Completa el cuadrado de una expresión binomial

En la última sección, pudimos usar la propiedad de raíz cuadrada para resolver la ecuación ((y-7) ^ {2} = 12 ) porque el lado izquierdo era un cuadrado perfecto.

( begin {alineado} (y-7) ^ {2} & = 12 \ y-7 & = pm sqrt {12} \ y-7 & = pm 2 sqrt {3 } \ y & = 7 pm 2 sqrt {3} end {alineado} )

También resolvimos una ecuación en la que el lado izquierdo era un trinomio cuadrado perfecto, pero tuvimos que reescribirlo en la forma ((x − k) ^ {2} ) para usar la Propiedad de la raíz cuadrada.

( begin {alineado} x ^ {2} -10 x + 25 & = 18 \ (x-5) ^ {2} & = 18 end {alineado} )

¿Qué sucede si la variable no es parte de un cuadrado perfecto? ¿Podemos usar el álgebra para hacer un cuadrado perfecto?

Veamos dos ejemplos para ayudarnos a reconocer los patrones.

( begin {array} {cc} {(x + 9) ^ {2}} & {(y-7) ^ {2}} \ {(x + 9) (x + 9)} & {(y-7) (y-7)} \ {x ^ {2} +9 x + 9 x + 81} y {y ^ {2} -7 y-7 y + 49} \ {x ^ {2} +18 x + 81} y {y ^ {2} -14 y + 49} end {array} )

Replanteamos los patrones aquí para referencia.

 

Definición ( PageIndex {1} ): Patrón de cuadrados binomiales

 

Si (a ) y (b ) son números reales,

 

 

Podemos usar este patrón para “hacer” un cuadrado perfecto.

Comenzaremos con la expresión (x ^ {2} +6 x ). Como hay un signo más entre los dos términos, utilizaremos el patrón ((a + b) ^ {2} ), (a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} ).

En última instancia, necesitamos encontrar el último término de este trinomio que lo convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Para hacer eso necesitaremos encontrar (b ). Pero primero comenzamos por determinar (a ). Observe que el primer término de (x ^ {2} + 6x ) es un cuadrado, (x ^ {2} ). Esto nos dice que (a = x ).

¿Qué número, (b ) , cuando se multiplica por (2x ) da (6x )? Tendría que ser (3 ), que es ( frac {1} {2} (6) ). Entonces (b = 3 ).

Ahora, para completar el trinomio cuadrado perfecto, encontraremos el último término al cuadrar (b ), que es (3 ^ {2} = 9 ).

Ahora podemos factorizar.

Entonces encontramos que agregar (9 ) a (x ^ {2} +6 x ) ‘completa el cuadrado’, y lo escribimos como ((x + 3) ^ {2} ) .

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Luego escribe el resultado como un binomio al cuadrado.

 

     
1. (x ^ {2} -26 x )
     
2. (y ^ {2} -9 y )
     
3. (n ^ {2} + frac {1} {2} n )
 

 

Solución :

 

a.

                                                                                                                                                                                                                                                              

El coeficiente de (x ) es -26.
Encuentra ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).               ( left ( frac {1} {2} cdot (-26) right) ^ {2} ) ((13) ^ {2} ) 169 [ 19459003]
Agregue (169 ) al binomio para completar el cuadrado.	(x ^ {2} -26 x + 169 )
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado.	((x-13) ^ {2} )

 

b.

                                                                                                                                                                                                                                                              

El coeficiente de (y ) es (- 9 ).
Encuentra ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).               ( left ( frac {1} {2} cdot (-9) right) ^ {2} ) ( left (- frac {9} {2} right ) ^ {2} ) ( frac {81} {4} )
Agregue ( frac {81} {4} ) al binomio para completar el cuadrado.	(y ^ {2} -9 y + frac {81} {4} )
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado.	( left (y- frac {9} {2} right) ^ {2} )

 

c.

                                                                                                                                                                                                                                                              

El coeficiente de (n ) es ( frac {1} {2} ).
Encuentra ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ).               ( left ( frac {1} {2} cdot frac {1} {2} right) ^ {2} ) ( left ( frac {1} {4 } right) ^ {2} ) ( frac {1} {16} )
Agregue ( frac {1} {16} ) al binomio para completar el cuadrado.	(n ^ {2} + frac {1} {2} n + frac {1} {16} )
Reescribe como un cuadrado binomial.	( left (n + frac {1} {4} right) ^ {2} )

 

Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) completando el cuadrado

Al resolver ecuaciones, siempre debemos hacer lo mismo en ambos lados de la ecuación. Esto es cierto, por supuesto, cuando resolvemos una ecuación cuadrática por completando el cuadrado también. Cuando agregamos un término a un lado de la ecuación para hacer un trinomio cuadrado perfecto, también debemos agregar el mismo término al otro lado de la ecuación.

