9.2: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la propiedad de raíz cuadrada

9.2: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la propiedad de raíz cuadrada

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) , donde (a ≠ 0 ). Las ecuaciones cuadráticas difieren de las ecuaciones lineales al incluir un término cuadrático con la variable elevada a la segunda potencia de la forma (ax ^ {2} ). Utilizamos diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que ecuaciones lineales, porque solo sumar, restar, multiplicar y dividir términos no aislará la variable.

Hemos visto que algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse factorizando. En este capítulo, aprenderemos otros tres métodos para usar en caso de que una ecuación cuadrática no pueda factorizarse.

Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ {2} = k ) usando la propiedad de raíz cuadrada

 

Ya hemos resuelto algunas ecuaciones cuadráticas por factorización. Revisemos cómo usamos la factorización para resolver la ecuación cuadrática (x ^ {2} = 9 ).

 

(x ^ {2} = 9 )

 

Ponga la ecuación en forma estándar.

 

(x ^ {2} -9 = 0 )

 

Factoriza la diferencia de cuadrados.

 

((x-3) (x + 3) = 0 )

 

Use la propiedad Zero Produce.

 

(x-3 = 0 quad x-3 = 0 )

 

Resuelve cada ecuación.

 

(x = 3 quad x = -3 )

 

Podemos usar fácilmente la factorización para encontrar las soluciones de ecuaciones similares, como (x ^ {2} = 16 ) y (x ^ {2} = 25 ), porque (16 ) y ( 25 ) son cuadrados perfectos. En cada caso, obtendríamos dos soluciones, (x = 4, x = -4 ) y (x = 5, x = -5 )

 

Pero, ¿qué sucede cuando tenemos una ecuación como (x ^ {2} = 7 )? Como (7 ) no es un cuadrado perfecto, no podemos resolver la ecuación factorizando.

 

Anteriormente aprendimos que dado que (169 ) es el cuadrado de (13 ), también podemos decir que (13 ) es una raíz cuadrada de (169 ). Además, ((- 13) ^ {2} = 169 ), entonces (- 13 ) también es una raíz cuadrada de (169 ). Por lo tanto, tanto (13 ) como (- 13 ) son raíces cuadradas de (169 ). Por lo tanto, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa. Anteriormente definimos la raíz cuadrada de un número de esta manera:

 

 

Si (n ^ {2} = m ), entonces (n ) es una raíz cuadrada de (m ).

 

Dado que todas estas ecuaciones tienen la forma (x ^ {2} = k ), la definición de raíz cuadrada nos dice que las soluciones son las dos raíces cuadradas de (k ). Esto lleva a la Propiedad de raíz cuadrada .

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Propiedad de raíz cuadrada

 

Si (x ^ {2} = k ), entonces

 

(x = sqrt {k} quad ) o ( quad x = – sqrt {k} quad ) o ( quad x = pm sqrt {k} ) [ 19459001]  

 

Observe que la propiedad de raíz cuadrada da dos soluciones a una ecuación de la forma (x ^ {2} = k ), la raíz cuadrada principal de (k ) y su opuesto. También podríamos escribir la solución como (x = pm sqrt {k} ). Leemos esto como (x ) es igual a positivo o negativo a la raíz cuadrada de (k ).

 

Ahora resolveremos la ecuación (x ^ {2} = 9 ) nuevamente, esta vez usando la propiedad de raíz cuadrada.

 

( begin {alineado} & x ^ {2} = 9 \ text {Use la propiedad de raíz cuadrada.} Quad & x = pm sqrt {9} \ & x = pm 3 end {alineado} )

 

Entonces (x = 3 ) o (x = -3 )

 

¿Qué sucede cuando la constante no es un cuadrado perfecto? Usemos la propiedad de raíz cuadrada para resolver la ecuación (x ^ {2} = 7 ).

 

(x ^ {2} = 7 )

 

Use la propiedad de raíz cuadrada. (x = sqrt {7}, quad x = – sqrt {7} )

 

No podemos simplificar ( sqrt {7} ), por lo que dejamos la respuesta como radical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ) Cómo resolver una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ {2} k ) Usando la propiedad de raíz cuadrada

 

Resuelva: (x ^ {2} -50 = 0 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                      
Paso 1 : Aislar el término cuadrático y hacer que su coeficiente sea uno. Agregue (50 ) a ambos lados para obtener (x ^ {2} ) por sí mismo. ( begin {alineado} x ^ {2} -50 & = 0 \ x ^ {2} & = 50 end {alineado} )
Paso 2 : Usa la propiedad de raíz cuadrada. Recuerde escribir el símbolo ( pm ). (x = pm sqrt {50} )
Paso 3 : Simplifica el radical. Reescribe para mostrar dos soluciones. ( begin {array} {l} {x = pm sqrt {25} cdot sqrt {2}} \ {x = pm 5 sqrt {2}} \ {} x = 5 sqrt {2}, : x = -5 sqrt {2} end {array} )
Paso 4 : Verifique las soluciones. Sustituye en (x = 5 sqrt {2} ) y (x = -5 sqrt {2} )              

( begin {array} {r} {x ^ {2} -50 = 0} \ {( color {red} {5 sqrt {2}} color {black} {)} ^ {2} -50 stackrel {?} {=} 0} \ {25 cdot 2-50 stackrel {?} {=} 0} \ {0 = 0} end {array} ) [19459001 ]              

( begin {array} {r} {x ^ {2} -50 = 0} \ {( color {red} {- 5 sqrt {2}} color {black} {)} ^ {2} -50 stackrel {?} {=} 0} \ {25 cdot 2-50 stackrel {?} {=} 0} \ {0 = 0} end {array} ) [ 19459001]              

 

Tabla 9.1.1

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelva: (x ^ {2} -48 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4 sqrt {3}, x = -4 sqrt {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelva: (y ^ {2} -27 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 3 sqrt {3}, y = -3 sqrt {3} )

     
 
 
 

Los pasos a seguir para usar la Propiedad de raíz cuadrada para resolver una ecuación cuadrática se enumeran aquí.

 

Resolver una ecuación cuadrática usando la propiedad de raíz cuadrada

 
         
  1. Aislar el término cuadrático y hacer que su coeficiente sea uno.
  2.      
  3. Usar propiedad de raíz cuadrada.
  4.      
  5. Simplifica el radical.
  6.      
  7. Verifique las soluciones.
  8.  
 

Para usar la propiedad de raíz cuadrada, el coeficiente del término variable debe ser igual a uno. En el siguiente ejemplo, debemos dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente (3 ) antes de usar la Propiedad de raíz cuadrada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelva: (3 z ^ {2} = 108 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(3 z ^ {2} = 108 )
El término cuadrático está aislado. Divide entre (3 ) para hacer su coeficiente (1 ). ( frac {3 z ^ {2}} {3} = frac {108} {3} )
Simplificar. (z ^ {2} = 36 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (z = pm sqrt {36} )
Simplifica el radical. (z = pm 6 )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (z = 6, quad z = -6 )
             

Verifique las soluciones:

             
.              
Figura 9.1.1
             
             
 

Tabla 9.1.2

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (2x ^ {2} = 98 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 7, x = -7 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelva: (5m ^ {2} = 80 ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = 4, m = -4 )

     
 
 
 

La propiedad de raíz cuadrada establece ‘If (x ^ {2} = k ),’ ¿Qué pasará si (k <0 )? Este será el caso en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (x ^ {2} + 72 = 0 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(x ^ {2} + 72 = 0 )
Aislar el término cuadrático. (x ^ {2} = – 72 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (x = pm sqrt {-72} )
Simplifica usando números complejos. (x = pm sqrt {72} i )
Simplifica el radical. (x = pm 6 sqrt {2} i )
Reescribe para mostrar dos soluciones (x = 6 sqrt {2} i, x = -6 sqrt {2} i )
             

Verifique las soluciones:

             
.              
Figura 9.1.2
             
             
 

Tabla 9.1.3

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (c ^ {2} + 12 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(c = 2 sqrt {3} i, quad c = -2 sqrt {3} i )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (q ^ {2} + 24 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(c = 2 sqrt {6} i, quad c = -2 sqrt {6} i )

     
 
 
 

Nuestro método también funciona cuando ocurren fracciones en la ecuación, resolvemos como cualquier ecuación con fracciones. En el siguiente ejemplo, primero aislamos el término cuadrático y luego hacemos que el coeficiente sea igual a uno.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: ( frac {2} {3} u ^ {2} + 5 = 17 ).

