Secuencias aritméticas
Una aritmética secuencia 12 , o aritmética 906 progresión] 19116] 13 , es una secuencia de números donde cada número sucesivo es la suma del número anterior y alguna constante (d ).
(a_ {n} = a_ {n-1} + d quad color {Cerulean} {Aritmética : secuencia} )
Y debido a que (a_ {n} -a_ {n-1} = d ), la constante (d ) se llama común diferencia 14 . Por ejemplo, la secuencia de enteros impares positivos es una secuencia aritmética,
(1,3,5,7,9, ldots )
Aquí (a_ {1} = 1 ) y la diferencia entre dos términos sucesivos es (2 ). Podemos construir el término general (a_ {n} = a_ {n-1} +2 ) donde,
(a_ {1} = 1 )
(a_ {2} = a_ {1} + 2 = 1 + 2 = 3 )
(a_ {3} = a_ {2 } + 2 = 3 + 2 = 5 )
(a_ {4} = a_ {3} + 2 = 5 + 2 = 7 )
(a_ {5} = a_ {4} + 2 = 7 + 2 = 9 )
( vdots )
En general, dado el primer término (a_ {1} ) de una secuencia aritmética y su diferencia común (d ), podemos escribir lo siguiente:
( begin {array} {l} {a_ {2} = a_ {1} + d} \ {a_ {3} = a_ {2} + d = left (a_ {1} + d right) + d = a_ {1} +2 d} \ {a_ {4} = a_ {3} + d = left (a_ {1} +2 d right) + d = a_ {1} + 3 d} \ {a_ {5} = a_ {4} + d = left (a_ {1} +3 d right) + d = a_ {1} +4 d} \ { quad : : vdots} end {array} )
De esto vemos que cualquier secuencia aritmética se puede escribir en términos de su primer elemento, diferencia común e índice de la siguiente manera:
(a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d quad color {Cerulean} {Aritmética : Secuencia} )
De hecho, cualquier término general que sea lineal en (n ) define una secuencia aritmética.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su término (100 ^ {th} ): (7, 10, 13, 16, 19,… )
Solución
Comienza por encontrar la diferencia común,
(d = 10-7 = 3 )
Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos es (3 ). La secuencia es de hecho una progresión aritmética donde (a_ {1} = 7 ) y (d = 3 ).
( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = 7 + (n-1) cdot 3 \ & = 7 + 3 n- 3 \ & = 3 n + 4 end {alineado} )
Por lo tanto, podemos escribir el término general (a_ {n} = 3n + 4 ). Tómese un minuto para verificar que esta ecuación describe la secuencia dada. Use esta ecuación para encontrar el término (100 ^ {th} ):
(a_ {100} = 3 (100) + 4 = 304 )
Respuesta :
(a_ {n} = 3 n + 4; a_ {100} = 304 )
La diferencia común de una secuencia aritmética puede ser negativa.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su término (75 ^ {th} ): (6, 4, 2, 0, −2,… ) [19459012 ]
Solución
Comienza por encontrar la diferencia común,
(d = 4-6 = -2 )
Luego encuentra la fórmula para el término general, aquí (a_ {1} = 6 ) y (d = −2 ).
( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = 6 + (n-1) cdot (-2) \ & = 6- 2 n + 2 \ & = 8-2 n end {alineado} )
Por lo tanto, (a_ {n} = 8 – 2n ) y el término (75 ^ {th} ) se pueden calcular de la siguiente manera:
( begin {alineado} a_ {75} & = 8-2 (75) \ & = 8-150 \ & = – 142 end {alineado} )
Respuesta :
(a_ {n} = 8-2 n; a_ {100} = – 142 )
Los términos entre términos dados de una secuencia aritmética se denominan aritmética significa 15 .
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Encuentre todos los términos entre (a_ {1} = – 8 ) y (a_ {7} = 10 ) de una secuencia aritmética. En otras palabras, encuentre todos los medios aritméticos entre los términos (1 ^ {st} ) y (7 ^ {th} ).
