9.3: Propiedades de división de radicales

9.3: Propiedades de división de radicales

Cada una de las ecuaciones (x ^ 2 = a ) y (x ^ 2 = b ) tiene una solución positiva única, (x = sqrt {a} ) y (x = sqrt {b} ), respectivamente, siempre que (a ) y (b ) sean números reales positivos. Además, debido a que son soluciones, pueden sustituirse en las ecuaciones (x ^ 2 = a ) y (x ^ 2 = b ) para producir los resultados

respectivamente. Estos resultados dependen del hecho de que ayb son números reales positivos.

siempre que (a ) y (b ) sean números reales positivos. Sin embargo, tenga en cuenta que

[ left ( frac { sqrt {a}} { sqrt {b}} right) ^ 2 = frac {( sqrt {a}) ^ 2} {( sqrt {b}) ^ 2} = frac {a} {b}, nonumber ]

haciendo ( frac { sqrt {a}} { sqrt {b}} ) Una segunda solución positiva de (x ^ 2 = frac {a} {b} ). Sin embargo, debido a que ( sqrt { frac {a} {b}} ) es la única solución positiva de (x ^ 2 = frac {a} {b} ), esto fuerza

Esta discusión nos lleva a la siguiente propiedad de los radicales.

Este resultado se puede utilizar de dos maneras distintas.

Forma radical simple continuada

 

David y Martha están trabajando nuevamente en un problema de tarea. Martha obtiene la solución ( sqrt { frac {1} {12}} ), pero la solución de David ( frac {1} {(2 sqrt {3})} ) es aparentemente diferente. Habiendo aprendido su lección en una tarea anterior, usan sus calculadoras para encontrar aproximaciones decimales de sus soluciones. La aproximación de Martha se muestra en Figura 2 (a) y la aproximación de David se muestra en Figura 2 (b).

 
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Figura 2. Comparación de Martha’s ( sqrt { frac {1} {12}} ) con David’s ( frac {1} {(2 sqrt {3})} )
 

Martha encuentra que ( sqrt { frac {1} {12}} aproximadamente 0.2886751346 ) y David descubre que ( frac {1} {(2 sqrt {3})} aprox 0.2886751346 ) Llegan a la conclusión de que sus respuestas coinciden, pero quieren saber por qué respuestas tan diferentes son idénticas.

 

El siguiente cálculo muestra por qué el resultado de Martha es idéntico al de David. Primero, use la propiedad de división de radicales ( Propiedad 1 ) para sacar la raíz cuadrada de numerador y denominador.

 

[ sqrt { frac {1} {12}} = frac { sqrt {1}} { sqrt {12}} = frac {1} { sqrt {12}} ] [ 19459001]  

Luego, usa la «primera guía para la forma radical simple» y factoriza un cuadrado perfecto del denominador.

 

[ frac {1} { sqrt {12}} = frac {1} { sqrt {4} sqrt {3}} = frac {1} {2 sqrt {3}} ]

 

Esto demuestra claramente que las soluciones de David y Martha son idénticas.

 

De hecho, hay otras formas posibles para la solución del ejercicio de tarea de David y Martha. Comience con la solución de Martha, luego multiplique tanto el numerador como el denominador de la fracción bajo el radical por 3.

 

[ sqrt { frac {1} {12}} = sqrt { frac {1} {12} cdot frac {3} {3}} = sqrt { frac {3} { 36}} ]

 

Ahora, usa la propiedad de división de radicales ( Propiedad 1 ), tomando la raíz cuadrada de numerador y denominador.

 

[ sqrt { frac {3} {36}} = frac { sqrt {3}} { sqrt {36}} = frac { sqrt {3}} {6} ] [ 19459001]  

Tenga en cuenta que la aproximación de aproximaciones de ( frac { sqrt {3}} {6} ) en Figura 3 es idéntica a las aproximaciones de Martha y David en Figuras 2 [19459009 ] (a y B).

 
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Figura 3. Encontrar una aproximación de ( frac { sqrt {3}} {6} )
 

Mientras que las tres formas de solución ( ( sqrt { frac {1} {12}} ), ( frac {1} {(2 sqrt {3})} ) y ( frac { sqrt {3}} {6} )) son idénticos, es muy frustrante tener tantas formas, particularmente cuando queremos comparar soluciones. Entonces, nos vemos obligados a establecer dos pautas más para una forma radical simple.

 
 

La segunda guía para la forma radical simple

 

No deje fracciones bajo un radical.

 
 

Por lo tanto, Martha’s ( sqrt { frac {1} {12}} ) no está en forma radical simple, porque contiene una fracción debajo del radical.

 
 

La tercera guía para la forma radical simple

 

No deje radicales en el denominador de una fracción.

 
 

Por lo tanto, la ( frac {1} {(2 sqrt {3})} ) de David no está en forma radical simple, porque el denominador de su fracción contiene un radical.

 

Solo la forma equivalente ( frac { sqrt {3}} {6} ) obedece a las tres reglas de forma radical simple.

 
         
  1. No es posible factorizar un cuadrado perfecto de ningún radical en la expresión ( frac { sqrt {3}} {6} ).
  2.      
  3.      

    No hay fracciones bajo un radical en la expresión ( frac { sqrt {3}} {6} ).

