}.

 

Podemos encontrar el dominio de esta función algebraicamente examinando su ecuación de definición (f (x) = sqrt {x − 2} ). Entendemos que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, la expresión bajo el radical debe ser no negativa (positiva o cero). Es decir,

 

(x – 2 ge 0 ).

 

Resolviendo esta desigualdad para x ,

 

(x ge 2 ).

 

Por lo tanto, el dominio de f es Dominio = ([2, infty) ), que coincide con la solución gráfica anterior.

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Dibuje la gráfica de (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ). Usa tu gráfica para determinar el dominio y el rango de f.

 
 

Nuevamente, sabemos que la ecuación básica (y = sqrt {x} ) tiene el gráfico que se muestra en Figura 1 (c). Si reemplazamos x con x +4, la ecuación básica (y = sqrt {x} ) se convierte en (y = sqrt {x + 4} ) . De nuestro trabajo anterior con transformaciones geométricas, sabemos que esto desplazará la gráfica de (y = sqrt {x} ) cuatro unidades hacia la izquierda, como se muestra en Figura 5 (a )

 

Si sabemos agregar 2 a la ecuación (y = sqrt {x + 4} ) para producir la ecuación (y = sqrt {x + 4} + 2 ), esto cambiará la gráfica de (y = sqrt {x + 4} ) dos unidades hacia arriba, como se muestra en Figura 5 (b).

 
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Figura 5. Traducción de la ecuación original (y = sqrt {x} ) para obtener la gráfica de (y = sqrt {x + 4} + 2 )
 

 

Para identificar el dominio th de (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ), proyectamos todos los puntos en la gráfica de f en el eje x, como se muestra en Figura 6 (a). Tenga en cuenta que todos los puntos a la derecha de 4 están sombreados en el eje x . Por lo tanto, el dominio de (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ) es

 

Dominio = ([- 4, infty) ) = {x: (x ge −4 )}

 
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Figura 6. Proyecte puntos de f en los ejes para determinar el dominio y el rango
 

 

Del mismo modo, para encontrar el rango de f , proyecte todos los puntos en el gráfico de f en el eje y , como se muestra en Figura 6 (b). Tenga en cuenta que todos los puntos en el eje y mayores o incluidos 2 están sombreados. En consecuencia, el rango de f es

 

Rango = ([2, infty) ) = {y: (y ge 2 )}

 

También podemos encontrar el dominio de f algebraicamente examinando la ecuación (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ). No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que la expresión debajo del radical debe ser no negativa (cero o positiva). En consecuencia,

 

(x + 4 ge 0 ).

 

Resolviendo esta desigualdad para x ,

 

(x ge −4 ).

 

Por lo tanto, el dominio de f es Dominio = ([- 4, infty) ), que coincide con la solución gráfica presentada anteriormente.

 

Reflexiones

 

Si comenzamos con la ecuación básica (y = sqrt {x} ), reemplazamos x con −x, luego se captura la gráfica de la ecuación resultante (y = sqrt {−x} ) al reflejar el gráfico de (y = sqrt {x} ) (ver Figura 1 (c)) horizontalmente a través del eje y. La gráfica de (y = sqrt {−x} ) se muestra en Figura 7 (a).

 

Del mismo modo, la gráfica de (y = – sqrt {x} ) sería un reflejo vertical de la gráfica de (y = sqrt {x} ) a través del eje x, como se muestra en [ 19459011] Figura 7 (b).

 
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Figura 7. Reflejando la gráfica de (y = sqrt {x} ) a través de los ejes x e y.
 

 

La mayoría de las veces, se le pedirá que realice una reflexión y una traducción.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dibuje la gráfica de (f (x) = sqrt {4− x} ). Use el gráfico resultante para determinar el dominio y el rango de f.

 
 

Primero, reescribe la ecuación (f (x) = sqrt {4− x} ) como sigue:

 

(f (x) = sqrt {- (x − 4)} )

 
 

Definición

 

Reflexiones primero . Por lo general, es más intuitivo realizar reflexiones antes de las traducciones.

