9.3: Secuencias geométricas y series

9.3: Secuencias geométricas y series

Secuencias geométricas

 

A geométrica secuencia 18 , o geométrica progresión [1945911] [1945911] [1945911] 19 , es una secuencia de números donde cada número sucesivo es el producto del número anterior y alguna constante (r ).

 

(a_ {n} = r a_ {n-1} quad color {Cerulean} {Geometric : Sequence} )

 

Y debido a que ( frac {a_ {n}} {a_ {n-1}} = r ), el factor constante (r ) se denomina común 20 . Por ejemplo, la siguiente es una secuencia geométrica,

 

(9,27,81,243,729 ldots ) ​​

 

Aquí (a_ {1} = 9 ) y la relación entre dos términos sucesivos es (3 ). Podemos construir el término general (a_ {n} = 3 a_ {n-1} ) donde,

 

( begin {alineado} a_ {1} & = 9 \ a_ {2} & = 3 a_ {1} = 3 (9) = 27 \ a_ {3} & = 3 a_ {2} = 3 (27) = 81 \ a_ {4} & = 3 a_ {3} = 3 (81) = 243 \ a_ {5} & = 3 a_ {4} = 3 (243) = 729 \ & vdots end {alineado} )

 

En general, dado el primer término (a_ {1} ) y la razón común (r ) de una secuencia geométrica podemos escribir lo siguiente:

 

( begin {alineado} a_ {2} & = r a_ {1} \ a_ {3} & = r a_ {2} = r left (a_ {1} r right) = a_ { 1} r ^ {2} \ a_ {4} & = r a_ {3} = r left (a_ {1} r ^ {2} right) = a_ {1} r ^ {3} \ a_ {5} & = r a_ {3} = r left (a_ {1} r ^ {3} right) = a_ {1} r ^ {4} \ & vdots end {alineado} ) [ 19459012]  

De esto vemos que cualquier secuencia geométrica se puede escribir en términos de su primer elemento, su razón común y el índice de la siguiente manera:

 

(a_ {n} = a_ {1} r ^ {n-1} quad color {Cerulean} {Geometric : Sequence} )

 

De hecho, cualquier término general que sea exponencial en (n ) es una secuencia geométrica.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia geométrica dada y úsela para calcular su término (10 ​​^ {th} ): (3, 6, 12, 24, 48 … )

 

Solución

 

Comienza por encontrar la razón común,

 

(r = frac {6} {3} = 2 )

 

Tenga en cuenta que la relación entre dos términos sucesivos es (2 ). La secuencia es de hecho una progresión geométrica donde (a_ {1} = 3 ) y (r = 2 ).

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} r ^ {n-1} \ & = 3 (2) ^ {n-1} end {alineado} ) [19459012 ]  

Por lo tanto, podemos escribir el término general (a_ {n} = 3 (2) ^ {n-1} ) y el término (10 ​​^ {th} ) se puede calcular de la siguiente manera: [19459012 ]  

( begin {alineado} a_ {10} & = 3 (2) ^ {10-1} \ & = 3 (2) ^ {9} \ & = 1,536 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(a_ {n} = 3 (2) ^ {n-1}; a_ {10} = 1,536 )

 
 

Los términos entre términos dados de una secuencia geométrica se llaman geométricos significa 21 .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Encuentre todos los términos entre (a_ {1} = −5 ) y (a_ {4} = −135 ) de una secuencia geométrica. En otras palabras, encuentre todas las medias geométricas entre los términos (1 ^ {st} ) y (4 ^ {th} ).

 

Solución

 

Comienza por encontrar la razón común (r ). En este caso, se nos dan los términos primero y cuarto:

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} r ^ {n-1} quad color {Cerulean} {Use : n = 4} \ a_ {4} & = a_ {1} r ^ {4-1} \ a_ {4} & = a_ {1} r ^ {3} end {alineado} )

 

Sustituye (a_ {1} = −5 ) y (a_ {4} = −135 ) en la ecuación anterior y luego resuelve (r ).

