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las matematicas
raiz cuadrada

9.1: Simplificar y usar raíces cuadradas

Simplificar expresiones con raíces cuadradas

 

Recuerde que cuando un número n se multiplica por sí mismo, escribimos (n ^ 2 ) y lo leemos “n al cuadrado”. Por ejemplo, (15 ^ 2 ) se lee como “15 al cuadrado”, y 225 se llama el cuadrado de 15, ya que (15 ^ 2 = 225 ).

 
 

Definición: CUADRADO DE UN NÚMERO

 

Si (n ^ 2 = m ), entonces m es el cuadrado de n.

 
 

A veces tendremos que mirar la relación entre los números y sus cuadrados al revés. Como 225 es el cuadrado de 15, también podemos decir que 15 es una raíz cuadrada de 225. Un número cuyo cuadrado es m se llama raíz cuadrada de m.

 
 
 

Definición: RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO

 

Si (n ^ 2 = m ), entonces n es una raíz cuadrada de m.

 
  Observe ((- 15) ^ 2 = 225 ) también, entonces −15 también es una raíz cuadrada de 225. Por lo tanto, 15 y −15 son raíces cuadradas de 225.
 

Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa. ¿Qué pasa si solo quisiéramos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? El signo radical , ( sqrt {m} ), denota la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada positiva también se llama raíz cuadrada principal.

 

También usamos el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque (0 ^ 2 = 0 ), ( sqrt {0} = 0 ). Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada.

 
 

Definición: NOTACIÓN DE RAÍZ CUADRADA

 

This figure is a picture of an m inside a square root sign. The sign is labeled as a radical sign and the m is labeled as the radicand.

 

( sqrt {m} ) se lee como “la raíz cuadrada de m”.

 

Si (m = n ^ 2 ), entonces ( sqrt {m} = n ), para (n ge 0 ).

 

La raíz cuadrada de m, ( sqrt {m} ), es el número positivo cuyo cuadrado es m.

 
 

Dado que 15 es la raíz cuadrada positiva de 225, escribimos ( sqrt {225} = 15 ). Complete Figura para hacer una tabla de raíces cuadradas a las que pueda hacer referencia mientras trabaja en este capítulo.

 
This table has fifteen columns and two rows. The first row contains the following numbers: the square root of 1, the square root of 4, the square root of 9, the square root of 16, the square root of 25, the square root of 36, the square root of 49, the square root of 64, the square root of 81, the square root of 100, the square root of 121, the square root of 144, the square root of 169, the square root of 196, and the square root of 225. The second row is completely empty except for the last column. The number 15 is in the last column.
 

Sabemos que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {225} = 15 ). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo radical. Por ejemplo, (- sqrt {225} = – 15 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {36} )
    2.      
  2. ( sqrt {196} )
    3.      
  3. (- sqrt {81} )
    4.      
  4. (- sqrt {289} ).
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

1.
[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {36}} \ { text {Since} 6 ^ 2 = 36} & {6} \ end {array} ]
2.
[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {196}} \ { text {Since} 14 ^ 2 = 196} & {14 } \ end {array} ]
3.
[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {81}} \ { text {El negativo está al frente del signo radical}} & {- 9} \ end {array} ]
4.
[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {289}} { text {El negativo está delante del signo radical}} & {- 17} \ end {array} ]

     
     
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- sqrt {49} )
    2.      
  2. ( sqrt {225} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −7
    2.          
  2. 15
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

implica:

 
         
  1. ( sqrt {64} )
    2.      
  2. (- sqrt {121} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 8
    2.          
  2. −11
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {−169} )
    2.      
  2. (- sqrt {64} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {−169}} \ { text {No hay un número real cuyo cuadrado sea} s − 169} y { sqrt {−169 } text {no es un número real.}} \ end {array} ]

2.

     

[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {64}} \ { text {El negativo está delante del signo radical}} & {- 8} \ end {array} ]

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {−196} )
    2.      
  2. (- sqrt {81} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. no es un número real
    2.          
  2. −9
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- sqrt {49} )
    2.      
  2. ( sqrt {−121} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. −7
    2.          
  2. no es un número real
    3.      
     
 
 
 

Cuando usamos el orden de las operaciones para simplificar una expresión que tiene raíces cuadradas, tratamos el radical como un símbolo de agrupación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {25} + sqrt {144} )
    2.      
  2. ( sqrt {25 + 144} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

1.

     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {25} + sqrt {144}} \ { text {Use el orden de las operaciones}} y {5 + 12} \ { text {Simplify.}} & {17} \ end {array} ]

2.

     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {25 + 144}} \ { text {Simplifique bajo el signo radical.}} & { Sqrt {169}} \ { text {Simplify.}} y {13} \ end {array} ]

     

¡Observe las diferentes respuestas en las partes 1 y 2!