Por ejemplo, si comenzamos con la ecuación (x ^ {2} + 6x = 40 ), y queremos completar el cuadrado de la izquierda, agregaremos 9 a ambos lados de la ecuación.

Agrega (9 ) a ambos lados para completar el cuadrado.

¡Ahora la ecuación está en la forma de resolver usando la Propiedad de raíz cuadrada ! Completar el cuadrado es una forma de transformar una ecuación en la forma que necesitamos para poder usar la Propiedad de raíz cuadrada.

Los pasos para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado se enumeran aquí.

Resuelve una ecuación cuadrática de la forma (x ^ {2} + bx + c = 0 ) completando el cuadrado

     
1. Aísle los términos variables en un lado y los términos constantes en el otro.
     
2. Encuentra ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), el número necesario para completar el cuadrado. Agréguelo a ambos lados de la ecuación.
     
3. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado a la izquierda y simplifica agregando los términos a la derecha
     
4. Use la propiedad de raíz cuadrada.
     
5. Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes.
     
6. Verifique las soluciones.
 

Cuando resolvemos una ecuación completando el cuadrado, las respuestas no siempre serán números enteros.

En el ejemplo anterior, nuestras soluciones fueron números complejos. En el siguiente ejemplo, las soluciones serán números irracionales.

Comenzaremos el siguiente ejemplo aislando los términos variables en el lado izquierdo de la ecuación.

Para resolver la siguiente ecuación, primero debemos recopilar todos los términos variables en el lado izquierdo de la ecuación. Luego procedemos como lo hicimos en los ejemplos anteriores.

Observe que el lado izquierdo de la siguiente ecuación está en forma factorizada. Pero el lado derecho no es cero. Por lo tanto, no podemos usar la Propiedad del producto cero ya que dice “Si (a⋅b = 0 ), entonces (a = 0 ) o (b = 0 )”. En cambio, multiplicamos los factores y luego ponemos la ecuación en forma estándar para resolver completando el cuadrado.

Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) completando el cuadrado

El proceso de completar el cuadrado funciona mejor cuando el coeficiente de (x ^ {2} ) es (1 ), entonces el lado izquierdo de la ecuación es de la forma ( x ^ {2} + bx + c ). Si el término (x ^ {2} ) tiene un coeficiente diferente de (1 ), tomamos algunos pasos preliminares para hacer que el coeficiente sea igual a (1 ).

A veces, el coeficiente se puede factorizar a partir de los tres términos del trinomio. Esta será nuestra estrategia en el siguiente ejemplo.

Para completar el cuadrado, el coeficiente de (x ^ {2} ) debe ser (1 ). Cuando el líder coeficiente no es un factor de todos los términos, ¡dividiremos ambos lados de la ecuación por el coeficiente principal! Esto nos dará una fracción para el segundo coeficiente. Ya hemos visto cómo completar el cuadrado con fracciones en esta sección.

Ahora que hemos visto que el coeficiente de (x ^ {2} ) debe ser (1 ) para que podamos completar el cuadrado, actualizamos nuestro procedimiento para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado para incluir ecuaciones de la forma (ax ^ {2} + b x + c = 0 ).

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para completar el cuadrado.

Conceptos clave

     
• Patrón de cuadrados binomiales
  Si (a ) y (b ) son números reales,
 

     
• Cómo completar un cuadrado      
           
  1. Identifica (b ), el coeficiente de (x ).
           
  2. Encuentra ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ), el número para completar el cuadrado.
           
  3. Agregue ( left ( frac {1} {2} b right) ^ {2} ) a (x ^ {2} + bx )
           
  4. Reescribe el trinomio como un cuadrado binomial
       
       
     
• Cómo resolver una ecuación cuadrática de la forma (a x ^ {2} + b x + c = 0 ) completando el cuadrado.      
           
  1. Divide entre (a ) para hacer el coeficiente de (x ^ {2} ) término (1 ).
           
  2. Aísle los términos variables en un lado y los términos constantes en el otro.
           
  3. Encuentra ( left ( frac {1} {2} cdot b right) ^ {2} ), el número necesario para completar el cuadrado. Agréguelo a ambos lados de la ecuación.
           
  4. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio cuadrado a la izquierda y simplifica agregando los términos a la derecha.
           
  5. Use la propiedad de raíz cuadrada.
           
  6. Simplifica el radical y luego resuelve las dos ecuaciones resultantes.
           
  7. Verifique las soluciones.