Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación. En la última sección, estimamos la raíz cuadrada de un número entre dos números enteros consecutivos. Podemos decir que ( sqrt {50} ) está entre 7 y 8. Esto es bastante fácil de hacer cuando los números son lo suficientemente pequeños como para usarlos [enlace] . Pero, ¿qué pasa si queremos estimar ( sqrt {500} )? Si primero simplificamos la raíz cuadrada, podremos estimarla fácilmente. También hay otras razones para simplificar las raíces cuadradas, como verá más adelante en este capítulo. Una raíz cuadrada se considera simplificada si su radicando no contiene factores cuadrados perfectos. Definición: RAÍZ CUADRADA SIMPLIFICADA ( sqrt {a} ) se considera simplificado si a no tiene factores cuadrados perfectos. Entonces ( sqrt {31} ) se simplifica. Pero ( sqrt {32} ) no está simplificado, porque 16 es un factor cuadrado perfecto de 32. Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones con raíces cuadradas son similares a las propiedades de los exponentes. Sabemos que ((ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m} ). La propiedad correspondiente de las raíces cuadradas dice que ( sqrt {ab} = sqrt {a} · sqrt {b} ). Definición: PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE RAÍCES CUADRADAS Si a , b [son números reales no negativos, entonces ( sqrt { ab} = sqrt {a} · sqrt {b} ) . Utilizamos la propiedad del producto de raíces cuadradas para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de un radical. Mostraremos cómo hacer esto en Ejemplo . Cómo usar la propiedad del producto para simplificar una raíz cuadrada Ejemplo ( PageIndex {1} ) Simplifica: ( sqrt {50} ). Ejemplo ( PageIndex {2} ) Simplifica: ( sqrt {48} ). (4 sqrt {3} ) Ejemplo ( PageIndex {3} ) Simplifica: ( sqrt {45} ). (3 sqrt {5} ) Observe en el ejemplo anterior que la forma simplificada de ( sqrt {50} ) es (5 sqrt {2} ), que es el producto de un entero y una raíz cuadrada. Siempre escribimos el número entero frente a la raíz cuadrada. Definición: SIMPLIFIQUE UNA RAÍZ CUADRADA UTILIZANDO LA PROPIEDAD DEL PRODUCTO. Ejemplo ( PageIndex {4} ) Simplifica: ( sqrt {500} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt {500}} \ { text {Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto más grande}} y { sqrt {100 · 5}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales}} y { sqrt {100} · sqrt {5}} \ { text {Simplify}} y {10 sqrt {5 }} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {5} ) Simplifica: ( sqrt {288} ). (12 sqrt {2} ) Ejemplo ( PageIndex {6} ) Simplifica: ( sqrt {432} ). (12 sqrt {3} ) Podríamos usar la forma simplificada (10 sqrt {5} ) para estimar ( sqrt {500} ). Sabemos que ( sqrt {5} ) está entre 2 y 3, y ( sqrt {500} ) es (10 sqrt {5} ). Entonces ( sqrt {500} ) está entre 20 y 30. El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables. Ejemplo ( PageIndex {7} ) Simplifica: ( sqrt {x ^ 3} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt {x ^ 3}} \ { text {Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande}} y { sqrt { x ^ 2 · x}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales}} & { sqrt {x ^ 2} · sqrt {x}} \ { text {Simplify}} & {x sqrt {x}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {8} ) Simplifica: ( sqrt {b ^ 5} ). (b ^ 2 sqrt {b} ) Ejemplo ( PageIndex {9} ) Simplifica: ( sqrt {p ^ 9} ). (p ^ 4 sqrt {p} ) También seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en el radical. Ejemplo ( PageIndex {10} ) Simplifique: ( sqrt {25y ^ 5} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt {25y ^ 5}} \ { text {Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.