9.3: Secuencias aritméticas

9.3: Secuencias aritméticas

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Encuentra la diferencia común para una secuencia aritmética.
  •      
  • Escribe los términos de una secuencia aritmética.
  •      
  • Usa una fórmula recursiva para una secuencia aritmética.
  •      
  • Use una fórmula explícita para una secuencia aritmética.
  •  
 
 

Las empresas suelen realizar grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso comercial. El valor en libros de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución en el valor se llama depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la cual el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año.

 

Como ejemplo, considere una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Ella compra un camión nuevo por $ 25,000. Después de cinco años, estima que podrá vender el camión por $ 8,000. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de $ 17,000, que es de $ 3,400 por año durante cinco años. El camión tendrá un valor de $ 21,600 después del primer año; $ 18,200 después de dos años; $ 14,800 después de tres años; $ 11,400 después de cuatro años; y $ 8,000 al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión.

 

Encontrar diferencias comunes

 

Se dice que los valores del camión en el ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es -3,400.

 

A sequence, {25000, 21600, 18200, 14800, 8000}, that shows the terms differ only by -3400.

 

La siguiente secuencia es otro ejemplo de una secuencia aritmética. En este caso, la diferencia constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y agregar (3 ) para encontrar el término subsiguiente.

 

A sequence {3, 6, 9, 12, 15, ...} that shows the terms only differ by 3.

 
 
 

SECUENCIA ARITMÉTICA

 

Una secuencia aritmética es una secuencia que tiene la propiedad de que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. Esta constante se llama la diferencia común . Si (a_1 ) es el primer término de una secuencia aritmética y (d ) es la diferencia común, la secuencia será:

 

[ {a_n } = {a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, … } ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar diferencias comunes

 

¿Es cada secuencia aritmética? Si es así, encuentre la diferencia común.

 
         
  1. ( {1,2,4,8,16, … } )
  2.      
  3. ( {- 3,1,5,9,13, … } )
  4.  
 

Solución

 

Reste cada término del término posterior para determinar si existe una diferencia común.

 
         
  1. La secuencia no es aritmética porque no hay una diferencia común.
  2.  
 

(2-1 = { color {red} 1} qquad 4-2 = { color {red} 2} qquad 8-4 = { color {red} 4} qquad 16-8 = { color {rojo} 8} )

 
         
  1. La secuencia es aritmética porque hay una diferencia común. La diferencia común es (4 ).
  2.  
 

(1 – (- 3) = { color {rojo} 4} qquad 5-1 = { color {rojo} 4} qquad 9-5 = { color {rojo} 4} qquad 13-9 = { color {rojo} 4} )

 

Análisis

 

El gráfico de cada una de estas secuencias se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Podemos ver en los gráficos que, aunque ambas secuencias muestran crecimiento, (a) no es lineal mientras que (b) es lineal. Las secuencias aritméticas tienen una tasa de cambio constante, por lo que sus gráficos siempre serán puntos en una línea.

 
Two graphs of arithmetic sequences. Graph (a) grows exponentially while graph (b) grows linearly.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 
 
 

Preguntas y respuestas

 

Si se nos dice que una secuencia es aritmética, ¿tenemos que restar cada término del siguiente término para encontrar la diferencia común?

 

No. Si sabemos que la secuencia es aritmética, podemos elegir cualquier término de la secuencia y restarlo del término posterior para encontrar la diferencia común.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1A} )

 

¿Es la secuencia dada aritmética? Si es así, encuentre la diferencia común.

 

( {18, 16, 14, 12, 10,… } )

 
     
Respuesta
     
     

La secuencia es aritmética. La diferencia común es (- 2 ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1B} )

 

¿Es la secuencia dada aritmética? Si es así, encuentre la diferencia común.

 

( {1, 3, 6, 10, 15,… } )

 
     
Respuesta
     
     

La secuencia no es aritmética porque (3−1 ≠ 6−3 ).

     
 
 
 

Escritura de términos de secuencias aritméticas

 

Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, encontraremos los términos si se nos da el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden encontrar comenzando con el primer término y agregando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término también se puede encontrar conectando los valores de (n ) y (d ) en la fórmula a continuación.

