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las matematicas

9.2: Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En las películas de espionaje, vemos espías internacionales con múltiples pasaportes, cada uno con una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de manera similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Así como un espía elegirá un pasaporte italiano cuando viaje a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado al resolver una ecuación trigonométrica.

En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluyendo cómo podemos verificarlas y cómo podemos usarlas para simplificar las expresiones trigonométricas.

Verificación de las identidades trigonométricas fundamentales

 

Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de trigonometría utilizadas para resolver ecuaciones trigonométricas, así como factorizar, encontrar denominadores comunes y usar fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos técnicas algebraicas constantemente para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades básicas y las fórmulas de álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo involucrado con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se puede escribir de muchas maneras.

 

Para verificar las identidades trigonométricas, generalmente comenzamos con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, encontrar denominadores comunes o usar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas , las identidades pares e impares, las identidades recíprocas y las identidades cocientes.

 

Comenzaremos con las identidades pitagóricas (Tabla ( PageIndex {1} )), que son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones, pero ahora también utilizaremos identidades adicionales.

                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {1} ): Identidades pitagóricas
({ sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta = 1 ) (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ) (1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta )
 

La segunda y tercera identidades se pueden obtener manipulando la primera. La identidad (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ) se encuentra reescribiendo el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno.

 

Probar: (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta )

 

[ begin {align *} 1 + { cot} ^ 2 theta & = (1+ dfrac {{ cos} ^ 2} {{ sin} ^ 2}) qquad text {Reescribir el lado izquierdo} \ & = left ( dfrac {{ sin} ^ 2} {{ sin} ^ 2} right) + left ( dfrac {{ cos} ^ 2} {{ sin } ^ 2} right) qquad text {Escriba ambos términos con el denominador común} \ & = dfrac {{ sin} ^ 2 + { cos} ^ 2} {{ sin} ^ 2} & = dfrac {1} {{ sin} ^ 2} \ & = { csc} ^ 2 end {align *} ]

 

Del mismo modo, (1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta ) se puede obtener reescribiendo el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da

 

[ begin {align *} 1 + { tan} ^ 2 theta & = 1 + { left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right)} ^ 2 qquad text {Reescribir lado izquierdo} \ & = { left ( dfrac { cos theta} { cos theta} right)} ^ 2 + { left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right)} ^ 2 qquad text {Escriba ambos términos con el denominador común} \ & = dfrac {{ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta} \ & = dfrac {1} {{ cos} ^ 2 theta} \ & = { sec} ^ 2 theta end {align *} ]

 

Recuerde que determinamos qué funciones trigonométricas son impares y cuáles son pares. El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto (Tabla ( PageIndex {2} )).

                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {2} ): Identidades pares-impares
( tan (- theta) = – tan theta ) ( sin (- theta) = – sin theta ) ( cos (- theta) = cos theta )
( cot (- theta) = – cot theta ) ( csc (- theta) = – csc theta ) ( sec (- theta) = sec theta )
 

Recuerde que una función impar es aquella en la que (f (−x) = −f (x) ) para todos (x ) en el dominio desactivado. F. La función seno es una función extraña porque ( sin (- theta) = – sin theta ). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Por ejemplo, considere las entradas correspondientes de ( dfrac { pi} {2} ) y (- dfrac { pi} {2} ). La salida de ( sin left ( dfrac { pi} {2} right) ) es opuesta a la salida de ( sin left (- dfrac { pi} {2} right) ) Por lo tanto,

 

[ begin {align *} sin left ( dfrac { pi} {2} right) & = 1 \ [4pt] sin left (- dfrac { pi} {2 } right) & = – sin left ( dfrac { pi} {2} right) \ [4pt] & = – 1 end {align *} ]

 

Esto se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
Graph of y=sin(theta) from -2pi to 2pi, showing in particular that it is symmetric about the origin. Points given are (pi/2, 1) and (-pi/2, -1).
Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico de (y = sin theta )
 

Recuerde que una función par es aquella en la que

 

(f (−x) = f (x) ) para todos (x ) en el dominio de (f )

 

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y- . La función coseno es una función par porque ( cos (- theta) = cos theta ). Por ejemplo, considere las entradas correspondientes ( dfrac { pi} {4} ) y (- dfrac { pi} {4} ). La salida de ( cos left ( dfrac { pi} {4} right) ) es la misma que la salida de ( cos left (- dfrac { pi} {4} right ) ). Por lo tanto,

 

[ begin {align *} cos left (- dfrac { pi} {4} right) & = cos left ( dfrac { pi} {4} right) \ [4pt] y ≈0.707 end {align *} ]

 

Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 
Graph of y=cos(theta) from -2pi to 2pi, showing in particular that it is symmetric about the y-axis. Points given are (-pi/4, .707) and (pi/4, .707).
Figura ( PageIndex {3} ): Gráfico de (y = cos theta )
 

Para todos ( theta ) en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos establecer lo siguiente:

 
         
  • Dado que ( sin (- theta) = – sin theta ), el seno es una función extraña.
  •      
  • Dado que ( cos (- theta) = cos theta ), el coseno es una función par.
  •  
 

Las otras identidades pares e impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, considere la identidad tangente, ( tan (- theta) = – tan theta ). Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como

 

[ tan (- theta) = dfrac { sin (- theta)} { cos (- theta)} = dfrac {- sin theta} { cos theta} = – tan theta. nonumber ]

 

Tangente es, por lo tanto, una función impar, lo que significa que ( tan (- theta) = – tan ( theta) ) para todos ( theta ) en el dominio de la función tangente .

 

La identidad cotangente, ( cot (- theta) = – cot theta ), también se deduce de las identidades seno y coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como

 

[ cot (- theta) = dfrac { cos (- theta)} { sin (- theta)} = dfrac { cos theta} {- sin theta} = – cot theta. Nonumber ]

 

Cotangente es, por lo tanto, una función impar, lo que significa que ( cot (- theta) = – cot ( theta) ) para todos ( theta ) en el dominio de la función cotangente .

 

La función cosecante es el recíproco de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como

 

[ csc (- theta) = dfrac {1} { sin (- theta)} = dfrac {1} {- sin theta} = – csc theta. nonumber ]

 

La función cosecante es, por lo tanto, impar.

 

Finalmente, la función secante es el recíproco de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como

 

[ sec (- theta) = dfrac {1} { cos (- theta)} = dfrac {1} { cos theta} = sec theta. nonumber ]

 

La función secante es, por lo tanto, uniforme.

 

En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, coseno y secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, verificando las identidades pares e impares.

 

El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. (Tabla ( PageIndex {3} )). Recuerde que encontramos estas identidades por primera vez al definir funciones trigonométricas desde ángulos rectos en Trigonometría de ángulo recto .

                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {3} ): Identidades recíprocas
( sin theta = dfrac {1} { csc theta} ) ( csc theta = dfrac {1} { sin theta} )
( cos theta = dfrac {1} { sec theta} ) ( sec theta = dfrac {1} { cos theta} )
( tan theta = dfrac {1} { cot theta} ) ( cot theta = dfrac {1} { tan theta} )
 

El conjunto final de identidades es el conjunto de identidades de cociente , que definen las relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y pueden ser muy útiles para verificar otras identidades (Tabla ( PageIndex {4} )).

                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {4} ): Identidades de cociente
( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ) ( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} )
 

Las identidades recíprocas y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas.

 
 
 

RESUMEN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

 

Las identidades pitagóricas se basan en las propiedades de un triángulo rectángulo.

 

[{ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 ]

 

[1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ]

 

[1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta ]

 

Las identidades pares e impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto.

 

[ tan (- theta) = – tan theta ]

 

[ cot (- theta) = – cot theta ]

 

[ sin (- theta) = – sin theta ]

 

[ csc (- theta) = – csc theta ]

 

[ cos (- theta) = cos theta ]

 

[ sec (- theta) = sec theta ]

 

Las identidades recíprocas definen recíprocos de las funciones trigonométricas.

 

[ sin theta = dfrac {1} { csc theta} ]

 

[ cos theta = dfrac {1} { sec theta} ]

 

[ tan theta = dfrac {1} { cot theta} ]

 

[ csc theta = dfrac {1} { sin theta} ]

 

[ sec theta = dfrac {1} { cos theta} ]

 

[ cot theta = dfrac {1} { tan theta} ]

 

Las identidades del cociente definen la relación entre las funciones trigonométricas.

 

[ tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ]

 

[ cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Graficando las ecuaciones de una identidad

 

Representa gráficamente ambos lados de la identidad ( cot theta = dfrac {1} { tan theta} ). En otras palabras, en la calculadora gráfica, grafique (y = cot theta ) y (y = dfrac {1} { tan theta} ).

 

Solución

 

Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 
Graph of y = cot(theta) and y=1/tan(theta) from -2pi to 2pi. They are the same!
Figura ( PageIndex {4} )
 

Análisis

 

Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Uno está encima del otro. Esta es una buena manera de demostrar cualquier identidad. Si ambas expresiones dan la misma gráfica, entonces deben ser identidades.

 
 
 
 

Cómo: Dada una identidad trigonométrica, verifique que sea verdadera.

 
         
  1. Trabaja en un lado de la ecuación. Por lo general, es mejor comenzar con el lado más complejo, ya que es más fácil de simplificar que de construir.
  2.      
  3. Busque oportunidades para factorizar expresiones, cuadrar un binomio o agregar fracciones.
  4.      
  5. Observando qué funciones están en la expresión final, busca oportunidades para usar las identidades y hacer las sustituciones adecuadas.
  6.      
  7. Si estos pasos no dan el resultado deseado, intente convertir todos los términos a senos y cosenos.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Verificación de una identidad trigonométrica

 

Verifique ( tan theta cos theta = sin theta ).

 

Solución

 

Comenzaremos por el lado izquierdo, ya que es el lado más complicado:

 

[ begin {align *} tan theta cos theta & = left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right) cos theta \ [4pt] & = sin theta end {align *} ]

 

Análisis

 

Esta identidad era bastante simple de verificar, ya que solo requería escribir ( tan theta ) en términos de ( sin theta ) y ( cos theta ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Verifique la identidad ( csc theta cos theta tan theta = 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {align *} csc theta cos theta tan theta = left ( dfrac {1} { sin theta} right) cos theta left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right) \ [4pt] & = dfrac { cos theta} { sin theta} ( dfrac { sin theta} { cos theta }) \ [4pt] & = dfrac { sin theta cos theta} { sin theta cos theta} \ [4pt] & = 1 end {align *} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Verificación de la equivalencia utilizando las identidades pares-impares

 

Verifique la siguiente equivalencia utilizando las identidades pares-impares:

 

((1+ sin x) [1+ sin (−x)] = { cos} ^ 2 x )

 

Solución

 

Trabajando en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos

 

((1+ sin x) [1+ sin (−x)] = (1+ sin x) (1- sin x) )

 

Desde

 

[ begin {align *} sin (-x) & = – sin x \ [5pt] & = 1 – { sin} ^ 2 x qquad text {Diferencia de cuadrados} \ [5pt] & = { cos} ^ 2 x \ { cos} ^ 2 x & = 1 – { sin} ^ 2 x \ end {align *} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3B} ): Verificación de una identidad trigonométrica que implica ({ sec} ^ 2 theta )

 

Verifique la identidad ( dfrac {{ sec} ^ 2 theta − 1} {{ sec} ^ 2 theta} = { sin} ^ 2 theta )

 

Solución

 

Como el lado izquierdo es más complicado, comencemos allí.

 

[ begin {align *}
dfrac {{ sec} ^ 2 theta-1} {{ sec} ^ 2 theta} & = dfrac {({ tan} ^ 2 theta +1) -1} {{ sec} ^ 2 theta} \
{ sec} ^ 2 theta & = { tan} ^ 2 theta +1 \
& = dfrac {{ tan} ^ 2 theta} {{ sec} ^ 2 theta} \
& = { tan} ^ 2 theta left ( dfrac {1} {{ sec} ^ 2 theta} right) \
& = { tan} ^ 2 theta left ({ cos} ^ 2 theta right) \
{ cos} ^ 2 theta & = dfrac {1} {{ sec} ^ 2 theta} \
& = left ( dfrac {{ sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta} right) \
{ tan} ^ 2 theta & = dfrac {{ sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta} \
& = { sin} ^ 2 theta
end {align *} ]

 

Hay más de una forma de verificar una identidad. Aquí hay otra posibilidad. Nuevamente, podemos comenzar con el lado izquierdo.

 

[ begin {align *} dfrac {{ sec} ^ 2 theta-1} {{ sec} ^ 2 theta} & = dfrac {{ sec} ^ 2 theta} { { sec} ^ 2 theta} – dfrac {1} {{ sec} ^ 2 theta} \ & = 1 – { cos} ^ 2 theta \ & = { sin} ^ 2 theta end {align *} ]

 

Análisis

 

En el primer método, utilizamos la identidad ({ sec} ^ 2 theta = { tan} ^ 2 theta + 1 ) y continuamos simplificando. En el segundo método, dividimos la fracción, colocando ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Este problema ilustra que hay varias formas en que podemos verificar una identidad. Emplear algo de creatividad a veces puede simplificar un procedimiento. Mientras las sustituciones sean correctas, la respuesta será la misma.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Muestra que ( dfrac { cot theta} { csc theta} = cos theta ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {align *} dfrac { cot theta} { csc theta} & = dfrac { tfrac { cos theta} { sin theta}} { dfrac {1 } { sin theta}} \ & = dfrac { cos theta} { sin theta} cdot dfrac { sin theta} {1} \ & = cos theta end { alinear *} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Crear y verificar una identidad

 

Cree una identidad para la expresión (2 tan theta sec theta ) reescribiendo estrictamente en términos de seno.

 

Solución

 

Hay varias formas de comenzar, pero aquí usaremos el cociente y las identidades recíprocas para reescribir la expresión:

 

[ begin {align *} 2 tan theta sec theta & = 2 left ( dfrac { sin theta} { cos theta} right) left ( dfrac {1} { cos theta} right) \ & = dfrac {2 sin theta} {{ cos} ^ 2 theta} \ & = dfrac {2 sin theta} {1 – { sin} ^ 2 theta} qquad text {Sustituir} 1 – { sin} ^ 2 theta text {para} { cos} ^ 2 theta end {align *} ]

 

Por lo tanto,

 

(2 tan theta sec theta = dfrac {2 sin theta} {1 – { sin} ^ 2 theta} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Verificación de una identidad utilizando álgebra e identidades pares / impares

 

Verifique la identidad:

 

( dfrac {{ sin} ^ 2 (- theta) – { cos} ^ 2 (- theta)} { sin (- theta) – cos (- theta)} = cos theta− sin theta )

 

Solución

 

Comencemos con el lado izquierdo y simplifiquemos:

 

[ begin {align *} dfrac {{ sin} ^ 2 (- theta) – { cos} ^ 2 (- theta)} { sin (- theta) – cos ( – theta)} & = dfrac {{[ sin (- theta)]} ^ 2 – {[ cos (- theta)]} ^ 2} { sin (- theta) – cos ( – theta)} \ & = dfrac {{(- sin theta)} ^ 2 – {( cos theta)} ^ 2} {- sin theta – cos theta} ; ; ; , sin (-x) = – sin space x text {y} cos (-x) = cos space x \ & = dfrac {{( sin theta)} ^ 2- { ( cos theta)} ^ 2} {- sin theta – cos theta} qquad text {Diferencia de cuadrados} \ & = dfrac {( sin theta- cos theta) ( sin theta + cos theta)} {- ( sin theta + cos theta)} \ & = cos theta- sin theta end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Verifique la identidad ( dfrac {{ sin} ^ 2 theta − 1} { tan theta sin theta− tan theta} = dfrac { sin theta + 1} { tan theta} ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {align *} dfrac {{ sin} ^ 2 theta-1} { tan theta sin theta- tan theta} & = dfrac {( sin theta +1) ( sin theta -1)} { tan theta ( sin theta -1)} \ & = dfrac { sin theta + 1} { tan theta} end {align *} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Verificación de una identidad que involucra cosenos y cotangentes

 

Verifique la identidad: ((1 – { cos} ^ 2 x) (1 + { cot} ^ 2 x) = 1 ).

 

Solución:

 

[ begin {align *} (1 – { cos} ^ 2 x) (1 + { cot} ^ 2 x) & = (1 – { cos} ^ 2 x) left (1 + dfrac {{ cos} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} right) \ & = (1 – { cos} ^ 2 x) left ( dfrac {{ sin} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} + dfrac {{ cos} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} right) qquad text {Encuentra el denominador común} \ & = (1 – { cos} ^ 2 x) left ( dfrac {{ sin} ^ 2 x + { cos} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} right) \ & = ( { sin} ^ 2 x) left ( dfrac {1} {{ sin} ^ 2 x} right) \ & = 1 end {align *} ]

 
 

Usando álgebra para simplificar expresiones trigonométricas

 

Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igualmente crítico para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolver. Estar familiarizado con las propiedades básicas y las fórmulas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo involucrado con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.

 

Por ejemplo, la ecuación (( sin x + 1) ( sin x − 1) = 0 ) se asemeja a la ecuación ((x + 1) (x − 1) = 0 ), que utiliza La forma factorizada de la diferencia de cuadrados. Usar álgebra hace que encontrar una solución sea sencillo y familiar. Podemos establecer cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones trigonométricas o ecuaciones.

 

Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados, (a ^ 2 − b ^ 2 = (a − b) (a + b) ), que se usa ampliamente en muchas áreas además de las matemáticas, como la ingeniería, arquitectura y física. También podemos crear nuestras propias identidades expandiendo continuamente una expresión y haciendo las sustituciones apropiadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas hace que muchas ecuaciones trigonométricas sean más fáciles de entender y resolver.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7A} ): Escribir la expresión trigonométrica como una expresión algebraica

 

Escriba la siguiente expresión trigonométrica como una expresión algebraica: (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta − 1 ).

 

Solución

 

Observe que el patrón mostrado tiene la misma forma que una expresión cuadrática estándar, (ax ^ 2 + bx + c ). Dejando ( cos theta = x ), podemos reescribir la expresión de la siguiente manera:

 

(2x ^ 2 + x − 1 )

 

Esta expresión puede factorizarse como ((2x + 1) (x − 1) ). Si fuera igual a cero y quisiéramos resolver la ecuación, usaríamos la propiedad del factor cero y resolveríamos cada factor para (x ). En este punto, reemplazaríamos (x ) con ( cos theta ) y resolveremos ( theta ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7B} ): reescribir una expresión trigonométrica usando la diferencia de cuadrados

 

Reescribe la expresión trigonométrica usando la diferencia de cuadrados: (4 {cos} ^ 2 theta − 1 ).

 

Solución

 

Observe que tanto el coeficiente como la expresión trigonométrica en el primer término son cuadrados, y el cuadrado del número 1 es 1. Esta es la diferencia de cuadrados.

 

[ begin {align *} 4 { cos} ^ 2 theta-1 & = {(2 cos theta)} ^ 2-1 \ & = (2 cos theta-1) ( 2 cos theta + 1) end {align *} ]

 

Análisis

 

Si esta expresión se escribiera en forma de un conjunto de ecuaciones igual a cero, podríamos resolver cada factor usando la propiedad del factor cero. También podríamos usar la sustitución como lo hicimos en el problema anterior y dejar que ( cos theta = x ), reescribir la expresión como (4x ^ 2−1 ) y factorizar ((2x − 1) (2x +1) ). Luego reemplace (x ) con ( cos theta ) y resuelva el ángulo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Reescribe la expresión trigonométrica usando la diferencia de cuadrados: (25−9 { sin} ^ 2 theta ).

 
     
Respuesta
     
     

Esta es una fórmula de diferencia de cuadrados: (25−9 { sin} ^ 2 theta = (5−3 sin theta) (5 + 3 sin theta) ).

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Simplifique reescribiendo y usando sustitución

 

Simplifique la expresión reescribiendo y usando identidades:

 

({ csc} ^ 2 theta – { cot} ^ 2 theta )

 

Solución:

 

Podemos comenzar con la identidad pitagórica.

 

[ begin {align *} 1 + { cot} ^ 2 theta & = { csc} ^ 2 theta \ text {Ahora podemos simplificar sustituyendo} 1 + { cot} ^ 2 theta text {para} { csc} ^ 2 theta \ { csc} ^ 2 theta – { cot} ^ 2 theta & = 1 + { cot} ^ 2 theta – { cot} ^ 2 theta \ & = 1 end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Use técnicas algebraicas para verificar la identidad: ( dfrac { cos theta} {1+ sin theta} = dfrac {1− sin theta} { cos theta} ).

 

(Sugerencia: multiplique el numerador y el denominador del lado izquierdo por (1− sin theta ).)

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {align *} dfrac { cos theta} {1+ sin theta} left ( dfrac {1- sin theta} {1- sin theta} right ) & = dfrac { cos theta (1- sin theta)} {1 – { sin} ^ 2 theta} \ & = dfrac { cos theta (1- sin theta) } {{ cos} ^ 2 theta} \ & = dfrac {1- sin theta} { cos theta} end {align *} ]

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con las identidades trigonométricas fundamentales.

 
 
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