}} & { Sqrt {25y ^ 4 · y}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales.}} & { Sqrt {25y ^ 4} · sqrt {y}} \ { text {Simplifica. }} & {5y ^ 2 sqrt {y}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {11} ) Simplifica: ( sqrt {16x ^ 7} ). (4x ^ 3 sqrt {x} ) Ejemplo ( PageIndex {12} ) Simplifica: ( sqrt {49v ^ 9} ). (7v ^ 4 sqrt {v} ) En el siguiente ejemplo, tanto la constante como la variable tienen factores cuadrados perfectos. Ejemplo ( PageIndex {13} ) Simplifica: ( sqrt {72n ^ 7} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt {72n ^ 7}} \ { text {Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.}} & { Sqrt {36n ^ {6} · 2n}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales.}} & { Sqrt {36n ^ {6}} · sqrt {2n}} \ { texto {Simplify.}} y {6n ^ 3 sqrt {2n}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {14} ) Simplifica: ( sqrt {32y ^ 5} ). (4 años ^ 2 sqrt {2 años} ) Ejemplo ( PageIndex {15} ) Simplifica: ( sqrt {75a ^ 9} ). (5a ^ 4 sqrt {3a} ) Ejemplo ( PageIndex {16} ) Simplifique: ( sqrt {63u ^ {3} v ^ {5}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt {63u ^ {3} v ^ {5}}} \ { text {Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande .}} & { sqrt {9u ^ {2} v ^ {4} · 7uv}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales.}} & { sqrt {9u ^ {2} v ^ {4}} · sqrt {7uv}} \ { text {Simplify.}} & {3uv ^ {2} sqrt {7uv}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {17} ) Simplifique: ( sqrt {98a ^ {7} b ^ {5}} ). (7a ^ {3} b ^ {2} sqrt {2ab} ) Ejemplo ( PageIndex {18} ) Simplifique: ( sqrt {180m ^ {9} n ^ {11}} ). (6m ^ {4} n ^ {5} sqrt {5mn} ) Hemos visto cómo usar el Orden de operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. Para simplificar ( sqrt {25} + sqrt {144} ) primero debemos simplificar cada raíz cuadrada por separado, luego sumar para obtener la suma de 17. La expresión ( sqrt {17} + sqrt {7} ) no se puede simplificar; para comenzar, tendríamos que simplificar cada raíz cuadrada, pero ni 17 ni 7 contienen un factor cuadrado perfecto. En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un número entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada pero no podemos agregar la expresión resultante al entero. Ejemplo ( PageIndex {19} ) Simplifica: (3+ sqrt {32} ). [ begin {array} {ll} {} & {3+ sqrt {32}} \ { text {Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.}} Y {3+ sqrt {16 · 2}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales.}} & {3+ sqrt {16} · sqrt {2}} \ { text {Simplifica. }} & {3 + 4 sqrt {2}} \ end {array} ] Los términos no son similares y, por lo tanto, no podemos agregarlos. Intentar agregar un número entero y un radical es como tratar de agregar un número entero y una variable: ¡no son como términos! Ejemplo ( PageIndex {20} ) Simplifica: (5+ sqrt {75} ). (5 + 5 sqrt {3} ) Ejemplo ( PageIndex {21} ) Simplifica: (2+ sqrt {98} ). (2 + 7 sqrt {2} ) El siguiente ejemplo incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y el denominador. Ejemplo ( PageIndex {22} ) Simplifique: ( frac {4− sqrt {48}} {2} ). [ begin {array} {ll} {} & { frac {4− sqrt {48}} {2}} \ { text {Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande. }} & { frac {4− sqrt {16 · 3}} {2}} \ { text {Reescribe el radical como el producto de dos radicales.}} & { frac {4− sqrt {16 } · Sqrt {3}} {2}} \ { text {Simplify.}} & { Frac {4−4 sqrt {3}} {2}} \ { text {Factoriza el factor común from thenumerator.}} & { frac {4 (1− sqrt {3})} {2}} \ { text {Eliminar el factor común, 2, del thenumerator y denominador.