         
  4.      
  5.      

    El denominador en la expresión ( frac { sqrt {3}} {6} ) no contiene radicales.

         
  6.  
 

En este texto y en este curso, siempre seguiremos las tres pautas para una forma radical simple.

 
 

Forma radical simple

 

Cuando su respuesta es una expresión radical:

 
         
  1. Si es posible, factoriza un cuadrado perfecto.
  2.      
  3. No dejes fracciones bajo un radical.
  4.      
  5. No deje radicales en el denominador de una fracción.
  6.  
 
 

En los ejemplos que siguen (y en los ejercicios), es útil si conoce los cuadrados de los primeros 25 enteros positivos. Los hemos incluido en el margen para usted en Tabla 1 para referencia futura.

 

Coloquemos algunas expresiones radicales en forma radical simple. Comenzaremos con algunas expresiones radicales que contienen fracciones debajo de un radical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Coloque la expresión ( sqrt { frac {1} {8}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

La expresión ( sqrt { frac {1} {8}} ) contiene una fracción bajo un radical. Podríamos sacar la raíz cuadrada del numerador y el denominador, pero eso produciría ( frac { sqrt {1}} { sqrt {8}} ), que pone un radical en el denominador.

 

La mejor estrategia es cambiar la forma de ( frac {1} {8} ) para que tengamos un cuadrado perfecto en el denominador antes de sacar la raíz cuadrada del numerador y denominador. Notamos que si multiplicamos 8 por 2, el resultado es 16, un cuadrado perfecto. Esto es esperanzador, por lo que comenzamos la simplificación multiplicando tanto el numerador como el denominador de ( frac {1} {8} ) por 2.

 

( sqrt { frac {1} {8}} = sqrt { frac {1} {8} cdot frac {2} {2}} = sqrt { frac {2} { 16}} )

 

Ahora tomamos la raíz cuadrada de numerador y denominador. Como el denominador es ahora un cuadrado perfecto, el resultado no tendrá un radical en el denominador.

 

( sqrt { frac {2} {16}} = frac { sqrt {2}} { sqrt {16}} = frac { sqrt {2}} {4} ) [ 19459001]  

Este último resultado, ( frac { sqrt {2}} {4} ) está en forma radical simple. No es posible factorizar un cuadrado perfecto a partir de ningún radical, no hay fracciones debajo de ningún radical y el denominador está libre de radicales.

 

Puede verificar fácilmente su solución usando su calculadora para comparar la expresión original con su forma radical simple. En Figura 4 (a), hemos aproximado la expresión original, ( sqrt { frac {1} {8}} ). En Figura 4 (b), hemos aproximado nuestra forma radical simple ( frac { sqrt {2}} {4} ). Tenga en cuenta que producen aproximaciones decimales idénticas.

 
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Figura 4. Comparando ( sqrt { frac {1} {8}} ) y ( frac { sqrt {2}} {4} )
[ 19459014]  
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Coloque ( sqrt { frac {3} {20}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

Siguiendo el ejemplo del Ejemplo 2 , notamos que (5 cdot 20 = 100 ), un cuadrado perfecto. Entonces, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 5, luego tomamos la raíz cuadrada del numerador y el denominador una vez que tenemos un cuadrado perfecto en el denominador.

 

( sqrt { frac {3} {20}} = sqrt { frac {3} {20} cdot frac {5} {5}} = sqrt { frac {15} { 100}} = frac { sqrt {15}} { sqrt {100}} = frac { sqrt {15}} {10} )

 

Tenga en cuenta que la aproximación decimal de la forma radical simple ( frac { sqrt {15}} {10} ) en Figura 5 (b) coincide con la aproximación decimal de la expresión original ( frac {3} {20} ) en Figura 5 (a).

 
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Figura 5. Comparando el original ( sqrt { frac {3} {20}} ) con la forma radical simple ( frac { sqrt {15}} {10} )
 
 

Ahora mostraremos cómo lidiar con una expresión que tiene un radical en su denominador, pero primero hacemos una pausa para explicar una nueva pieza de terminología.

 
 

Racionalizando el Denominador

 

El proceso de eliminación de radicales del denominador se llama racionalizando el denominador porque da como resultado una fracción donde el denominador está libre de radicales y es un número racional.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Coloque la expresión ( frac {5} { sqrt {18}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

En los ejemplos anteriores, hacer del denominador un cuadrado perfecto parecía una buena táctica. Aplicamos la misma táctica en este ejemplo, notando que (2 cdot 18 = 36 ) es un cuadrado perfecto. Sin embargo, la estrategia es ligeramente diferente, ya que comenzamos la solución multiplicando tanto el numerador como el denominador por ( sqrt {2} ).

 

[ frac {5} { sqrt {18}} = frac {5} { sqrt {18}} cdot frac { sqrt {2}} { sqrt {2}} ]

 

Ahora multiplicamos numeradores y denominadores. En el denominador, se usa la propiedad de multiplicación de radicales, ( sqrt {18} sqrt {2} = sqrt {36} ).

 

[ frac {5} { sqrt {18}} cdot frac { sqrt {2}} { sqrt {2}} = frac {5 sqrt {2}} { sqrt { 36}} ]

 

La estrategia ahora debería ser clara. Debido a que el denominador es un cuadrado perfecto, ( sqrt {36} = 6 ), borrando todos los radicales del denominador de nuestro resultado.

 

[ frac {5 sqrt {2}} { sqrt {36}} = frac {5 sqrt {2}} {6} ]

 

El último resultado está en forma radical simple. No es posible extraer una raíz cuadrada perfecta de ningún radical, no hay fracciones debajo de ningún radical y el denominador está libre de radicales.

 

En Figura 6 , comparamos la aproximación para nuestra expresión original con ( frac {5} { sqrt {18}} ) nuestra forma radical simple ( frac {5 sqrt {2}} {6} ).

 
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Figura 6. Comparación de ( frac {5} { sqrt {18}} ) con ( frac {5 sqrt {2}} {6} )
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Coloque la expresión ( frac {18} { sqrt {27}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que (3 cdot 27 = 81 ) es un cuadrado perfecto. Comenzamos multiplicando tanto el numerador como el denominador de nuestra expresión ( sqrt {3} ).

 

( frac {18} { sqrt {27}} = frac {18} { sqrt {27}} cdot frac { sqrt {3}} { sqrt {3}} )

 

Multiplica numeradores y denominadores. En los denominadores, ( sqrt {27} sqrt {3} = sqrt {81} )

 

( frac {18} { sqrt {27}} cdot frac { sqrt {3}} { sqrt {3}} = frac {18 sqrt {3}} { sqrt { 81}} )

 

Por supuesto, ( sqrt {81} = 9 ), entonces

 

( frac {18 sqrt {3}} { sqrt {81}} = frac {18 sqrt {3}} {9} )

 

Ahora podemos reducir a los términos más bajos, dividiendo el numerador y el denominador entre 9.

 

( frac {18 sqrt {3}} {9} = 2 sqrt {3} )

 

En Figura 7 , comparamos aproximaciones de la expresión original ( frac {18} { sqrt {27}} ) y su forma radical simple (2 sqrt {3} )

 
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Figura 7. Comparando ( frac {18} { sqrt {27}} ) con su forma radical simple (2 sqrt {3} ).
 
   

Consejos útiles

 

En la sección anterior, aprendimos que si cuadras un producto de expresiones exponenciales, multiplicas cada uno de los exponentes por 2.

 

((2 ^ {3} 3 ^ {4} 5 ^ {5}) ^ 2 = 2 ^ {6} 3 ^ {8} 5 ^ {10} )

 

Debido a que sacar la raíz cuadrada es el «inverso» de la cuadratura, dividimos cada uno de los exponentes por 2.

 

( sqrt {2 ^ {6} 3 ^ {8} 5 ^ {10}} = 2 ^ {3} 3 ^ {4} 5 ^ {5} )

 

También aprendimos que la factorización prima es una herramienta extremadamente poderosa que es bastante útil al colocar expresiones radicales en forma radical simple. Veremos que esto es aún más cierto en esta sección.

 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Coloque la expresión ( sqrt { frac {1} {98}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

A veces no es fácil descubrir cómo escalar el denominador para obtener un cuadrado perfecto, incluso cuando se proporciona una tabla de cuadrados perfectos. Esto es cuando la factorización ización puede venir al rescate y proporcionar una pista. Entonces, primero exprese el denominador como un producto de primos en forma exponencial: (98 = 2 cdot 49 = 2 cdot 7 ^ 2 )

 

( sqrt { frac {1} {98}} = sqrt { frac {1} {2 cdot 7 ^ 2}} )

 

Ahora podemos ver fácilmente qué impide que el denominador sea un cuadrado perfecto. El problema es el hecho de que no todos los exponentes en el denominador son divisibles por 2. Podemos remediar esto multiplicando tanto el numerador como el denominador por 2.

 

( sqrt { frac {1} {2 cdot 7 ^ 2}} = sqrt { frac {1} {2 cdot 7 ^ 2} cdot frac {2} {2}} = sqrt { frac {2} {2 ^ {2} 7 ^ {2}}} )

 

Tenga en cuenta que cada primo en el denominador ahora tiene un exponente que es divisible por 2. Ahora podemos tomar la raíz cuadrada de numerador y denominador.

 

( sqrt { frac {2} {2 ^ {2} 7 ^ {2}}} = frac { sqrt {2}} { sqrt {2 ^ {2} 7 ^ {2} }} )

 

Toma la raíz cuadrada del denominador dividiendo cada exponente por 2.

 

( frac { sqrt {2}} { sqrt {2 ^ {2} 7 ^ {2}}} = frac { sqrt {2}} {2 ^ {1} cdot 7 ^ {1}} )

 

Entonces, por supuesto, (2 cdot 7 = 14 ).

 

( frac { sqrt {2}} {2 cdot 7} = frac { sqrt {2}} {14} )

 

En Figura 8 , observe cómo las aproximaciones decimales de la expresión original ( sqrt { frac {1} {98}} ) y su forma radical simple ( frac { sqrt {2}} {14} ) coincidencia, evidencia sólida de que hemos encontrado la forma radical simple correcta. Es decir, no podemos sacar un cuadrado perfecto de ningún radical, no hay fracciones debajo de ningún radical, y los denominadores están libres de todos los radicales.

 
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Figura 8. Comparando el original ( sqrt { frac {1} {98}} ) con su forma radical simple ( frac { sqrt {2}} {14} )
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Coloque la expresión ( frac {12} { sqrt {54}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

Factoriza el denominador: (54 = 2 cdot 27 = 2 cdot 3 ^ 3 ).

 

( frac {12} { sqrt {54}} = frac {12} { sqrt {2 cdot 3 ^ 3}} )

 

Ninguno de los primos en el denominador tiene un exponente divisible por 2. Si tuviéramos otros 2 y uno más 3, entonces los exponentes serían divisibles por 2. Esto nos anima a multiplicar tanto el numerador como el denominador por ( sqrt {2 cdot 3} ).

 

( frac {12} { sqrt {2 cdot 3 ^ 3}} = frac {12} { sqrt {2 cdot 3 ^ 3}} cdot frac { sqrt {2 cdot 3}} { sqrt {2 cdot 3}} = frac {12 sqrt {2 cdot 3}} { sqrt {2 ^ {2} 3 ^ 4}} )

 

Divide cada uno de los exponentes en el denominador por 2.

 

( frac {12 sqrt {2 cdot 3}} { sqrt {2 ^ {2} 3 ^ 4}} = frac {12 sqrt {2 cdot 3}} {2 ^ { 1} cdot 3 ^ 2} )

 

Luego, en el numerador, (2 cdot 3 = 6 ), y en el denominador, (2 cdot 3 ^ 2 = 18 ).

 

( frac {12 sqrt {2 cdot 3}} {2 cdot 3 ^ {2}} = frac {12 sqrt {6}} {18} )

 

Finalmente, reduzca a los términos más bajos dividiendo tanto el numerador como el denominador entre 6.

 

( frac {12 sqrt {6}} {18} = frac {2 sqrt {6}} {3} )

 

En Figura 9 , la aproximación para la expresión original ( frac {12} { sqrt {54}} ) coincide con la de su forma radical simple ( frac {2 sqrt {6}} {3} )

 
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Figura 9. Comparando el original ( frac {12} { sqrt {54}} ) con su forma radical simple ( frac {2 sqrt {6}} {3 } )
 
 

Expresiones variables

 

Si x es cualquier número real, recuerde nuevamente que

 

[ sqrt {x ^ 2} = | x | nonumber ]

 

Si combinamos la ley de exponentes para cuadrar un cociente con nuestra propiedad para tomar la raíz cuadrada de un cociente, podemos escribir

 

[ sqrt {( frac {a} {b}) ^ 2} = sqrt { frac {a ^ 2} {b ^ 2}} = frac { sqrt {a ^ 2}} { sqrt {b ^ 2}} nonumber ]

 

Sin embargo, ( sqrt {( frac {a} {b}) ^ 2} = | frac {a} {b} | ), mientras que ( frac { sqrt {a ^ 2} } { sqrt {b ^ 2}} = frac {| a |} {| b |} ). Esta discusión lleva al siguiente resultado clave.

 
 

Regla del cociente para el valor absoluto

 

Si ayb son números reales, entonces

 

[ left | dfrac {a} {b} right | = frac {| a |} {| b |} nonumber ]

 

proporcionó (b ne 0 ). En palabras, el valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

 
 

Vimos esta propiedad anteriormente en el capítulo sobre la función de valor absoluto, donde proporcionamos un enfoque diferente para la prueba de la propiedad. Es interesante que podamos probar esta propiedad de una manera completamente nueva usando las propiedades de la raíz cuadrada. Veremos que necesitamos la regla del cociente para el valor absoluto en los ejemplos que siguen.

 

Por ejemplo, si x es cualquier número real excepto cero, usando la regla del cociente para el valor absoluto podríamos escribir

 

[ left | dfrac {3} {x} right | = frac {| 3 |} {| x |} = frac {3} {| x |} nonumber ]

 

Sin embargo, no hay forma de eliminar las barras de valor absoluto que rodean x a menos que conozcamos el signo de x. Si x> 0 (recuerde, no hay ceros en el denominador), entonces | x | = X y la expresión se convierte en

 

[ frac {3} {| x |} = frac {3} {x} nonumber ]

 

Por otro lado, si x <0, entonces | x | = −x y la expresión se convierte en

 

[ frac {3} {| x |} = frac {3} {- x} = – frac {3} {x} nonumber ]

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Coloque la expresión ( sqrt { frac {18} {x ^ 6}} ) en forma radical simple. Discuta el dominio.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que x no puede ser igual a cero, de lo contrario, el denominador de ( sqrt { frac {18} {x ^ 6}} ) sería cero, lo que no está permitido. Sin embargo, si x es positivo o negativo, (x ^ 6 ) será un número positivo (elevar un número distinto de cero a una potencia par siempre produce un número real positivo), y ( sqrt { frac {18} {x ^ 6}} ) está bien definido.

 

Teniendo en cuenta que x no es cero, pero podría ser positivo o negativo, procedemos primero invocando Propiedad 1 , tomando la raíz cuadrada positiva del numerador y el denominador de Nuestra expresión radical.

 

[ sqrt { frac {18} {x ^ 6}} = frac { sqrt {18}} { sqrt {x ^ 6}} nonumber ]

 

Desde el numerador, factorizamos un cuadrado perfecto. En el denominador, usamos barras de valor absoluto para asegurar una raíz cuadrada positiva.