 
 

Con este pensamiento en mente, primero esbozamos el gráfico de (f (x) = sqrt {−x} ) , que es un reflejo del gráfico de [19459007 ] (f (x) = sqrt {x} ) en el eje y . Esto se muestra en Figura 8 (a).

 

Ahora, en (f (x) = sqrt {−x} ) reemplace x con x 4 para obtener (f (x) = sqrt {- (x − 4)} ). Esto desplaza el gráfico de (f (x) = sqrt {−x} ) f nuestras unidades a la derecha, como se muestra en Figura 8 (b).

 
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Figura 8. Una reflexión seguida de una traducción.
 

 

Para encontrar el dominio de la función (f (x) = sqrt {- (x − 4)} ), o de forma equivalente, (f (x) = sqrt {4 − x} ) [ 19459042], proyecte cada punto en el gráfico de f en el eje x , como se muestra en Figura 9 (a). Tenga en cuenta que todos los números reales menores o iguales a 4 están sombreados en el eje x . Por lo tanto, el dominio de f es

 

Dominio = ((- infty, 4] ) = {x: (x le 4 )}.

 

De manera similar, para obtener el rango de f, proyecte cada punto en la gráfica de f sobre su eje, como se muestra en Figura 9 (b). Tenga en cuenta que todos los números reales mayores o iguales a cero están sombreados en el eje y. Por lo tanto, el rango de f es

 

Rango = ([0, infty) ) = {x: (x ge 0 )}.

 

También podemos encontrar el dominio de la función f examinando la ecuación (f (x) = sqrt {4 − x} ). No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que la expresión debajo del radical debe ser no negativa (cero o positiva). En consecuencia,

 

(4 – x ge 0 ).

 
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Figura 9. Determinación del dominio y el rango de (f (x) = sqrt {4 − x} )
 

 

Resuelva esta última desigualdad para x . Primero reste 4 de ambos lados de la desigualdad, luego multiplique ambos lados de la desigualdad resultante por 1. Por supuesto, multiplicar por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad.

 

(- x ge −4 )

 

(x le 4 )

 

Por lo tanto, el dominio de f es {x: (x le 4 )}. En notación de intervalo, Dominio = ((- infty, 4] ). Esto está muy de acuerdo con el resultado gráfico encontrado anteriormente.

 

La mayoría de las veces, tomará una combinación de su calculadora gráfica y una pequeña manipulación algebraica para determinar el dominio de una función de raíz cuadrada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dibuja la gráfica de (f (x) = sqrt {5−2x} ) Usa la gráfica y una técnica algebraica para determinar el dominio de la función.

 
 

Cargue la función en Y1 en el menú Y = de su calculadora, como se muestra en Figura 10 (a). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir el gráfico que se muestra en Figura 10 (b).

 
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Figura 10. Dibujando la gráfica de f (x) = sqrt {5−2x} en la calculadora gráfica.
 

Observe detenidamente el gráfico en Figura 10 (b) y observe que es difícil saber si el gráfico llega hasta «tocar» el eje x cerca de (x aprox 2.5 ). Sin embargo, nuestra experiencia previa con la función de raíz cuadrada nos hace creer que esto es solo un artefacto de resolución insuficiente en la calculadora que impide que el gráfico «toque» el eje x en (x aprox 2.5 ).

 

Un enfoque algebraico resolverá el problema. Podemos determinar el dominio de f examinando la ecuación (f (x) = sqrt {5 – 2x} ). En consecuencia, no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que la expresión debajo del radical debe ser no negativa (cero o positiva).

 

(5 – 2x ge 0 ).

 

Resuelva esta última desigualdad para x . Primero, reste 5 de ambos lados de la desigualdad.

 

(- 2x ge −5 ).

 

Luego, divide ambos lados de esta última desigualdad por −2. Recuerda que debemos revertir la desigualdad en el momento en que dividimos por un número negativo.

 

( frac {−2x} {- 2} le frac {−5} {- 2} ).

 

(x le frac {5} {2} ).

 

Por lo tanto, el dominio de f es {x: (x le frac {5} {2} )}. En notación de intervalo, Dominio = ((- infty, frac {5} {2}] ). Esto está muy de acuerdo con el resultado gráfico encontrado anteriormente.