}} & {2 (1 – sqrt {3})} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {23} ) Simplifique: ( frac {10− sqrt {75}} {5} ). (2− sqrt {3} ) Ejemplo ( PageIndex {24} ) Simplifique: ( frac {6− sqrt {45}} {3} ). (2− sqrt {5} ) Siempre que tengas que simplificar una raíz cuadrada, el primer paso que debes tomar es determinar si el radicando es un cuadrado perfecto. Una fracción cuadrada perfecta es una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son cuadrados perfectos. Ejemplo ( PageIndex {25} ) Simplifique: ( sqrt { frac {9} {64}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {9} {64}}} \ { text {Since} ( frac {3} {8}) ^ 2 } & { frac {3} {8}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {26} ) Simplifique: ( sqrt { frac {25} {16}} ). ( frac {5} {4} ) Ejemplo ( PageIndex {27} ) Simplifique: ( sqrt { frac {49} {81}} ). ( frac {7} {9} ) Si el numerador y el denominador tienen factores comunes, elimínelos. ¡Puedes encontrar una fracción cuadrada perfecta! Ejemplo ( PageIndex {28} ) Simplifique: ( sqrt { frac {45} {80}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {45} {80}}} \ { text {Simplifique primero dentro del radical. Reescribe mostrando los factores comunes del numerador y el denominador.}} & { Sqrt { frac {5 · 9} {5 · 16}}} \ { text {Simplifica la fracción eliminando factores comunes.}} & { sqrt { frac {9} {16}}} \ { text {Simplify.} ( frac {3} {4}) ^ 2 = frac {9} {16}} & { frac {3 } {4}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {29} ) Simplifique: ( sqrt { frac {75} {48}} ). ( frac {5} {4} ) Ejemplo ( PageIndex {30} ) Simplifique: ( sqrt { frac {98} {162}} ). ( frac {7} {9} ) En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción bajo el radical eliminando factores comunes. En el siguiente ejemplo, utilizaremos la propiedad del cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases similares restando sus exponentes, ( frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m-n} ), (a ne 0 ). Ejemplo ( PageIndex {31} ) Simplifique: ( sqrt { frac {m ^ 6} {m ^ 4}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {m ^ 6} {m ^ 4}}} \ { text {Simplifique la fracción dentro del radical primero}} & {} \ {} & { sqrt {m ^ 2}} \ { text {Divida las bases similares restando los exponentes.}} & {} \ { text {Simplify.}} & {m} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {32} ) Simplifique: ( sqrt { frac {a ^ 8} {a ^ 6}} ). a Ejemplo ( PageIndex {33} ) Simplifique: ( sqrt { frac {x ^ {14}} {x ^ {10}}} ). (x ^ 2 ) Ejemplo ( PageIndex {34} ) Simplifique: ( sqrt { frac {48p ^ 7} {3p ^ 3}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {48p ^ 7} {3p ^ 3}}} \ { text {Simplifique primero la fracción dentro del radical.}} & { sqrt {16p ^ 4}} \ { text {Simplify.}} & {4p ^ 2} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {35} ) Simplifique: ( sqrt { frac {75x ^ 5} {3x}} ). (5x ^ 2 ) Ejemplo ( PageIndex {36} ) Simplifique: ( sqrt { frac {72z ^ {12}} {2z ^ {10}}} ). 6z ¿Recuerdas el cociente de una propiedad de poder? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador a la potencia por separado. (( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ {m}} {b ^ {m}} ), (b ne 0 ) Podemos usar una propiedad similar para simplificar una raíz cuadrada de una fracción. Después de eliminar todos los factores comunes del numerador y el denominador, si la fracción no es un cuadrado perfecto, simplificaremos el numerador y el denominador por separado. Definición: PROPIEDAD DE COTIZACIÓN DE RAÍCES CUADRADAS Si a , b son números reales no negativos y (b ne 0 ), entonces ( sqrt { frac {a} {b}} = frac { sqrt {a}} { sqrt {b}} ) Ejemplo ( PageIndex {37} ) Simplifique: ( sqrt { frac {21} {64}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {21} {64}}} \ { text {No podemos simplificar la fracción dentro del radical. Reescribe usando la propiedad del cociente.