 

[a_n = a_1 + (n − 1) d ]

 
 

Cómo: dado el primer término y la diferencia común de una secuencia aritmética, encuentre los primeros términos.

 
         
  1. Agregue la diferencia común al primer término para encontrar el segundo término.
  2.      
  3. Agregue la diferencia común al segundo término para encontrar el tercer término.
  4.      
  5. Continúe hasta que se identifiquen todos los términos deseados.
  6.      
  7. Escriba los términos separados por comas entre paréntesis.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Escritura de términos de secuencias aritméticas

 

Escribe los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con (a_1 = 17 ) y (d = −3 ).

 

Solución

 

Sumar (- 3 ) es lo mismo que restar (3 ). Comenzando con el primer término, reste (3 ) de cada término para encontrar el siguiente término.

 

Los primeros cinco términos son ( {17,14,11,8,5 } )

 

Análisis

 

Como se esperaba, el gráfico de la secuencia consiste en puntos en una línea como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
Graph of the arithmetic sequence. The points form a negative line.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Enumere los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con (a_1 = 1 ) y (d = 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

( {1, 6, 11, 16, 21 } )

     
 
 
 
 

Cómo: dado un primer término y cualquier otro término en una secuencia aritmética, encontrar un término dado.

 
         
  1. Sustituye los valores dados para (a_1 ), (a_n ), (n ) en la fórmula (a_n = a_1 + (n − 1) d ) para resolver (d ).
  2.      
  3. Encuentre un término dado sustituyendo los valores apropiados por (a_1 ), (n ) y (d ) en la fórmula (a_n = a_1 + (n − 1) d ).
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Escritura de términos de secuencias aritméticas

 

Dado (a_1 = 8 ) y (a_4 = 14 ), encuentra (a_5 ).

 

Solución

 

La secuencia se puede escribir en términos del término inicial (8 ) y la diferencia común (d ).

 

( {8,8 + d, 8 + 2d, 8 + 3d } )

 

Sabemos que el cuarto término es igual a (14 ); sabemos que el cuarto término tiene la forma (a_1 + 3d = 8 + 3d ).

 

Podemos encontrar la diferencia común (d ).

 

[ begin {align *} a_n & = a_1 + (n-1) d \ a_4 & = a_1 + 3d \ a_4 & = 8 + 3d qquad text {Escriba el cuarto término de la secuencia en términos de} a_1 text {y} d. \ 14 & = 8 + 3d qquad text {Sustituir} 14 text {para} a_4. \ d & = 2 qquad text {Resuelva la diferencia común.} end {align *} ]

 

Encuentre el quinto término agregando la diferencia común al cuarto término.

 

(a_5 = a_4 + 2 = 16 )

 

Análisis

 

Observe que la diferencia común se agrega al primer término una vez para encontrar el segundo término, dos veces para encontrar el tercer término, tres veces para encontrar el cuarto término, y así sucesivamente. El décimo término podría encontrarse agregando la diferencia común al primer término nueve veces o usando la ecuación (a_n = a_1 + (n − 1) d ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Dado (a_3 = 7 ) y (a_5 = 17 ), encuentra (a_2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a_2 = 2 )

     
 
 
 

Uso de fórmulas recursivas para secuencias aritméticas

 

Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior utilizando una fórmula recursiva . La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite encontrar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es (5 ), entonces cada término es el término anterior más (5 ). Como con cualquier fórmula recursiva, se debe dar el primer término.

 

(a_n = a_n − 1 + d )

 

para (n≥2 )

 
 
 

FORMULA RECURSIVA PARA UNA SECUENCIA ARITMÉTICA

 

La fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común (d ) es:

 

[a_n = a_n − 1 + d ]

 

para (n≥2 )

 
 
 

Cómo: dada una secuencia aritmética, escribe su fórmula recursiva.

 
         
  1. Reste cualquier término del término subsiguiente para encontrar la diferencia común.
  2.      
  3. Indique el término inicial y sustituya la diferencia común en la fórmula recursiva por secuencias aritméticas.
  4.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Escribir una fórmula recursiva para una secuencia aritmética

 

Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética .

 

( {- 18, −7, 4, 15, 26,… } )

 

Solución

 

El primer término se da como (- 18 ). La diferencia común se puede encontrar restando el primer término del segundo término.

 

(d = −7 – (- 18) = 11 )

 

Sustituye el término inicial y la diferencia común en la fórmula recursiva para secuencias aritméticas.

 

(a_1 = −18 )

 

(a_n = a_ {n − 1} +11 )

 

para (n≥2 )

 

Análisis

 

Vemos que la diferencia común es la pendiente de la línea formada cuando graficamos los términos de la secuencia, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). El patrón de crecimiento de la secuencia muestra la diferencia constante de 11 unidades.

 
Graph of the arithmetic sequence. The points form a positive line.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 
 

Preguntas y respuestas

 

¿Tenemos que restar el primer término del segundo término para encontrar la diferencia común?

 

No. Podemos restar cualquier término de la secuencia del término posterior. Sin embargo, es más común restar el primer término del segundo término porque a menudo es el método más fácil de encontrar la diferencia común.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Escribe una fórmula recursiva para la secuencia aritmética.

 

( {25, 37, 49, 61,… } )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} a_1 & = 25 \ a_n & = a_ {n − 1} +12, text {for} n≥2 end {align *} )

     
 
 
 

Uso de fórmulas explícitas para secuencias aritméticas

 

Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; Es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.

 

(a_n = a_1 + d (n − 1) )

 

Para encontrar la intersección (y ) de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia.

 
A sequence, {200, 150, 100, 50, 0, ...}, that shows the terms differ only by -50.  
Figura ( PageIndex {4} ).
 
 
Graph of the arithmetic sequence. The points form a negative line.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 

Recordemos que la forma pendiente-intersección de una línea es (y = mx + b ). Cuando se trata de secuencias, usamos (a_n ) en lugar de (y ) y (n ) en lugar de (x ). Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por (m ) y (b ) en la forma pendiente-intersección de una línea. Sustituyendo (- 50 ) por la pendiente y (250 ) por la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación:

 

(a_n = −50n + 250 )

 

No necesitamos encontrar la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es (a_n = 200−50 (n − 1) ), que se simplifica a (a_n = −50n + 250 ).

 
 

FÓRMULA EXPLÍCITA PARA UNA SECUENCIA ARITMÉTICA

  proporciona una fórmula explícita para el término (n ^ {th} ) de una secuencia aritmética  

[a_n = a_1 + d (n − 1) ]

 
 
 
 

Cómo: dados los primeros términos para una secuencia aritmética, escriba una fórmula explícita.

 
         
  1. Encuentra la diferencia común, (a_2 − a_1 ).
  2.      
  3. Sustituye la diferencia común y el primer término en (a_n = a_1 + d (n − 1) ).
  4.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Escribir la n Fórmula explícita del término para una secuencia aritmética

 

Escribe una fórmula explícita para la secuencia aritmética.

 

( {2, 12, 22, 32, 42,… } )

 

Solución

 

La diferencia común se puede encontrar restando el primer término del segundo término.

 

[ begin {align *} d & = a_2 − a_1 \ & = 12−2 \ & = 10 end {align *} ]

 

La diferencia común es (10 ​​). Sustituya la diferencia común y el primer término de la secuencia en la fórmula y simplifique.

 

[ begin {align *} a_n & = 2 + 10 (n − 1) \ a_n & = 10n − 8 end {align *} ]

 

Análisis

 

La gráfica de esta secuencia, representada en la Figura ( PageIndex {5} ), muestra una pendiente de (10 ​​) y una intersección vertical de (- 8 ).

 
Graph of the arithmetic sequence. The points form a positive line.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escribe una fórmula explícita para la siguiente secuencia aritmética.

 

( {50,47,44,41,… } )

 
     
Respuesta
     
     

(a_n = 53−3n )

     
 
 
 

Encontrar el número de términos en una secuencia aritmética finita

 

Se pueden usar fórmulas explícitas para determinar el número de términos en una secuencia aritmética finita. Necesitamos encontrar la diferencia común y luego determinar cuántas veces se debe agregar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia.

 
 

Cómo: dados los primeros tres términos y el último término de una secuencia aritmética finita, encuentre el número total de términos.

 
         
  1. Encuentra la diferencia común (d ).
  2.      
  3. Sustituye la diferencia común y el primer término en (a_n = a_1 + d (n – 1) ).
  4.      
  5. Sustituye el último término por (a_n ) y resuelve (n ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar el número de términos en una secuencia aritmética finita

 

Encuentra el número de términos en la secuencia aritmética finita.

 

( {8, 1, –6, …, –41 } )

 

Solución

 

La diferencia común se puede encontrar restando el primer término del segundo término.

 

(1−8 = −7 )

 

La diferencia común es (- 7 ). Sustituya la diferencia común y el término inicial de la secuencia en la enésima fórmula del término y simplifique.

 

[ begin {align *} a_n & = a_1 + d (n − 1) \ a_n & = 8 + −7 (n − 1) \ a_n & = 15−7n end {align *} ]

 

Sustituye (- 41 ) por (a_n ) y resuelve (n )

 

[ begin {align *} -41 & = 15-7n \ 8 & = n end {align *} ]

 

Hay ocho términos en la secuencia.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra el número de términos en la secuencia aritmética finita.

 

( {6, 11, 16, …, 56 } )

 
     
Respuesta
     
     

Hay (11 ) términos en la secuencia.

     
 
 
 

Solución de problemas de aplicación con secuencias aritméticas

 

En muchos problemas de aplicación, a menudo tiene sentido usar un término inicial de (a_0 ) en lugar de (a_1 ). En estos problemas, modificamos la fórmula explícita ligeramente para tener en cuenta la diferencia en términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula:

 

[a_n = a_0 + dn ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolución de problemas de aplicación con secuencias aritméticas

 

Un niño de cinco años recibe una asignación de ($ 1 ) cada semana. Sus padres le prometen un aumento anual de ($ 2 ) por semana.

 
         
  1. Escriba una fórmula para la asignación semanal del niño en un año determinado.
  2.      
  3. ¿Cuál será la asignación del niño cuando tenga (16 ) años?
  4.  
 

Solución

 
         
  1.      

    La situación puede modelarse mediante una secuencia aritmética con un término inicial de (1 ) y una diferencia común de (2 ).

         

    Sea (A ) la cantidad de la asignación y (n ) el número de años después de la edad (5 ). Usando la fórmula explícita alterada para una secuencia aritmética obtenemos:

         

    (A_n = 1 + 2n )

         
  2.      
  3.      

    Podemos encontrar el número de años desde la edad (5 ) restando.

         

    (16−5 = 11 )

         

    Estamos buscando la asignación del niño después de (11 ) años. Sustituya (11 ) en la fórmula para encontrar la asignación del niño a la edad (16 ).

         

    (A_ {11} = 1 + 2 (11) = 23 )

         

    La asignación del niño a la edad de (16 ) será ($ 23 ) por semana.

         
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Una mujer decide hacer una carrera de (10 ​​) minutos todos los días esta semana y planea aumentar el tiempo de su carrera diaria en (4 ) minutos cada semana. Escriba una fórmula para el tiempo de su carrera después de (n ) semanas. ¿Cuánto tiempo durará su carrera diaria (8 ) semanas a partir de hoy?

 
     
Respuesta
     
     

La fórmula es (T_n = 10 + 4n ), y le tomará (42 ) minutos.

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con secuencias aritméticas.

 
 

Ecuaciones clave

                                                                                                              
fórmula recursiva para el enésimo término de una secuencia aritmética (a_n = a_ {n − 1} + d ) (n≥2 )
fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia aritmética (a_n = a_1 + d (n − 1) )
 

Conceptos clave

 
         
  • Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante.
  •      
  • La constante entre dos términos consecutivos se denomina diferencia común.
  •      
  • La diferencia común es el número agregado a cualquier término de una secuencia aritmética que genera el término subsiguiente. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • Los términos de una secuencia aritmética se pueden encontrar comenzando con el término inicial y agregando la diferencia común repetidamente. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •      
  • Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común dd viene dada por (a_n = a_ {n − 1} + d ), (n≥2 ). Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • Como con cualquier fórmula recursiva, se debe dar el término inicial de la secuencia.
  •      
  • Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común (d ) viene dada por (a_n = a_1 + d (n − 1) ). Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • Se puede usar una fórmula explícita para encontrar el número de términos en una secuencia. Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  •      
  • En problemas de aplicación, a veces modificamos la fórmula explícita ligeramente a (a_n = a_0 + dn ). Ver Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •  
 
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