 

Una introspección adicional revela que este argumento también resuelve la cuestión de si el gráfico «toca» o no el eje x en (x = frac {5} {2} ). Si no está convencido, sustituya (x = frac {5} {2} ) en (f (x) = sqrt {5−2x} ) para ver

 

(f ( frac {5} {2}) = sqrt {5−2 ( frac {5} {2})} = sqrt {0} = 0 ).

 

Por lo tanto, la gráfica de f «toca» el eje x en el punto (( frac {5} {2}, 0) ).

   

En Ejercicio 1-10 , complete cada una de las siguientes tareas:

 
         
  1. Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje.
  2.      
  3. Completa la tabla de puntos para la función dada. Trace cada uno de los puntos en su sistema de coordenadas, luego utilícelos para ayudar a dibujar la gráfica de la función dada.
  4.      
  5. Use lápices de diferentes colores para proyectar todos los puntos en los ejes x – y y para determinar el dominio y el rango. Use la notación de intervalo para describir el dominio de la función dada.
  6.  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

(f (x) = – sqrt {x} )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

0

             
             

1

             
             

4

             
             

9

             
             

f (x)

             
                                                                                                               
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                 

x

                 
                 

0

                 
                 

1

                 
                 

4

                 
                 

9

                 
                 

f (x)

                 
                 

0

                 
                 

1

                 
                 

2

                 
                 

3

                 
     

Trace los puntos en la tabla y úselos para ayudar a dibujar el gráfico.

     

Screen Shot 2019-05-28 at 11.25.20 PM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([0, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ((- infty, 0] ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

(f (x) = sqrt {−x} )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

0

             
             

1

             
             

4

             
             

9

             
             

f (x)

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

(f (x) = sqrt {x + 2} )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

2

             
             

1

             
             

2

             
             

7

             
             

f (x)

             
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                 

x

                 
                 

2

                 
                 

1

                 
                 

2

                 
                 

7

                 
                 

f ( x )

                 
                 

0

                 
                 

1

                 
                 

2

                 
                 

3

                 
     

Trace los puntos en la tabla y úselos para ayudar a dibujar el gráfico.

     

Screen Shot 2019-05-28 at 11.29.25 PM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([ 2, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([0, infty) ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

(f (x) = sqrt {5 − x} )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

4

             
             

1

             
             

4

             
             

5

             
             

f (x)

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

(f (x) = sqrt {x} +2 )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

0

             
             

1

             
             

4

             
             

9

             
             

f (x)

             
 
     
Respuesta
     
               

Trace los puntos en la tabla y úselos para dibujar la gráfica de f .

     

Screen Shot 2019-05-28 at 11.33.13 PM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([0, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([2, infty) ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

(f (x) = sqrt {x} −1 )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

0

             
             

1

             
             

4

             
             

9

             
             

f (x)

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

(f (x) = sqrt {x + 3} +2 )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

3

             
             

2

             
             

1

             
             

6

             
             

f (x)

             
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                 

x

                 
                 

3

                 
                 

2

                 
                 

1

                 
                 

6

                 
                 

f (x)

                 
                 

2

                 
                 

3

                 
                 

4

                 
                 

5

                 
     

Trace los puntos en la tabla y úselos para dibujar la gráfica de f .

      Screen Shot 2019-05-28 at 11.38.27 PM.png
     
     
Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([ 3, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([2, infty) ).
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

(f (x) = sqrt {x − 1} +3 )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

1

             
             

2

             
             

5

             
             

10

             
             

f ( x )

             
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

(f (x) = sqrt {3 − x} )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

6

             
             

1

             
             

2

             
             

3

             
             

f ( x )

             
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                 

x

                 
                 

6

                 
                 

1

                 
                 

2

                 
                 

3

                 
                 

f ( x )

                 
                 

3

                 
                 

2

                 
                 

1

                 
                 

0

                 
     

Trace los puntos en la tabla y úselos para dibujar la gráfica de f .