 

Solución :

 

Tabla 9.1.4

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelva: ( frac {1} {2} x ^ {2} + 4 = 24 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 2 sqrt {10}, x = -2 sqrt {10} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelva: ( frac {3} {4} y ^ {2} -3 = 18 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 2 sqrt {7}, y = -2 sqrt {7} )

     
 
 
 

Las soluciones a algunas ecuaciones pueden tener fracciones dentro de los radicales. Cuando esto sucede, debemos racionalizar el denominador .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (2 x ^ {2} -8 = 41 ).

 

Solución :

 

Tabla 9.1.5

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelva: (5 r ^ {2} -2 = 34 ).

 
     
Respuesta
     
     

(r = frac {6 sqrt {5}} {5}, quad r = – frac {6 sqrt {5}} {5} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelva: (3 t ^ {2} + 6 = 70 ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = frac {8 sqrt {3}} {3}, quad t = – frac {8 sqrt {3}} {3} )

     
 
 
 

Resolver la ecuación cuadrática de la forma (a (x-h) ^ {2} = k ) Usando la propiedad de la raíz cuadrada

 

Podemos usar la Propiedad de raíz cuadrada para resolver una ecuación de la forma (a (x-h) ^ {2} = k ) también. Observe que el término cuadrático, (x ), en la forma original (ax ^ {2} = k ) se reemplaza con ((x-h) ).

 
On the left is the equation a times x square equals k. Replacing x in this equation with the expression x minus h changes the equation. It is now a times the square of x minus h equals k.  
Figura 9.1.20
 
 

El primer paso, como antes, es aislar el término que tiene la variable al cuadrado. En este caso, se está cuadrando un binomio. Una vez que el binomio está aislado, dividiendo cada lado por el coeficiente de (a ), entonces la Propiedad de raíz cuadrada se puede usar en ((x-h) ^ {2} ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelva: (4 (y-7) ^ {2} = 48 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(4 (y-7) ^ {2} = 48 )
Divide ambos lados entre el coeficiente (4 ). ((y-7) ^ {2} = 12 )
Use la propiedad de raíz cuadrada en el binomio. (y-7 = pm sqrt {12} )
Simplifica el radical. (y-7 = pm 2 sqrt {3} )
Resuelve para (y ). (y = 7 pm 2 sqrt {3} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (y = 7 + 2 sqrt {3} )
(y = 7-2 sqrt {3} )
             

Verificación:

             
.              
Figura 9.1.21
             
             
 

Tabla 9.1.6

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelva: (3 (a-3) ^ {2} = 54 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = 3 + 3 sqrt {2}, quad a = 3-3 sqrt {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelva: (2 (b + 2) ^ {2} = 80 ).

 
     
Respuesta
     
     

(b = -2 + 2 sqrt {10}, quad b = -2-2 sqrt {10} )

     
 
 
 

Recuerde que cuando sacamos la raíz cuadrada de una fracción, podemos tomar la raíz cuadrada del numerador y el denominador por separado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelva: ( left (x- frac {1} {3} right) ^ {2} = frac {5} {9} ).

 

Solución :

 

( left (x- frac {1} {3} right) ^ {2} = frac {5} {9} )

 

Use la propiedad de raíz cuadrada.

 

(x- frac {1} {3} = pm sqrt { frac {5} {9}} )

 

Reescribe el radical como una fracción de raíces cuadradas.

 

(x- frac {1} {3} = pm frac { sqrt {5}} { sqrt {9}} )

 

Simplifica el radical.

 

(x- frac {1} {3} = pm frac { sqrt {5}} {3} )

 

Resuelve para (x ).

 

(x = frac {1} {3} pm frac { sqrt {5}} {3} )

 

Reescribe para mostrar dos soluciones.

 

(x = frac {1} {3} + frac { sqrt {5}} {3}, x = frac {1} {3} – frac { sqrt {5}} { 3} )

 

Verificación:

 

Te dejamos el cheque.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resuelva: ( left (x- frac {1} {2} right) ^ {2} = frac {5} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {1} {2} + frac { sqrt {5}} {2}, x = frac {1} {2} – frac { sqrt {5}} { 2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resuelva: ( left (y + frac {3} {4} right) ^ {2} = frac {7} {16} ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {3} {4} + frac { sqrt {7}} {4}, y = – frac {3} {4} – frac { sqrt {7} } {4} )

     
 
 
 

Comenzaremos la solución al siguiente ejemplo aislando el término binomial.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelva: (2 (x-2) ^ {2} + 3 = 57 ).

 

Solución :

 

(2 (x-2) ^ {2} + 3 = 57 )

 

Reste (3 ) de ambos lados para aislar el término binomial.

 

(2 (x-2) ^ {2} = 54 )

 

Divide ambos lados entre (2 ).

 

((x-2) ^ {2} = 27 )

 

Use la propiedad de raíz cuadrada.

 

(x-2 = pm sqrt {27} )

 

Simplifica el radical.

 

(x-2 = pm 3 sqrt {3} )

 

Resuelve para (x ).

 

(x = 2 pm 3 sqrt {3} )

 

Reescribe para mostrar dos soluciones.

 

(x = 2 + 3 sqrt {3}, x = 2-3 sqrt {3} )

 

Verificación:

 

Te dejamos el cheque.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resuelve: (5 (a-5) ^ {2} + 4 = 104 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = 5 + 2 sqrt {5}, a = 5-2 sqrt {5} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Resuelva: (3 (b + 3) ^ {2} -8 = 88 ).

 
     
Respuesta
     
     

(b = -3 + 4 sqrt {2}, quad b = -3-4 sqrt {2} )

     
 
 
 

A veces las soluciones son números complejos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelva: ((2 x-3) ^ {2} = – 12 ).

 

Solución :

 

((2 x-3) ^ {2} = – 12 )

 

Use la propiedad de raíz cuadrada.

 

(2 x-3 = pm sqrt {-12} )

 

Simplifica el radical.

 

(2 x-3 = pm 2 sqrt {3} i )

 

Agregue (3 ) a ambos lados.

 

(2 x = 3 pm 2 sqrt {3} i )

 

Divide ambos lados entre (2 ).

 

(x = frac {3 pm 2 sqrt {3 i}} {2} )

 

Reescribir en forma estándar.

 

(x = frac {3} {2} pm frac {2 sqrt {3} i} {2} )

 

Simplificar.

 

(x = frac {3} {2} pm sqrt {3} i )

 

Reescribe para mostrar dos soluciones.

 

(x = frac {3} {2} + sqrt {3} i, x = frac {3} {2} – sqrt {3} i )

 

Verificación:

 

Te dejamos el cheque.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resuelva: ((3 r + 4) ^ {2} = – 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(r = – frac {4} {3} + frac {2 sqrt {2} i} {3}, r = – frac {4} {3} – frac {2 sqrt {2} i} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resuelva: ((2 t-8) ^ {2} = – 10 ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = 4 + frac { sqrt {10} i} {2}, t = 4- frac { sqrt {10 i}} {2} )

     
 
 
 

Los lados izquierdos de las ecuaciones en los siguientes dos ejemplos no parecen tener la forma (a (x-h) ^ {2} ). Pero son trinomios cuadrados perfectos, por lo que tendremos en cuenta para ponerlos en la forma que necesitamos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve: (4 n ^ {2} +4 n + 1 = 16 ).

 

Solución :

 

Notamos que el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto. Lo factorizaremos primero.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(4 n ^ {2} +4 n + 1 = 16 )
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto. ((2 n + 1) ^ {2} = 16 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (2 n + 1 = pm sqrt {16} )
Simplifica el radical. (2 n + 1 = pm 4 )
Resuelve para (n ). (2 n = -1 pm 4 )
Divide cada lado entre (2 ). ( begin {alineado} frac {2 n} {2} & = frac {-1 pm 4} {2} \ n & = frac {-1 pm 4} {2} end {alineado} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (n = frac {-1 + 4} {2}, n = frac {-1-4} {2} )
Simplifica cada ecuación. (n = frac {3} {2}, quad n = – frac {5} {2} )
             

Verificación:

             
.              
Figura 9.1.22
             
             
 

Tabla 9.1.7

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Resuelva: (9 m ^ {2} -12 m + 4 = 25 ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = frac {7} {3}, quad m = -1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Resuelve: (16 n ^ {2} +40 n + 25 = 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(n = – frac {3} {4}, quad n = – frac {7} {4} )

     
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el uso de la propiedad de raíz cuadrada para resolver ecuaciones cuadráticas.

 
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