Objetivos de aprendizaje
- Usa fórmulas de suma y diferencia para coseno.
- Usa fórmulas de suma y diferencia para seno.
- Usa fórmulas de suma y diferencia para tangente.
- Use fórmulas de suma y diferencia para cofunciones.
- Use fórmulas de suma y diferencia para verificar identidades.
¿Cómo se puede medir la altura de una montaña? ¿Qué pasa con la distancia de la Tierra al sol? Como muchos problemas aparentemente imposibles, confiamos en fórmulas matemáticas para encontrar las respuestas. Las identidades trigonométricas, comúnmente utilizadas en pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluido su uso en el cálculo de largas distancias.
Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950, pero los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las expresaron en términos de acordes. Estas son ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores ingresados a las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.
En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las siguientes fórmulas simplificarán muchas expresiones trigonométricas y ecuaciones. Tenga en cuenta que, en toda esta sección, el término fórmula se usa como sinónimo de la palabra identidad .
Usando las fórmulas de suma y diferencia para coseno
Encontrar el valor exacto del seno, coseno o tangente de un ángulo a menudo es más fácil si podemos reescribir el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos usar los ángulos especiales, que podemos revisar en el círculo unitario que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).
Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de modo que podamos encontrar el coseno de un ángulo dado si podemos dividirlo en la suma o diferencia de dos de los ángulos especiales (Tabla ( PageIndex { 1} )).
| Fórmula de suma para coseno | ( cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta− sin alpha sin beta ) |
| Fórmula de diferencia para coseno | ( cos ( alpha− beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta ) |
Primero, probaremos la fórmula de diferencia para cosenos. Consideremos dos puntos en el círculo unitario (Figura ( PageIndex {3} )). El punto (P ) está en ángulo ( alpha ) desde el eje positivo (x ) – con las coordenadas (( cos alpha, sin alpha) ) y el punto (Q ) está en un ángulo de ( beta ) desde el eje positivo (x ) – con coordenadas (( cos beta, sin beta) ) . Tenga en cuenta que la medida del ángulo (POQ ) es ( alpha− beta ).
Rotula dos puntos más: (A ) en un ángulo de (( alpha− beta) ) desde el eje positivo (x ) – con coordenadas (( cos ( alpha− beta), sin ( alpha− beta)) ); y punto (B ) con coordenadas ((1,0) ). Triángulo (POQ ) es una rotación del triángulo (AOB ) y, por lo tanto, la distancia de (P ) a (Q ) es la misma que la distancia de (A ) a (B ) .
Podemos encontrar la distancia desde (P ) a (Q ) usando la fórmula de la distancia.
[ begin {align *}
d_ {PQ} & = sqrt {{(cos alpha – cos beta)} ^ 2 + {(sin alpha – sin beta)} ^ 2 } \ [4pt]
& = sqrt {{ cos} ^ 2 alpha-2 cos alpha cos beta + { cos} ^ 2 beta + { sin} ^ 2 alpha-2 sin alpha sin beta + { sin} ^ 2 beta} qquad text {Aplicar identidad pitagórica y simplificar.} \ [4pt]
& = sqrt {({ cos} ^ 2 alpha + { sin} ^ 2 alpha) + ({ cos} ^ 2 beta + { sin} ^ 2 beta) -2 cos alpha cos beta-2 sin alpha sin beta} \ [4pt]
& = sqrt {1 + 1-2 cos alpha cos beta-2 sin alpha sin beta} \ [4pt]
& = sqrt { 2-2 cos alpha cos beta-2 sin alpha sin beta} qquad text {Del mismo modo, utilizando la fórmula de la distancia podemos encontrar la distancia de A a B.} \ [4pt] [ 19459037] d_ {AB} & = sqrt {{( cos ( alpha- beta) -1)} ^ 2 + {( sin ( alpha- beta) -0)} ^ 2} \ [ 4pt]
& = sqrt {{ cos} ^ 2 ( alpha- beta) -2 cos ( alpha- beta) +1 + { sin} ^ 2 ( alpha- beta) } qquad text {Aplicar identidad pitagórica y simplificar} \ [4pt]
& = sqrt {({ cos} ^ 2 ( alpha- beta) + { sin} ^ 2 ( alp ha- beta)) – 2 cos ( alpha- beta) +1} \ [4pt]
& = sqrt {1-2 cos ( alpha- beta) +1} \ [4pt]
& = sqrt {2-2 cos ( alpha- beta)} qquad text {Resta 2 de ambos lados y divide ambos lados entre −2.} \ [4pt] [19459037 ] cos alpha cos beta + sin alpha sin beta & = cos ( alpha- beta)
end {align *} ]
Por lo tanto, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos usar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.
FORMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA PARA EL COSENO
Estas fórmulas se pueden usar para calcular el coseno de sumas y las diferencias de ángulos.
[ cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta− sin alpha sin beta ]
[ cos ( alpha− beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta ]
Cómo: dados dos ángulos, encuentra el coseno de la diferencia entre los ángulos
- Escribe la fórmula de diferencia para coseno.
- Sustituye los valores de los ángulos dados en la fórmula.
- Simplifica.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar el valor exacto usando la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos
Usando la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, encuentre el valor exacto de ( cos left ( dfrac {5 pi} {4} – dfrac { pi} {6} right ) ).
Solución
Comienza escribiendo la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Luego sustituya los valores dados.
[ begin {align *} cos ( alpha- beta) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta \ [4pt] cos left ( dfrac {5 pi} {4} – dfrac { pi} {6} right) & = cos left ( dfrac {5 pi} {4} right) cos left ( dfrac { pi} {6} right) + sin left ( dfrac {5 pi} {4} right) sin left ( dfrac { pi} {6} right) \ [4pt] & = left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) – left ( dfrac { sqrt {2} } {2} right) left ( dfrac {1} {2} right) \ [4pt] & = – dfrac { sqrt {6}} {4} – dfrac { sqrt {2} } {4} \ [4pt] & = dfrac {- sqrt {6} – sqrt {2}} {4} end {align *} ]
Tenga en cuenta que siempre podemos verificar la respuesta usando una calculadora gráfica en modo radianes.
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Encuentre el valor exacto de ( cos left ( dfrac { pi} {3} – dfrac { pi} {4} right) ).
- Respuesta
-
( dfrac { sqrt {2} + sqrt {6}} {4} )
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar el valor exacto usando la fórmula para la suma de dos ángulos para coseno
Encuentre el valor exacto de ( cos (75 °) ).
Solución
Como (75 ° = 45 ° + 30 ° ), podemos evaluar ( cos (75 °) ) como ( cos (45 ° + 30 °) ).
[ begin {align *} cos ( alpha + beta) & = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta \ [4pt] cos (45 ^ { circ} +30 ^ { circ}) & = cos (45 ^ { circ}) cos (30 ^ { circ}) – sin (45 ^ { circ}) sin (30 ^ { circ}) \ [4pt] & = dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) – dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac {1} {2} right) \ [4pt] & = dfrac { sqrt {6}} {4} – dfrac { sqrt {2}} {4} [4pt] & = dfrac { sqrt {6} – sqrt {2}} {4} end {align *} ]
Tenga en cuenta que siempre podemos verificar la respuesta usando una calculadora gráfica en modo de grado.
Análisis
Tenga en cuenta que también podríamos haber resuelto este problema utilizando el hecho de que (75 ° = 135 ° −60 ° ).
[ begin {align *} cos ( alpha- beta) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta \ [4pt] cos (135 ^ { circ} -60 ^ { circ}) & = cos (135 ^ { circ}) cos (60 ^ { circ}) + sin (135 ^ { circ}) sin (60 ^ { circ}) \ [4pt] & = left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) left ( dfrac {1} {2} right) + left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) \ [4pt] & = left (- dfrac { sqrt {2}} {4} right) + left ( dfrac { sqrt {6}} {4} right) \ [4pt] & = dfrac { sqrt {6} – sqrt {2}} {4} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentre el valor exacto de ( cos (105 °) ).
- Respuesta
-
( dfrac { sqrt {2} – sqrt {6}} {4} )
Usando las fórmulas de suma y diferencia para seno
Las fórmulas de suma y diferencia para seno pueden derivarse de la misma manera que las de coseno, y se parecen a las fórmulas de coseno.
FÓRMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA PARA EL SINO
Estas fórmulas se pueden usar para calcular los senos de sumas y las diferencias de ángulos.
[ sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta ]
[ sin ( alpha− beta) = sin alpha cos beta− cos alpha sin beta ]
Cómo: dados dos ángulos, encuentra el seno de la diferencia entre los ángulos.
- Escribe la fórmula de diferencia para seno.
- Sustituye los ángulos dados en la fórmula.
- Simplifica.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos
Usa las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de los ángulos y muestra que la parte a es igual a la parte b.
- ( sin (45 ° −30 °) )
- ( sin (135 ° −120 °) )
Solución
- Comencemos escribiendo la fórmula y sustituyendo los ángulos dados.
[ begin {align *} sin ( alpha- beta) & = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta \ [4pt] sin (45 ^ { circ} -30 ^ { circ}) & = sin (45 ^ { circ}) cos (30 ^ { circ}) – cos (45 ^ { circ}) sin (30 ^ { circ}) end {align *} ]
Luego, necesitamos encontrar los valores de las expresiones trigonométricas.
( sin (45 °) = dfrac { sqrt {2}} {2} ), ( cos (30 °) = dfrac { sqrt {3}} {2} ) , ( cos (45 °) = dfrac { sqrt {2}} {2} ), ( sin (30 °) = dfrac {1} {2} )
Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar.
[ begin {align *} sin (45 ° -30 °) & = dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac { sqrt {3}} {2} derecha) – dfrac { sqrt {2}} {2} left ( dfrac {1} {2} right) \ [4pt] & = dfrac { sqrt {6} – sqrt {2} } {4} end {align *} ]
- Nuevamente, escribimos la fórmula y sustituimos los ángulos dados.
[ begin {align *} sin ( alpha- beta) & = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta \ [4pt] sin (135 ^ { circ} -120 ^ { circ}) & = sin (135 ^ { circ}) cos (120 ^ { circ}) – cos (135 ^ { circ}) sin (120 ^ { circ}) end {align *} ]
A continuación, encontramos los valores de las expresiones trigonométricas.
( sin (135 °) = dfrac { sqrt {2}} {2} ), ( cos (120 °) = – dfrac {1} {2} ), ( cos (135 °) = dfrac { sqrt {2}} {2} ), ( sin (120 °) = dfrac { sqrt {3}} {2} )
Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar.
[ begin {align *} sin (135 ^ { circ} -120 ^ { circ}) & = dfrac { sqrt {2}} {2} left (- dfrac {1 } {2} right) – left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) \ [4pt] & = dfrac { sqrt {6} – sqrt {2}} {4} end {align *} ]
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar el valor exacto de una expresión que involucra una función trigonométrica inversa
Encuentre el valor exacto de ( sin left ({ cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} + { sin} ^ {- 1} dfrac {3} {5} Correcto)). Luego verifique la respuesta con una calculadora gráfica.
Solución
El patrón que se muestra en este problema es ( sin ( alpha + beta) ). Deje que ( alpha = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) y ( beta = { sin} ^ {- 1} dfrac {3} {5} ) . Entonces podemos escribir
[ begin {align *}
cos alpha & = dfrac {1} {2}, space 0 leq alpha leq pi \ [4pt]
sin beta & = dfrac {3} {5}, space – dfrac { pi} {2} leq beta leq dfrac { pi} {2} \ [4pt]
text {We utilizará las identidades pitagóricas para encontrar} sin alpha text {y} cos beta \ [4pt]
sin alpha & = sqrt {1 – { cos} ^ 2 alpha} \ [4pt]
& = sqrt {1- dfrac {1} {4}} \ [4pt]
& = sqrt { dfrac {3} {4}} \ [4pt] [ 19459037] & = dfrac { sqrt {3}} {2} \ [4pt]
cos beta & = sqrt {1 – { sin} ^ 2 beta} \ [4pt] [19459037 ] & = sqrt {1- dfrac {9} {25}} \ [4pt]
& = sqrt { dfrac {16} {25}} \ [4pt]
& = dfrac {4} {5}
end {align *} ]
Usando la fórmula de suma para seno,
[ begin {align *} sin left ({ cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} + { sin} ^ {- 1} dfrac {3} {5 } right) & = sin ( alpha + beta) \ [4pt] & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta \ [4pt] & = dfrac { sqrt { 3}} {2} cdot dfrac {4} {5} + dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {5} \ [4pt] & = dfrac {4 sqrt {3 } +3} {10} end {align *} ]
Usando las fórmulas de suma y diferencia para tangente
Encontrar valores exactos para la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado, pero nuevamente, se trata de reconocer el patrón.
Encontrar la fórmula de la suma de dos ángulos para tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de suma para seno y coseno y simplificar. Recuerde, ( tan x = dfrac { sin x} { cos x} ), ( cos x ≠ 0 ).
Derivemos la fórmula de suma de tangente.
[ begin {align *}
tan left ( alpha + beta right) & = dfrac { sin left ( alpha + beta right)} { cos ( alpha + beta)} \ [4pt]
& = dfrac { sin alpha cos beta + cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} \ [4pt]
& = dfrac { dfrac { sin alpha cos beta + cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} { dfrac { cos alpha cos beta- sin alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} \ [4pt]
& = dfrac { dfrac { sin alpha cos beta} { cos alpha cos beta} + dfrac { cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} { dfrac { cos alpha cos beta} { cos alpha cos beta} – dfrac { sin alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} \ [4pt]
& = dfrac { dfrac { sin alpha} { cos alpha} + dfrac { sin beta} { cos beta}} {1- dfrac { sin alpha sin beta} { cos alpha cos beta}} \ [4pt]
& = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta}
end {align *} ]
Podemos derivar la fórmula de diferencia para tangente de una manera similar.
FÓRMULAS DE SUMA Y DIFERENCIA PARA TANGENTES
Las fórmulas de suma y diferencia para la tangente son:
[ tan ( alpha + beta) = dfrac { tan alpha + tan beta} {1− tan alpha tan beta} ]
[ tan ( alpha- beta) = dfrac { tan alpha- tan beta} {1+ tan alpha tan beta} ]
Cómo: dados dos ángulos, encuentra la tangente de la suma de los ángulos
- Escribe la fórmula de suma de tangente.
- Sustituye los ángulos dados en la fórmula.
- Simplifica.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar el valor exacto de una expresión que involucra tangente
Encuentre el valor exacto de ( tan left ( dfrac { pi} {6} + dfrac { pi} {4} right) ).
Solución
Primero, escriba la fórmula de suma para la tangente y luego sustituya los ángulos dados en la fórmula.
[ begin {align *}
tan ( alpha + beta) & = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta} \ [4pt]
tan left ( dfrac { pi} {6} + dfrac { pi} {4} right) & = dfrac { tan left ( dfrac { pi} { 6} right) + tan left ( dfrac { pi} {4} right)} {1- left ( tan left ( dfrac { pi} {6} right) right) left ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) right)} \ [4pt]
text {A continuación, determinamos los valores de las funciones individuales dentro de la fórmula:} \ [4pt]
tan left ( dfrac { pi} {6} right) & = dfrac {1} { sqrt {3}}, space tan left ( dfrac { pi } {4} right)
& = 1 \ [4pt]
text {Entonces tenemos} \ [4pt]
tan left ( dfrac { pi} {6} + dfrac { pi} {4} right) & = dfrac { dfrac {1} { sqrt {3}} + 1} {1- left ( dfrac {1} { sqrt {3} } right) (1)} \ [4pt]
& = dfrac { dfrac {1+ sqrt {3}} { sqrt {3}}} { dfrac { sqrt {3} – 1} { sqrt {3}}} \ [4pt]
& = dfrac {1+ sqrt {3}} { sqrt {3}} left ( dfrac { sqrt {3}} { sqrt {3} -1} right) \ [4pt]
& = dfrac { sqrt {3} +1} { sqrt {3} -1} [19459 037] end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Encuentre el valor exacto de ( tan left ( dfrac {2 pi} {3} + dfrac { pi} {4} right) ).
- Respuesta
-
( dfrac {1- sqrt {3}} {1+ sqrt {3}} )
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar múltiples sumas y diferencias de ángulos
Dado ( sin alpha = dfrac {3} {5} ), (0 < alpha < dfrac { pi} {2} ), ( cos beta = - dfrac {5} {13} ), ( pi < beta < dfrac {3 pi} {2} ), encuentra
- ( sin ( alpha + beta) )
- ( cos ( alpha + beta) )
- ( tan ( alpha + beta) )
- ( tan ( alpha− beta) )
Solución
Podemos usar las fórmulas de suma y diferencia para identificar la suma o diferencia de ángulos cuando se proporciona la razón de seno, coseno o tangente para cada uno de los ángulos individuales. Para hacerlo, construimos lo que se llama un triángulo de referencia para ayudar a encontrar cada componente de las fórmulas de suma y diferencia.
- Para encontrar ( sin ( alpha + beta) ), comenzamos con ( sin alpha = dfrac {3} {5} ) y (0 < alpha < dfrac { pi} {2} ). El lado opuesto ( alpha ) tiene longitud 3, la hipotenusa tiene longitud 5 y ( alpha ) está en el primer cuadrante. Ver Figura ( PageIndex {4} ). Usando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar la longitud del lado (a ):
[ begin {align *} a ^ 2 + 3 ^ 2 & = 5 ^ 2 \ [4pt] a ^ 2 & = 16 \ [4pt] a & = 4 end {align *} ] [19459003 ]
Dado que ( cos beta = – dfrac {5} {13} ) y ( pi < beta < dfrac {3 pi} {2} ), el lado adyacente a ( beta ) es (- 5 ), la hipotenusa es (13 ) y ( beta ) está en el tercer cuadrante. Ver Figura ( PageIndex {5} ). Nuevamente, usando el Teorema de Pitágoras, tenemos
[ begin {align *} {(-5)} ^ 2 + a ^ 2 & = {13} ^ 2 \ [4pt] 25 + a ^ 2 & = 169 \ [4pt] a ^ 2 & = 144 \ [4pt] a & = pm 12 end {align *} ]
Dado que ( beta ) está en el tercer cuadrante, (a = –12 ).
El siguiente paso es encontrar el coseno de ( alpha ) y el seno de ( beta ). El coseno de α α es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Podemos encontrarlo desde el triángulo en la Figura ( PageIndex {5} ): ( cos alpha = dfrac {4} {5} ). También podemos encontrar el seno de ( beta ) desde el triángulo en la Figura ( PageIndex {5} ), como el lado opuesto sobre la hipotenusa: ( sin beta = – dfrac {12} {13 } ). Ahora estamos listos para evaluar ( sin ( alpha + beta) ).
[ begin {align *} sin ( alpha + beta) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta \ [4pt] & = left ( dfrac { 3} {5} right) left (- dfrac {5} {13} right) + left ( dfrac {4} {5} right) left (- dfrac {12} {13} right) \ [4pt] & = – dfrac {15} {65} – dfrac {48} {65} \ [4pt] & = – dfrac {63} {65} end {align *} ]
- Podemos encontrar ( cos ( alpha + beta) ) de manera similar. Sustituimos los valores de acuerdo con la fórmula.
[ begin {align *} cos ( alpha + beta) & = cos alpha cos beta- sin alpha sin beta \ [4pt] & = left ( dfrac {4} {5} right) left (- dfrac {5} {13} right) – left ( dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {12} {13 } right) \ [4pt] & = – dfrac {20} {65} + dfrac {36} {65} \ [4pt] & = dfrac {16} {65} end {align *} ]
- Para ( tan ( alpha + beta) ), if ( sin alpha = dfrac {3} {5} ) y ( cos alpha = dfrac {4} {5 } ), luego
( tan alpha = dfrac { dfrac {3} {5}} { dfrac {4} {5}} = dfrac {3} {4} )
Si ( sin beta = – dfrac {12} {13} ) y ( cos beta = – dfrac {5} {13} ), entonces
( tan beta = dfrac {- dfrac {12} {13}} {- dfrac {5} {13}} = dfrac {12} {5} )
Entonces,
[ begin {align *}
tan ( alpha + beta) & = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta} \ [4pt]
& = dfrac { dfrac {3} {4} + dfrac {12} {5}} {1- dfrac {3} {4} ( dfrac {12} {5}) } \ [4pt]
& = dfrac { dfrac {63} {20}} {- dfrac {16} {20}} \ [4pt]
& = – dfrac {63} {16}
end {align *} ]
- Para encontrar ( tan ( alpha− beta) ), tenemos los valores que necesitamos. Podemos sustituirlos y evaluarlos.
[ begin {align *}
tan ( alpha- beta) & = dfrac { tan alpha- tan beta} {1+ tan alpha tan beta} \ [4pt]
& = dfrac { dfrac {3} {4} – dfrac {12} {5}} {1+ dfrac {3} {4} ( dfrac {12} {5 })} \ [4pt]
& = dfrac {- dfrac {33} {20}} { dfrac {56} {20}} \ [4pt]
& = – dfrac { 33} {56}
end {align *} ]
Análisis
Un error común al abordar problemas como este es que podemos sentir la tentación de pensar que ( alpha ) y ( beta ) son ángulos en el mismo triángulo, que por supuesto no lo son. También tenga en cuenta que
( tan ( alpha + beta) = sin ( alpha + beta) cos ( alpha + beta) )
Uso de fórmulas de suma y diferencia para funciones
Ahora que podemos encontrar las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y las diferencias de ángulos, podemos usarlas para hacer lo mismo para sus cofunciones. Puede recordar de Trigonometría del triángulo rectángulo que, si la suma de dos ángulos positivos es ( dfrac { pi} {2} ), esos dos ángulos son complementos y la suma de los dos agudos los ángulos en un triángulo rectángulo son ( dfrac { pi} {2} ), por lo que también son complementos. En la Figura ( PageIndex {6} ), observe que si uno de los ángulos agudos está etiquetado como ( theta ), entonces el otro ángulo agudo debe etiquetarse (( dfrac { pi} {2} – theta) ).
Observe también que ( sin theta = cos ( dfrac { pi} {2} – theta) ), que es opuesto a la hipotenusa. Por lo tanto, cuando dos ángulos son complementarios, podemos decir que el seno de ( theta ) es igual a la función del complemento de ( theta ). Del mismo modo, tangente y cotangente son cofunciones, y secante y cosecante son cofunciones.
A partir de estas relaciones, se forman las identidades cofuncionales. Recuerde que por primera vez encontró estas identidades en El círculo de la unidad: funciones seno y coseno .
IDENTIDADES DE COFUNCIÓN
Las identidades de cofunciones se resumen en la Tabla ( PageIndex {2} ).
| ( sin theta = cos left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ) | ( cos theta = sin left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ) |
| ( tan theta = cot left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ) | ( cot theta = tan left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ) |
| ( sec theta = csc left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ) | ( csc theta = sec left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ) |
Observe que las fórmulas en la tabla también pueden justificarse algebraicamente usando las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, usando
( cos ( alpha- beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta )
Podemos escribir
[ begin {align *} cos left ( dfrac { pi} {2} – theta right) & = cos dfrac { pi} {2} cos theta + sin dfrac { pi} {2} sin theta \ [4pt] [5pt] & = (0) cos theta + (1) sin theta \ [4pt] [5pt] & = sin theta end {align *} ]
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar una función con el mismo valor que la expresión dada
Escriba ( tan dfrac { pi} {9} ) en términos de su función.
Solución
La función de ( tan theta = cot left ( dfrac { pi} {2} – theta right) ). Por lo tanto,
[ begin {align *} tan left ( dfrac { pi} {9} right) & = cot left ( dfrac { pi} {2} – dfrac { pi } {9} right) \ [4pt] & = cot left ( dfrac {9 pi} {18} – dfrac {2 pi} {18} right) \ [4pt] & = cot left ( dfrac {7 pi} {18} right) end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Escriba ( sin dfrac { pi} {7} ) en términos de su cofunción .
- Respuesta
-
( cos left ( dfrac {5 pi} {14} right) )
Usando las fórmulas de suma y diferencia para verificar identidades
Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Es útil estar muy familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se resuelven los problemas. Revisar las reglas generales presentadas anteriormente puede ayudar a simplificar el proceso de verificación de una identidad.
Cómo: dada una identidad, verificar usando fórmulas de suma y diferencia
- Comienza con la expresión en el lado del signo igual que parece más complejo. Reescribe esa expresión hasta que coincida con el otro lado del signo igual. Ocasionalmente, podríamos tener que alterar ambos lados, pero trabajar en un solo lado es el más eficiente.
- Busque oportunidades para usar las fórmulas de suma y diferencia.
- Reescriba sumas o diferencias de cocientes como cocientes simples.
- Si el proceso se vuelve engorroso, reescribe la expresión en términos de senos y cosenos.
Ejemplo ( PageIndex {8A} ): Verificación de una identidad que involucra seno
Verifique la identidad ( sin ( alpha + beta) + sin ( alpha− beta) = 2 sin alpha cos beta ).
Solución
Vemos que el lado izquierdo de la ecuación incluye los senos de la suma y la diferencia de ángulos.
( sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta )
( sin ( alpha- beta) = sin alpha cos beta- cos alpha sin beta )
Podemos reescribir cada uno usando las fórmulas de suma y diferencia.
[ begin {align *} sin ( alpha + beta) + sin ( alpha- beta) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta + sin alpha cos beta- cos alpha sin beta \ [4pt] & = 2 sin alpha cos beta end {align *} ]
Vemos que se verifica la identidad.
Ejemplo ( PageIndex {8B} ): Verificación de una identidad con tangente
Verifique la siguiente identidad.
( dfrac { sin ( alpha− beta)} { cos alpha cos beta} = tan alpha− tan beta )
Solución
Podemos comenzar reescribiendo el numerador en el lado izquierdo de la ecuación.
[ begin {align *} dfrac { sin ( alpha- beta)} { cos alpha cos beta} & = dfrac { sin alpha cos beta- cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta} \ [4pt] & = dfrac { sin alpha cos beta} { cos alpha cos beta} – dfrac { cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta} qquad text {Reescribir usando un denominador común} \ [4pt] & = dfrac { sin alpha} { cos alpha } – dfrac { sin beta} { cos beta} qquad text {Cancelar} \ [4pt] & = tan alpha- tan beta text qquad text {Reescriba en términos de tangente} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {8} ):
Verifique la identidad: ( tan ( pi− theta) = – tan theta ).
- Respuesta
-
[ begin {align *} tan ( pi- theta) & = dfrac { tan ( pi) – tan theta} {1+ tan ( pi) tan theta } \ [4pt] & = dfrac {0- tan theta} {1 + 0 cdot tan theta} \ [4pt] & = – tan theta end {align *} ] [ 19459003]
Ejemplo ( PageIndex {9A} ): Uso de fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación
Deje que (L_1 ) y (L_2 ) denotan dos líneas de intersección no verticales, y deje que (θ ) denote el ángulo agudo entre (L_1 ) y (L_2 ). Ver Figura ( PageIndex {7} ). Demuestre que
( tan theta = dfrac {m_2-m_1} {1 + m_1m_2} )
donde (m_1 ) y (m_2 ) son las pendientes de (L_1 ) y (L_2 ) respectivamente. ( Sugerencia: Utilice el hecho de que ( tan theta_1 = m_1 ) y ( tan theta_2 = m_2 ).)
Solución
Usando la fórmula de diferencia para la tangente, este problema no parece tan desalentador como podría parecer.
[ begin {align *} tan theta & = tan ( theta_2- theta_1) \ [4pt] & = dfrac { tan theta_2- tan theta_1} {1+ tan theta_1 tan theta_2} \ [4pt] & = dfrac {m_2-m_1} {1 + m_1m_2} end {align *} ]
Ejemplo ( PageIndex {9B} ): Investigación de un problema de Guy-Wire
Para un muro de escalada, se conecta un cable de sujeción (R ) (47 ) pies de altura en un poste vertical. El soporte adicional es proporcionado por otro cable de conexión (S ) conectado (40 ) pies sobre el suelo en el mismo poste. Si los cables están unidos al suelo (50 ) pies del poste, encuentre el ángulo ( alpha ) entre los cables. Ver Figura ( PageIndex {8} ).
Solución
Primero resumamos la información que podemos recopilar del diagrama. Como solo se conocen los lados adyacentes al ángulo recto, podemos usar la función tangente. Observe que ( tan beta = dfrac {47} {50} ) y ( tan ( beta− alpha) = dfrac {40} {50} = dfrac {4} {5} ). Entonces podemos usar la fórmula de diferencia para la tangente.