}} & { Frac { sqrt {21}} { sqrt {64}}} \ { text {Simplifica la raíz cuadrada de 64. El numerador no se puede simplificar.}} & { frac { sqrt {21}} {8}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {38} ) Simplifique: ( sqrt { frac {19} {49}} ). ( frac { sqrt {19}} {7} ) Ejemplo ( PageIndex {39} ) Simplifique: ( sqrt { frac {28} {81}} ) ( frac {2 sqrt {7}} {9} ) Cómo usar la propiedad del cociente para simplificar una raíz cuadrada Ejemplo ( PageIndex {40} ) Simplifique: ( sqrt { frac {27m ^ 3} {196}} ). Ejemplo ( PageIndex {41} ) Simplifica: ( sqrt { frac {24p ^ 3} {49}} ) ( frac {2p sqrt {6p}} {7} ) Ejemplo ( PageIndex {42} ) Simplifica: ( sqrt { frac {48x ^ 5} {100}} ) ( frac {2x ^ 2 sqrt {3x}} {5} ) Definición: SIMPLIFIQUE UNA RAÍZ CUADRADA UTILIZANDO LA PROPIEDAD DEL COTIENTE. Ejemplo ( PageIndex {43} ) Simplifique: ( sqrt { frac {45x ^ 5} {y ^ 4}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {45x ^ 5} {y ^ 4}}} \ { text {No podemos simplificar la fracción dentro del radical. Reescribe usando la propiedad del cociente.}} & { Frac { sqrt {45x ^ 5}} { sqrt {y ^ 4}}} \ { text {Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.}} & { frac { sqrt {9x ^ 4} sqrt {5x}} {y ^ 2}} \ { text {Simplify.}} & { frac {3x ^ 2 sqrt {5x}} {y ^ 2}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {44} ) Simplifique: ( sqrt { frac {80m ^ 3} {n ^ 6}} ) ( frac {4m sqrt {5m}} {n ^ 3} ) Ejemplo ( PageIndex {45} ) Simplifique: ( sqrt { frac {54u ^ 7} {v ^ 8}} ). ( frac {3u ^ 3 sqrt {6u}} {v ^ 4} ) Asegúrese de simplificar la fracción en el radio y primero, si es posible. Ejemplo ( PageIndex {46} ) Simplifique: ( sqrt { frac {81d ^ 9} {25d ^ 4}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {81d ^ 9} {25d ^ 4}}} \ { text {Simplifique la fracción en el radicando.}} & { sqrt { frac {81d ^ 5} {25}}} \ { text {Reescribe usando la propiedad cociente.}} & { frac { sqrt {81d ^ 5}} { sqrt {25}} } \ { text {Simplifique los radicales en el numerador y el denominador.}} & { frac { sqrt {81d ^ 4} sqrt {d}} {5}} \ { text {Simplify.} } & { frac {9d ^ 2 sqrt {d}} {5}} \ end {array} ] Ejemplo ( PageIndex {47} ) Simplifique: ( sqrt { frac {64x ^ 7} {9x ^ 3}} ). ( frac {8x ^ 2} {3} ) Ejemplo ( PageIndex {48} ) Simplifique: ( sqrt { frac {16a ^ 9} {100a ^ 5}} ). ( frac {2a ^ 2} {5} ) Ejemplo ( PageIndex {49} ) Simplifique: ( sqrt { frac {18p ^ 5q ^ 7} {32pq ^ 2}} ). [ begin {array} {ll} {} & { sqrt { frac {18p ^ 5q ^ 7} {32pq ^ 2}}} \ { text {Simplifique la fracción en el radicando.} } & { sqrt { frac {9p ^ 4q ^ 5} {16}}} \ { text {Reescribe usando la propiedad cociente.}} & { frac { sqrt {9p ^ 4q ^ 5}} { sqrt {16}}} \ { text {Simplifique los radicales en el numerador y el denominador.}} & { frac { sqrt {9p ^ 4q ^ 4} sqrt {q}} {4}} { text {Simplify.}} & { frac {3p ^ 2q ^ 2 sqrt {q}} {4}} \ end {array} ] EJEMPLO ( PageIndex {50} ) Simplifique: ( sqrt { frac {50x ^ 5y ^ 3} {72x ^ 4y}} ). ( frac {5y sqrt {x}} {6} ) Ejemplo ( PageIndex {51} ) Simplifique: ( sqrt { frac {48m ^ 7n ^ 2} {125m ^ 5n ^ 9}} ). ( frac {4m sqrt {3}} {5n ^ 3 sqrt {5n}} )
Si se perdió este problema, revise [enlace] .
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Use la propiedad del producto para simplificar las raíces cuadradas
Usa la propiedad del cociente para simplificar las raíces cuadradas
9.2: Simplificar raíces cuadradas
Al final de esta sección, podrá: