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las matematicas

9.2: Secuencias aritméticas y series

Secuencias aritméticas

 

Una aritmética secuencia 12 , o aritmética 906 progresión] 19116] 13 , es una secuencia de números donde cada número sucesivo es la suma del número anterior y alguna constante (d ).

 

(a_ {n} = a_ {n-1} + d quad color {Cerulean} {Aritmética : secuencia} )

 

Y debido a que (a_ {n} -a_ {n-1} = d ), la constante (d ) se llama común diferencia 14 . Por ejemplo, la secuencia de enteros impares positivos es una secuencia aritmética,

 

(1,3,5,7,9, ldots ) ​​

 

Aquí (a_ {1} = 1 ) y la diferencia entre dos términos sucesivos es (2 ). Podemos construir el término general (a_ {n} = a_ {n-1} +2 ) donde,

 

(a_ {1} = 1 )
(a_ {2} = a_ {1} + 2 = 1 + 2 = 3 )
(a_ {3} = a_ {2 } + 2 = 3 + 2 = 5 )
(a_ {4} = a_ {3} + 2 = 5 + 2 = 7 )
(a_ {5} = a_ {4} + 2 = 7 + 2 = 9 )
( vdots ) ​​

 

En general, dado el primer término (a_ {1} ) de una secuencia aritmética y su diferencia común (d ), podemos escribir lo siguiente:

 

( begin {array} {l} {a_ {2} = a_ {1} + d} \ {a_ {3} = a_ {2} + d = left (a_ {1} + d right) + d = a_ {1} +2 d} \ {a_ {4} = a_ {3} + d = left (a_ {1} +2 d right) + d = a_ {1} + 3 d} \ {a_ {5} = a_ {4} + d = left (a_ {1} +3 d right) + d = a_ {1} +4 d} \ { quad : : vdots} end {array} )

 

De esto vemos que cualquier secuencia aritmética se puede escribir en términos de su primer elemento, diferencia común e índice de la siguiente manera:

 

(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d quad color {Cerulean} {Aritmética : Secuencia} )

 

De hecho, cualquier término general que sea lineal en (n ) define una secuencia aritmética.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su término (100 ^ {th} ): (7, 10, 13, 16, 19,… )

 

Solución

 

Comienza por encontrar la diferencia común,

 

(d = 10-7 = 3 )

 

Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos es (3 ). La secuencia es de hecho una progresión aritmética donde (a_ {1} = 7 ) y (d = 3 ).

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = 7 + (n-1) cdot 3 \ & = 7 + 3 n- 3 \ & = 3 n + 4 end {alineado} )

 

Por lo tanto, podemos escribir el término general (a_ {n} = 3n + 4 ). Tómese un minuto para verificar que esta ecuación describe la secuencia dada. Use esta ecuación para encontrar el término (100 ^ {th} ):

 

(a_ {100} = 3 (100) + 4 = 304 )

 

Respuesta :

 

(a_ {n} = 3 n + 4; a_ {100} = 304 )

 
 

La diferencia común de una secuencia aritmética puede ser negativa.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su término (75 ^ {th} ): (6, 4, 2, 0, −2,… ) [19459012 ]  

Solución

 

Comienza por encontrar la diferencia común,

 

(d = 4-6 = -2 )

 

Luego encuentra la fórmula para el término general, aquí (a_ {1} = 6 ) y (d = −2 ).

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = 6 + (n-1) cdot (-2) \ & = 6- 2 n + 2 \ & = 8-2 n end {alineado} )

 

Por lo tanto, (a_ {n} = 8 – 2n ) y el término (75 ^ {th} ) se pueden calcular de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} a_ {75} & = 8-2 (75) \ & = 8-150 \ & = – 142 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(a_ {n} = 8-2 n; a_ {100} = – 142 )

 
 

Los términos entre términos dados de una secuencia aritmética se denominan aritmética significa 15 .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Encuentre todos los términos entre (a_ {1} = – 8 ) y (a_ {7} = 10 ) de una secuencia aritmética. En otras palabras, encuentre todos los medios aritméticos entre los términos (1 ^ {st} ) y (7 ^ {th} ).

 

Solución

 

Comienza por encontrar la diferencia común (d ). En este caso, se nos da el primer y el séptimo término:

 

( begin {array} {l} {a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d quad color {Cerulean} {Use : n = 7.}} \ { a_ {7} = a_ {1} + (7-1) d} \ {a_ {7} = a_ {1} +6 d} end {array} )

 

Sustituye (a_ {1} = −8 ) y (a_ {7} = 10 ) en la ecuación anterior y luego resuelve la diferencia común (d ).

 

( begin {alineado} 10 & = – 8 + 6 d \ 18 & = 6 d \ 3 & = d end {alineado} )

 

Luego, usa el primer término (a_ {1} = −8 ) y la diferencia común (d = 3 ) para encontrar una ecuación para el término (n ) de la secuencia.