     

Screen Shot 2019-05-28 at 11.42.01 PM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = (( infty, 3] ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([0, infty) ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

(f (x) = – sqrt {x + 3} )

                                                                                                                                                                                                                                                                 
             

x

             
             

3

             
             

2

             
             

1

             
             

6

             
             

f ( x )

             
 
 

En Ejercicios 11 20 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.

         
  2.      
  3.      

    Usa transformaciones geométricas para dibujar la gráfica de la función dada en tu sistema de coordenadas sin el uso de una calculadora gráfica. Nota: Puede verificar su solución con su calculadora, pero debería poder producir el gráfico sin el uso de su calculadora.

         
  4.      
  5.      

    Use lápices de diferentes colores para proyectar los puntos en el gráfico de la función en los ejes x y y . Use la notación de intervalo para describir el dominio y el rango de la función.

         
  6.  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

(f (x) = sqrt {x} +3 )

 
     
Respuesta
     
     

Primero, trace el gráfico de (y = sqrt {x} ), como se muestra en (a). Luego, suma 3 para producir la ecuación (y = sqrt {x} + 3 ). Esto desplazará la gráfica de (y = sqrt {x} ) hacia arriba 3 unidades, como se muestra en (b).

     

Screen Shot 2019-05-28 at 11.50.22 PM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([0, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([3, infty) ).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.35.29 AM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

(f (x) = sqrt {x + 3} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

(f (x) = sqrt {x − 2} )

 
     
Respuesta
     
     

Primero, trace el gráfico de (y = sqrt {x} ), como se muestra en (a). Luego, reemplace x con x – 2 para producir la ecuación (y = sqrt {x − 2} ). Esto desplazará la gráfica de (y = sqrt {x} ) a las 2 unidades correctas, como se muestra en (b).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.20.45 AM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([2, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([0, infty) ).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.35.43 AM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

(f (x) = sqrt {x} −2 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

(f (x) = sqrt {x + 5} +1 )

 
     
Respuesta
     
     

Primero, trace el gráfico de (y = sqrt {x} ), como se muestra en (a). Luego, reemplace x con x + 5 para producir la ecuación (y = sqrt {x + 5} ). Luego agregue 1 para producir la ecuación (f (x) = sqrt {x + 5} +1 ). Esto desplazará la gráfica de (y = sqrt {x} ) a la izquierda 5 unidades, luego hacia arriba 1 unidad, como se muestra en (b).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.26.37 AM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([- 5, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ([1, infty) ).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.36.25 AM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

(f (x) = sqrt {x − 2} −1 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

(y = – sqrt {x + 4} )

 
     
Respuesta
     
     

Primero, trace el gráfico de (y = sqrt {x} ), como se muestra en (a). Luego, niegue para producir el (y = – sqrt {x} ). Esto reflejará la gráfica de (y = sqrt {x} ) a través del eje x como se muestra en (b). Finalmente, reemplace x con x + 4 para producir la ecuación (y = – sqrt {x + 4} ). Esto desplazará la gráfica de (y = – sqrt {x} ) cuatro unidades a la izquierda, como se muestra en (c).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.41.03 AM.png

     

Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje x para determinar el dominio: Dominio = ([- 4, infty) ). Proyecte todos los puntos en el gráfico en el eje y para determinar el rango: Rango = ((- infty, 0] ).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 10.36.47 AM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{18})

 

(f(x)=−sqrt{x}+4)

 
 
 

Exercise (PageIndex{19})

 

(f(x)=−sqrt{x}+3)

 
     
Answer
     
     

First, plot the graph of (y = sqrt{x}), as shown in (a). Then, negate to produce the (y = −sqrt{x}). This will reflect the graph of (y = sqrt{x}) across the x-axis as shown in (b). Finally, add 3 to produce the equation (y=−sqrt{x}+3). This will shift the graph of (y = −sqrt{x}) three units upward, as shown in (c).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 11.35.50 AM.png

     

Project all points on the graph onto the x-axis to determine the domain: Domain = ([0, infty)). Project all points on the graph onto the y-axis to determine the range: Range = ((−infty, 3]).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 11.39.11 AM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{20})

 

(f(x)=−sqrt{x+3})

 
 
 

Exercise (PageIndex{21})

 

To draw the graph of the function (f(x) = sqrt{3−x}), perform each of the following steps in sequence without the aid of a calculator.

 
         
  1. Set up a coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{x}). Label the graph with its equation.
  2.      
  3. Set up a second coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{−x}). Label the graph with its equation.
  4.      
  5. Set up a third coordinate system and sketch the graph of (y =sqrt{−(x − 3)}). Label the graph with its equation. This is the graph of (y =sqrt{3−x}). Use interval notation to state the domain and range of this function.
  6.  
 
     
Answer
     
     

First, plot the graph of (y = sqrt{x}), as shown in (a). Then, replace x with x to produce the equation (y = sqrt{−x}). This will reflect the graph of (y = sqrt{x}) across the y -axis, as shown in (b). Finally, replace x with x 3 to produce the equation ( y = sqrt{ ( x 3)}). This will shift the graph of (y = sqrt{−x}) three units to the right, as shown in (c).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 11.51.00 AM.png

     

Project all points on the graph onto the x-axis to determine the domain: Domain = ((−infty, 3]). Project all points on the graph onto the y-axis to determine the range: Range = ([0, infty)).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 11.52.37 AM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{22})

 

To draw the graph of the function (f(x) = sqrt{−x−3}), perform each of the following steps in sequence.

 
         
  1. Set up a coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{x}). Label the graph with its equation.
  2.      
  3. Set up a second coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{−x}). Label the graph with its equation.
  4.      
  5. Set up a third coordinate system and sketch the graph of (y =sqrt{−(x + 3)}). Label the graph with its equation. This is the graph of (y =sqrt{−x−3}). Use interval notation to state the domain and range of this function.
  6.  
 
 
 

Exercise (PageIndex{23})

 

To draw the graph of the function (f(x) = sqrt{−x−3}), perform each of the following steps in sequence without the aid of a calculator.

 
         
  1. Set up a coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{x}). Label the graph with its equation.
  2.      
  3. Set up a second coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{−x}). Label the graph with its equation.
  4.      
  5. Set up a third coordinate system and sketch the graph of (y =sqrt{−(x + 1)}). Label the graph with its equation. This is the graph of (y =sqrt{−x−1}). Use interval notation to state the domain and range of this function.
  6.  
 
     
Answer
     
     

First, plot the graph of (y = sqrt{x}), as shown in (a). Then, replace x with −x to produce the equation (y = sqrt{−x}). This will reflect the graph of (y = sqrt{x}) across the y-axis, as shown in (b). Finally, replace x with x + 1 to produce the equation (y = sqrt{−(x + 1)}). This will shift the graph of (y = sqrt{−x}) one unit to the left, as shown in (c).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 2.19.49 PM.png

     

Project all points on the graph onto the x-axis to determine the domain: Domain = ((−infty, −1]). Project all points on the graph onto the y-axis to determine the range: Range = ([0, infty)).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 2.20.55 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{24})

 

To draw the graph of the function (f(x) = sqrt{1−x}), perform each of the following steps in sequence.

 
         
  1. Set up a coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{x}). Label the graph with its equation.
  2.      
  3. Set up a second coordinate system and sketch the graph of (y = sqrt{−x}). Label the graph with its equation.
  4.      
  5. Set up a third coordinate system and sketch the graph of (y =sqrt{−(x−1)}). Label the graph with its equation. This is the graph of (y =sqrt{1−x}). Use interval notation to state the domain and range of this function.
  6.  
 
 

In Exercises 25 28 , perform each of the following tasks.

 
         
  1.      

    Draw the graph of the given function with your graphing calculator. Copy the image in your viewing window onto your homework paper. Label and scale each axis with xmin, xmax, ymin, and ymax. Label your graph with its equation. Use the graph to determine the domain of the function and describe the domain with interval notation.

         
  2.      
  3.      

    Use a purely algebraic approach to determine the domain of the given function. Use interval notation to de- scribe your result. Does it agree with the graphical result from part 1?

         
  4.  
 