 

( begin {alineado} -135 & = – 5 r ^ {3} \ 27 & = r ^ {3} \ 3 & = r end {alineado} )

 

Luego usa el primer término (a_ {1} = −5 ) y la razón común (r = 3 ) para encontrar una ecuación para el término (n ) de la secuencia.

 

( begin {alineado} a_ {n} & = a_ {1} r ^ {n-1} \ a_ {n} & = – 5 (3) ^ {n-1} end {alineado } )

 

Ahora podemos usar (a_ {n} = – 5 (3) ^ {n-1} ) donde (n ) es un entero positivo para determinar los términos que faltan.

 

( left. Begin {array} {l} {a_ {1} = – 5 (3) ^ {1-1} = – 5 cdot 3 ^ {0} = – 5} \ { a_ {2} = – 5 (3) ^ {2-1} = – 5 cdot 3 ^ {1} = – 15} \ {a_ {3} = – 5 (3) ^ {3-1} = -5 cdot 3 ^ {2} = – 45} \ a_ {4} = – 5 (3) ^ {4-1} = – 5 cdot3 ^ {3} = – 135 end {array} right } color {Cerulean} {geométrico : significa} )

 

Respuesta :

 

(- 15, -45 )

 
 

El primer término de una secuencia geométrica no se puede dar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Encuentre el término general de una secuencia geométrica donde (a_ {2} = −2 ) y (a_ {5} = frac {2} {125} ).

 

Solución

 

Para determinar una fórmula para el término general necesitamos (a_ {1} ) y (r ). Se puede formar un sistema no lineal con estas variables utilizando la información dada y (a_ {n} = a_ {1} r ^ {n-1}: ):

 

( left { begin {array} {l} {a_ {2} = a_ {1} r ^ {2-1}} \ {a_ {5} = a_ {1} r ^ { 5-1}} end {array} right. Longrightarrow left { begin {array} {l} {- 2 = a_ {1} r quad : : : color {Cerulean} { Use : a_ {2} = – 2.}} \ { frac {2} {125} = a_ {1} r ^ {4} quad color {Cerulean} {Use : a_ {5} = frac {2} {125}.}} end {array} right. )

 

Resuelve para (a_ {1} ) en la primera ecuación,

 

(- 2 = a_ {1} r quad Rightarrow quad frac {-2} {r} = a_ {1} )
( frac {2} {125} = a_ {1} r ^ {4} )

 

Sustituye (a_ {1} = frac {-2} {r} ) en la segunda ecuación y resuelve (r ).

 

( frac {2} {125} = a_ {1} r ^ {4} )
( frac {2} {125} = left ( frac {-2} {r } right) r ^ {4} )
( frac {2} {125} = – 2 r ^ {3} )
(- frac {1} {125} = r ^ {3} )
(- frac {1} {5} = r )

 

Sustituto posterior para encontrar (a_ {1} ):

 

( begin {alineado} a_ {1} & = frac {-2} {r} \ & = frac {-2} { left (- frac {1} {5} right )} \ & = 10 end {alineado} )

 

Por lo tanto, (a_ {1} = 10 ) y (r = – frac {1} {5} ).

 

Respuesta :

 

(a_ {n} = 10 left (- frac {1} {5} right) ^ {n-1} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia geométrica dada y úsela para calcular su término (6 ^ {th} ): (2, frac {4} {3}, frac {8} {9},… )

 
     
Respuesta
     
     

(a_ {n} = 2 left ( frac {2} {3} right) ^ {n-1}; a_ {6} = frac {64} {243} )

     

     
 
 
 

Serie geométrica

 

Una geométrica serie 22 es la suma de los términos de una secuencia geométrica. Por ejemplo, la suma de los primeros (5 ) términos de la secuencia geométrica definida por (a_ {n} = 3 ^ {n + 1} ) sigue:

 

( begin {alineado} S_ {5} & = sum_ {n = 1} ^ {5} 3 ^ {n + 1} \ & = 3 ^ {1 + 1} + 3 ^ {2 +1} + 3 ^ {3 + 1} + 3 ^ {4 + 1} + 3 ^ {5 + 1} \ & = 3 ^ {2} + 3 ^ {3} + 3 ^ {4} +3 ^ {5} + 3 ^ {6} \ & = 9 + 27 + 81 + 3 ^ {5} + 3 ^ {6} \ & = 1,089 end {alineado} )

 

Agregar (5 ) enteros positivos es manejable. Sin embargo, la tarea de agregar una gran cantidad de términos no lo es. Por lo tanto, a continuación desarrollamos una fórmula que puede usarse para calcular la suma de los primeros términos (n ) de cualquier secuencia geométrica. En general,

 

(S_ {n} = a_ {1} + a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + ldots + a_ {1} r ^ {n-1} )

 

Multiplicando ambos lados por (r ) podemos escribir,

 

(r S_ {n} = a_ {1} r + a_ {1} r ^ {2} + a_ {1} r ^ {3} + ldots + a_ {1} r ^ {n} )

 

Restando estas dos ecuaciones, obtenemos,

 

(S_ {n} -r S_ {n} = a_ {1} -a_ {1} r ^ {n} )
(S_ {n} (1-r) = a_ {1 } left (1-r ^ {n} right) )

 

Suponiendo que (r ≠ 1 ) dividiendo ambos lados entre ((1 – r) ) nos lleva a la fórmula para la (n ) th suma parcial de una geométrica [19459005 ] secuencia 23 :

 

(S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} (r neq 1) )

 

En otras palabras, la suma parcial de (n ) th de cualquier secuencia geométrica se puede calcular utilizando el primer término y la razón común. Por ejemplo, para calcular la suma de los primeros (15 ) términos de la secuencia geométrica definida por (a_ {n} = 3 ^ {n + 1} ), use la fórmula con (a_ {1} = 9 ) y (r = 3 ).

 

( begin {alineado} S_ {15} & = frac {a_ {1} left (1-r ^ {15} right)} {1-r} \ & = frac {9 cdot left (1-3 ^ {15} right)} {1-3} \ & = frac {9 (-14,348,906)} {- 2} \ & = 64,570,077 end {alineado} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Halla la suma de los primeros 10 términos de la secuencia dada: (4, −8, 16, −32, 64,… )

 

Solución

 

Determine si existe o no una relación común entre los términos dados.

 

(r = frac {-8} {4} = – 2 )

 

Tenga en cuenta que la relación entre dos términos sucesivos es (- 2 ); por lo tanto, la secuencia dada es una secuencia geométrica. Utilice (r = −2 ) y el hecho de que (a_ {1} = 4 ) para calcular la suma de los primeros términos (10 ​​),

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} \ S_ {10} & = frac { color {Cerulean} {4} color {black} { left [1 – ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {)} ^ {10} right]}} { 1 – ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {)}}] \ & = frac {4 (1-1,024)} {1 + 2} \ & = frac {4 ( -1,023)} {3} \ & = – 1,364 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(S_ {10} = – 1,364 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Evalúe: ( sum_ {n = 1} ^ {6} 2 (-5) ^ {n} ).

 

Solución

 

En este caso, se nos pide encontrar la suma de los primeros (6 ) términos de una secuencia geométrica con el término general (a_ {n} = 2 (−5) ^ {n} ). Use esto para determinar el término (1 ^ {st} ) y la relación común (r ):

 

(a_ {1} = 2 (-5) ^ {1} = – 10 )

 

Para mostrar que hay una relación común, podemos usar términos sucesivos en general de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} r & = frac {a_ {n}} {a_ {n-1}} \ & = frac {2 (-5) ^ {n}} {2 (- 5) ^ {n-1}} \ & = (- 5) ^ {n- (n-1)} \ & = (- 5) ^ {1} \ & = – 5 end {alineado} )

 

Utilice (a_ {1} = −10 ) y (r = −5 ) para calcular la suma parcial (6 ^ {th} ).

 

( begin {alineado} S_ {n} & = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} \ S_ {6} & = frac { color {Cerulean} {- 10} color {black} { left [1 – ( color {Cerulean} {- 5} color {black} {)} ^ {6} right]}} {1 – ( color {Cerulean} {- 5} color {black} {)}} \ & = frac {-10 (1-15,625)} {1 + 5} \ & = frac {- 10 (-15,624)} {6} \ & = 26,040 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(26,040 )

 
 

Si la razón común r de una secuencia geométrica infinita es una fracción donde (| r | <1 ) (es decir (- 1  

(1- left ( frac {1} {10} right) ^ {2} = 1-0.01 = 0.99 )
(1- left ( frac {1} {10 } right) ^ {4} = 1-0.0001 = 0.9999 )
(1- left ( frac {1} {10} right) ^ {6} = 1-0.00001 = 0.999999 ) [ 19459012]  

Aquí podemos ver que este factor se acerca cada vez más a 1 para valores cada vez mayores de (n ). Esto ilustra la idea de un límite, un concepto importante utilizado ampliamente en las matemáticas de nivel superior, que se expresa utilizando la siguiente notación:

 

( lim _ {n rightarrow infty} left (1-r ^ {n} right) = 1 ) donde (| r | <1 )

 

Esto se lee, «el límite de ((1 – r ^ {n}) ) cuando (n ) se aproxima a infinito igual a (1 )». Si bien esto ofrece una vista previa de lo que vendrá en su continuo estudio de las matemáticas, en este punto estamos interesados ​​en desarrollar una fórmula para series geométricas infinitas especiales. Considere la (n ) suma parcial de cualquier secuencia geométrica,

 

(S_ {n} = frac {a_ {1} left (1-r ^ {n} right)} {1-r} = frac {a_ {1}} {1-r} left (1-r ^ {n} right) )

 

Si (| r | <1 ) entonces el límite de las sumas parciales a medida que n se acerca al infinito existe y podemos escribir,

 

(S_ {n} = frac {a_ {1}} {1-r} left (1-r ^ {n} right) quad color {Cerulean} { stackrel { Longrightarrow} {n rightarrow infty}} quad color {black} {S _ { infty}} = frac {a_ {1}} {1-4} cdot1 )

 

Por lo tanto, una serie geométrica convergente 24 es una serie geométrica infinita donde (| r | <1 ); su suma se puede calcular usando la fórmula:

 

(S _ { infty} = frac {a_ {1}} {1-r} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Encuentra la suma de las series geométricas infinitas: ( frac {3} {2} + frac {1} {2} + frac {1} {6} + frac {1} {18} + frac {1} {54} + puntos )

 

Solución

 

Determine la razón común, ya que la razón común (r = frac {1} {3} ) es una fracción entre (- 1 ) y (1 ), esta es una serie geométrica convergente. Use el primer término (a_ {1} = frac {3} {2} ) y la razón común para calcular su suma

 

( begin {alineado} S _ { infty} & = frac {a_ {1}} {1-r} \ & = frac { frac {3} {2}} {1- izquierda ( frac {1} {3} right)} \ & = frac { frac {3} {3}} { frac {2} {3}} \ & = frac {3} { 2} cdot frac {3} {2} \ & = frac {9} {4} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(S _ { infty} = frac {9} {4} )

 
 
 

Nota

 

En el caso de una serie geométrica infinita donde (| r | ≥ 1 ), la serie diverge y decimos que no hay suma. Por ejemplo, si (a_ {n} = (5) ^ {n − 1} ) entonces (r = 5 ) y tenemos

 

(S _ { infty} = sum_ {n = 1} ^ { infty} (5) ^ {n-1} = 1 + 5 + 25 + cdots ) ​​

 

Podemos ver que esta suma crece sin límite y no tiene suma.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra la suma de las series geométricas infinitas: ( sum_ {n = 1} ^ { infty} -2 left ( frac {5} {9} right) ^ {n-1} )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {9} {2} )

     

     
 
 
 

Un decimal periódico se puede escribir como una serie geométrica infinita cuya razón común es una potencia de (1/10 ). Por lo tanto, la fórmula para una serie geométrica convergente se puede usar para convertir un decimal periódico en una fracción.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Escribe como una fracción: (1.181818… )

 

Solución

 

Comienza identificando los dígitos que se repiten a la derecha del decimal y reescríbelo como una progresión geométrica.