Solución
Comienza por encontrar la diferencia común (d ). En este caso, se nos da el primer y el séptimo término:
( begin {array} {l} {a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d quad color {Cerulean} {Use : n = 7.}} \ { a_ {7} = a_ {1} + (7-1) d} \ {a_ {7} = a_ {1} +6 d} end {array} )
Sustituye (a_ {1} = −8 ) y (a_ {7} = 10 ) en la ecuación anterior y luego resuelve la diferencia común (d ).
( begin {alineado} 10 & = – 8 + 6 d \ 18 & = 6 d \ 3 & = d end {alineado} )
Luego, usa el primer término (a_ {1} = −8 ) y la diferencia común (d = 3 ) para encontrar una ecuación para el término (n ) de la secuencia.
( begin {alineado} a_ {n} & = – 8+ (n-1) cdot 3 \ & = – 8 + 3 n-3 \ & = – 11 + 3 n end { alineado} )
Con (a_ {n} = 3n – 11 ), donde (n ) es un entero positivo, encuentre los términos que faltan.
( left. Begin {alineado} a_ {1} & = 3 (1) -11 = 3-11 = -8 \ a_ {2} & = 3 (2) -11 = 6-11 = -5 \ a_ {3} & = 3 (3) -11 = 9-11 = -2 \ a_ {4} & = 3 (4) -11 = 12-11 = 1 \ a_ {5} & = 3 (5) -11 = 15-11 = 4 \ a_ {6} & = 3 (6) -11 = 18-11 = 7 \ a_ {7} & = 3 (7) -11 = 21 -111 = 10 end {alineado} right } color {Cerulean} {aritmética : significa} )
Respuesta :
(- 5, -2,1,4,7 )
En algunos casos, el primer término de una secuencia aritmética puede no darse.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Encuentre el término general de una secuencia aritmética donde (a_ {3} = −1 ) y (a_ {10} = 48 ).
Solución
Para determinar una fórmula para el término general necesitamos (a_ {1} ) y (d ). Se puede formar un sistema lineal con estas variables utilizando la información dada y (a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d ):
( left { begin {array} {c} {a_ {3} = a_ {1} + (3-1) d} \ {a_ {10} = a_ {1} + (10 -1) d} end {array} right. Rightarrow left { begin {array} {l} {- 1 = a_ {1} +2 d quad color {Cerulean} {Use : a_ {3} = – 1.}} \ {48 = a_ {1} +9 d quad : color {Cerulean} {Use : a_ {10} = 48.}} End {array} right . )
Elimina (a_ {1} ) multiplicando la primera ecuación por (- 1 ) y suma el resultado a la segunda ecuación.
( left { begin {array} {l} {- 1 = a_ {1} +2 d} \ {48 = a_ {1} +9 d} end {array} right. quad stackrel { color {Cerulean} {x (-1)}} { Longrightarrow} color {black} {+} left { begin {array} {l} {1 = -a_ {1} -2d} \ {48 = a_ {1} + 9d} end {array} right. \ )
( begin {alineado} 49 & = 7 d \ 7 & = d end {alineado} )
Sustituye (d = 7 ) en (- 1 = a_ {1} + 2d ) para encontrar (a_ {1} ).
(- 1 = a_ {1} +2 (7) )
(- 1 = a_ {1} +14 )
(- 15 = a_ {1} ) [ 19459012]
Luego, use el primer término (a_ {1} = −15 ) y la diferencia común (d = 7 ) para encontrar una fórmula para el término general.
( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} + (n-1) d \ & = – 15+ (n-1) cdot 7 \ & = – 15 + 7 n-7 \ & = – 22 + 7 n end {alineado} )
Respuesta :
(a_ {n} = 7 n-22 )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su término (100 ^ {th} ): ( frac {3} {2}, 2, frac {5} {2}, 3, frac {7} {2}, puntos )
- Respuesta
-
(a_ {n} = frac {1} {2} n + 1; a_ {100} = 51 )