 

( begin {alineado} a_ {n} & = – 8+ (n-1) cdot 3 \ & = – 8 + 3 n-3 \ & = – 11 + 3 n end { alineado} )

 

Con (a_ {n} = 3n – 11 ), donde (n ) es un entero positivo, encuentre los términos que faltan.

 

( left. Begin {alineado} a_ {1} & = 3 (1) -11 = 3-11 = -8 \ a_ {2} & = 3 (2) -11 = 6-11 = -5 \ a_ {3} & = 3 (3) -11 = 9-11 = -2 \ a_ {4} & = 3 (4) -11 = 12-11 = 1 \ a_ {5} & = 3 (5) -11 = 15-11 = 4 \ a_ {6} & = 3 (6) -11 = 18-11 = 7 \ a_ {7} & = 3 (7) -11 = 21 -111 = 10 end {alineado} right } color {Cerulean} {aritmética : significa} )

 

Respuesta :

 

(- 5, -2,1,4,7 )

 
 

En algunos casos, el primer término de una secuencia aritmética puede no darse.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Encuentre el término general de una secuencia aritmética donde (a_ {3} = −1 ) y (a_ {10} = 48 ).

 

Solución

 

Para determinar una fórmula para el término general necesitamos (a_ {1} ) y (d ). Se puede formar un sistema lineal con estas variables utilizando la información dada y (a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d ):

 

( left { begin {array} {c} {a_ {3} = a_ {1} + (3-1) d} \ {a_ {10} = a_ {1} + (10 -1) d} end {array} right. Rightarrow left { begin {array} {l} {- 1 = a_ {1} +2 d quad color {Cerulean} {Use : a_ {3} = – 1.}} \ {48 = a_ {1} +9 d quad : color {Cerulean} {Use : a_ {10} = 48.}} End {array} right . )

 

Elimina (a_ {1} ) multiplicando la primera ecuación por (- 1 ) y suma el resultado a la segunda ecuación.

 

( left { begin {array} {l} {- 1 = a_ {1} +2 d} \ {48 = a_ {1} +9 d} end {array} right. quad stackrel { color {Cerulean} {x (-1)}} { Longrightarrow} color {black} {+} left { begin {array} {l} {1 = -a_ {1} -2d} \ {48 = a_ {1} + 9d} end {array} right. \ )

 

( begin {alineado} 49 & = 7 d \ 7 & = d end {alineado} )

 

Sustituye (d = 7 ) en (- 1 = a_ {1} + 2d ) para encontrar (a_ {1} ).

 

(- 1 = a_ {1} +2 (7) )
(- 1 = a_ {1} +14 )
(- 15 = a_ {1} ) [ 19459012]  

Luego, use el primer término (a_ {1} = −15 ) y la diferencia común (d = 7 ) para encontrar una fórmula para el término general.

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = – 15+ (n-1) cdot 7 \ & = – 15 + 7 n-7 \ & = – 22 + 7 n end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(a_ {n} = 7 n-22 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su término (100 ^ {th} ): ( frac {3} {2}, 2, frac {5} {2}, 3, frac {7} {2}, puntos )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = frac {1} {2} n + 1; a_ {100} = 51 )

     

     
 
 
 

Serie aritmética

 

Una aritmética serie 16 es la suma de los términos de una secuencia aritmética. Por ejemplo, la suma de los primeros (5 ) términos de la secuencia definida por (a_ {n} = 2n – 1 ) sigue:

 

( begin {alineado} S_ {5} & = sum_ {n = 1} ^ {5} (2 n-1) \ & = [2 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} – 1] + [2 ( color {Cerulean} {2} color {black} {)} – 1] + [2 ( color {Cerulean} {3} color {black} { )} – 1] + [2 ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} – 1] + [2 ( color {Cerulean} {5} color {black} {)} – 1 ] \ & = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \ & = 25 end {alineado} )

 

Agregar (5 ) enteros impares positivos, como hemos hecho anteriormente, es manejable. Sin embargo, considere agregar los primeros (100 ) enteros impares positivos. Esto sería muy tedioso. Por lo tanto, a continuación desarrollamos una fórmula que puede usarse para calcular la suma de los primeros términos (n ), denotados (S_ {n} ), de cualquier secuencia aritmética. En general,

 

(S_ {n} = a_ {1} + left (a_ {1} + d right) + left (a_ {1} +2 d right) + ldots + a_ {n} )

 

Escribiendo esta serie en reversa tenemos,

 

(S_ {n} = a_ {n} + left (a_ {n} -d right) + left (a_ {n} -2 d right) + ldots + a_ {1} )

 

Y sumando estas dos ecuaciones, los términos que involucran (d ) se suman a cero y obtenemos factores (n ) de (a_ {1} + a_ {n} ):

 

(2 S_ {n} = left (a_ {1} + a_ {n} right) + left (a_ {1} + a_ {n} right) + ldots + left (a_ { n} + a_ {1} right) )
(2 S_ {n} = n left (a_ {1} + a_ {n} right) )

 

Dividir ambos lados entre (2 ) nos lleva a la fórmula para la (n ) suma parcial de una aritmética secuencia 17 [ 19459009] :

 

(S_ {n} = frac {n left (a_ {1} + a_ {n} right)} {2} )

 

Use esta fórmula para calcular la suma de los primeros (100 ) términos de la secuencia definida por (a_ {n} = 2n – 1 ). Aquí (a_ {1} = 1 ) y (a_ {100} = 199 ).

