Use la fórmula de distancia, velocidad y tiempo
Una fórmula que usará a menudo en álgebra y en la vida cotidiana es la fórmula para la distancia recorrida por un objeto que se mueve a una velocidad constante. La idea básica probablemente ya te sea familiar. ¿Sabe a qué distancia viaja si condujo a una velocidad constante de 60 millas por hora durante 2 horas? (Esto podría suceder si usa el control de crucero de su automóvil mientras conduce en la carretera interestatal). Si dijo 120 millas, ¡ya sabe cómo usar esta fórmula!
La matemática para calcular la distancia podría verse así:
$$ begin {split} distancia & = left ( dfrac {60 ; miles} {1 ; hora} right) (2 ; horas) \ distancia & = 120 ; millas fin {división} $$
En general, la fórmula que relaciona la distancia, la velocidad y el tiempo es
$$ distancia = tasa cdot tiempo $$
Definición: Distancia, velocidad y tiempo
Para un objeto que se mueve a una velocidad uniforme (constante), la distancia recorrida, el tiempo transcurrido y la velocidad están relacionados por la fórmula
$$ d = rt $$
donde d = distancia, r = tasa yt = tiempo.
Observe que las unidades que utilizamos anteriormente para la tasa eran millas por hora, que podemos escribir como una relación ( dfrac {millas} {hora} ). Luego, cuando multiplicamos por el tiempo, en horas, las unidades comunes ‘hora’ se dividen. La respuesta estaba en millas.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Jamal monta su bicicleta a una velocidad uniforme de 12 millas por hora durante (3 dfrac {1} {2} ) horas. ¿Cuánta distancia ha viajado?
Solución
| Paso 1. Lea el problema. Es posible que desee crear un mini gráfico para resumir la información del problema. | $$ begin {split} d & = ; ? \ r & = 12 ; mph \ t & = 3 dfrac {1} {2} ; horas fin {división} $$ |
| Paso 2. Identifica lo que estás buscando. | distancia recorrida |
| Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. | sea d = distancia |
| Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada para la situación. Sustituir en la información dada. | $$ begin {split} d & = rt \ d & = 12 cdot 3 dfrac {1} {2} end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | d = 42 millas |
| Paso 6. Verificar : ¿Tiene sentido 42 millas? |  |
| Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa. | Jamal cabalgó 42 millas. |
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Lindsay condujo durante (5 dfrac {1} {2} ) horas a 60 millas por hora. ¿Cuánta distancia recorrió ella?
- Respuesta
-
330 millas
Ejercicio ( PageIndex {2} ):
Trinh caminó durante (2 dfrac {1} {3} ) horas a 3 millas por hora. ¿Qué tan lejos caminó?
- Respuesta
-
7 millas
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Rey planea conducir desde su casa en San Diego para visitar a su abuela en Sacramento, a una distancia de 520 millas. Si puede conducir a una velocidad constante de 65 millas por hora, ¿cuántas horas durará el viaje?
Solución
| Paso 1. Lea el problema. Resume la información en el problema. | $$ begin {split} d & = 520 ; millas \ r & = 65 ; mph \ t & = ; ? end {split} $$ |
| Paso 2. Identifica lo que estás buscando. | cuántas horas (tiempo) |
| Paso 3. Nombre . Elija una variable para representarlo. | sea t = tiempo |
| Paso 4. Traducir . Escribe la fórmula apropiada para la situación. Sustituir en la información dada. | $$ begin {split} d & = rt \ 520 & = 65t end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | t = 8 |
| Paso 6. Verifica : Sustituye los números en la fórmula y asegúrate de que el resultado sea una declaración verdadera. | $$ begin {split} d & = rt \ 520 & stackrel {?} {=} 65 cdot 8 \ 520 & = 520 ; marca de verificación end {split} $$ |
| Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa. Sabemos que las unidades de tiempo serán horas porque dividimos millas por millas por hora. | El viaje de Rey durará 8 horas. |
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Lee quiere conducir desde Phoenix hasta el departamento de su hermano en San Francisco, a una distancia de 770 millas. Si conduce a una velocidad constante de 70 millas por hora, ¿cuántas horas durará el viaje?
- Respuesta
-
11 horas
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Yesenia está a 168 millas de Chicago. Si necesita estar en Chicago en 3 horas, ¿a qué velocidad necesita conducir?
- Respuesta
-
56 mph
Resolver una fórmula para una variable específica
En este capítulo, se familiarizó con algunas fórmulas utilizadas en geometría. Las fórmulas también son muy útiles en las ciencias y las ciencias sociales, campos como la química, la física, la biología, la psicología, la sociología y la justicia penal. Los trabajadores de la salud también usan fórmulas, incluso para algo tan rutinario como dispensar medicamentos. El ampliamente utilizado programa de hoja de cálculo Microsoft Excel TM se basa en fórmulas para hacer sus cálculos. Muchos maestros usan hojas de cálculo para aplicar fórmulas para calcular las calificaciones de los estudiantes. Es importante estar familiarizado con las fórmulas y poder manipularlas fácilmente.
En el ejemplo 9.57 y el ejemplo 9.58, utilizamos la fórmula d = rt. Esta fórmula da el valor de d cuando sustituyes los valores de r y t. Pero en el ejemplo 9.58, tuvimos que encontrar el valor de t. Sustituimos los valores de d y r y luego usamos álgebra para resolver a t. Si tuviera que hacer esto a menudo, podría preguntarse por qué no existe una fórmula que proporcione el valor de t cuando sustituye los valores de d y r. Podemos obtener una fórmula como esta resolviendo la fórmula d = rt para t.
Resolver una fórmula para una variable específica significa obtener esa variable por sí misma con un coeficiente de 1 en un lado de la ecuación y todas las demás variables y constantes en el otro lado. Llamaremos a esto resolver una ecuación para una variable específica en general. Este proceso también se llama resolver una ecuación literal. El resultado es otra fórmula, compuesta solo de variables. La fórmula contiene letras o literales.
Probemos con algunos ejemplos, comenzando con la fórmula de distancia, velocidad y tiempo que utilizamos anteriormente.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Resuelve la fórmula d = rt para t: (a) cuando d = 520 yr = 65 (b) en general.
Solución
Escribiremos las soluciones una al lado de la otra para que pueda ver que resolver una fórmula en general utiliza los mismos pasos que cuando tenemos números para sustituir.
| (a) cuando d = 520 yr = 65 | (b) en general | |
| Escribe la fórmula. | d = rt | d = rt |
| Sustituir cualquier valor dado. | 520 = 65 t | |
| Dividir para aislar t. | $$ dfrac {520} {65} = dfrac {65t} {65} $$ | $$ dfrac {d} {r} = dfrac {rt} {r} $$ |
| Simplificar. | $$ begin {split} 8 & = t \ t & = 8 end {split} $$ | $$ begin {split} dfrac {d} {r} & = t \ t & = dfrac {d} {r} end {split} $$ |
Observe que la solución para (a) es la misma que en el ejemplo 9.58. Decimos que la fórmula t = ( dfrac {d} {r} ) se resuelve para t. Podemos usar esta versión de la fórmula cada vez que se nos da la distancia y la velocidad y necesitamos encontrar el tiempo.
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Resuelve la fórmula d = rt para r: (a) cuando d = 180 y t = 4 (b) en general
- Responda a
-
(r = 45 )
- Respuesta b
-
(r = frac {d} {t} )
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
Resuelve la fórmula d = rt para r: (a) cuando d = 780 y t = 12 (b) en general
- Responda a
-
(r = 65 )
- Respuesta b
-
(r = frac {d} {t} )
Utilizamos la fórmula A = ( dfrac {1} {2} ) bh en Usar propiedades de rectángulos, triángulos y trapezoides para encontrar el área de un triángulo cuando nos dieron el base y altura. En el siguiente ejemplo, resolveremos esta fórmula para la altura.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
La fórmula para el área de un triángulo es A = ( dfrac {1} {2} ) bh. Resuelva esta fórmula para h: (a) cuando A = 90 yb = 15 (b) en general
Solución
| (a) cuando A = 90 yb = 15 | (b) en general | |
| Escribe la fórmula. | A = ( dfrac {1} {2} ) bh | A = ( dfrac {1} {2} ) bh |
| Sustituir cualquier valor dado. | $$ 90 = dfrac {1} {2} cdot 15 cdot h $$ | |
| Borrar las fracciones. | $$ textcolor {red} {2} cdot 90 = textcolor {red} {2} cdot dfrac {1} {2} cdot 15 cdot h $$ | $$ textcolor {rojo} {2} cdot A = textcolor {rojo} {2} cdot dfrac {1} {2} cdot b cdot h $$ |
| Simplificar. | 180 = 15 h | 2A = bh |
| Resolver para h. | 12 = h | ( dfrac {2A} {b} ) = h |
Ahora podemos encontrar la altura de un triángulo, si conocemos el área y la base, usando la fórmula
$$ h = dfrac {2A} {b} $$
Ejercicio ( PageIndex {7} ):
Usa la fórmula A = ( dfrac {1} {2} ) bh para resolver h: (a) cuando A = 170 yb = 17 (b) en general
- Responda a
-
(h = 20 )
- Respuesta b
-
(h = frac {2A} {b} )
Ejercicio ( PageIndex {8} ):
Usa la fórmula A = ( dfrac {1} {2} ) bh para resolver b: (a) cuando A = 62 y h = 31 (b) en general
- Responda a
-
(b = 4 )
- Respuesta b
-
(b = frac {2A} {h} )
En Resolver aplicaciones de interés simple , utilizamos la fórmula I = Prt para calcular el interés simple, donde I es interés, P es el principal, r es la tasa como un decimal y t es el tiempo en años.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Resuelva la fórmula I = Prt para encontrar el principal, P: (a) cuando I = $ 5,600, r = 4%, t = 7 años (b) en general
Solución
| (a) cuando I = $ 5,600, r = 4%, t = 7 años | (b) en general | |
| Escribe el forumla. | I = Prt | I = Prt |
| Sustituir cualquier valor dado. | 5600 = P (0,04) (7) | I = Prt |
| Multiplicar r • t. | 5600 = P (0,28) | I = P (rt) |
| Dividir para aislar P. | $$ dfrac {5600} { textcolor {red} {0.28}} = dfrac {P (0.28)} { textcolor {red} {0.28}} $$ | $$ dfrac {I} { textcolor {red} {rt}} = dfrac {P (rt)} { textcolor {red} {rt}} $$ |
| Simplificar. | 20,000 = P | ( dfrac {I} {rt} ) = P |
| Indique la respuesta. | El principal es de $ 20,000. | $$ P = dfrac {I} {rt} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {9} ):
Use la fórmula I = Prt. Encuentre t: (a) cuando I = $ 2,160, r = 6%, P = $ 12,000; (b) en general
- Responda a
-
(t = 3 ) años
- Respuesta b
-
(t = frac {I} {Pr} )
Ejercicio ( PageIndex {10} ):
Use la fórmula I = Prt. Encuentre r: (a) cuando I = $ 5,400, P = $ 9,000, t = 5 años; (b) en general
- Responda a
-
(r = 0,12 = 12 % )
- Respuesta b
-
(t = frac {I} {Pt} )
Más adelante en este curso, y en futuras clases de álgebra, encontrarás ecuaciones que relacionan dos variables, generalmente x e y. Es posible que se le dé una ecuación que se resuelva para y y necesite resolverla para x, o viceversa. En el siguiente ejemplo, se nos da una ecuación con x e y en el mismo lado y la resolveremos por y. Para hacer esto, seguiremos los mismos pasos que usamos para resolver una fórmula para una variable específica.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Resuelve la fórmula 3x + 2y = 18 para y: (a) cuando x = 4 (b) en general
Solución
| (a) cuando x = 4 | (b) en general | |
| Escribe la ecuación. | 3x + 2y = 18 | 3x + 2y = 18 |
| Sustituir cualquier valor dado. | 3 (4) + 2 años = 18 | 3x + 2y = 18 |
| Simplifica si es posible. | 12 + 2 años = 18 | 3x + 2y = 18 |
| Restar para aislar el término y. | $$ 12 textcolor {rojo} {- 12} + 2y = 18 textcolor {rojo} {- 12} $$ | $$ 3x textcolor {rojo} {- 3x} + 2y = 18 textcolor {rojo} {- 3x} $$ |
| Simplificar. | 2 años = 6 | 2 años = 18 – 3x |
| Divide. | $$ dfrac {2y} { textcolor {red} {2}} = dfrac {6} { textcolor {red} {2}} $$ | $$ dfrac {2y} { textcolor {red} {2}} = dfrac {18 – 3x} { textcolor {red} {2}} $$ |
| Simplificar. | y = 3 | $$ y = dfrac {18 – 3x} {2} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {11} ):
Resuelve la fórmula 3x + 4y = 10 para y: (a) cuando x = 2 (b) en general
- Responda a
-
(y = 1 )
- Respuesta b
-
(y = frac {10-3x} {4} )
Ejercicio ( PageIndex {12} ):
Resuelve la fórmula 5x + 2y = 18 para y: (a) cuando x = 4 (b) en general
- Responda a
-
(y = -1 )
- Respuesta b
-
(y = frac {18-5x} {2} )
En los ejemplos anteriores, utilizamos los números en la parte (a) como guía para resolver en general en la parte (b). ¿Crees que estás listo para resolver una fórmula en general sin usar números como guía?
Ejemplo ( PageIndex {7} ):
Resuelve la fórmula P = a + b + c para a.
Solución
Aislaremos a un lado de la ecuación.
| Aislaremos a un lado de la ecuación. | |
| Escribe la ecuación. | P = a + b + c |
| Reste byc de ambos lados para aislar a. | $$ P textcolor {rojo} {- b -c} = a + b + c textcolor {rojo} {- b -c} $$ |
| Simplificar. | P – b – c = a |
Entonces, a = P – b – c.
Ejercicio ( PageIndex {13} ):
Resuelve la fórmula P = a + b + c para b.
- Respuesta
-
b = P – a – c
Ejercicio ( PageIndex {14} ):
Resuelve la fórmula P = a + b + c para c.
- Respuesta
- c = P – a – b
Ejemplo ( PageIndex {8} ):
Resuelve la ecuación 3x + y = 10 para y.
Solución
Aislaremos y en un lado de la ecuación.
| Aislaremos y en un lado de la ecuación. | |
| Escribe la ecuación. | 3x + y = 10 |
| Resta 3x de ambos lados para aislar y. | $$ 3x textcolor {rojo} {- 3x} + y = 10 textcolor {rojo} {- 3x} $$ |
| Simplificar. | y = 10 – 3x |
Ejercicio ( PageIndex {15} ):
Resuelve la fórmula 7x + y = 11 para y
- Respuesta
-
y = 11 – 7x
Ejercicio ( PageIndex {16} ):
Resuelve la fórmula 11x + y = 8 para y.
- Respuesta
-
y = 8 – 11x
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Resuelve la ecuación 6x + 5y = 13 para y.
Solución
Aislaremos y en un lado de la ecuación.
| Aislaremos y en un lado de la ecuación. | |
| Escribe la ecuación. | 6x + 5y = 13 |
| Restar para aislar el término con y. | $$ 6x + 5y textcolor {rojo} {- 6x} = 13 textcolor {rojo} {- 6x} $$ |
| Simplificar. | 5 años = 13 – 6x |
| Divide 5 para obtener el coeficiente 1. | $$ dfrac {5y} { textcolor {red} {5}} = dfrac {13 – 6x} { textcolor {red} {5}} $$ |
| Simplificar. | $$ y = dfrac {13 – 6x} {5} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {17} ):
Resuelve la fórmula 4x + 7y = 9 para y.
- Respuesta
-
(y = frac {9-4x} {7} )
Ejercicio ( PageIndex {18} ):
Resuelve la fórmula 5x + 8y = 1 para y.
- Respuesta
-
(y = frac {1-5x} {8} )
La práctica hace la perfección
Use la fórmula de distancia, velocidad y tiempo
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- Steve condujo durante (8 dfrac {1} {2} ) horas a 72 millas por hora. ¿Cuánta distancia viajó?
- Socorro condujo durante (4 dfrac {5} {6} ) horas a 60 millas por hora. ¿Cuánta distancia recorrió ella?
- Yuki caminó durante (1 dfrac {3} {4} ) horas a 4 millas por hora. ¿Qué tan lejos caminó?
- Francie montó su bicicleta durante (2 dfrac {1} {2} ) horas a 12 millas por hora. ¿Qué tan lejos cabalgó?
- Connor quiere conducir desde Tucson hasta el Gran Cañón, a una distancia de 338 millas. Si conduce a una velocidad constante de 52 millas por hora, ¿cuántas horas durará el viaje?
- Megan está tomando el autobús desde la ciudad de Nueva York a Montreal. La distancia es de 384 millas y el autobús viaja a una velocidad constante de 64 millas por hora. ¿Cuánto durará el viaje en autobús?
- Aurelia conduce desde Miami a Orlando a una velocidad de 65 millas por hora. La distancia es de 235 millas. A la décima de hora más cercana, ¿cuánto durará el viaje?
- Kareem quiere andar en bicicleta desde St. Louis, Missouri hasta Champaign, Illinois. La distancia es de 180 millas. Si viaja a una velocidad constante de 16 millas por hora, ¿cuántas horas durará el viaje?
- Javier está conduciendo a Bangor, Maine, que está a 240 millas de su ubicación actual. Si necesita estar en Bangor en 4 horas, ¿a qué velocidad necesita conducir?
- Alejandra conduce a Cincinnati, Ohio, a 450 millas de distancia. Si quiere estar allí en 6 horas, ¿a qué velocidad necesita conducir?
- Aisha tomó el tren de Spokane a Seattle. La distancia es de 280 millas, y el viaje tomó 3.5 horas. ¿Cuál fue la velocidad del tren?
- Philip viajó con un amigo de Denver a Las Vegas, a una distancia de 750 millas. Si el viaje duró 10 horas, ¿qué tan rápido conducía el amigo?
Resolver una fórmula para una variable específica
En los siguientes ejercicios, usa la fórmula. d = rt.
- Resolver para t: (a) cuando d = 350 yr = 70 (b) en general
- Resolver para t: (a) cuando d = 240 yr = 60 (b) en general
- Resolver para t: (a) cuando d = 510 yr = 60 (b) en general
- Resolver para t: (a) cuando d = 175 yr = 50 (b) en general
- Resolver para r: (a) cuando d = 204 y t = 3 (b) en general
- Resolver para r: (a) cuando d = 420 yt = 6 (b) en general
- Resolver para r: (a) cuando d = 160 yt = 2.5 (b) en general
- Resuelva para r: (a) cuando d = 180 yt = 4.5 (b) en general.
En los siguientes ejercicios, use la fórmula A = ( dfrac {1} {2} ) bh.
- Resuelve para b: (a) cuando A = 126 y h = 18 (b) en general
- Resuelva para h: (a) cuando A = 176 yb = 22 (b) en general
- Resolver para h: (a) cuando A = 375 yb = 25 (b) en general
- Resuelve para b: (a) cuando A = 65 y h = 13 (b) en general
En los siguientes ejercicios, use la fórmula I = Prt.
- Resolver para el principal, P para: (a) I = $ 5,480, r = 4%, t = 7 años (b) en general
- Resolver para el principal, P para: (a) I = $ 3,950, r = 6%, t = 5 años (b) en general
- Resuelva por el tiempo, t para: (a) I = $ 2,376, P = $ 9,000, r = 4.4% (b) en general
- Resuelva por el tiempo, t para: (a) I = $ 624, P = $ 6,000, r = 5.2% (b) en general
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- Resuelve la fórmula 2x + 3y = 12 para y: (a) cuando x = 3 (b) en general
- Resuelve la fórmula 5x + 2y = 10 para y: (a) cuando x = 4 (b) en general
- Resuelve la fórmula 3x + y = 7 para y: (a) cuando x = −2 (b) en general
- Resuelve la fórmula 4x + y = 5 para y: (a) cuando x = −3 (b) en general
- Resuelve a + b = 90 para b.
- Resuelve a + b = 90 para a.
- Resuelve 180 = a + b + c para a.
- Resuelve 180 = a + b + c para c.
- Resuelve la fórmula 8x + y = 15 para y.
- Resuelve la fórmula 9x + y = 13 para y.
- Resuelve la fórmula −4x + y = −6 para y.
- Resuelve la fórmula −5x + y = −1 para y.
- Resuelve la fórmula 4x + 3y = 7 para y.
- Resuelve la fórmula 3x + 2y = 11 para y.
- Resuelve la fórmula x – y = −4 para y.
- Resuelve la fórmula x – y = −3 para y.
- Resuelve la fórmula P = 2L + 2W para L.
- Resuelve la fórmula P = 2L + 2W para W.
- Resuelve la fórmula C = ( pi ) d para d.
- Resuelve la fórmula C = ( pi ) d para ( pi ).
- Resuelve la fórmula V = LWH para L.
- Resuelve la fórmula V = LWH para H.
Matemáticas cotidianas
- Conversión de temperatura Durante una gira en Grecia, Tatyana vio que la temperatura era de 40 ° Celsius. Resuelve F en la fórmula C = ( dfrac {5} {9} ) (F – 32) para encontrar la temperatura en Fahrenheit.
- Conversión de temperatura Yon estaba visitando los Estados Unidos y vio que la temperatura en Seattle era de 50 ° Fahrenheit. Resuelva para C en la fórmula F = ( dfrac {9} {5} ) C + 32 para encontrar la temperatura en grados Celsius.
Ejercicios de escritura
- Resuelve la ecuación 2x + 3y = 6 para y: (a) cuando x = −3 (b) en general (c) ¿Qué solución es más fácil para ti? Explicar por qué.
- Resuelve la ecuación 5x – 2y = 10 para x: (a) cuando y = 10 (b) en general (c) ¿Qué solución es más fácil para ti? Explicar por qué.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?