 

( frac { sqrt {18}} { sqrt {x ^ 6}} = frac { sqrt {9} sqrt {2}} {| x ^ 3 |} = frac {3 sqrt {2}} {| x ^ 3 |} )

 

Podemos usar la Regla del producto para el valor absoluto para escribir (| x ^ 3 | = | x ^ 2 || x | = x ^ {2} | x | ). Tenga en cuenta que no necesitamos ajustar (x ^ 2 ) en barras de valor absoluto porque (x ^ 2 ) ya es positivo.

 

[ frac {3 sqrt {2}} {| x ^ 3 |} = frac {3 sqrt {2}} {x ^ {2} | x |} nonumber ]

 

Debido a que x podría ser positivo o negativo, no podemos eliminar las barras de valor absoluto alrededor de x. Hemos terminado.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Coloque la expresión ( sqrt { frac {12} {x ^ 5}} ) en forma radical simple. Discuta el dominio.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que x no puede ser igual a cero; de lo contrario, el denominador de ( sqrt { frac {12} {x ^ 5}} ) sería cero, lo que no está permitido. Además, si x es un número negativo, entonces (x ^ 5 ) también será un número negativo (elevar un número negativo a una potencia impar produce un número negativo). Si x fuera negativo, entonces ( frac {12} {x ^ 5} ) también sería negativo y ( sqrt { frac {12} {x ^ 5}} ) lo sería ser indefinido (no puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo). Por lo tanto, x debe ser un número real positivo o la expresión ( sqrt { frac {12} {x ^ 5}} ) no está definida.

 

Procedemos, teniendo en cuenta que (x ) es un número real positivo. Un posible enfoque es observar primero que se necesita otro factor de x para hacer que el denominador sea un cuadrado perfecto. Esto nos motiva a multiplicar tanto el numerador como el denominador dentro del radical por (x ).

 

[ sqrt { frac {12} {x ^ 5}} = sqrt { frac {12} {x ^ 5} cdot frac {x} {x}} = sqrt { frac {12x} {x ^ 6}} nonumber ]

 

Ahora podemos usar Propiedad 1 para sacar la raíz cuadrada de numerador y denominador.

 

[ sqrt { frac {12x} {x ^ 6}} = frac { sqrt {12x}} { sqrt {x ^ 6}} nonumber ]

 

En el numerador, factorizamos un cuadrado perfecto. En el denominador, las barras de valor absoluto asegurarían una raíz cuadrada positiva. Sin embargo, hemos declarado que x debe ser un número positivo, por lo que (x ^ 3 ) ya es positivo y no se necesitan barras de valor absoluto.

 

[ frac { sqrt {12x}} { sqrt {x ^ 6}} = frac { sqrt {4} sqrt {3x}} {x ^ 3} = frac {2 sqrt {3x}} {x ^ 3} nonumber ]

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Dado que x <0, coloque ( sqrt { frac {27} {x ^ {10}}} ) en forma radical simple.

 

Solución

 

Un posible enfoque sería factorizar un cuadrado perfecto y escribir

 

[ sqrt { frac {27} {x ^ {10}}} = sqrt { frac {9} {x ^ {10}} cdot sqrt {3}} = sqrt {( frac {3} {x ^ 5}) ^ 2} sqrt {3} = | frac {3} {x ^ 5} | sqrt {3}. ]

 

Ahora, (| frac {3} {x ^ 5} | = frac {| 3 |} {(| x ^ 4 || x |} = frac {3} {x ^ {4} | x |} ), ya que (x ^ 4> 0 ). Así,

 

[| frac {3} {x ^ 5} | sqrt {3} = frac {3} {x ^ {4} | 4 |} sqrt {3}. nonumber ]

 

Sin embargo, se nos da que x <0, entonces | x | = −x y podemos escribir

 

[ frac {3} {x ^ {4} | x |} sqrt {3} = frac {3} {x ^ {4} | x |} sqrt {3} = frac { 3} {x ^ {4} (- x)} sqrt {3} = – frac {3} {x ^ 5} sqrt {3} ]

 

Podemos mover ( sqrt {3} ) al numerador y escribir

 

[- frac {3} {x ^ 5} sqrt {3} = – frac {3 sqrt {3}} {x ^ 5}. ]

 

Nuevamente, es instructivo probar la validez de este resultado usando su calculadora gráfica. Supuestamente, el resultado es verdadero para todos los valores de x <0. Entonces, almacene -1 en x, luego ingrese la expresión original y su forma radical simple, luego compare las aproximaciones, como se muestra en Figuras 10 a), (b) y (c).

 
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Figura 10. Comparando la expresión original y su forma radical simple en x = −1.
 

Enfoque alternativo. Un enfoque ligeramente diferente comenzaría nuevamente tomando la raíz cuadrada del numerador y el denominador.

 

( sqrt { frac {27} {x ^ {10}}} = frac { sqrt {27}} { sqrt {x ^ {10}}} )

 

Ahora, ( sqrt {27} = sqrt {9} sqrt {3} = 3 sqrt {3} ) y nos aseguramos de que ( sqrt {x ^ {10}} ) produce un número positivo usando barras de valor absoluto. Es decir, ( sqrt {x ^ {10}} = | x ^ 5 | ) y

 

( frac { sqrt {27}} { sqrt {x ^ {10}}} = frac {3 sqrt {3}} {| x ^ 5 |} )

 

Sin embargo, utilizando la regla del producto para el valor absoluto y el hecho de que (x ^ 4> 0 ), (| x ^ 5 | = | x ^ 4 || x | = x ^ {4} | x | ) Y

 

( frac {3 sqrt {3}} {| x ^ 5 |} = frac {3 sqrt {3}} {x ^ {4} | x |} )

 

Finalmente, se nos da que x <0, entonces | x | = −x y podemos escribir

 

( frac {3 sqrt {3}} {x ^ {4} | x |} = frac {3 sqrt {3}} {x ^ {4} (- x)} = – frac {3 sqrt {3}} {x ^ 5} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Use una calculadora para aproximar primero ( frac { sqrt {5}} { sqrt {2}} ). En la misma pantalla, aproximadamente ( sqrt { frac {5} {2}} ). Informe los resultados en su trabajo de tarea.

 
     
Respuesta
     
     

Ambos ( frac { sqrt {5}} { sqrt {2}} = sqrt { frac {5} {2}} approx = 1.58113883 )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 5.57.52 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Use una calculadora para aproximar primero ( frac { sqrt {7}} { sqrt {5}} ). En la misma pantalla, aproximadamente ( sqrt { frac {7} {5}} ). Informe los resultados en su trabajo de tarea.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Use una calculadora para aproximar primero ( frac { sqrt {12}} { sqrt {2}} ). En la misma pantalla, aproximadamente ( sqrt {6} ). Informe los resultados en su trabajo de tarea.

 
     
Respuesta
     
     

Ambos ( frac { sqrt {12}} { sqrt {2}} = sqrt {6} aprox 2.449489743 ).

     

Screen Shot 2019-06-23 at 5.59.27 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Use una calculadora para aproximar primero ( frac { sqrt {15}} { sqrt {5}} ). En la misma pantalla, aproximadamente ( sqrt {3} ). Informe los resultados en su trabajo de tarea.

 
 

En Ejercicios 5 16 , coloca cada expresión radical en forma radical simple. Como en el ejemplo 2 de la narrativa, verifique su resultado con su calculadora.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

( sqrt { frac {3} {8}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt { frac {3} {8}} = sqrt { frac {3} {8} cdot frac {2} {2}} = sqrt { frac {6} { 16}} = frac { sqrt {6}} {4} )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 8.42.15 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

( sqrt { frac {5} {12}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

( sqrt { frac {11} {20}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt { frac {11} {20}} = sqrt { frac {11} {20} cdot frac {5} {5}} = sqrt { frac {55} { 100}} = frac { sqrt {55}} {10} )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 8.43.43 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

( sqrt { frac {3} {2}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

( sqrt { frac {11} {18}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt { frac {11} {18}} = sqrt { frac {11} {18} cdot frac {2} {2}} = sqrt { frac {22} { 36}} = frac { sqrt {22}} {6} )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 8.46.58 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

( sqrt { frac {7} {5}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

( sqrt { frac {4} {3}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt { frac {4} {3}} = sqrt { frac {4} {3} cdot frac {3} {3}} = sqrt { frac {12} { 9}} = frac { sqrt {3} sqrt {4}} {3} )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 8.59.34 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

( sqrt { frac {16} {5}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

( sqrt { frac {49} {12}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt { frac {49} {12}} = sqrt { frac {49} {12} cdot frac {3} {3}} = sqrt { frac {49 cdot 3} {36}} = frac { sqrt {49} sqrt {3}} {6} = frac {7 sqrt {3}} {6} )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 9.00.13 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

( sqrt { frac {81} {20}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

( sqrt { frac {100} {7}} )

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt { frac {100} {7}} = sqrt { frac {100} {7} cdot frac {7} {7}} = sqrt { frac {100 cdot 7} {49}} = frac { sqrt {100} sqrt {7}} {7} = frac {10 sqrt {7}} {7} )

     

Screen Shot 2019-06-23 at 9.01.09 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

( sqrt { frac {36} {5}} )

 
 

En Ejercicios 17 28 , coloca cada expresión radical en forma radical simple. Como en el ejemplo 4 de la narrativa, verifique su resultado con su calculadora.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

( frac {1} { sqrt {12}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} { sqrt {12}} = frac {1} { sqrt {12}} cdot frac { sqrt {3}} { sqrt {3}} = frac { sqrt {3}} { sqrt {36}} = frac { sqrt {3}} {6} )

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.05.16 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

( frac {1} { sqrt {8}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

( frac {1} { sqrt {20}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} { sqrt {20}} = frac {1} { sqrt {20}} cdot frac { sqrt {5}} { sqrt {5}} = frac { sqrt {5}} { sqrt {100}} = frac { sqrt {5}} {10} )

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.05.52 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

( frac {1} { sqrt {27}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

( frac {6} { sqrt {8}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {6} { sqrt {8}} = frac {6} { sqrt {8}} cdot frac { sqrt {2}} { sqrt {2}} = frac {6 sqrt {2}} { sqrt {16}} = frac {6 sqrt {2}} {4} = frac {3 sqrt {2}} {2} )

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.06.29 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

( frac {4} { sqrt {12}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

( frac {5} { sqrt {20}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5} { sqrt {20}} = frac {5} { sqrt {20}} cdot frac { sqrt {5}} { sqrt {5}} = frac {5 sqrt {5}} { sqrt {100}} = frac {5 sqrt {5}} {10} = frac { sqrt {5}} {2} )

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.07.08 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

( frac {9} { sqrt {27}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

( frac {6} {2 sqrt {3}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {6} {2 sqrt {3}} = frac {6} {2 sqrt {3}} cdot frac { sqrt {3}} { sqrt {3}} = frac {6 sqrt {3}} {2 sqrt {9}} = frac {6 sqrt {3}} {6} = sqrt {3} )

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.10.04 PM.png

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

( frac {10} {3 sqrt {5}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

( frac {15} {2 sqrt {20}} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {15} {2 sqrt {20}} = frac {15} {2 sqrt {20}} cdot frac { sqrt {5}} { sqrt {5}} = frac {15 sqrt {5}} {2 sqrt {100}} = frac {15 sqrt {5}} {20} = frac {3 sqrt {5}} {4} ) [ 19459001]      

Screen Shot 2019-06-24 at 1.14.10 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{28})

 

(frac{3}{2sqrt{18}})

 
 

In  Exercises 29 36 , place the given radical expression in simple form. Use prime factorization as in Example 8 in the narrative to help you with the calculations. As in Example 6, check your result with your calculator.

 
 

Exercise (PageIndex{29})

 

(frac{1}{sqrt{96}})

 
     
Respuesta
     
     

(frac{1}{sqrt{96}} = frac{1}{sqrt{2^5 cdot 3}} = frac{1}{sqrt{2^5 cdot 3}} cdot frac{sqrt{2 cdot 3}}{sqrt{2 cdot 3}} = frac{sqrt{2 cdot 3}}{2^6 cdot 3^2} = frac{sqrt{2 cdot 3}}{2^3 cdot 3} = frac{sqrt{6}}{24})

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.27.28 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{30})

 

(frac{1}{sqrt{432}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{31})

 

(frac{1}{sqrt{250}})

 
     
Respuesta
     
     

(frac{1}{sqrt{250}} = frac{1}{sqrt{2 cdot 5^3}} = frac{1}{sqrt{2 cdot 5^3}} cdot frac{sqrt{2 cdot 5}}{sqrt{2 cdot 5}} = frac{sqrt{2 cdot 5}}{2^2 cdot 5^4} = frac{sqrt{2 cdot 5}}{2 cdot 5^2} = frac{sqrt{10}}{50})

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.37.52 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{32})

 

(frac{1}{sqrt{108}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{33})

 

(sqrt{frac{5}{96}})

 
     
Respuesta
     
     

(sqrt{frac{5}{96}} = sqrt{frac{5}{2^5 cdot 3}} = sqrt{frac{5}{2^5 cdot 3} cdot frac{2 cdot 3}{2 cdot 3}} = sqrt{frac{2 cdot 3 cdot 5}{2^6 cdot 3^2}} = frac{sqrt{2 cdot 3 cdot 5}}{2^3 cdot 3} = frac{sqrt{30}}{24})

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.46.44 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{34})

 

(sqrt{frac{2}{135}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{35})

 

(sqrt{frac{2}{1485}})

 
     
Respuesta
     
     

(sqrt{frac{2}{1485}} = sqrt{frac{2}{3^3 cdot 5 cdot 11}} = sqrt{frac{2}{3^3 cdot 5 cdot 11} cdot frac{3 cdot 5 cdot 11}{3 cdot 5 cdot 11}} = sqrt{frac{2 cdot 3 cdot 5 cdot 11}{3^4 cdot 5^2 cdot 11^2}} = frac{sqrt{2 cdot 3 cdot 5 cdot 11}}{3^2 cdot 5 cdot 11} = frac{sqrt{330}}{494})

     

Screen Shot 2019-06-24 at 1.45.06 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{36})

 

(sqrt{frac{3}{280}})

 
 

In  Exercises 37 44 , place each of the given radical expressions in simple radical form. Make no assumptions about the sign of any variable. Variables can represent either positive or negative numbers.

 
 

Exercise (PageIndex{37})

 

(sqrt{frac{8}{x^4}})

 
     
Respuesta
     
     

(sqrt{frac{8}{x^4}} = frac{sqrt{8}}{sqrt{x^4}} = frac{sqrt{4}sqrt{2}}{|x^2|} = frac{2sqrt{2}}{x^2})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{38})

 

(sqrt{frac{12}{x^6}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{39})

 

(sqrt{frac{20}{x^2}})

 
     
Respuesta
     
     

(sqrt{frac{20}{x^2}} = frac{sqrt{20}}{sqrt{x^2}} = frac{sqrt{4}sqrt{5}}{|x|} = frac{2sqrt{5}}{|x|})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{40})

 

(sqrt{frac{32}{x^{12}}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{41})

 

(frac{2}{sqrt{8x^8}})

 
     
Respuesta
     
     

(frac{2}{sqrt{8x^8}} = frac{2}{sqrt{8x^8}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{2sqrt{2}}{sqrt{16x^8}} = frac{2sqrt{2}}{|4x^4|} = frac{2sqrt{2}}{4x^4})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{42})

 

(frac{3}{sqrt{12x^6}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{43})

 

(frac{10}{sqrt{20x^{10}}})

 
     
Respuesta
     
     

(frac{10}{sqrt{20x^{10}}} = frac{10}{sqrt{20x^{10}}} cdot frac{sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{10sqrt{5}}{sqrt{100x^{10}}} = frac{10sqrt{5}}{|10x^5|})

     

However, (|10x^5| = |10||x^4||x| = 10x^{4}|x|), so

     

(frac{10}{sqrt{20x^{10}}} = frac{10sqrt{5}}{10x^{4}|x|} = frac{sqrt{5}}{x^{4}|x|}).