 

( begin {alineado} S_ {100} & = frac {100 left (a_ {1} + a_ {100} right)} {2} \ & = frac {100 (1+ 199)} {2} \ & = 10,000 end {alineado} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Encuentre la suma de los primeros (50 ) términos de la secuencia dada: (4,9,14,19,24, dots ) ​​

 

Solución

 

Determine si existe o no una diferencia común entre los términos dados.

 

(d = 9-4 = 5 )

 

Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos es (5 ). La secuencia es de hecho una progresión aritmética y podemos escribir

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = 4 + (n-1) cdot 5 \ & = 4 + 5 n- 5 \ & = 5 n-1 end {alineado} )

 

Por lo tanto, el término general es (a_ {n} = 5n – 1 ). Para calcular la suma parcial (50 ^ {th} ) de esta secuencia, necesitamos los términos (1 ^ {st} ) y (50 ^ {th} ):

 

( begin {alineado} a_ {1} & = 4 \ a_ {50} & = 5 (50) -1 = 249 end {alineado} )

 

Luego, usa la fórmula para determinar la suma parcial (50 ^ {th} ) de la secuencia aritmética dada.

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {n left (a_ {1} + a_ {n} right)} {2} \ S_ {50} & = frac { 50 cdot left (a_ {1} + a_ {50} right)} {2} \ & = frac {50 (4 + 249)} {2} \ & = 25 (253) \ & = 6.325 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(S_ {50} = 6,325 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Evalúe: ( sum_ {n = 1} ^ {35} (10-4 n) ).

 

Solución

 

En este caso, se nos pide que encontremos la suma de los primeros (35 ) términos de una secuencia aritmética con el término general (a_ {n} = 10 – 4n ). Use esto para determinar el término (1 ^ {st} ) y el (35 ^ {th} ).

 

(a_ {1} = 10-4 (1) = 6 )
(a_ {35} = 10-4 (35) = – 130 )

 

Luego usa la fórmula para determinar la suma parcial (35 ^ {th} ).

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {n left (a_ {1} + a_ {n} right)} {2} \ S_ {35} & = frac { 35 cdot left (a_ {1} + a_ {35} right)} {2} \ & = frac {35 [6 + (- 130)]} {2} \ & = frac {35 (-124)} {2} \ & = – 2,170 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 2,170 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

La primera fila de asientos en un anfiteatro al aire libre contiene (26 ) asientos, la segunda fila contiene (28 ) asientos, la tercera fila contiene (30 ) asientos, y así sucesivamente. Si hay (18 ) filas, ¿cuál es la capacidad total de asientos del teatro?

 
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Figura 9.2.1 : Teatro romano
 

Solución

 

Comienza por encontrar una fórmula que dé el número de asientos en cualquier fila. Aquí el número de asientos en cada fila forma una secuencia:

 

(26,28,30, puntos )

 

Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos es (2 ). La secuencia es una progresión aritmética donde (a_ {1} = 26 ) y (d = 2 ).

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = 26 + (n-1) cdot 2 \ & = 26 + 2 n- 2 \ & = 2 n + 24 end {alineado} )

 

Por lo tanto, el número de asientos en cada fila viene dado por (a_ {n} = 2n + 24 ). Para calcular la capacidad de asiento total de las filas (18 ) necesitamos calcular la suma parcial (18 ^ {th} ). Para hacer esto, necesitamos los términos (1 ^ {st} ) y (18 ^ {th} ):

 

( begin {alineado} a_ {1} & = 26 \ a_ {18} & = 2 (18) + 24 = 60 end {alineado} )

 

Use esto para calcular la suma parcial (18 ^ {th} ) de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {n left (a_ {1} + a_ {n} right)} {2} \ S_ {18} & = frac { 18 cdot left (a_ {1} + a_ {18} right)} {2} \ & = frac {18 (26 + 60)} {2} \ & = 9 (86) \ & = 774 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Hay (774 ) asientos en total.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Halla la suma de los primeros (60 ) términos de la secuencia dada: (5, 0, −5, −10, −15,… )

 
     
Respuesta
     
     

(S_ {60} = – 8,550 )

     

     
 
 
 
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