[ begin {align *}
tan ( beta- alpha) & = dfrac { tan beta- tan alpha} {1+ tan beta tan alpha} \ [4pt]
text {Ahora, sustituyendo los valores que conocemos en la fórmula, tenemos} \ [4pt]
dfrac {4} {5} & = dfrac { dfrac {47 } {50} – tan alpha} {1+ dfrac {47} {50} tan alpha} \ [4pt]
4 (1+ dfrac {47} {50} tan alpha ) & = 5 ( dfrac {47} {50} – tan alpha) \ [4pt]
text {Use la propiedad distributiva y luego simplifique las funciones.} \ [4pt]
4 (1) +4 ( dfrac {47} {50}) tan alpha & = 5 ( dfrac {47} {50}) – 5 tan alpha \ [4pt]
4 + 3.76 tan alpha & = 4.7-5 tan alpha \ [4pt]
5 tan alpha + 3.76 tan alpha & = 0.7 \ [4pt]
8.76 tan alpha & = 0.7 \ [ 4pt]
tan alpha & approx 0.07991 \ [4pt]
{tan} ^ {- 1} (0.07991) & approx .079741 \ [4pt]
text {Ahora podemos calcule el ángulo en grados.} \ [4pt]
alpha & approx 0.079741 ( dfrac {180} { pi}) \ [4pt]
& approx 4.57 ^ { circ} [19459037 ] end {align *} ]
Análisis
Occasionally, when an application appears that includes a right triangle, we may think that solving is a matter of applying the Pythagorean Theorem. That may be partially true, but it depends on what the problem is asking and what information is given.
Medios
Access these online resources for additional instruction and practice with sum and difference identities.
Key Equations
| Sum Formula for Cosine | (cos(alpha+beta)=cos alpha cos beta−sin alpha sin beta) |
| Difference Formula for Cosine | (cos(alpha-beta)=cos alpha cos beta+sin alpha sin beta) |
| Sum Formula for Sine | (sin(alpha+beta)=sin alpha cos beta+cos alpha sin beta) |
| Difference Formula for Sine | (sin(alpha-beta)=sin alpha cos beta-cos alpha sin beta) |
| Sum Formula for Tangent | (tan(alpha+beta)=dfrac{tan alpha+tan beta}{1-tan alpha tan beta}) |
| Difference Formula for Tangent | [cos(alpha−beta)=cos alpha cos beta+sin alpha sin beta] |
|
Cofunction identities |
(sin theta=cos(dfrac{pi}{2}-theta)) (cos theta=sin(dfrac{pi}{2}-theta)) (tan theta=cot(dfrac{pi}{2}-theta)) (cot theta=tan(dfrac{pi}{2}-theta)) (sec theta=csc(dfrac{pi}{2}-theta)) (csc theta=sec(dfrac{pi}{2}-theta)) |
Key Concepts
- The sum formula for cosines states that the cosine of the sum of two angles equals the product of the cosines of the angles minus the product of the sines of the angles. The difference formula for cosines states that the cosine of the difference of two angles equals the product of the cosines of the angles plus the product of the sines of the angles.
- The sum and difference formulas can be used to find the exact values of the sine, cosine, or tangent of an angle. See Example (PageIndex{1}) and Example (PageIndex{2}).
- The sum formula for sines states that the sine of the sum of two angles equals the product of the sine of the first angle and cosine of the second angle plus the product of the cosine of the first angle and the sine of the second angle. The difference formula for sines states that the sine of the difference of two angles equals the product of the sine of the first angle and cosine of the second angle minus the product of the cosine of the first angle and the sine of the second angle. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
- The sum and difference formulas for sine and cosine can also be used for inverse trigonometric functions. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
- The sum formula for tangent states that the tangent of the sum of two angles equals the sum of the tangents of the angles divided by (1) minus the product of the tangents of the angles. The difference formula for tangent states that the tangent of the difference of two angles equals the difference of the tangents of the angles divided by (1) plus the product of the tangents of the angles. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
- The Pythagorean Theorem along with the sum and difference formulas can be used to find multiple sums and differences of angles. Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).
- The cofunction identities apply to complementary angles and pairs of reciprocal functions. Ver Ejemplo ( PageIndex {7} ).
- Sum and difference formulas are useful in verifying identities. See Example (PageIndex{8}) and Example (PageIndex{9}).
- Application problems are often easier to solve by using sum and difference formulas. See Example (PageIndex{10}) and Example (PageIndex{11}).