 

( begin {alineado} 0.181818 ldots & = 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ldots \ & = frac {18} {100} + frac {18} {10,000} + frac {18} {1,000,000} + ldots end {alineado} )

 

De esta forma podemos determinar la razón común,

 

( begin {alineado} r & = frac { frac {18} {10,000}} { frac {18} {100}} \ & = frac {18} {10,000} veces frac {100} {18} \ & = frac {1} {100} end {alineado} )

 

Tenga en cuenta que la relación entre dos términos sucesivos es ( frac {1} {100} ). Use esto y el hecho de que (a_ {1} = frac {18} {100} ) para calcular la suma infinita:

 

( begin {alineado} S _ { infty} & = frac {a_ {1}} {1-r} \ & = frac { frac {18} {100}} {1- izquierda ( frac {1} {100} right)} \ & = frac { frac {18} {100}} { frac {90} {100}} \ & = frac {18} { 100} cdot frac {100} {99} \ & = frac {2} {11} end {alineado} )

 

Por lo tanto, (0.181818… = frac {2} {11} ) y tenemos,

 

(1.181818 ldots = 1 + frac {2} {11} = 1 frac {2} {11} )

 

Respuesta :

 

(1 frac {2} {11} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Cierta bola rebota a dos tercios de la altura desde la que cayó. Si esta pelota se cae inicialmente desde (27 ) pies, aproximadamente la distancia total que recorre la pelota.

 

Solución

 

Podemos calcular la altura de cada rebote sucesivo:

 

( begin {array} {l} {27 cdot frac {2} {3} = 18 text {pies} quad color {Cerulean} {Altura : of : the : first : rebote}} \ {18 cdot frac {2} {3} = 12 text {pies} quad : color {Cerulean} {Altura : of : the : second : bounce} } \ {12 cdot frac {2} {3} = 8 text {pies} quad : : color {Cerulean} {Altura : of : the : third : bounce}} end {array} )

 
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Figura 9.3.1
 

La distancia total que recorre la pelota es la suma de las distancias que cae la pelota y las distancias que la pelota sube. Las distancias que cae la pelota forma una serie geométrica,

 

(27 + 18 + 12 + puntos quad color {Cerulean} {Distancia : the : ball : is : falling} )

 

donde (a_ {1} = 27 ) y (r = frac {2} {3} ). Como (r ) es una fracción entre (- 1 ) y (1 ), esta suma se puede calcular de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} S _ { infty} & = frac {a_ {1}} {1-r} \ & = frac {27} {1- frac {2} {3} } \ & = frac {27} { frac {1} {3}} \ & = 81 end {alineado} )

 

Por lo tanto, la pelota cae una distancia total de (81 ) pies. Las distancias que sube la pelota forma una serie geométrica,

 

(18 + 12 + 8 + cdots quad color {Cerulean} {Distancia : the : ball : is : rising} )

 

donde (a_ {1} = 18 ) y (r = frac {2} {3} ). Calcule esta suma de manera similar:

 

( begin {alineado} S _ { infty} & = frac {a_ {1}} {1-r} \ & = frac {18} {1- frac {2} {3} } \ & = frac {18} { frac {1} {3}} \ & = 54 end {alineado} )

 

Por lo tanto, la pelota está subiendo una distancia total de (54 ) pies. Aproxima la distancia total recorrida sumando las distancias totales de ascenso y descenso:

 

(81 + 54 = 135 ) pies

 

Respuesta :

 

(135 ) pies

 
 
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