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{44})

 

(frac{12}{sqrt{6x^4}})​​​

 
 

In  Exercises 45-48 , follow the lead of Example 8 in the narrative to craft a solution.

 
 

Exercise (PageIndex{45})

 

Given that x < 0, place the radical expression (frac{6}{sqrt{2x^6}}) in simple radical form. Check your solution on your calculator for x = −1.

 
     
Respuesta
     
     

(frac{6}{sqrt{2x^6}} = frac{6}{sqrt{2x^6}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{6sqrt{2}}{sqrt{4x^6}} = frac{6sqrt{2}}{|2x^3|})

     

However, (|2x^3| = |2||x^2||x| = 2x^{2}|x|), so

     

(frac{6sqrt{2}}{|2x^3|} = frac{6sqrt{2}}{2x^{2}|x|} = frac{3sqrt{2}}{x^{2}|x|}).

     

If x < 0, then |x| = −x and

     

(frac{3sqrt{2}}{x^{2}|x|} =  frac{3sqrt{2}}{x^{2}(−x)} = −frac{3sqrt{2}}{x^3}).

     

Checking x = −1.

     

Screen Shot 2019-06-25 at 1.55.08 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{46})

 

Given that x > 0, place the radical expression (frac{4}{sqrt{12x^3}}) in simple radical form. Check your solution on your calculator for x = 1.

 
 
 

Exercise (PageIndex{47})

 

Given that x > 0, place the radical expression (frac{8}{sqrt{8x^5}}) in simple radical form. Check your solution on your calculator for x = 1.

 
     
Respuesta
     
     

(frac{8}{sqrt{8x^5}} = frac{8}{sqrt{8x^5}} cdot frac{sqrt{2x}}{sqrt{2x}} = frac{8sqrt{2x}}{sqrt{16x^6}} = frac{8sqrt{2x}}{|4x^3|})

     

However, (|4x^3| = |4||x^2||x| = 4x^{2}|x|), so

     

(frac{8sqrt{2x}}{|4x^3|} = frac{8sqrt{2x}}{4x^{2}|x|} = frac{2sqrt{2x}}{x^{2}|x|}).

     

But x > 0, so |x| = x and

     

(frac{2sqrt{2x}}{x^{2}|x|} =  frac{2sqrt{2x}}{x^{2}(x)} = frac{2sqrt{2x}}{x^3}).

     

Checking x = 1.

     

Screen Shot 2019-06-25 at 1.59.30 PM.png

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{48})

 

Given that x < 0, place the radical expression (frac{15}{sqrt{20x^6}}) in simple radical form. Check your solution on your calculator for x = −1.

 
 

In  Exercises 49 56 , place each of the radical expressions in simple form. Assume that all variables represent positive numbers.

 
 

Exercise (PageIndex{49})

 

(sqrt{frac{12}{x}})

 
     
Respuesta
     
     

(sqrt{frac{12}{x}} = sqrt{frac{12}{x} cdot frac{x}{x}} = sqrt{frac{12x}{x^2}} = frac{sqrt{4}sqrt{3x}}{sqrt{x^2}} = frac{2sqrt{3x}}{x})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{50})

 

(sqrt{frac{18}{x}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{51})

 

(sqrt{frac{50}{x^3}})

 
     
Respuesta
     
     

(sqrt{frac{50}{x^3}} = sqrt{frac{50}{x^3} cdot frac{x}{x}} = sqrt{frac{50x}{x^4}} = frac{sqrt{25}sqrt{2x}}{sqrt{x^4}} = frac{5sqrt{2x}}{x^2})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{52})

 

(sqrt{frac{72}{x^5}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{53})

 

(frac{1}{sqrt{50x}})

 
     
Respuesta
     
     

(frac{1}{sqrt{50x}} = frac{1}{sqrt{50x}} cdot frac{sqrt{2x}}{sqrt{2x}} = frac{sqrt{2x}}{sqrt{100x^2}} = frac{sqrt{2x}}{10x})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{54})

 

(frac{2}{sqrt{18x}})

 
 
 

Exercise (PageIndex{55})

 

(frac{3}{sqrt{27x^3}})

 
     
Respuesta
     
     

(frac{3}{sqrt{27x^3}} = frac{3}{sqrt{27x^3}} cdot frac{sqrt{3x}}{sqrt{3x}} = frac{3sqrt{3x}}{sqrt{81x^4}} = frac{3sqrt{3x}}{9x^2} = frac{sqrt{3x}}{3x^2})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{56})

 

(frac{5}{sqrt{10x^5}})

 
                     
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