     
     
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {9} + sqrt {16} )
    2.      
  2. ( sqrt {9 + 16} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 7
    2.          
  2. 5
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {64 + 225} )
    2.      
  2. ( sqrt {64} + sqrt {225} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 17
    2.          
  2. 23
    3.      
     
 
 
 
 

Estimación de raíces cuadradas

 

Hasta ahora solo hemos considerado raíces cuadradas de números cuadrados perfectos. Las raíces cuadradas de otros números no son números enteros. Mire la Tabla a continuación.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Número Raíz cuadrada
4 ( sqrt {4} = 2 )
5 ( sqrt {5} )
6 ( sqrt {6} )
7 ( sqrt {7} )
8 ( sqrt {8} )
9 ( sqrt {9} = 3 )
 

Las raíces cuadradas de los números entre 4 y 9 deben estar entre los dos números enteros consecutivos 2 y 3, y no son números enteros. Según el patrón de la tabla anterior, podríamos decir que ( sqrt {5} ) debe estar entre 2 y 3. Usando símbolos de desigualdad, escribimos:

 

(2 < sqrt {5} <3 )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Estima ( sqrt {60} ) entre dos números enteros consecutivos.

 
     
Respuesta
     
     

Piensa en los números cuadrados perfectos más cercanos a 60. Haz una pequeña tabla de estos cuadrados perfectos y sus raíces cuadradas.

                                                                                                                                                                                                                              
.
Localiza 60 entre dos cuadrados perfectos consecutivos. .
( sqrt {60} ) está entre sus raíces cuadradas. .
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Estima la raíz cuadrada ( sqrt {38} ) entre dos números enteros consecutivos.

 
     
Respuesta
     
     

(6 < sqrt {38} <7 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Estima la raíz cuadrada ( sqrt {84} ) entre dos números enteros consecutivos.

 
     
Respuesta
     
     

(9 < sqrt {84} <10 )

     
 
 
 
 

Raíces cuadradas aproximadas

 

Existen métodos matemáticos para aproximar las raíces cuadradas, pero hoy en día la mayoría de la gente usa una calculadora para encontrarlos. Encuentre la tecla ( sqrt {x} ) en su calculadora. Utilizará esta tecla para aproximar raíces cuadradas.

 

Cuando usas tu calculadora para encontrar la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto, la respuesta que ves no es la raíz cuadrada exacta. Es una aproximación, precisa para el número de dígitos que se muestran en la pantalla de su calculadora. El símbolo para una aproximación es ( approx ) y se lee “aproximadamente”.

 

Suponga que su calculadora tiene una pantalla de 10 dígitos. Verías que

 

( sqrt {5} aprox 2.236067978 )

 

Si quisiéramos redondear ( sqrt {5} ) a dos decimales, diríamos

 

( sqrt {5} aprox 2.24 )

 

¿Cómo sabemos que estos valores son aproximaciones y no los valores exactos? Mira lo que sucede cuando los cuadramos:

 

[ begin {array} {c} {(2.236067978) ^ 2 = 5.000000002} \ {(2.24) ^ 2 = 5.0176} \ end {array} ]

 

Sus cuadrados son cercanos a 5, pero no son exactamente iguales a 5.

 

Usando la tecla de raíz cuadrada en una calculadora y luego redondeando a dos decimales, podemos encontrar:

 

[ begin {array} {c} { sqrt {4} = 2} \ { sqrt {5} aprox 2.24} \ { sqrt {6} aprox 2.45} \ { sqrt {7} approx 2.65} \ { sqrt {8} approx 2.83} \ { sqrt {9} = 3} \ end {array} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Redondea ( sqrt {17} ) a dos decimales.

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {17}} \ { text {Use la calculadora de la raíz cuadrada.}} Y {4.123105626 …} \ { text {Redondear a dos decimales.}} Y {4.12} \ {} y { sqrt {17} aprox 4.12} end {array} ]

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Redondea ( sqrt {11} ) a dos decimales.

 
     
Respuesta
     
     

( aprox 3.32 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Redondea ( sqrt {13} ) a dos decimales.

 
     
Respuesta
     
     

( aprox 3.61 )

     
 
 
 
 

Simplificar expresiones variables con raíces cuadradas

 

¿Qué pasa si tenemos que encontrar una raíz cuadrada de una expresión con una variable? Considere ( sqrt {9x ^ 2} ). ¿Puedes pensar en una expresión cuyo cuadrado es (9x ^ 2 )?

 

[ begin {array} {cc} {(?) ^ 2 = 9x ^ 2} & {} \ {(3x) ^ 2 = 9x ^ 2} & { text {so} sqrt { 9x ^ 2} = 3x} \ end {array} ]

 

Cuando usamos el signo radical para tomar la raíz cuadrada de una expresión variable, debemos especificar que x≥0x≥0 para asegurarnos de obtener la raíz cuadrada principal .