 

Exercise (PageIndex{25})

 

(f(x)= sqrt{2x+7})

 
     
Answer
     
     

We use a graphing calculator to produce the following graph of (f(x)= sqrt{2x+7})

     

Screen Shot 2019-05-29 at 2.25.51 PM.png

     

We estimate that the domain will consist of all real numbers to the right of approximately 3 . 5. To find an algebraic solution, note that you cannot take the square root of a negative number. Hence, the expression under the radical in (f(x)= sqrt{2x+7}) must be greater than or equal to zero.

     

(2x + 7 ge 0)

     

(2x ge −7)

     

(x ge −frac{7}{2})

     

Hence, the domain is ([−frac{7}{2}, infty)).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{26})

 

(f(x)= sqrt{7−2x})

 
 
 

Exercise (PageIndex{27})

 

(f(x)= sqrt{12−4x})

 
     
Answer
     
     

We use a graphing calculator to produce the following graph of (f(x)= sqrt{12−4x}).

     

Screen Shot 2019-05-29 at 2.31.07 PM.png

     

We estimate that the domain will consist of all real numbers to the right of approximately 3. To find an algebraic solution, note that you cannot take the square root of a negative number. Hence, the expression under the radical in (f(x)= sqrt{12−4x}) must be greater than or equal to zero.

     

(12−4x ge 0)

     

(−4x ge −12)

     

(x le 3)

     

Hence, the domain is ((−infty, 3]).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{28})

 

(f(x)= sqrt{12+2x})

 
 

In Exercises 29 40 , find the domain of the given function algebraically.

 
 

Exercise (PageIndex{29})

 

(f(x)= sqrt{2x+9})

 
     
Answer
     
     

The even root of a negative number is not defined as a real number. Thus, 2x + 9 must be greater than or equal to zero. Since (2x + 9 ge 0) implies that (x ge −frac{9}{2}), the domain is the interval ([−frac{9}{2},infty)).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{30})

 

(f(x)=sqrt{−3x+3})

 
 
 

Exercise (PageIndex{31})

 

(f(x)=sqrt{−8x−3})

 
     
Answer
     
     

The even root of a negative number is not defined as a real number. Thus, −8x−3 must be greater than or equal to zero. Since (−8x−3 ge 0) implies that (x le −frac{3}{8}), the domain is the interval ((−infty, −frac{3}{8}]).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{32})

 

(f(x)=sqrt{−3x+6})

 
 
 

Exercise (PageIndex{33})

 

(f(x)=sqrt{−6x−8})

 
     
Answer
     
     

The even root of a negative number is not defined as a real number. Thus, −6x−8 must be greater than or equal to zero. Since (−6x−8 ge 0) implies that (x le −frac{4}{3}), the domain is the interval ((−infty, frac{4}{3}]).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{34})

 

(f(x)=sqrt{8x−6})

 
 
 

Exercise (PageIndex{35})

 

(f(x)=sqrt{−7x+2})

 
     
Answer
     
     

The even root of a negative number is not defined as a real number. Thus, −7x+2 must be greater than or equal to zero. Since (−7x+2 ge 0) implies that (x le frac{2}{7}), the domain is the interval ((−infty, frac{2}{7}]).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{36})

 

(f(x)=sqrt{8x−3})

 
 
 

Exercise (PageIndex{37})

 

(f(x)=sqrt{6x+3})

 
     
Answer
     
     

The even root of a negative number is not defined as a real number. Thus, 6x+3 must be greater than or equal to zero. Since (6x+3 ge 0) implies that (x ge −frac{1}{2}), the domain is the interval ([−frac{1}{2}, infty)).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{38})

 

(f(x)=sqrt{x−5})

 
 
 

Exercise (PageIndex{39})

 

(f(x)=sqrt{−7x−8})

 
     
Answer
     
     

The even root of a negative number is not defined as a real number. Thus, −7x−8 must be greater than or equal to zero. Since (−7x−8 ge 0) implies that (x le −frac{8}{7}), the domain is the interval ((−infty, −frac{8}{7}])

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{40})

 

(f(x)=sqrt{7x+8})

 
           
                                  
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