 

Sin embargo, en este capítulo asumiremos que cada variable en una expresión de raíz cuadrada representa un número no negativo y, por lo tanto, no escribiremos (x ge 0 ) al lado de cada radical.

 

¿Qué pasa con las raíces cuadradas de los poderes superiores de las variables? Piense en la propiedad de potencia de los exponentes que utilizamos en el capítulo 6.

 

((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} )

 

Si cuadramos (a ^ m ), el exponente se convertirá en 2m.

 

((a ^ m) ^ 2 = a ^ {2m} )

 

¿Cómo nos ayuda esto a echar raíces cuadradas? Veamos algunos:

 

[ begin {array} {cc} { sqrt {25u ^ 8} = 5u ^ 4} & { text {Porque} (5u ^ 4) ^ 2 = 25u ^ 8} \ { sqrt {16r ^ {20}} = 4r ^ {10}} & { text {Porque} (4r ^ {10}) ^ 2 = 16r ^ {20}} \ { sqrt {196q ^ {36}} = 14q ^ {18}} y { text {Porque} (14r ^ {18}) ^ 2 = 196q ^ {36}} \ end {array} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {x ^ 6} )
    2.      
  2. ( sqrt {y ^ {16}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

1.

     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {x ^ 6}} \ { text {Since} (x ^ 3) ^ 2 = x ^ 6} & {x ^ 3 } \ end {array} ]

2.

     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {y ^ {16}}} \ { text {Since} (y ^ 8) ^ 2 = y ^ {16}} & {y ^ 8} \ end {array} ]

     
     
     
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {y ^ 8} )
    2.      
  2. ( sqrt {z ^ {12}} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (y ^ 4 )
    2.          
  2. (z ^ 6 )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( sqrt {m ^ 4} )
    2.      
  2. ( sqrt {b ^ {10}} ).
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (m ^ 2 )
    2.          
  2. (b ^ 5 )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Simplifique: ( sqrt {16n ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {16n ^ 2}} \ { text {Since} (4n) ^ 2 = 16n ^ 2} & {4n} \ end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Simplifique: ( sqrt {64x ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(8x )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Simplifique: ( sqrt {169y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(13 años )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Simplifique: (- sqrt {81c ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {- sqrt {81c ^ 2}} \ { text {Since} (9c) ^ 2 = 81c ^ 2} & {- 9c} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: (- sqrt {121y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 11 años )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Simplifique: (- sqrt {100p ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 10p )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( sqrt {36x ^ {2} y ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {36x ^ {2} y ^ {2}}} \ { text {Since} (6xy) ^ 2 = sqrt {36x ^ {2} y ^ {2}}} y {6xy} \ end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( sqrt {100a ^ {2} b ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

10ab

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: ( sqrt {225m ^ {2} n ^ {2}} ).

 
     
Respuesta
     
     

15 millones

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( sqrt {64p ^ {64}} ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {64p ^ {64}}} \ { text {Since} (8p ^ 8) ^ 2 = sqrt {64p ^ {64 }}} & {8p ^ 8} \ end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( sqrt {49x ^ {30}} ).

 
     
Respuesta
     
     

(7x ^ {15} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Simplifique: ( sqrt {81w ^ {36}} )

 
     
Respuesta
     
     

(9w ^ {18} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Simplifique: ( sqrt {121a ^ {6} b ^ {8}} )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { sqrt {121a ^ {6} b ^ {8}}} \ { text {Since} (11a ^ {3} b ^ {4 }) ^ 2 = sqrt {121a ^ {6} b ^ {8}}} y {11a ^ {3} b ^ {4}} \ end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Simplifique: ( sqrt {169x ^ {10} y ^ {14}} )

 
     
Respuesta
     
     

(13x ^ {5} y ^ {7} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Simplifique: ( sqrt {144p ^ {12} q ^ {20}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt {12p ^ {6} q ^ {10}} )

     
 
 
 
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con raíces cuadradas.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
    •      
  • Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. La raíz cuadrada positiva de un número positivo es la raíz cuadrada principal.
    •      
  • Podemos estimar raíces cuadradas usando cuadrados perfectos cercanos.
    •      
  • Podemos aproximar raíces cuadradas usando una calculadora.
    •      
  • Cuando usamos el signo radical para tomar la raíz cuadrada de una expresión variable, debemos especificar que (x ge 0 ) para asegurarnos de obtener la raíz cuadrada principal.
    •  
 
 

Glosario

 
 
 
     
cuadrado de un número
     
     
             
  • Si (n ^ 2 = m ), entonces m es el cuadrado de n
    •      
     
 
 
     
raíz cuadrada de un número
     
     
             
  • Si (n ^ 2 = m ), entonces n es una raíz cuadrada de m
    •      
     
 
 
     
notación de raíz cuadrada
     
     
             
  • Si (m = n ^ 2 ), entonces ( sqrt {m} = n ). Leemos ( sqrt {m} ) como “la raíz cuadrada de m”
    •      
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
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